e3a Mathématiques PSI 2025

SESSION 2025

PSI8M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI
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MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

1/4

EXERCICE 1
On rappelle qu'une fonction f définie sur un intervalle I de R est décroissante 
sur I si :
 (x, y)  I 2 , x  y  f (x)  f (y)

Pour tout n  N et tout x  R, on pose un (x) = e-x

n

.

1. Déterminer l'ensemble D des x  R pour lesquels la série  un (x) converge.
+

n1

On note alors, pour tout x  D, f (x) =  un (x).
n=1

2. Montrer, sans calculer sa dérivée, que la fonction f est décroissante sur D.

3. Montrer que la série de fonctions  un converge normalement sur [1, +[.
4. Déterminer alors lim f (x).

n1

x+

+

e- n
5. Soit J = 
f (t) dt. Montrer que l'intégrale J converge et prouver que J =   .
1
n
n=1
Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et on s'assurera que leurs 
hypothèses sont bien
vérifiées.
+

EXERCICE 2
Question de cours
1. Soit u une fonction réelle de la variable réelle, de classe C 1 sur R et qui 
ne s'annule pas.
u (x)
Déterminer une primitive de la fonction x 
.
u(x)
*****

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on note En = Rn [X] l'espace 
vectoriel des polynômes
de degré inférieur ou égal à n à coefficients réels.
Pour tout k  0, n, on note Pk (X) = X k et on rappelle que B = (P0 , P1 , ..., 
Pn ) est une base de En .
On considère l'application f qui à tout polynôme P  En , associe le polynôme : 
P (X) - 4X P (X),
c'est-à-dire que :
f (P) = P - 4X P
2. Étude de f

2.1. Justifier que f est un endomorphisme de En .

2.2. Déterminer la matrice M de f dans la base B de En . Expliciter cette 
matrice dans le cas n = 3.
2.3. Prouver que f est diagonalisable et préciser la dimension de ses 
sous-espaces propres.
2.4. Soit P un vecteur propre associé à la valeur propre . Montrer que  = - 4 
deg(P).

2.5. En déduire que pour tout p  0, n, il existe un unique polynôme unitaire H 
p , de degré p et tel
que :
f (H p ) = - 4p H p
On rappelle qu'un polynôme est unitaire lorsque son coefficient dominant vaut 1.
2/4

3. Étude de H p pour p  0, n
3.1. Démontrer que l'on a :

3.2. En déduire que :
et que :

 p  1, n, f (H p ) = -4(p - 1) H p
 p  1, n, H p = p H p-1

 p  2, n, H p - X H p-1 +

3.3. Déterminer H j pour tout j  0, 3.

p-1
H p-2 = 0
4

4. On note U l'ouvert de R3 défini par :
U = {(x, y, z)  R3 , x  y et y  z et z  x}

Soit alors G la fonction définie sur U par :

 m = (x, y, z)  U, G(m) = x2 + y2 + z2 - ln x - y - ln y - z - ln z - x

4.1. Établir que m0 = (a, b, c) est un point critique de G si, et seulement si, 
(a, b, c) est solution du
système :

2a(a - c)(a - b) = 2a - b - c (L1 )

(S )  2b(b - a)(b - c) = 2b - a - c (L2 )

 2c(c - a)(c - b) = 2c - a - b (L3 )

On ne cherchera pas à résoudre le système (S ).
4.2. On note Q = (X - a)(X - b)(X - c).

4.2.1. Déterminer les coefficients du polynôme Q.

4.2.2. Montrer que (L1 ) équivaut au fait que a est racine de f (Q).
On admettra dans la suite que :

« (a, b, c) est solution du système (S ) » équivaut à « f (Q) admet pour 
racines a, b et c ».

4.3. Prouver que si m0 = (a, b, c) est un point critique de G, alors f (Q) = 
-12 Q.

4.4. Déterminer alors le polynôme Q.

4.5. En déduire les points critiques de G.

3/4

EXERCICE 3
Soient r un nombre réel non nul, n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et 
Mr la matrice de Mn (R)
définie par :
1 r  r 
r 1   

Mr = 
    r
 r  r 1

On munit l'espace vectoriel Rn de son produit scalaire canonique.
On note enfin J la matrice de Mn (R) dont tous les éléments sont égaux à 1.
1. Exprimer J 2 en fonction de J.

2. En déduire, selon les valeurs de l'entier naturel , l'expression de J  .
3. Déterminer une base de Im(J) et le rang de la matrice J.
4. Déterminer une base de Ker(J).

5. Justifier que la matrice J est diagonalisable dans Mn (R).

6. Déterminer les valeurs propres ainsi que les sous-espaces propres de la 
matrice J.
7. Déterminer une matrice diagonale D semblable à J.

8. Démontrer que Im(J) et Ker(J) sont deux sous-espaces orthogonaux 
supplémentaires dans Rn .

9. Justifier que Mr  Vect(In , J).

10. Soit k  N. Déterminer explicitement deux réels k et k tels que (Mr )k = k 
In + k J.
On exprimera le résultat sans le symbole .
11. Montrer que la matrice Mr est diagonalisable dans Mn (R).
12. Déterminer une matrice r diagonale semblable à Mr .
13. Dans cette question, on prend n = 3.

13.1. Déterminer une matrice P inversible telle que :

13.2. Résoudre le système différentiel : Y  = r Y.

13.3. En déduire les solutions du système différentiel : Z  = Mr Z.

FIN

4/4

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 25 1061 ­ D'après documents fournis

r = P-1 Mr P, où r = diag(1 , 2 , 3 ) avec 1 = 2 .