E3A Maths B PSI 2008

Thème de l'épreuve Zéros d'une fonction, racines d'un polynôme. Matrices symétriques positives et séries entières. Intégrales dépendant d'un paramètre.
Principaux outils utilisés théorème de Rolle, réduction des matrices symétriques, inégalité de convexité, formules de Cramer, théorème de Leibniz, théorème de convergence dominée

Corrigé

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R désigne l'ensemble des nombres réels et I est un intervalle de R non vide et non réduit à un point. 1° Enoncer le Théorème de Rolle. 2° Soit h une application de 1 vers R, dérivable sur I, et p un entier naturel, p _>_ 2. On suppose que h s'annule p fois sur ], démontrer que h' s'annule au moins p -----1 fois sur I. 3° On considère les applications a et b de ]O,+ oe[ vers R définies par : a(x) = 3x"20 + x"... + 4x10 + 2x20 +11x30 et b(x) : ----150x"51 - 40x"41 - 80x"21 --- 20x_11. On suppose que b s'annule au plus 3 fois dans ]0,+ oo [. Montrer que a s'annule au plus 4 fois dans ]O,+ oo [. 4° Soit n un entier naturel, n ?. 1 , (a1,(x2, ..... ,ou") un élément de R" avec ou] < (12 < ..... < or,, , (À1,À2, ..... ,Àn) un élément de (R* ) n et f,, l'application de ]O,+ oe[ vers R définie par : fn(x) = ZM: xak- k=1 Démontrer que f,, s'annule au plus n ---1 fois dans ]0,+ oo [. 5° On considère le polynôme P de R[X] suivant : P = X 400 -- 7X201 -- 4)(101 +1. Prouver que P admet au plus 6 racines réelles. Exercice 2 R désigne l'ensemble des nombres réels et n est un entier naturel, n 2 2. On introduit les notations suivantes : M n (R) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, M ,...(R) est l'ensemble des matrices à n lignes, une colonne et à coefficients réels, GLn (R) est l'ensemble des matrices inversibles de M ,, (R) , O,, (R) est l'ensemble des matrices oflhogonales de M n (R) , S,, (R) est l'ensemble des matrices symétriques de M ,, (R) , S,Ï (R) est l'ensemble des matrices de S,, (R) dont toute valeur propre est positive ou nulle, S,Î+ (R) est l'ensemble des matrices de S,, (R) dont toute valeur propre est strictement positive. Pour toute matrice M on note : [ M la transposée de M , mÿ- le coefficient de M situé dans la i--ème ligne et la j-ème colonne de M , det(M ) le déterminant de M lorsque M est une matrice carrée. Partie A Soit S une matrice de S,Ï (R). Le but de cette partie est d'établir l'inégalité (l) : n det(S) s Hs, . i=1 Soit S une matrice de S,, (R) . On rappelle qu'il existe une matrice P de O,, (R) et un élément (À1 ,k2 , ...... ,À,,)de R"tels que : 'PSP=D où Dest la matrice diagonale de M ,,(R) telle que V i & {l,2,....,n }, dil-- =)»,-- . 1° Soit S une matrice de S;',' (R). Déduire du rappel précédent : a) qu'il existe M élément de M ,, (R) tel que : S : tM M . b) que pour toutXélément de Mn,1(R)z l'XSX 2 0. c) que :V i & {l,2,....,n }, si,-- 20. 2° Soit S une matrice de S,Î+ (R) démontrer : a) qu'il existe M élément de GL,, (R) tel que : S : tM M . b) que pour toutX élément non nul de M ,...(R) : t X S X > 0 . c) que :V i & {l,2,....,n }, sil-- > 0. 3° Soit S une matrice de S,Ï (R) n'appartenant pas à S,Î" (R) . Etablir l'inégalité (l) pour S. 4° Soit Sune matrice de S,Ï"(R) telle que: V i & {l,2,....,n }, sil-- : l . a) Prouver que la fonction exponentielle est convexe sur R. 1 n En déduire que: n,/k17t2 ..... I.,, S--[ZM]. " i=l b) Démontrer que l'inégalité (l) est vérifiée par S. 5° Soit S une matrice quelconque de S,," (R). Soit T la matrice diagonale de M ,, (R) telle 1 Sii que :V i E {l,2,....,n}, til-- : etBlamatrice de M,,(R)définîe par B=TST. a) Montrer que pour tout X élément non nul de Mn,1(R)ï ' X BX > 0 . b) En déduire que B appartient à S ; + (R) . c) Démontrer que l'inégalité (l) est vérifiée par S. Partie B Dans cette partie on utilise l'inégalité (l) de la Partie A pour établir l'inégalité d'Hadamard . Soit A une matrice de M n (R). 