e3a Maths 1 PSI 2020

Thème de l'épreuve Quatre exercices indépendants
Principaux outils utilisés séries de fonctions, séries numériques, matrices, matrices symétriques, intégrales généralisées, isométries du plan
Mots clefs diagonale propre, rotation, séries alternées, matrices aléatoires, indépendance, développement asymptotique d'une série de fonctions

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2020 \( D PSISM

NS
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai :14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

1/4
Exercice li.

Pour tout entier naturel n, on définit sur l'intervalle J = [ 1, +cof la 
fonction j, par :

(--1)"
l+nx

fn(X) --

1. Démontrer que la série de fonctions > fn converge simplement sur J.
n>0

On note alors pour tout x de J, &(x) sa somme.
2. Montrer que cette série de fonctions ne converge pas normalement sur J.

3. Etudier alors sa convergence uniforme sur J.
+00
4, Déterminer £ = lim > fn(X).
X-- +00 0
n=

C1)
Tr

5.1. Justifier la convergence de la série de terme général ,. On note a = > U, 
Sa Somme.

n=]

5. Pour n EUR N°, on pose u, =

Ï
5.2. Montrer que l'on a au voisinage de l'infini : @(x) = EUR + + O x)
X

Vx x3/2

Exercice 2.

Soient n EUR Net À = (a;j) EUR .#A(R). On dit que la matrice À est à diagonale 
propre lorsque son

n
polynôme caractéristique est Y4 = EC: -- dj).
i=1
1. Donner deux exemples de matrices à diagonale propre qui ne sont pas 
diagonales.
0 O0 «
2. Soient « et B deux réels et M =|0 0 Ble.zZ(R).
a GB OÙ
Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels & et 6 
pour que M soit
une matrice à diagonale propre.

3. Soient X,, X: et X; des variables aléatoires mutuellement indépendantes 
définies sur un espace

probabilisé (Q, «7, P) et qui suivent toutes les trois la loi géométrique de 
paramètre 3

3.1. Préciser X,(Q). Donner la loi de la variable aléatoire X, et donner sans 
démonstration les
valeurs de son espérance et de sa variance.

3.2. Exprimer l'évènement [X, = X,] sous forme d'une réunion dénombrable 
d'évènements
incompatibles.

2/4
0 0 X1(w) -- X:(w)

3.3. Pour tout w EUR Q, on pose : B(w) = 0 0 X:(&) -- X:(w) |.
X1(w) -- X(w) X2(w) -- X3(w) 0
0 0 X, - X
On notera ainsi B = Û Û X3 -- X; | la fonction qui, à tout w de O, associe

X,--X2 X5 -- X; 0
B()).
Déterminer la probabilité pour que B soit une matrice à diagonale propre.
4, Soit À = (a;;) EUR .#A(R). On rappelle que A7 désigne la matrice transposée 
de la matrice A.

4.1. Calculer tr(A' A) en fonction des coefficients de la matrice À où tr(M) 
désigne la trace de
la matrice M.

4.2. On suppose dans cette question que À est une matrice symétrique réelle.

n

Démontrer que tr(A' A) = > Àf où les A; sont les n valeurs propres distinctes 
ou non de
i=1

la matrice À.

4,3. Déterminer les matrices symétriques réelles à diagonale propre.

Exercice 3.

Soient a un réel strictement positif et f une fonction continue sur KR.

a FO

df, lorsque cela existe.

Pour tout 1 réel, on pose 7(1) = [

a

[
1. | Dans cette question, et uniquement dans cette question, f est la fonction 
f + cos (- T7 |

1.1. En utilisant un développement asymptotique de f au voisinage de +, donner 
un équi-
valent de À -- f(f) lorsque f tend vers l'infin1.

1.2. En déduire l'ensemble des valeurs du réel À pour lesquelles (1) existe.

" fO

1.3. Donner alors un équivalent de Pa df lorsque x tend vers l'infini.

a

2. On suppose qu'il existe 1 et u deux réels pour lesquels Z(2) et Z(u) 
existent. Prouver que l'on
a: lÂ=u.

3. Pour tout x réel, on pose HA(x) = [ (A -- f(r)) dt.

3.1. Justifier que H, est de classe C' sur R et préciser H/(x).

* Hit
3.2. Démontrer que si H, est bornée sur KR, alors 7(1) existe et que Z(A) = e ) 
df.

a

4, Désormais on suppose que f est continue sur R et T ---périodique (T > 0).

