E3A Maths B PSI 2006

Thème de l'épreuve Déterminant de Vandermonde, produit scalaire de Frobenius et fonction d'Euler
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, espaces euclidiens, intégration

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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F55T & 3 &: CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques B PSI durée 4 heures Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé Exercice 1 On note C l'ensemble des nombres complexes, R l'ensemble des nombres réels et n un entier naturel, 72 Z 2 . 1° Soient al ,a2 , ...... ,a,, des nombres complexes. On note V(al ,a2 , ...... ,a,, ) le déterminant de la matrice carrée d'ordre n telle que, pour ( i, ]) élémlent de {l, 2, ..... ,n,}2 le coefficient situé dans la i-ème ligne et la j--ème colonne vaut 1(on rappelle que aj0 =1). Pour n 23, montrer que: V(al,a2 , ...... ,a") == V(al,a2 , ...... ,an_1) H(a" ----a,--). ISiSn--l Etablir l'égalité : V(a1,a2 , ...... ,a, ) : H(a . - a,) . Les questions 2° et 3° qui suivent sont indépendantes l'une de l'autre. 2° On désigne par E l'espace vectoriel des polynômes en X , à coefficients complexes et de degré inférieur ou égal à n. Soient 20 ,21 , ...... ,À,, des nombres complexes 2 à 2 distincts . Démontrer que ((X + 20)" ,(X + t,)" , ..... ,(X + it,, )" ) est une base de E. 3° Soient x1,x2,î....,xn des nombres réels non nuls, 2 à 2 distincts et c1,c2 , ...... ,c,, des nombres complexes. ixkt _ On considère l'application g de R vers C telle que: g(t)== Zak @ a) Montrer qu 'il existe un réel a strictement positif tel que les n nombres complexes e'ax1 , e'"x2 , ...... , e'ax_" soient 2 à 2 distincts. 1 Tournez la page S.V.P ix1t g(t) Cle ix . g(t + a) 629 2 g(t + 2a) C3eix3 t b) Pour [ réel, on pose : Y (t) = - et X (t) = t + n --- 1 a . g( ( ) ) Chez xn t i) Déterminer une matrice carrée A d'ordre n à coefficients complexes telle que :Y(t) : AX(t). ii) Montrer que la matrice A est inversible. 0) On suppose que g admet une limite L dans C quand t tend vers + oo . i) Démontrer que X (t) admet une limite quand t tend vers + oo . ii) En déduire que pour k élément de { 1,2, ..... , n }, Ck : O . Exercice 2 R est le corps des nombres réels, et n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On note E le R--espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans R, O,, (R) l'ensemble des matrices orthogonales de E et I,, la matrice unité de E. Pour M élément de E, 'M et tr(M ) désignent respectivement la matrice transposée de M et la trace de M. Pour (i, j ) élément de { 1,2, ..... ,n }2 , on note E jj la matrice de E dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé dans la i-ème ligne et la j--ème colonne qui vaut 1. Soient A et B deux éléments fixés de E et f l'endomorphisme de E défini par : VMeE , f(M)=AMB. 1° Soit C un élément de E. Calculer C E ,-j et E ,-j C . On suppose que pour tout M élément de E , CM : MC . Prouver qu'il existe a dans R tel que : C : al,, . 2° Pour M et N appartenant à B, on pose : (M |N > : tr (ÎM N ) Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E. Dans la suite de l'exercice, E est muni de ce produit scalaire. 3° On note f * l'endomorphisme adjoint def. Montrer que : VMeE , f*(M)= "AM tB. 4° Dans cette question on veut déterminer une condition nécessaire et suffisante sur A et B pour que f soit un endomorphisme orthogonal de E. IN a) On suppose que f est un endomorphisme orthogonal de E. i) Prouver que les matrices 'AA et B 'B sont inversibles et que l'une est l'inverse _ « de l'autre. ii) Démontrer qu'il existe un réel a strictement positif tel que 'AA : al,. . b) Démontrer que f est un endomorphisme orthogonal de E si et seulement s'il existe un réel  strictement positif et deux matrices QI et (22 appartenant à On (R) vérifiant: A=ith et B=--ä-- Q2. Exercice 3 Dans cet exercice, R est l'ensemble des nombres réels et n est un entier naturel. +oo 1° Soit I' la fonction numérique de la variable réelle suivante :x ---> I' (x) = I e"' t '" dt . 0 a) Montrer que l'ensemble de définition de I' est ]O,+ oo [. On rappelle que : Jb e"2 dt = --'--/-2----7;--. En déduire :I'G--J : JE . Dans la suite de la question 1°, x désigne un réel strictement positif. b) Pour n _>_ 1 , on considère l'application fn de ]O,+ oo[ vers R définie par : +00 11 f"(t)=(l--%) tx"1 si On. i) Etablir, pour tout réel u, l'inégalité : l+ u .