1° Vérifier que l'on peut appliquer l'inégalité (l) à ' A A. n n 2° En déduire l'inégalité d'Hadamard : ldet(A) | _<_ [[ Z(a ,a.)2 . '=1 k=l Partie C Dans cette partie on utilise l'inégalité d'Hadamard pour établir un résultat concernant les fonctions développables en série entière en 0 . Soit (an)n_>_0 une suite réelle telle que ao # 0 . Soit (b,, ) nZO l'unique suite réelle vérifiant : n 00b0 =1 et Vïl 2.1, Eakbn_k =0. k=0 1° Pour n ..>. 1 , on considère la matrice A de M ,, +1 (R) suivante : ao () 0 () bo al ao ". () bl a '. °. ! A = :2 ,_ __ ,_ : . Calculer A 00 0 . a a a a bn n 2 l 0 Vérifier que A appartient à GL" +1 (R) . Appliquer les formules de Cramer pour en déduire que det(A') bn = det(A) 2° On suppose qu'il existe un réel r strictement positif tel que la série de terme général où A' est une matrice de M ,, H (R) à préciser . +oo la,, ] r" converge. On pose : 2! an ] r" = C . Montrer que la série de terme général (an )2 r2" n==0 +oo converge et que îl(an)2 r2n S C2 . n==0 3° Utiliser alors l'expression de bn établie à la question 1° de la Partie C et l'inégalité 1 . . . , d'Hadamard pour démontrer que : Vn _>_1, lbn {S ...ou" où on est un réel p051tlf mdependant "0 de n à préciser ( on pourra considérer la matrice A" de M ,, +1(R) obtenue à partir de A' en multipliant la i-ème ligne de A' par r'"1 , pour tout i élément de {l,2,....,n +1 }). 4° Soit f une fonction de R vers R développahle en série entière en 0 telle que f (0) =# 0 . Montrer que la fonctron ---- defime au vmsmage de 0 est developpable en sene ent1ere en 0. f Exercice3 Le but de cet exercice est d'étudier la fonction numérique F de la variable réelle x telle que : F(x) = Jgoee"x°h' dt. 1° Question préliminaire Soit a une application de R vers R telle que lim a(t) : +oe . Soit p un entier naturel non nul, t-->+oo pourquoi l'égalité e"... = o 1 est--elle vérifiée '? +°° (a(t))p 2° Montrer que l'ensemble de définition de F est ]0, + oo [. 3° Prouver que F est de classe C2 sur ]O,+ oo [. 4° Montrer que F est solution sur]0,+ oo[ de l'équation différentielle : y" + -1--- y' -- y = 0 (E). x 5° Etude de F (x) quand x tend vers 0+ . Dans cette question, x est un réel vérifiant : 0 < x < 1. a) On pose H (x)= L+oe e'x" ( 21 1 -------î;--]du. u .-- Montrer que H est définie et bornée sur 10,1 [. ----v EUR b) On pose K(x) : [: dv. Prouver que pour v élément de [x,1] on a : 0 _<. 1 -- e"" .<. v . En déduire que K (x) est équivalent à --- ln(x) quand x tend vers O'" . ---xu +00 3 c) Montrer que F (x) = L 2 du. u -----1 d) Déterminer un équivalent de F (x) quand x tend vers 0+ . 6° Etablir que : lim x F (x) = 0 et que lim x F '(x) = O( indication : on pourra considérer x----)+oo x--->+oo une suite quelconque (x,, ),, d'éléments de [1,+ oo [ qui tend vers + co et utiliser le théorème de la convergence dominée ). 7° Soit G une solution non nulle de (E) sur]0,+ oo[ vérifiant lim G(x) : lim G'(x) : O. x-->+oe x----)+oe On rappelle que le wronskien de F et G est l'application notée Wde ]O, + oo[ sur R définie par: W=FG'--F'G. . . , . , 1 a) Vérifier que W est solution sur ]0, + oo[ de l'équat10n d1fferent1elle : y + ----- y = 0 et pour x x > O , calculer W(x) . b) En déduire qu'il existe un réel ?» tel que pour tout x de ]O,+ oo[ , G(x) = X F (x) .

