e3a Maths 1 PSI 2021

Corrigé

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SESSION 2021 EUR y PSISM

NES
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/4
Exercice 1

On note F l'espace vectoriel des fonctions définies sur J =] -- 1, + à valeurs 
réelles.
Soit p EUR N. Pour tout &k EUR [ --1,p I, on définit les fonctions jf, sur J 
par :

VxeJ, f(x) =In(i+x) et VKkEeT[O0,p], f(x) =

(1 + x)
1. Étude du sous-espace vectoriel engendré par ces fonctions
P
1.1. Soient (az )rer-1,97 des réels tels que > az 4 est la fonction nulle.
k=-1

Démontrer que a_; = 0.

1.2. Démontrer alors que la famille Z = (fr)xeg -1.py est libre.
On note E = Vect(Z).

1.3. En déduire la dimension de E.

2. On note u l'application qui à toute fonction f de E associe la fonction g 
définie sur J par :
VxeJ, g(x) = (1 + x) f'(x.

2.1. Déterminer, pour tout k EUR [-1, p]|, les images de f4 par u.
2.2. Vérifier que u est un endomorphisme de E.
2.3. Déterminer le noyau et l'image de u.
2.4. Préciser u ! ({ f-1}), l'ensemble des antécédents de f_:.
2.5. Déterminer la matrice M de u dans la base Z.
2.6. L'endomorphisme u est-1l diagonalisable ?
2.7. L'endomorphisme u" est-il diagonalisable ?
3. Résoudre sur J l'équation différentielle (ED) f_,(r) = (1 + ?) y'(®).

4, Soit h; la solution de l'équation différentielle (ED) nulle en zéro.

4.1. On note h; la solution de l'équation différentielle h,(f) = (1 + r) y'(f) 
nulle en zéro.
Expliciter A3.
4.2. En itérant le procédé, on note pour tout entier naturel k > 2, h, la 
solution nulle en zéro de
l'équation différentielle h4_1() = (1 + #) y'(P).
Expliciter Az.
5. Étude de la série de fonction > hx
k>2

5.1. Montrer que la série de fonctions > h,; converge simplement sur J et 
calculer sa somme 7.
k>2
5.2. La fonction H est-elle dans E ?

5.3. En utilisant la question 5.1, vérifier que H est dérivable et que H" EUR E.

2/4
Exercice 2
On note S l'ensemble des suites réelles (u,),ex vérifiant la relation :
VnEN, uUyi5 = Uyii + Un.

1. On note y la racine positive du trinôme x° -- x -- 1.

. I
Justifier que y > 1 et que la deuxième racine est ----.

Y
2. On considère la suite réelle (y,),ex de S vérifiant : yo = 0, y; = I.

Parmi les réponses proposées, une seule est l'expression correcte de y, valable 
pour tout entier
naturel n. Laquelle ?

n _| n+]1 _| n+1l, ,n 1 n _| n+]1
V5 y Vs V5 y V5

y" V5
3. Soit (X,),en une suite de variables aléatoires définie par :

(A) y» =

(2) yn

ue)

e X, et X, sont indépendantes et suivent toutes les deux une loi de Poisson de 
paramètres
respectifs À > 0 et u > Ü;

e pour tout entier naturel ñ : Xy15 = Xyry + X y.

3.1. Montrer que la variable aléatoire X, suit une loi de Poisson dont on 
déterminera le para-
mètre.

3.2. Démontrer que les deux variables aléatoires X, et X, ne sont pas 
indépendantes.

3.3. Montrer que : Vn EN", X, = ys_1 Xo + Yu X1.

3.4. Étude de l'espérance de la variable aléatoire X ppourpeN

3.4.1. Soit p EUR N. Justifier que la variable aléatoire X, possède une 
espérance que l'on
notera x, et la calculer en fonction de 1, u et de termes de la suite (y, ren.

3.4.2. Déterminer un équivalent de x, lorsque p tend vers l'infini.

3.5. Soit p EUR N. Justifier que la variable aléatoire X, possède une variance 
que l'on notera
V(X,) et la calculer en fonction de A, u et de termes de la suite (y, )ren.

3.6. Soient p et g deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.

Calculer, en fonction de 2, 4 et de termes de la suite (y, 1e, la covariance 
Cov(X,, X,) des
deux variables aléatoires X, et X,.

Que peut-on en conclure ?

Exercice 3

+00
Pour tout entier naturel r non nul, on pose : /, = [ exp (--f") dr.
I

1. Justifier, pour tout n EUR N", l'existence de J,.

2. En citant précisément le théorème utilisé, justifier l'existence et 
déterminer la limite de la suite
(pen:

3. En le justifiant, effectuer le changement de variable uw = f" dans ,.

3/4
4, Déterminer alors lim n1,.

n-- +00

On donnera le résultat en fonction d'une intégrale J que l'on ne cherchera pas 
à calculer.
5. En déduire un équivalent de /, au voisinage de + en fonction de J.
6. On considère la série entière > 1,x".

n>1
6.1. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière.

