SESSION 2020 \( D PSISM
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POLYTECH
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI
MATHÉMATIQUES
Jeudi 7 mai :14h-18h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu'il a êté amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les
schémas et la mise en évidence
des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
1/4
Exercice li.
Pour tout entier naturel n, on définit sur l'intervalle J = [ 1, +cof la
fonction j, par :
(--1)"
l+nx
fn(X) --
1. Démontrer que la série de fonctions > fn converge simplement sur J.
n>0
On note alors pour tout x de J, &(x) sa somme.
2. Montrer que cette série de fonctions ne converge pas normalement sur J.
3. Etudier alors sa convergence uniforme sur J.
+00
4, Déterminer £ = lim > fn(X).
X-- +00 0
n=
C1)
Tr
5.1. Justifier la convergence de la série de terme général ,. On note a = > U,
Sa Somme.
n=]
5. Pour n EUR N°, on pose u, =
Ï
5.2. Montrer que l'on a au voisinage de l'infini : @(x) = EUR + + O x)
X
Vx x3/2
Exercice 2.
Soient n EUR Net À = (a;j) EUR .#A(R). On dit que la matrice À est à diagonale
propre lorsque son
n
polynôme caractéristique est Y4 = EC: -- dj).
i=1
1. Donner deux exemples de matrices à diagonale propre qui ne sont pas
diagonales.
0 O0 «
2. Soient « et B deux réels et M =|0 0 Ble.zZ(R).
a GB OÙ
Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels & et 6
pour que M soit
une matrice à diagonale propre.
3. Soient X,, X: et X; des variables aléatoires mutuellement indépendantes
définies sur un espace
probabilisé (Q, «7, P) et qui suivent toutes les trois la loi géométrique de
paramètre 3
3.1. Préciser X,(Q). Donner la loi de la variable aléatoire X, et donner sans
démonstration les
valeurs de son espérance et de sa variance.
3.2. Exprimer l'évènement [X, = X,] sous forme d'une réunion dénombrable
d'évènements
incompatibles.
2/4
0 0 X1(w) -- X:(w)
3.3. Pour tout w EUR Q, on pose : B(w) = 0 0 X:(&) -- X:(w) |.
X1(w) -- X(w) X2(w) -- X3(w) 0
0 0 X, - X
On notera ainsi B = Û Û X3 -- X; | la fonction qui, à tout w de O, associe
X,--X2 X5 -- X; 0
B()).
Déterminer la probabilité pour que B soit une matrice à diagonale propre.
4, Soit À = (a;;) EUR .#A(R). On rappelle que A7 désigne la matrice transposée
de la matrice A.
4.1. Calculer tr(A' A) en fonction des coefficients de la matrice À où tr(M)
désigne la trace de
la matrice M.
4.2. On suppose dans cette question que À est une matrice symétrique réelle.
n
Démontrer que tr(A' A) = > Àf où les A; sont les n valeurs propres distinctes
ou non de
i=1
la matrice À.
4,3. Déterminer les matrices symétriques réelles à diagonale propre.
Exercice 3.
Soient a un réel strictement positif et f une fonction continue sur KR.
a FO
df, lorsque cela existe.
Pour tout 1 réel, on pose 7(1) = [
a
[
1. | Dans cette question, et uniquement dans cette question, f est la fonction
f + cos (- T7 |
1.1. En utilisant un développement asymptotique de f au voisinage de +, donner
un équi-
valent de À -- f(f) lorsque f tend vers l'infin1.
1.2. En déduire l'ensemble des valeurs du réel À pour lesquelles (1) existe.
" fO
1.3. Donner alors un équivalent de Pa df lorsque x tend vers l'infini.
a
2. On suppose qu'il existe 1 et u deux réels pour lesquels Z(2) et Z(u)
existent. Prouver que l'on
a: lÂ=u.
3. Pour tout x réel, on pose HA(x) = [ (A -- f(r)) dt.
3.1. Justifier que H, est de classe C' sur R et préciser H/(x).
* Hit
3.2. Démontrer que si H, est bornée sur KR, alors 7(1) existe et que Z(A) = e )
df.
a
4, Désormais on suppose que f est continue sur R et T ---périodique (T > 0).
Xx+T
4.1. Démontrer que la fonction 4 qui à tout x réel associe w(x) = [ f(®) df est
constante.
X
T
Montrer alors que l'on a, pour tout réel x : HA1(x + T) -- H}(x) = ÀT - [ f(®)
df.
0
3/4
4.2. Montrer qu'il existe une unique valeur À, du réel 1 pour laquelle la suite
(HA(a + nT))yex
est bornée.
4.3. Prouver que, dans ce cas, la fonction H, est périodique et bornée dans KR.
4.4. Déterminer alors toutes les valeurs du réel 1 pour lesquelles 7(4)
converge.
" fO
4.5. Dans le cas où À # 0, déterminer un équivalent de ---- df lorsque x tend
vers l'infini.
a
7/2 : 7/2 :
sin(nt Sin(nf
5. Pour tout entier naturel n non nul, on pose À, = [ Co) dr et B, = [ sm] dr.
0 Sin(f) 0 i
5.1. Prouver que À, existe. On admettra qu'il en est de même pour B,.
.. I
5.2. Déterminer un équivalent au voisinage de 0 de la fonction f ne D
sin
5.3. Démontrer que la suite (A, -- B,),aw: est bornée.
5.4. On effectue dans B, le changement de variable u = nt.
5.4.1. Donner un équivalent de B, lorsque n tend vers l'infin1. On pourra
utiliser les résultats
établis à la question 4.
5.4.2. En déduire un équivalent de À, lorsque n tend vers l'infini.
Exercice 4.
Soient E un plan vectoriel, B = (£, D une base de £ et0 EUR ]0, xl fixé.
On considère l'endomorphisme f de E représenté par sa matrice C dans la base $
: C = f ) a ( )
On définit alors sur E une forme bilinéaire symétrique ® par les relations :
D(E, j) = D(J, à) = cos(0) et D(£, à) = D(J, j) = 1.
On rappelle qu'une forme bilinéaire sur E est une application de E° dans R,
linéaire par rapport à
chacune de ses variables.
1. Soient X = xii + %j et Y = vi + ÿ>j deux vecteurs de Æ. Exprimer ®(X, }) en
fonction des
réels X1, X2, V1, Y2 et 6.
Montrer que ® est un produit scalaire sur E.
Prouver que f est une isométrie pour le produit scalaire ®.
Déterminer un vecteur k EUR E tel que (£, k) soit une base orthonormée pour ®
et que dj. k) > (.
Expliciter la matrice de f dans la base (, k. Préciser la nature de f.
SES R
Soit m EUR N°. Pour quelles valeurs de 0 EUR ]0, x a-t-on f" = idg ?
+ © 2% © *% %
FIN
4/4
IMPRIMERIE NATIONALE - 201168 - D'après documents fournis
