E3A Maths B PSI 2009

Thème de l'épreuve Puissances d'une matrice. Zéros d'une solution d'équation différentielle. Règle de Raabe-Duhamel. Algèbre euclidienne.
Principaux outils utilisés réduction, polynômes, équations différentielles linéaires, séries numériques et séries entières, automorphismes orthogonaux

Corrigé

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e & CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE " Épreuve de Mathématiques B PSI Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Exercice 1 On considère une matrice carrée A d'ordre 4 à coefficients réels. On suppose que le rang de A est égal à 3, que la somme des coefficients de chaque ligne de A est égale à 1, que -- l est ' valeur propre double de A. l° Prouver que 0 est valeur propre de A. 2° Prouver que l est valeur propre de A. 3° Déterminer le polynôme caractéristique noté P A (X ) de la matrice A. 4° Pour k entier naturel , k 2 4 , déterminer le reste, noté Rk (X) , de la division euclidienne de kaar PA(X). 5° Pour k ent1er naturel , k ?. 4 , demontrer que Ak est combma1son lmea1re de A , A , A3 et déterminer cette combinaison linéaire. Exercice 2 Soit on et B deux réels, avec ou < B . Soit a et 19 deux applications de [a,B] vers R, continues sur [a,B ]. On note (E ) l'équation différentielle suivante : y"(ï) +a(î)y'(î) + l7(!)y(l') = 0- Dans cet exercice on appelle solution de (E ) toute application de [oc,B] vers R de classe C2 vérifiant (E) sur [a,[3]. , Soitf une solution de ( E ) sur [a,B ]. On suppose que f admet une infinité de zéros dans [oc,B ]. Le but de l'exercice est d'établir que f est l'application nulle sur [a,B ]. Pour cela on considère une suite (x,, ) 1120 de zéros de f , deux à deux distincts, appartenant à [(X 9 B ]° 1° Dans cette question on suppose que la suite (x,, ) nZO converge vers un réel x. a) Prouver que x appartient à [oc,B ]. En déduire que f(x) = 0 . b) Montrer que pour tout entier naturel n, il existe au moins un zéro de f ' , noté y,, , strictement compris entre x,, et x,, H . c) Calculer f(x). d) Conclure. 2° Prouver que f est aussi l'application nulle sur [a,B] lorsque la suite (x,, ) 1120 n'est pas convergente. 3° Prouver à l'aide d'un contre--exemple que le résultat établi dans cet exercice est faux si l'on remplace [a.B] par R. Exercice 3 R est l'ensemble des nombres réels et n et no sont des entiers naturels. Cet exercice comporte deux parties. Dans la première partie, on établit un résultat général appelé : Règle de Raabe-Duhamel. Dans la deuxième partie on applique, sans omettre les justifications nécessaires, ce résultat à l'étude de plusieurs séries particulières. Soit (on,, ) ,, une suite réelle. On rappelle que la relation on,, : 0(-1--) signifie que lim n on,, : O. " n---->+oo Partie A : Règle de Raabe-Duhamel. Soit (un ) n2 ,.,0 une suite de réels strictement positifs telle qu'il existe un réel k vérifiant : Vn2n0 , u"+1=1-- À+o(l). u n n ïl l° Prouver que si X < 0 , alors la série Zun diverge. . , u v 1 . 2° Smt B un reel quelconque et v,, =------. Montrer que : "+] -- "" =--E +0(----] ou u est nB u V 71 ïl ïl ïl un réel, indépendant de n, à déterminer. 3° On suppose que l > 1. On se propose de démontrer que la série Zun converge. On choisit [3 tel que: À>B>1. un+l £ vn+l . un vn a) Justifier l'existence d'un entier naturel N tel que, pour n 2 N , on ait : b) Déterminer un réel positif K, indépendant de 11, tel que pour n 2 N , on ait : un 5 K v,1 . c) Prouver que la série Zun converge. 4° On suppose que 0 $ À < 1 . Démontrer par un raisonnement analogue à celui fait à la question précédente que la série Zun diverge ( on choisira B de manière à ce que la série Zvn diverge et que ceci implique la divergence de la série Zu" ). 1 1 5° Pour n22,onposez xn =---- et y,, :_Î' n n (ln n) Déterminer la nature des séries an et 2 y,, et en déduire que le cas X = 1 est un cas douteux de la Règle de Raabe-Duhamel. Partie B Les trois questions qui suivent sont indépendantes les unes des autres et sont des applications directes ou partielles de la Règle de Raabe-Duhamel. n--l _ . 1 . . , . 1° Pour n 2 2 , on pose W,, = \/(n -- 1)! | | sm(--ÎI--Ç--]. Déterminer la nature de la senc Zw,, . k=1 +OO dt 0 (t4 + 1)" ' a) Montrer que cette intégrale généralisée converge. On note ],, sa valeur. b) Etablir que: I,, = 4n(ln --1,...) . c) En déduire la nature de la série 2 I,, . 