6.2. On pose pour tout x réel et lorsque cela est possible f(x) = > 1,Xx".
n>1
Donner l'ensemble de définition de f.

Exercice 4

Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie n > 1, u un endomorphisme de 
E, m e N° et
A, An M nombres complexes distincts deux à deux.

1. On suppose que u est diagonalisable et que son spectre est {A;,...., Au}.

m

On rappelle que dans ce cas, E = S E ; où chaque E'; est le sous-espace propre 
associé à la
j=1

valeur propre À,;.

Montrer qu'il existe des projecteurs de E, (p;) jepi my nOn nuls, tels que :

VKEN, = ip; (®).
j=1
2. Dans cette question, on ne suppose plus z diagonalisable.
On suppose cependant qu'il existe une suite d'endomorphismes (p ;) ji my de E, 
non nuls et que
la suite de scalaires (1;) ;eq1my Vérifie (+).

2.1. Vérifier que l'on a : VY P E CIX], P(u) = > PQ) p;.
j=1
2.2. Montrer que u est diagonalisable.
On pourra chercher un polynôme annulateur de u scindé à racines simples.
| A | 7 X-À
2.3. Pour tout j; EUR [1,71], on considère le polynôme L;(X) -- IE
ae; 0 4

2.3.1. Déterminer, pour tout couple (5, j) EUR [[1, ml], L j(di).
2.3.2. Prouver que la famille Z = (L;) pi my St une base de C,,_[X].

2.3.3. Soit P e C,_[X1]. Déterminer les composantes de P dans la base Z.
2.4. Prouver que l''ona:Vjefl,ml, p; = L;(u).

2.5. Démontrer enfin que les 1; sont les valeurs propres de l'endomorphisme u.

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 211172 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Mathématiques PSI 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémi Pellerin (ENS Lyon) ; il a été relu par Angèle
Niclas (ENS Lyon) et Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l'université).

Ce sujet se compose de quatre exercices indépendants qui portent chacun sur des
parties différentes du programme.
· Le premier exercice propose l'étude d'un espace vectoriel de fonctions 
dérivables à valeurs réelles. On montre en particulier qu'un tel espace n'est 
pas
toujours stable pour la dérivation et ne contient pas forcément les limites de
ses séries simplement convergentes. Les questions 3 et 4 font appel au cours sur
les équations différentielles.
· Dans le deuxième exercice, on commence par montrer des résultats classiques
sur la suite de Fibonacci. Une application est ensuite proposée pour étudier
une suite de variables aléatoires définie par la relation de récurrence
n  N

Xn+2 = Xn+1 + Xn

· Le troisième
porte sur l'étude du domaine de convergence de la série
P exercice
entière
In xn où
Z +
In =
exp(-tn ) dt
1

On y utilise les principaux résultats du cours d'intégration.
· Enfin, le dernier exercice traite de réduction d'endomorphismes. On y établit,
à l'aide notamment des polynômes interpolateurs de Lagrange, le résultat 
suivant : pour tout C-espace vectoriel E de dimension finie, tout u  L (E) et 
tous
complexes distincts deux à deux 1 , . . . , m , l'endomorphisme u est 
diagonalisable de spectre {1 , . . . , m } si et seulement si
p1 , . . . , pm  L (E) k  N

uk =

m
P

j k pj

j=1

Ce sujet est excellent pour les révisions. Il n'est pas très difficile, et 
permet de
revoir les principaux théorèmes du cours d'analyse (intégration, équations 
différentielles, probabilités, suites récurrentes, séries entières) et du cours 
d'algèbre linéaire.
Les questions sont un peu plus délicates à la fin des exercices mais l'ensemble 
du
sujet pouvait être traité dans le temps imparti. Il avait sans doute été conçu 
pour sélectionner les candidats à l'aise avec l'ensemble du programme. De ce 
fait, il convient
aussi aux révisions des élèves d'autres filières.

Indications
Exercice 1
1.1 Raisonner par l'absurde et faire tendre x vers +.
1.2 Utiliser la question précédente puis montrer que a0 = 0, a1 = 0, etc. On 
pourra
multiplier la somme par (1 + x)p .
2.3 Utiliser la question 2.1 en exprimant les images des éléments de B par u en
fonctions de f0 , . . . , fp .
2.4 Montrer u-1 ({f-1 }) =  en utilisant la question 2.3.
2.6 En utilisant la question précédente, calculer le polynôme caractéristique 
de u et
raisonner sur la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 0.
Utiliser la question 2.3 pour conclure.
2.7 Utiliser la question 2.1 ou bien la question 2.5.
4.2 Montrer par récurrence sur k que
k > 2

x  J

hk (x) =

1
ln(1 + x)k
k!