<. e" . ii) Montrer que : lim ... f,, (r) dt : F (x) . n--->+oe 0 1 n x--l c) Onposezl,,(x)=JÛ(l--t) [ dt. +oo Prouver que pour n.>.l,onaz 0 f,.(t)dt=nxln(x) et ln(x)=î n_1(x+l) . x l d) En déduire : F(x) : lim n " -----------------Ï--ï-------------- . n--->+oe x(x + l)(x + 2)...(x + n) 1 2° Soit p un entier naturel non nul et an : Jo (1 --- t p )" dt . a) Prouver que pour n _>_ 1 , on a :an : np(an_1 ----an) . b) En déduire une expression de an en fonction de n et dep ne comportant pas de ) (/p y . pn' c) Etablir l'équivalence: an ... n--->+oe '3-- Tournez la page S.V.P (1) Soit c un élément de]0,l[ .On pose: an (0) = [:(1 --- t p)" dt . Prouver que : an -- an (0) S (l --- cp )" . En déduire l'équivalence : an (c) ... an . n---->+oe 3° Soit g une application de [0,1] vers [0,1] continue, décroissante telle que : g(t) =1--- MP + t%(t) où p est un entier naturel non nul, it un élément de ]0, + oo[ et où lin(1)5(t)= 0 t---> 1 On pose :un : f0(g(t))n dt a) Soit /11 , Àz deux réels tels que :O < Â1 < il < [t2 . i) Justifier l'existence d'un réel c élément de]0,l[ vérifiant : w & [O,c], 0 _<_1--,12cP s1--a2rP _<_ g(t)51--,1er ii)Endéduireque: J(Ï(l--À2tp)"dtSu <(g(c)) +JO (1 Â1tp)" dt iii) Prouver que : 11 a,, (cÀ2%)S un S (g(c))"+ anl(cit %)). ,l2 p all/pan b) Cette question est plus technique et pourra être admise afin d'aborder directement 1 ) (/p Etablir l'équivalence : un «« % n----->+oe p(Ïl/1) P . 1 t " 4° Pour 71 .>. 1 , on cons1dère :vn = J ---- dt . , 0 shi a) Justifier l'existence de vn. b) Déterminer un équivalent de V,, lorsque n tend vers + oo .

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 E3A Maths B PSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bougnol (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (ENS Cachan). Le sujet est composé de trois exercices complètement indépendants : deux d'algèbre et un d'analyse. · On commence les agapes par un exercice d'algèbre. La première question propose de calculer le très classique déterminant de Vandermonde. Les deux questions qui suivent sont des applications plus ou moins directes de ce calcul. La première permet d'établir que la famille (X + k )n k[[0,n]] où les k sont des nombres complexes deux à deux distincts, est une base de Cn [X]. La seconde application -- un peu plus difficile -- se place dans l'ensemble des fonctions de R dans C. Elle permet d'obtenir une condition suffisante pour que la famille de fonctions (t 7 e i xk t )kN soit une famille libre. Cet exercice nécessite une bonne maîtrise du calcul matriciel et permet de voir si les étudiants connaissent les propriétés du déterminant. Il est aussi l'occasion de réviser les nombres complexes. · Le deuxième exercice se place dans l'espace euclidien Mn (R) muni de son produit scalaire canonique. On y étudie un endomorphisme de Mn (R). L'objectif est de déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que cet endomorphisme soit orthogonal. L'ensemble est assez facile : on y trouve beaucoup de questions de cours ou d'applications directes de ce dernier. · Le troisième exercice porte sur la théorie de l'intégration. Il est composé de quatre grandes questions dépendantes les unes des autres. Dans la première, on définit la fonction d'Euler (encore un grand classique). On y établit, via le théorème de convergence dominée, une jolie limite (la formule d'Euler) : x > 0 nx n! n+ x(x + 1) · · · (x + n) (x) = lim La suite de l'exercice se traite uniquement avec le programme de première année. On y trouve essentiellement du calcul intégral et des relations de comparaison. Dans ces questions, on établit des équivalents d'intégrales. En outre, on obtient une très jolie formule donnant un équivalent simple (faisant inZ 1 tervenir la fonction ) de g(t)n dt lorsque n tend vers +, sous certaines 0 conditions portant sur la fonction g. La moitié des questions du sujet portent sur le programme de première année. C'est une tendance de plus en plus répandue ces dernières années. Les quelques heures passées à « plancher » sur ce sujet constituent un bon entraînement pour vous assurer que vos connaissances de première année sont solides, car elles seront nécessaires pour affronter les sujets proposés à la fin du printemps. Indications Exercice 1 1 Montrer que l'on peut remplacer la dernière ligne du déterminant par la ligne P(a1 ), P(a2 ), . . . , P(an ) où P est un polynôme unitaire de degré n-1. Choisir ensuite le polynôme idoine pour développer facilement le déterminant par rapport à la dernière ligne. 