2° Pour n 21 , on considère l'intégrale généralisée J 3° Soit ce un réel donné, n'appartenant pas à l'ensemble des entiers naturels. On pose : +oo ... et pourx réel) S(X) : Zafix" _ a0=l,pournZl,an= ' n. n=0 a) Indiquer (sans démonstration) le rayon de convergence R de la série entière Zanx" , et, pour x élément de ]-- R ,R[ , la valeur de S (x) . b) Utiliser la Règle de Raabe --Duhamel pour montrer que la série Zan est absolument convergente si et seulement si ou > 0 . +oo c) Montrer que si on > O , S est continue sur [-- R ,R] et établir que Za,, = 2" et n=O (1) Montrer que si oc < --1 , la série Zan diverge. e) On suppose que : --1 < oc < 0. i) Prouver que : lim ln(| an l)= --oo. n-->+oo ii) Montrer que la série Zan converge. +00 iii) Calculer Za, . n=O Exercice 4 E est un espace euclidien de dimension n , n 21 . Le produit scalaire sur E est noté < | > . (xk )lSkSp et ( yk )1S kg p sont deux familles de vecteurs de E telles que : . . 2 V(z,]) EUR {l,2,....,p} , = . Le but de cet exercice est d'établir la propriété (a?) suivante : Il existe un automorphisme orthogonal f de E vérifiant : Vk EUR {l,2,....,p}, f(xk) =yk. p Eli--xl- i=l sont linéairement indépendants dans E alors y, , y2 ,..., y p sont ---- l° Soit(M ,7t2 ,....,ÀP )un élément de Rp. Prouver que p zÂiyi ' z---l En déduire que si xl ,x2 ,...,xp aussi linéairement indépendants dans E. 2° Dans cette question, on suppose que x1,x2 ,..., x sont linéairement indépendants dans E et p que p = n . Etablir la propriété ((P). 3° Dans cette question, on suppose que xl , x2 ,...., x sont linéairement indépendants dans E et ;) que p i n . On note F le sous espace vectoriel de E engendré par la famille (xk )'Sksp et G le sous espace vectoriel de E engendré par la famille ( yk )15ks ,, . F i désigne le sous-espace de E orthogonal à F , GJ" désigne le sous--espace de E orthogonal à G. a) Just1fier l'1negal1te ]) < n ; prec1ser les d1mens1ons des sous espaces vector1els F, F , G, G-L . b) Donner une condition sur l'entier naturel q pour assurer l'existence d'une famille orthonormale (xk ) p+1_<_k5q de vecteurs de F i et d'une famille orthononnale (yk )p+lngq de vecteurs de Gi. Pour tout (i,j) élément de {l,2,....,q ?, comparer  et . c) Etablir la propriété (?). 4O Dans cette question, on suppose que xl ,x2 ,...., x sont linéairement dépendants dans E. p Etablir la propriété (?).

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 E3A Maths B PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Juliette Brun-Leloup (Professeur en CPGE) et Nicolas Martin (ENS Lyon). Ce sujet est composé de quatre exercices complètement indépendants, deux d'algèbre et deux d'analyse. · Dans le premier exercice, on commence par calculer le polynôme caractéristique d'une matrice d'ordre 4 à l'aide de différentes informations, puis on se sert de ce polynôme et du théorème de Cayley-Hamilton pour calculer les puissances successives de cette matrice. · Dans le deuxième exercice, on étudie qualitativement les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène du deuxième ordre sous forme résolue. Plus précisément, on démontre que la seule solution de cette équation admettant une infinité de zéros sur un segment est l'application nulle. · Le troisième exercice, le plus long, propose de démontrer la règle de RaabeDuhamel, qui permet de déterminer la nature de certaines séries numériques. Il en donne ensuite trois applications. Les deux premières concernent des séries numériques, l'une étant définie à l'aide d'une suite d'intégrales généralisées. Dans la troisième application, on se sert de la règle de Raabe-Duhamel pour étudier la somme d'une série entière, en particulier son comportement aux bornes de l'intervalle de convergence. · Enfin, dans le quatrième et dernier exercice, on prouve l'existence d'un automorphisme orthogonal d'un espace euclidien E transformant une famille (xk )16k6p en une famille (yk )16k6p , sachant que hxi |xj i = hyi |yj i pour tout couple (i, j) d'éléments de [[ 1 ; p ]]. Ce résultat est d'abord démontré lorsque (xk )16k6p est une base de E, puis lorsque la famille (xk )16k6p est libre et enfin dans le cas général. La moitié des exercices proposés ici (le premier exercice d'analyse et le second d'algèbre) portent sur le programme de première année. Il convient donc de ne pas négliger les chapitres de MPSI ou PCSI dans vos révisions ! Chacun des exercices de cette épreuve constitue un bon sujet de révisions sur le thème concerné. Ils sont en effet très guidés et permettent de s'assurer que les théorèmes du cours sont bien