e3a Maths 1 PSI 2022

Thème de l'épreuve Endomorphisme de ℝn[X], équation différentielle et matrices orthotransposables
Principaux outils utilisés polynômes, séries numériques, probabilités, réduction des endomorphismes, équations différentielles, intégration, séries entières
Mots clefs orthotransposable, télescopage, espérance, variance, division euclidienne, automorphisme, polynôme, multiplicité, sous-espace propre, périodique

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SESSION 2022 (> PSI8M

NES
e3a

POLYTECH'

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

-< Ne pas utiliser de correcteur. -_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont interdites Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. 1/5 EXERCICE 1 1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout entier naturel n non nul, on a : 3 _4, b nn+3) n (n+3) 2. Déterminer le nombre réel a tel qu'il existe une variable aléatoire X à valeurs dans N° vérifiant : 3 nn + Dn+2n+3) VneN", P(X =n) = 3. Espérance et variance de X 3.1. Après avoir justifié son existence, déterminer l'espérance E(X) de la variable aléatoire X. On pourra utiliser l'égalité : 2 = (n +3) -- (n + 1) afin d'introduire un télescopage. 3.2. Déterminer E(X(X + 1)). 3.3. En déduire la variance V(X) de la variable aléatoire X. EXERCICE 2 Soient 7 un entier naturel non nul et E, = R,[X|. r 1. Soient g un réel et r un entier non nul. Donner, sans démonstration, une autre expression de > q.
k=0
2. Soit p un entier non nul.

Déterminer, dans R[X1], le reste et le quotient de la division euclidienne de 
X? -- I par X -- 1.
3. SoitPeE,.

Montrer qu'il existe un unique polynôme © de FE, tel que :

I X
VxÆl, O(x)= ---- P(?) df.
x-- | 1
On définit ainsi une application f : PH Q.

4. Prouver que f est un endomorphisme de E, .

5. Montrer que f est un automorphisme de FE, et déterminer, pour tout © de E,, 
le polynôme f "1(Q)
à l'aide de © et de ses dérivées.

6. Soit À la matrice de f dans la base canonique Z de E, .
Déterminer À et A7!.

7. Déterminer les spectres des matrices À et A"!.
8. Les matrices À et A7! sont-elles diagonalisables ?

9. Soit « EUR C une racine d'ordre de multiplicité k EUR N° d'un polynôme Q de 
E,.
À quelles conditions & est-il racine de f '(Q) et avec quel ordre de 
multiplicité ?
On pourra étudier les cas a = leta #1.

10. Déterminer les sous-espaces propres de f"!.

11. Montrer que les sous-espaces propres de f"! sont aussi les sous-espaces 
propres de f.

2/5
EXERCICE 3

1. Question de cours

Soit f une fonction continue sur R, à valeurs réelles et 7 ---périodique.
x+T

T
Montrer que : VxeRk, f(u) du = [ f(u) du.
0

X

+ Æ % 2% % *

On se propose de déterminer des fonctions y de classe C? sur R et vérifiant, 
pour tout réel x, la relation :
xy (x) +y (x) --4xy(x) = 0. (++)

2. On suppose qu'il existe une fonction g, développable en série entière, de 
rayon de convergence non

+00

nul, vérifiant (++), sous la forme g(x) = > a, x" et telle que g(0) = ao = I.
n=0
2.1. Prouver que a; = 0 et déterminer pour tout n > 1 une relation entre a, et 
a,_1.

2.2. Déterminer alors a, pour tout entier naturel n.
2.3. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction g ainsi obtenue.

Soit F la fonction définie sur R par :

1 27
F:xtk F(x) = 5x [ exp (2x cos(f)) df.
JT Jo

3. Quelques propriétés de la fonction F
3.1. Étudier la parité de la fonction F.
On pourra utiliser le changement de variable u = x -- ft et la question de 
cours.
3.2. Pour tout couple (x, f) de R X [0, 2x], on pose A(x, f) = exp (2x cos(f)).