2 Développer (X+k )n et calculer le déterminant de la famille (X+k )n k[[0,n]] dans la base (Xn , Xn-1 , . . . , X, 1). 3.a Choisir de manière à ce que tous les xk appartiennent à un même intervalle ouvert de longueur 2. 3.b.i Développer g(t + k) en une combinaison linéaire de termes de la forme e i xk . 3.c.i Exprimer X(t) en fonction de Y(t). 3.c.ii Raisonner par l'absurde en supposant l'un des ck non nul afin d'obtenir une contradiction avec la question 3.c.i. Exercice 2 1 Regarder l'égalité C M = M C lorsque M est une matrice de la base canonique de Mn (R). 3 L'endomorphisme f est défini par (M, N) Mn (R)2 hf (M)|Ni = hM|f (N)i 4.a.i Exploiter la relation f f (M) = M. 4.a.ii En partant de f f (M) = M, remarquer que t A A commute avec toutes les matrices de Mn (R). 4.b Remarquer que les matrices A/ a et a B sont orthogonales. Exercice 3 1.a Pour le calcul de (1/2), faire le changement de variable t = u2 . 1.b.i Utiliser la convexité de la fonction exponentielle. 1.b.ii Appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (fn ). 1.c Pour la première égalité faire le changement de variable t = nu. Pour la seconde relation effectuer une intégration par parties. 1.d Montrer par récurrence que pour tout n N et pour tout x > 0 n! In (x) = n (x + k) k=0 2.a Faire une intégration par parties. n 2.b Calculer le produit télescopique ak k=1 a . k-1 2.c Faire apparaître le terme de la question 1.d dans le terme général an . 2.d Montrer que (1 - cp )n = o(an ) et revenir à la définition des suites équivalentes. 3.a.i Commencer par chercher une condition nécessaire et suffisante sur c pour que 1 - 2 cp > 0. Remarquer que 1 - g(t) --- x0 tp et revenir à la définition de la limite. 3.a.ii Intégrer l'inégalité de la question 3.a.i puis établir que g(t)n 6 g(c)n pour tout t [ c ; 1 ]. 3.a.iii Montrer dans un premier temps que 1/p un ---- 1 an c 1/p n Pour cela on revient à la définition de la limite à l'aide de . On établit dans un premier temps que 1/p a c 1/p 1/p a c 1/p 1/p 1/p n n 2 n 1 un g(c) 1 6 6 + 2 1 an c 1/p an c 1/p an c 1/p an c 1/p On exploite ensuite le fait que l'on peut choisir 1 et 2 aussi proches de que l'on veut et l'équivalent de la question 2.d. 4.a Remarquer simplement que l'intégrande est prolongeable par continuité en 0. 4.b Établir que la fonction t 7 t/ sh (t) vérifie toutes les contraintes explicitées au début de la question 3. On montre que la dérivée a le même signe que th (t) - t puis on utilise des arguments de convexité. Exercice 1 1 L'objectif de la première question 1 a1 .. . a1 n-1 est le calcul du déterminant de la matrice 1 ··· 1 a2 ··· an .. .. . . a2 n-1 · · · an n-1 Commençons donc par le calcul du « fameux » déterminant de Vandermonde. Même si celui-ci n'apparaît pas explicitement dans le programme de la filière PSI, son calcul a été probablement fait en cours ou lors de travaux dirigés. Il s'agit donc de le rédiger proprement pour faire bonne impression sur le correcteur. Par conséquent, on évite de faire un raisonnement de proche en proche une fois la formule récurrente établie mais un raisonnement par récurrence rigoureux. Il ne faut pas perdre de vue que la première question va conditionner la bienveillance du correcteur durant toute la correction de la copie : vous devez y apporter un soin tout particulier. Le déterminant étant une forme n-linéaire alternée, sa valeur ne change pas si on ajoute à la dernière ligne une combinaison linéaire des autres. L'idée est de se ramener à une dernière ligne avec un seul coefficient non nul. On considère le polynôme n-1 P= (X - ak ) = Xn-1 + n-2 Xn-2 + · · · + 1 X + 0 k=1 où (0 , 1 , . . . , n-2 ) Cn-1 . On effectue l'opération élémentaire n-2 P Ln Ln + k Lk+1 k=0 On obtient V (a1 , . . . , an ) = 1 a1 .. . 1 a2 .. . ··· ··· 1 an-1 1 an .. . n-2 a1 n-2 a2 n-2 · · · an-1 an n-2 P (a1 ) P (a2 ) · · · P (an-1 ) P (an ) puis, comme a1 , . . . , an-1 sont racines de P, V (a1 , . . . , an ) = 1 a1 .. . 1 a2 .. . ··· ··· a1 n-2 0 a2 n-2 0 1 an-1 1 an .. . n-2 · · · an-1 ··· 0 an n-2 P (an ) En développant ce déterminant par rapport à la dernière ligne, on obtient bien n-1 V (a1 , . . . , an ) = V (a1 , . . . , an-1 ) (an - ak ) k=1 Pour établir la formule générale, raisonnons par récurrence. On définit, pour n N, n > 2, la propriété P(n) : « V (a1 , . . . , an ) = 16i