assimilés. Indications Exercice I I.2 On pourra faire appel à la matrice colonne dont toutes les composantes valent 1. I.4 Définir les coefficients du polynôme Rk (X) et utiliser les racines de PA (X) pour former un système permettant de les calculer. Se rappeler que si a est racine double d'un polynôme P, alors a est encore racine de son polynôme dérivé P . I.5 Penser au théorème de Cayley-Hamilton et se servir du résultat de la question I.4. Exercice II II.1.b Appliquer le théorème de Rolle en vérifiant soigneusement ses hypothèses. II.1.c La suite (yn )nN est-elle convergente et si oui quelle est sa limite ? II.1.d D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, combien de solutions y de (E) vérifient y(x) = y (x) = 0 ? II.2 Se souvenir du théorème de Bolzano-Weierstrass. Exercice III III.A.1 Se rappeler que deux suites équivalentes sont de même signe à partir d'un certain rang. III.A.3.a Se servir du même résultat que dans la question III.A.1. III.A.4 Procéder exactement comme dans la question III.A.3, en choisissant dans ] ; 1 [. III.A.5 Effectuer une comparaison P série-intégrale pour démontrer la convergence de la série de Bertrand yn . Ne pas oublier de donner les développements asymptotiques de xn+1 /xn et de yn+1 /yn pour conclure ! III.B.2.b Effectuer une intégration par parties en se plaçant sur un segment puis passer à la limite pour établir la relation demandée. III.B.3.b Pour obtenir l'équivalence malgré le cas douteux dans la règle de RaabeDuhamel établie dans la partie III.A, se souvenir des valeurs possibles pour . III.B.3.c Démontrer la convergence normale sur [ -1 ; 1 ] de la série de fonctions dont la somme est S pour prouver la continuité sur ce segment. Se servir ensuite de la continuité aux extrémités du segment. III.B.3.d Utiliser le résultat de la question III.A.1. III.B.3.e.ii Se servir du critère spécial des séries alternées. III.B.3.e.iii Faire appel au critère spécial des séries alternées pour majorer uniformément les restes, afin de démontrer la convergence uniforme de la série de fonctions définissant S sur le segment [ 0 ; 1 ]. Exercice IV IV.2 Remarquer que la famille (x1 , . . . , xp ) est alors une base de E, définir f par l'image de cette base et démontrer ensuite que f est un automorphisme orthogonal. IV.3.b Pour les calculs des produits scalaires, distinguer plusieurs cas selon la position des indices i et j par rapport à p. IV.3.c Choisir q = n et appliquer le résultat de la question IV.2. IV.4 Extraire de la famille (x1 , . . . , xp ) une famille libre de rang maximal et se servir de la question IV.1. Exercice I I.1 La matrice A est une matrice carrée d'ordre 4 et de rang 3. D'après le théorème du rang, la dimension du noyau de A est égale à 1 et en particulier elle est non nulle. Par conséquent, 0 est valeur propre de A. De plus, l'espace propre associé est de dimension 1 puisque c'est le noyau de A. I.2 Soit U M4,1 (R) la matrice colonne dont toutes les composantes valent 1. Comme la somme des coefficients de chaque ligne de A est égale à 1, a11 a12 a13 a14 1 a11 + a12 + a13 + a14 1 a21 a22 a23 a24 1 a21 + a22 + a23 + a24 1 AU = a31 a32 a33 a34 1 = a31 + a32 + a33 + a34 = 1 = U a41 a42 a43 a44 1 a41 + a42 + a43 + a44 1 Puisque U est non nul, on en déduit que 1 est valeur propre de A. Cette question est très classique. Plus généralement, on peut démontrer de la même façon que si la somme des coefficients de chaque ligne d'une matrice réelle A d'ordre quelconque vaut S, où S R, alors S est une valeur propre de A. Les valeurs propres d'une matrice et de sa transposée étant égales, ce résultat reste vrai si on considère les coefficients de chaque colonne. Pour démontrer que 1 est valeur propre de A, on peut également prouver que le polynôme X- 1 divise PA (X) en factorisant (partiellement) ce dernier : a11 - X a12 a13 a21 a22 - X a23 PA (X) = a31 a32 a33 - X a41 a42 a43 a14 a24 a34 a44 - X a11 - X + a12 + a13 + a14 a12 a13 a14 a21 + a22 - X + a23 + a24 a22 - X a23 a24 = a31 + a32 + a33 - X + a34 a32 a33 - X a34 a41 + a42 + a43 + a44 - X a42 a43 a44 - X En effet, la suite d'opérations élémentaires qui permet d'ajouter à la première colonne les colonnes suivantes ne change pas la valeur du déterminant. Ainsi, la somme des coefficients de chaque ligne étant égale à 1, on obtient 1-X a12 a13 a14 1 - X a22 - X a23 a24 PA (X) = 1-X a32 a33 - X a34 1-X a42 a43 a44 - X 1 1 = (1 - X) 1 1 a12 a13 a14 a22 - X a23 a24 a32 a33 - X a34 a42 a43 a44 - X