3.2.1. Justifier que h est C' sur R x [0, 2x].

k
3.2.2. Prouver que pour k non nul, la fonction A existe et est continue sur R x 
[0, 2x].

x£
3.2.3. Soit Z un segment de R. Montrer que pour tout entier k non nul, il 
existe un réel positif
M, tel que :
0h
V(x, 1) E LX [0,27], 0 < ax t)| < M... X 3.2.4. En déduire que F est de classe C" sur R. 3.2.5. Donner pour tout x réel et tout k EUR N* une expression de F°(x) sous la forme d'une intégrale. 3.3. Démontrer que F vérifie la relation (++). 3/5 4, Développement en série entière de F 4.1. Donner le développement en série entière au voisinage de zéro de la fonction exponentielle et son domaine de validité. 4,2. En utilisant la question précédente, montrer qu'il existe une suite (J,),:\ de réels tels que : +00 VxeR, F(x)= > x
n=0
27
où /, S'exprime simplement à l'aide de l'intégrale J, = [ cos"(f) df.
0
On citera les théorèmes utilisés en s'assurant que toutes leurs hypothèses sont 
bien vérifiées.
4,3. Calculer J, et J..
44. Soit n > 2. Déterminer une relation de récurrence entre J, et J,_».
4.5. En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de J, en fonction 
de n.

4.6. Comparer alors les fonctions F et g.

EXERCICE 4

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

MAR) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre n, à coefficients réels.
O, et 1, sont respectivement la matrice nulle et la matrice unité de .#,(R).
On note enfin O,(R) l'ensemble des matrices orthogonales de .#,(R).

1. Question de cours
Démontrer que O,(R) est stable pour la transposition et pour la multiplication 
matricielle.

+ Æ % 2% % *

Partie 1

2. Soient À et B deux éléments de .#,(R) et À un réel.
On considère les matrices par blocs de taille 2n :

A1, -B _{L B
u=[" F a v=( ui]

2.1. Calculer UV et VU.
2.2. Démontrer que AB et BA ont le même polynôme caractéristique.

3. Justifier que pour toute matrice M EUR .#,(R), la matrice M' M est 
diagonalisable dans une base
orthonormale de R" muni de son produit scalaire canonique.

4, En déduire qu'il existe une matrice orthogonale R EUR O, (R) telle que : M! 
M = R' MM'R.

4/5
Partie 2

On note A, l'ensemble des matrices M de .#,{R) pour lesquelles il existe une 
matrice Q dans O,(R)
vérifiant : O0' M Q = M. Une telle matrice M sera dite orthotransposable.

On rappelle que si S, est le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de 
.#,(R) et si A, est le
sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de .#,(R), on a :

MR) = S,8AÀ,.

5. Montrer que S, est inclus dans À,.
6. Démontrer que : VAE A,et VO EO,(R), Q°'AQ EUR A, .
7. Soit M E HR).

Prouver qu'il existe une matrice T EUR O,(R), une matrice D diagonale et une 
matrice À EUR A, telles
que :

M = T(D + AT !.

8. Cas n = 2 : on démontre que toute matrice de .#2(R) est orthotransposable

8.1. Déterminer toutes les matrices à la fois orthogonales et diagonales de 
.Æ5(R).

8.2. On considère le sous-espace vectoriel de .#3(R) : £ -- (5 ë] (a, b,c) EUR 
w}

Déterminer alors une matrice W orthogonale et diagonale telle que :
VLEL,L'=W'LW.

8.3. En utilisant la question 7, démontrer que toute matrice de .#2(R) est 
orthotransposable.

9. On revient au cas général et on suppose à présent que n est impair
Pour toutes matrices À et B de .#,(R), on note [A, B] = AB -- BA.

9.1. Montrer que si M EUR À, , alors [M?, M] est semblable à son opposée.
9.2. En déduire que si M EUR À, , alors det ([M 1 M]) = (0.

FIN

5/5