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 E3A Maths B PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Emmanuel Bougnol (Professeur en CPGE) et Chloé Mullaert (ENS Cachan). Le sujet est composé de trois exercices de longueurs et difficultés variables, complètement indépendants et abordant différentes parties du programme. · Le premier exercice s'intéresse au théorème de Rolle et à ses applications aux équations algébriques et à certaines fonctions. Sans grande difficulté, il offre une possibilité intéressante de revoir ce point fondamental du programme d'analyse de la classe supérieure. · Le deuxième exercice porte sur l'algèbre euclidienne et commence par les classiques incontournables sur les matrices symétriques positives et définies positives. Fait inhabituel, ces dernières sont définies comme les matrices symétriques dont le spectre est dans R+ ou R+ . On démontre ensuite une inégalité entre le déterminant d'une matrice symétrique réelle (qui est en fait le produit des valeurs propres) et le produit des termes diagonaux de la matrice. Il y a dans cette partie une intervention intéressante de l'inégalité de convexité généralisée, encore un point du cours de première année qu'il est bon de revoir. La partie B, très courte, est l'application de l'inégalité précédente pour démontrer une majoration de la valeur absolue du déterminant d'une matrice carrée d'ordre n quelconque. La partie C donne une application étonnante de l'inégalité précédente, puisqu'on l'utilise pour démontrer que l'inverse d'une fonction développable en série entière au voisinage de 0 et non nulle en 0 est développable en série entière au voisinage de 0. C'est un bon exercice de synthèse de l'algèbre euclidienne, à faire dès que le chapitre du cours est terminé. · Le troisième exercice consiste en l'étude d'une intégrale généralisée dépendante d'un paramètre et on utilise, dans un contexte assez simple, les résultats classiques sur le sujet pour démontrer que la fonction est de classe C 2 . On détermine ensuite une équation différentielle vérifiée par la fonction étudiée, puis on en calcule un équivalent en 0. On passe ensuite à l'étude en +. L'énoncé donnait deux indices, l'utilisation de la caractérisation séquentielle d'une limite et le théorème de convergence dominée ; encore des résultats classiques du programme d'analyse de spéciale que l'on a l'occasion de mettre en oeuvre dans un cadre assez simple. On termine par une petite application à l'équation différentielle. On a là un exercice intéressant à travailler à la fin du chapitre sur les séries de fonctions, en laissant éventuellement de côté la dernière question si les équations différentielles linéaires du second ordre n'ont pas encore été traitées. Indications Exercice 1 2 Appliquer le théorème de Rolle à la fonction f , entre deux points consécutifs où elle s'annule. 3 Poser h(x) = 10-30 a(x) puis appliquer la question précédente à h. 4 Procéder par récurrence, en posant fn+1 (x) = xn+1 f (x), puis appliquer la question précédente à la fonction f . 5 Appliquer la question précédente en séparant les racines positives et les racines négatives. Exercice 2 t A.1.a Poser D = diag( 1 , . . . , n ) puis M = PD P. t A.1.b Poser Y = MX puis vérifier que X SX = kYk2 , où k · k désigne la norme euclidienne de Rn . A.1.b En désignant par (E1 , E2 , . . . , En ) la base canonique de Mn,1 (R), vérifier que t Ej SEj = sjj puis appliquer la question précédente. A.2 Reprendre la question précédente, mutatis mutandis 1 . ++ A.3 Si S est dans S+ n (R) et pas Sn (R), elle a une valeur propre nulle. A.4.a Utiliser la caractérisation des fonctions convexes de classe C 2 , puis appliquer l'inégalité de convexité aux réels ln(i ). A.4.b Penser que la somme des valeurs propres est égale (dans le cas présent) à la trace. A.5.a Utiliser la question A.2.b. A.5.b Se servir de la question précédente avec X vecteur propre de S. A.5.c Appliquer le résultat de la question A.4 à la matrice B. t B.1 Vérifier que A A est symétrique positive. t 2 B.2 Penser que det( A A) = [det(A)] . b0 1 b1 0 C.1 Vérifier que A . = . . .. .. bn 0 C.2 Penser que |an | rn 6 1 à partir d'un certain rang puis montrer que N P an 2 r2n 6 C2 n=0 C.3 Vérifier que det(A ) = det(A )/rn(n+1)/2 puis appliquer l'inégalité d'Hadamard aux colonnes de A . P C.4 Montrer que la série entière bn xn a un rayon de convergence non nul, puis, en faisant un produit de Cauchy, qu'elle répond à la question. 