e3a Maths 1 PSI 2020

Thème de l'épreuve Quatre exercices indépendants
Principaux outils utilisés séries de fonctions, séries numériques, matrices, matrices symétriques, intégrales généralisées, isométries du plan
Mots clefs diagonale propre, rotation, séries alternées, matrices aléatoires, indépendance, développement asymptotique d'une série de fonctions

Corrigé

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SESSION 2020 \( D PSISM

NS
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai :14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

1/4
Exercice li.

Pour tout entier naturel n, on définit sur l'intervalle J = [ 1, +cof la 
fonction j, par :

(--1)"
l+nx

fn(X) --

1. Démontrer que la série de fonctions > fn converge simplement sur J.
n>0

On note alors pour tout x de J, &(x) sa somme.
2. Montrer que cette série de fonctions ne converge pas normalement sur J.

3. Etudier alors sa convergence uniforme sur J.
+00
4, Déterminer £ = lim > fn(X).
X-- +00 0
n=

C1)
Tr

5.1. Justifier la convergence de la série de terme général ,. On note a = > U, 
Sa Somme.

n=]

5. Pour n EUR N°, on pose u, =

Ï
5.2. Montrer que l'on a au voisinage de l'infini : @(x) = EUR + + O x)
X

Vx x3/2

Exercice 2.

Soient n EUR Net À = (a;j) EUR .#A(R). On dit que la matrice À est à diagonale 
propre lorsque son

n
polynôme caractéristique est Y4 = EC: -- dj).
i=1
1. Donner deux exemples de matrices à diagonale propre qui ne sont pas 
diagonales.
0 O0 «
2. Soient « et B deux réels et M =|0 0 Ble.zZ(R).
a GB OÙ
Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels & et 6 
pour que M soit
une matrice à diagonale propre.

3. Soient X,, X: et X; des variables aléatoires mutuellement indépendantes 
définies sur un espace

probabilisé (Q, «7, P) et qui suivent toutes les trois la loi géométrique de 
paramètre 3

3.1. Préciser X,(Q). Donner la loi de la variable aléatoire X, et donner sans 
démonstration les
valeurs de son espérance et de sa variance.

3.2. Exprimer l'évènement [X, = X,] sous forme d'une réunion dénombrable 
d'évènements
incompatibles.

2/4
0 0 X1(w) -- X:(w)

3.3. Pour tout w EUR Q, on pose : B(w) = 0 0 X:(&) -- X:(w) |.
X1(w) -- X(w) X2(w) -- X3(w) 0
0 0 X, - X
On notera ainsi B = Û Û X3 -- X; | la fonction qui, à tout w de O, associe

X,--X2 X5 -- X; 0
B()).
Déterminer la probabilité pour que B soit une matrice à diagonale propre.
4, Soit À = (a;;) EUR .#A(R). On rappelle que A7 désigne la matrice transposée 
de la matrice A.

4.1. Calculer tr(A' A) en fonction des coefficients de la matrice À où tr(M) 
désigne la trace de
la matrice M.

4.2. On suppose dans cette question que À est une matrice symétrique réelle.

n

Démontrer que tr(A' A) = > Àf où les A; sont les n valeurs propres distinctes 
ou non de
i=1

la matrice À.

4,3. Déterminer les matrices symétriques réelles à diagonale propre.

Exercice 3.

Soient a un réel strictement positif et f une fonction continue sur KR.

a FO

df, lorsque cela existe.

Pour tout 1 réel, on pose 7(1) = [

a

[
1. | Dans cette question, et uniquement dans cette question, f est la fonction 
f + cos (- T7 |

1.1. En utilisant un développement asymptotique de f au voisinage de +, donner 
un équi-
valent de À -- f(f) lorsque f tend vers l'infin1.

1.2. En déduire l'ensemble des valeurs du réel À pour lesquelles (1) existe.

" fO

1.3. Donner alors un équivalent de Pa df lorsque x tend vers l'infini.

a

2. On suppose qu'il existe 1 et u deux réels pour lesquels Z(2) et Z(u) 
existent. Prouver que l'on
a: lÂ=u.

3. Pour tout x réel, on pose HA(x) = [ (A -- f(r)) dt.

3.1. Justifier que H, est de classe C' sur R et préciser H/(x).

* Hit
3.2. Démontrer que si H, est bornée sur KR, alors 7(1) existe et que Z(A) = e ) 
df.

a

4, Désormais on suppose que f est continue sur R et T ---périodique (T > 0).

Xx+T
4.1. Démontrer que la fonction 4 qui à tout x réel associe w(x) = [ f(®) df est 
constante.
X

T
Montrer alors que l'on a, pour tout réel x : HA1(x + T) -- H}(x) = ÀT - [ f(®) 
df.
0

3/4
4.2. Montrer qu'il existe une unique valeur À, du réel 1 pour laquelle la suite 
(HA(a + nT))yex
est bornée.

4.3. Prouver que, dans ce cas, la fonction H, est périodique et bornée dans KR.

4.4. Déterminer alors toutes les valeurs du réel 1 pour lesquelles 7(4) 
converge.

" fO

4.5. Dans le cas où À # 0, déterminer un équivalent de ---- df lorsque x tend 
vers l'infini.

a

7/2 : 7/2 :
sin(nt Sin(nf
5. Pour tout entier naturel n non nul, on pose À, = [ Co) dr et B, = [ sm] dr.
0 Sin(f) 0 i

5.1. Prouver que À, existe. On admettra qu'il en est de même pour B,.

.. I
5.2. Déterminer un équivalent au voisinage de 0 de la fonction f ne D
sin

5.3. Démontrer que la suite (A, -- B,),aw: est bornée.

5.4. On effectue dans B, le changement de variable u = nt.

5.4.1. Donner un équivalent de B, lorsque n tend vers l'infin1. On pourra 
utiliser les résultats
établis à la question 4.

5.4.2. En déduire un équivalent de À, lorsque n tend vers l'infini.

Exercice 4.

Soient E un plan vectoriel, B = (£, D une base de £ et0 EUR ]0, xl fixé.

On considère l'endomorphisme f de E représenté par sa matrice C dans la base $ 
: C = f ) a ( )

On définit alors sur E une forme bilinéaire symétrique ® par les relations :

D(E, j) = D(J, à) = cos(0) et D(£, à) = D(J, j) = 1.

On rappelle qu'une forme bilinéaire sur E est une application de E° dans R, 
linéaire par rapport à
chacune de ses variables.

1. Soient X = xii + %j et Y = vi + ÿ>j deux vecteurs de Æ. Exprimer ®(X, }) en 
fonction des
réels X1, X2, V1, Y2 et 6.

Montrer que ® est un produit scalaire sur E.
Prouver que f est une isométrie pour le produit scalaire ®.
Déterminer un vecteur k EUR E tel que (£, k) soit une base orthonormée pour ® 
et que dj. k) > (.

Expliciter la matrice de f dans la base (, k. Préciser la nature de f.

SES R

Soit m EUR N°. Pour quelles valeurs de 0 EUR ]0, x a-t-on f" = idg ?

+ © 2% © *% %

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 201168 - D'après documents fournis