5.2 Raisonner par l'absurde en remarquant que si H  E, alors (x 7 x)  E.
Obtenir une contradiction en justifiant que
f  E

lim

x+

f (x)
=0
1+x

Exercice 2
1 Remarquer que pour tous a, b  C, (X - a)(X - b) = X2 - (a + b)X - ab.

2 On pourra remarquer que  + 1/ = 5.
3.2 Montrer que P(X2 = 0 | X1 = 0) 6= P(X2 = 0).
3.4.1 Une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre  a une 
espérance (et une variance) qui vaut .

3.4.2 Utiliser les questions 1 et 2 pour justifier que yn   n / 5 puis en dén+

duire que
 p-1
p
xp =   +  µ + o ( p )
p+
5
5
3.5 Une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre  a une 
variance
(et une espérance) qui vaut . De plus, si X et Y sont des variables aléatoires
indépendantes, alors V(X + Y) = V(X) + V(Y).
3.6 Rappelons que si X et Y sont deux variables aléatoires sur un même espace
probabilisé, Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y). De plus, si X et Y sont 
indépendantes, alors Cov(X, Y) = 0.

Exercice 3
2 Utiliser le théorème de convergence dominée. On pourra établir que
t > 1

n

e -t 6

2
t2

4 Utiliser de nouveau le théorème de convergence dominée.
6.1 Si les suites des coefficients de deux séries entières sont équivalentes, 
alors ces
séries ont le même rayon de convergence.
6.2 Utiliser le critère des séries alternées pour montrer que f est définie en 
-1.
Exercice 4
1 Considérer une famille de projecteurs associée à la décomposition de E en
somme directe d'espaces propres de u.
m
Q
2.2 Montrer que le polynôme u =
(X - i ) vérifie u (u) = 0L (E) .
j=1

2.3.2 Utiliser la question précédente pour montrer que la famille B = (Lj )j[[ 
1 ; m ]]
est libre.
2.3.3 Utiliser la question 2.3.1 pour montrer que
 P  C[X]

P=

m
P

P(j ) Lj

j=1

2.4 Fixer i  [[ 1 ; m ]] et utiliser les résultats des questions 2.1 et 2.3.3 
avec P = Li .
2.5 Remarquer tout d'abord que sp u  {1 , . . . , m }. Pour obtenir l'égalité, 
montrer que les pi donnés par la relation () sont des projecteurs en examinant
leurs valeurs propres, puis que tout vecteur yi  Im (pi ) non nul est propre
pour u et i . Pour cela, on pourra établir que pj  pi = 0L (E) si i 6= j.

Exercice 1
p
P

1.1 Soient (ak )k[[ -1 ; p ]] des réels tels que

ak fk est la fonction nulle. Raisonnons

k=-1

par l'absurde et supposons que a-1 6= 0. Dès lors,
x  J

a-1 ln(1 + x) +

p
X
k=0

ak
=0
(1 + x)k
p

x  J

puis

ln(1 + x) =

-1 X ak
a-1
(1 + x)k
k=0

En passant à la limite dans le membre de droite quand x  +, on obtient
p

-a0
-1 X ak
=
x+ a-1
(1 + x)k
a-1
lim

k=0

ce qui est absurde car lim ln(1 + x) = +. Par conséquent,
x+

p
P

Pour tous réels (ak )k[[ -1 ; p ]] tels que

ak fk = 0, on a a-1 = 0.

k=-1
p
P

1.2 Soient (ak )k[[ -1 ; p ]] des réels tels que

ak fk est la fonction nulle. D'après la

k=-1

question précédente, a-1 = 0. Montrons à présent que ak = 0 pour tout k  [[ 0 ; 
p ]].
Remarquons que la fonction

J - R

p
X
g:
ak
p

x
-
7

(1
+
x)

(1 + x)k
k=0

est nulle. De ce fait,
x  J

p
P

ak (1 + x)p-k = 0

k=0

puis, avec le changement d'indice ` = k - p,
x  J

p
P

ap-` (1 + x)` = 0

`=0

Puisque J contient une infinité d'éléments, le polynôme
P=

p
P

ap-k (1 + X)k

k=0

admet une infinité de racines, il est donc nul. Comme la famille ((1 + X)n )n[[ 
0 ; p ]]
est échelonnée en degré, elle est en particulier libre. Par conséquent, ap-k = 
0 pour
tout entier k  [[ 0 ; p ]]. Ceci étant valable pour toute famille de réels (ak 
)k[[ -1 ; p ]] ,
il s'ensuit que
La famille B est libre.