1 Pour ceux qui auraient préféré l'option cuisine à l'option latin, cela veut dire « en changeant ce qui doit être changé ». Exercice 3 p 1 Revenir à la définition de o (1/ [a(t)] ). 2 La fonction F est définie si et seulement si la fonction t 7 e -x ch (t) est intégrable sur R+ . 3 Appliquer le théorème de Leibniz. 4 Exprimer F(x) - F (x) sous forme d'une intégrale, puis faire une intégration par parties. 5.a Pour montrer que H est définie, prouver que 1 1 1 1 -xu e - 6 6 2 2 2 2 u -1 u u u2 - 1 u u -1 u+ u -1 Pour démontrer le caractère borné de H, intégrer l'inégalité 1 1 1 1 -xu e - 6 - 2 2 u -1 u u -1 u 1 e -v 5.b Se servir de la convexité de l'exponentielle pour prouver que - 6 1, v v puis intégrer. 5.c Utiliser le changement de variable u = ch (t) 5.d Poser le changement de variable v = xu. 6 Pour les hypothèses de domination, remarquer que xn e -xn ch (t) = et xn ch (t) e -xn ch (t) = 1 xn ch (t) e -xn ch (t) ch (t) 1 xn 2 [ch (t)]2 e -xn ch (t) xn ch (t) 7.b Si le wronskien de deux solutions est nul, ces solutions sont linéairement dépendantes. Exercice 1 1 Le théorème de Rolle s'exprime comme suit Soit f une fonction continue sur un segment [ a ; b ] et dérivable sur l'intervalle ] a ; b [ telle que f (a) = f (b). Alors il existe un réel c ] a ; b [ tel que f (c) = 0. Vérifiez que vous connaissez bien le théorème avec ses hypothèses minimales : on apprend par le rapport du jury qu'un tiers seulement des candidats le cite correctement et qu'un tiers l'ignore totalement. 2 Soit a1 < a2 < · · · < ap les p éléments de I en lesquels h est nulle. Étant donné que h est dérivable, on peut appliquer le théorème de Rolle à h entre ai et ai+1 où 1 6 i 6 p - 1. On en déduit l'existence de p - 1 réels bi ] ai ; ai+1 [, où 1 6 i 6 p - 1, tels que h (bi ) = 0. Si h s'annule p fois sur I, h s'annule au moins p - 1 fois sur I. 3 Posons a(x) = x30 h(x) avec h(x) = 3 x-50 +x-40 +4 x-20 +2 x-10 +11. Supposons par l'absurde que la fonction a s'annule au moins 5 fois sur ] 0 ; + [. Il en est de même pour h. La fonction h étant dérivable sur ] 0 ; + [, d'après la question précédente, h s'annule au moins 4 fois sur ] 0 ; + [. Comme h (x) = -150 x-51 - 40 x-41 - 80 x-21 - 20 x-11 = b(x) ceci est contraire à l'hypothèse qui dit que b s'annule trois fois au plus sur ] 0 ; + [. La fonction a s'annule au plus 4 fois sur ] 0 ; + [. Remarquons qu'il est clair sur les expressions de a et b qu'elles ne s'annulent ni l'une ni l'autre sur ] 0 ; + [. Malgré cela on peut quand même démontrer que si b s'était annulée au plus 3 fois, a se serait annulée au plus 4 fois. 4 Démontrons ce résultat par récurrence. Soit n N . On note P(n) la propriété « Pour tout élément (1 , 2 , . . . , n ) de Rn et tout élément (1 , 2 , . . . , n ) de R n , la fonction fn définie sur ] 0 ; + [ par n P fn (x) = k xk s'annule au plus n - 1 fois. » k=1 · La propriété P(1) est vraie car f1 est une application de ] 0 ; + [ dans R définie par f1 (x) = 1 x1 avec 1 réel non nul, donc f1 ne s'annule pas dans ] 0 ; + [. · Soit n > 1. Supposons P(n) vraie et montrons P(n + 1). Comme n+1 n P P fn+1 (x) = k xk = xn+1 f (x) où f (x) = n+1 + k xk -n+1 k=1 k=1 fn+1 et f ont les mêmes zéros. Si fn+1 s'annule n + 1 fois au moins, il en est de même de f et d'après la question 2, f s'annule n fois au moins. De plus, n P f (x) = (k - n+1 ) k xk -n+1 -1 k=1 Pour tout entier k [[ 1 ; n ]], k (k - n+1 ) est un réel non nul et les exposants sont rangés par ordre croissant. La fonction f vérifie donc l'hypothèse de récurrence à l'ordre n et s'annule ainsi au plus n - 1 fois. La contradiction assure que fn+1 s'annule au plus n fois et le résultat est démontré par récurrence.