e3a Maths 1 PSI 2021

Thème de l'épreuve Quatre exercices indépendants
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction des endomorphismes, intégration, séries entières, équations différentielles, probabilités
Mots clefs espace vectoriel de fonctions, suite de Fibonacci, loi de Poisson, série entière définie avec une intégrale, réduction théorique

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SESSION 2021 EUR y PSISM

NES
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/4
Exercice 1

On note F l'espace vectoriel des fonctions définies sur J =] -- 1, + à valeurs 
réelles.
Soit p EUR N. Pour tout &k EUR [ --1,p I, on définit les fonctions jf, sur J 
par :

VxeJ, f(x) =In(i+x) et VKkEeT[O0,p], f(x) =

(1 + x)
1. Étude du sous-espace vectoriel engendré par ces fonctions
P
1.1. Soient (az )rer-1,97 des réels tels que > az 4 est la fonction nulle.
k=-1

Démontrer que a_; = 0.

1.2. Démontrer alors que la famille Z = (fr)xeg -1.py est libre.
On note E = Vect(Z).

1.3. En déduire la dimension de E.

2. On note u l'application qui à toute fonction f de E associe la fonction g 
définie sur J par :
VxeJ, g(x) = (1 + x) f'(x.

2.1. Déterminer, pour tout k EUR [-1, p]|, les images de f4 par u.
2.2. Vérifier que u est un endomorphisme de E.
2.3. Déterminer le noyau et l'image de u.
2.4. Préciser u ! ({ f-1}), l'ensemble des antécédents de f_:.
2.5. Déterminer la matrice M de u dans la base Z.
2.6. L'endomorphisme u est-1l diagonalisable ?
2.7. L'endomorphisme u" est-il diagonalisable ?
3. Résoudre sur J l'équation différentielle (ED) f_,(r) = (1 + ?) y'(®).

4, Soit h; la solution de l'équation différentielle (ED) nulle en zéro.

4.1. On note h; la solution de l'équation différentielle h,(f) = (1 + r) y'(f) 
nulle en zéro.
Expliciter A3.
4.2. En itérant le procédé, on note pour tout entier naturel k > 2, h, la 
solution nulle en zéro de
l'équation différentielle h4_1() = (1 + #) y'(P).
Expliciter Az.
5. Étude de la série de fonction > hx
k>2

5.1. Montrer que la série de fonctions > h,; converge simplement sur J et 
calculer sa somme 7.
k>2
5.2. La fonction H est-elle dans E ?

5.3. En utilisant la question 5.1, vérifier que H est dérivable et que H" EUR E.

2/4
Exercice 2
On note S l'ensemble des suites réelles (u,),ex vérifiant la relation :
VnEN, uUyi5 = Uyii + Un.

1. On note y la racine positive du trinôme x° -- x -- 1.

. I
Justifier que y > 1 et que la deuxième racine est ----.

Y
2. On considère la suite réelle (y,),ex de S vérifiant : yo = 0, y; = I.

Parmi les réponses proposées, une seule est l'expression correcte de y, valable 
pour tout entier
naturel n. Laquelle ?

n _| n+]1 _| n+1l, ,n 1 n _| n+]1
V5 y Vs V5 y V5

y" V5
3. Soit (X,),en une suite de variables aléatoires définie par :

(A) y» =

(2) yn

ue)

e X, et X, sont indépendantes et suivent toutes les deux une loi de Poisson de 
paramètres
respectifs À > 0 et u > Ü;

e pour tout entier naturel ñ : Xy15 = Xyry + X y.

3.1. Montrer que la variable aléatoire X, suit une loi de Poisson dont on 
déterminera le para-
mètre.

3.2. Démontrer que les deux variables aléatoires X, et X, ne sont pas 
indépendantes.

3.3. Montrer que : Vn EN", X, = ys_1 Xo + Yu X1.

3.4. Étude de l'espérance de la variable aléatoire X ppourpeN

3.4.1. Soit p EUR N. Justifier que la variable aléatoire X, possède une 
espérance que l'on
notera x, et la calculer en fonction de 1, u et de termes de la suite (y, ren.

3.4.2. Déterminer un équivalent de x, lorsque p tend vers l'infini.

3.5. Soit p EUR N. Justifier que la variable aléatoire X, possède une variance 
que l'on notera
V(X,) et la calculer en fonction de A, u et de termes de la suite (y, )ren.

3.6. Soient p et g deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.

Calculer, en fonction de 2, 4 et de termes de la suite (y, 1e, la covariance 
Cov(X,, X,) des
deux variables aléatoires X, et X,.

Que peut-on en conclure ?

Exercice 3

+00
Pour tout entier naturel r non nul, on pose : /, = [ exp (--f") dr.
I

1. Justifier, pour tout n EUR N", l'existence de J,.

2. En citant précisément le théorème utilisé, justifier l'existence et 
déterminer la limite de la suite
(pen:

3. En le justifiant, effectuer le changement de variable uw = f" dans ,.

3/4
4, Déterminer alors lim n1,.

n-- +00

On donnera le résultat en fonction d'une intégrale J que l'on ne cherchera pas 
à calculer.
5. En déduire un équivalent de /, au voisinage de + en fonction de J.
6. On considère la série entière > 1,x".

n>1
6.1. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière.

6.2. On pose pour tout x réel et lorsque cela est possible f(x) = > 1,Xx".
n>1
Donner l'ensemble de définition de f.

Exercice 4

Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie n > 1, u un endomorphisme de 
E, m e N° et
A, An M nombres complexes distincts deux à deux.

1. On suppose que u est diagonalisable et que son spectre est {A;,...., Au}.

m

On rappelle que dans ce cas, E = S E ; où chaque E'; est le sous-espace propre 
associé à la
j=1

valeur propre À,;.

Montrer qu'il existe des projecteurs de E, (p;) jepi my nOn nuls, tels que :

VKEN, = ip; (®).
j=1
2. Dans cette question, on ne suppose plus z diagonalisable.
On suppose cependant qu'il existe une suite d'endomorphismes (p ;) ji my de E, 
non nuls et que
la suite de scalaires (1;) ;eq1my Vérifie (+).

2.1. Vérifier que l'on a : VY P E CIX], P(u) = > PQ) p;.
j=1
2.2. Montrer que u est diagonalisable.
On pourra chercher un polynôme annulateur de u scindé à racines simples.
| A | 7 X-À
2.3. Pour tout j; EUR [1,71], on considère le polynôme L;(X) -- IE
ae; 0 4

2.3.1. Déterminer, pour tout couple (5, j) EUR [[1, ml], L j(di).
2.3.2. Prouver que la famille Z = (L;) pi my St une base de C,,_[X].

2.3.3. Soit P e C,_[X1]. Déterminer les composantes de P dans la base Z.
2.4. Prouver que l''ona:Vjefl,ml, p; = L;(u).

2.5. Démontrer enfin que les 1; sont les valeurs propres de l'endomorphisme u.

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 211172 - D'après documents fournis