Xx+T
4.1. Démontrer que la fonction 4 qui à tout x réel associe w(x) = [ f(®) df est 
constante.
X

T
Montrer alors que l'on a, pour tout réel x : HA1(x + T) -- H}(x) = ÀT - [ f(®) 
df.
0

3/4
4.2. Montrer qu'il existe une unique valeur À, du réel 1 pour laquelle la suite 
(HA(a + nT))yex
est bornée.

4.3. Prouver que, dans ce cas, la fonction H, est périodique et bornée dans KR.

4.4. Déterminer alors toutes les valeurs du réel 1 pour lesquelles 7(4) 
converge.

" fO

4.5. Dans le cas où À # 0, déterminer un équivalent de ---- df lorsque x tend 
vers l'infini.

a

7/2 : 7/2 :
sin(nt Sin(nf
5. Pour tout entier naturel n non nul, on pose À, = [ Co) dr et B, = [ sm] dr.
0 Sin(f) 0 i

5.1. Prouver que À, existe. On admettra qu'il en est de même pour B,.

.. I
5.2. Déterminer un équivalent au voisinage de 0 de la fonction f ne D
sin

5.3. Démontrer que la suite (A, -- B,),aw: est bornée.

5.4. On effectue dans B, le changement de variable u = nt.

5.4.1. Donner un équivalent de B, lorsque n tend vers l'infin1. On pourra 
utiliser les résultats
établis à la question 4.

5.4.2. En déduire un équivalent de À, lorsque n tend vers l'infini.

Exercice 4.

Soient E un plan vectoriel, B = (£, D une base de £ et0 EUR ]0, xl fixé.

On considère l'endomorphisme f de E représenté par sa matrice C dans la base $ 
: C = f ) a ( )

On définit alors sur E une forme bilinéaire symétrique ® par les relations :

D(E, j) = D(J, à) = cos(0) et D(£, à) = D(J, j) = 1.

On rappelle qu'une forme bilinéaire sur E est une application de E° dans R, 
linéaire par rapport à
chacune de ses variables.

1. Soient X = xii + %j et Y = vi + ÿ>j deux vecteurs de Æ. Exprimer ®(X, }) en 
fonction des
réels X1, X2, V1, Y2 et 6.

Montrer que ® est un produit scalaire sur E.
Prouver que f est une isométrie pour le produit scalaire ®.
Déterminer un vecteur k EUR E tel que (£, k) soit une base orthonormée pour ® 
et que dj. k) > (.

Expliciter la matrice de f dans la base (, k. Préciser la nature de f.

SES R

Soit m EUR N°. Pour quelles valeurs de 0 EUR ]0, x a-t-on f" = idg ?

+ © 2% © *% %

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 201168 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Mathématiques PSI 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à 
l'université) ; il a été relu par Florian Metzger (professeur en CPGE) et 
Céline Chevalier
(enseignant-chercheur à l'université).

L'énoncé est composé de quatre exercices indépendants traitant différents sujets
d'analyse, d'algèbre et de géométrie.
· L'exercice 1 étudie la convergence de la série de fonctions
X (-1)n

1 + nx
n
en se basant à plusieurs reprises sur le théorème spécial des séries alternées.
On obtient in fine un développement asymptotique de la somme de cette série
lorsque x tend vers +.
· L'exercice 2 s'intéresse aux matrices carrées à diagonale propre, c'est-à-dire
telles que les racines de leur polynôme caractéristique sont égales à leurs 
éléments diagonaux. Un exemple en dimension 3 est étudié et le sujet en profite
pour faire une incursion dans les probabilités. On caractérise finalement les
matrices symétriques réelles qui sont à diagonale propre.
· L'exercice 3 porte sur les intégrales généralisées de la forme
Z +
 - f (t)
I() =
dt
t
a
lorsque  varie et que f est une fonction continue sur R. Après avoir étudié le
cas où f est la fonction t 7 cos(t/(1 + t2 )), le sujet s'intéresse au cas d'une
fonction f qui est T-périodique. L'étude de I() permet d'obtenir un équivalent
lorsque x tend vers l'infini de l'intégrale
Z x
f (t)
dt
t
a
À l'aide d'un changement de variable, on en déduit un équivalent lorsque x
tend vers l'infini des intégrales
Z /2
Z /2
| sin(nt)|
| sin(nt)|
dt
puis
dt
t
sin t
0
0
· L'exercice 4 étudie un endomorphisme d'un plan euclidien donné par la matrice

0
-1
1 2 cos 
En exhibant un produit scalaire adapté, on montre que f est une rotation
d'angle .
Le sujet est très varié et aborde de nombreux thèmes aux programmes des deux
années de classes préparatoires, ce qui en fait un sujet idéal de révision. Il 
est réalisable
dans le temps imparti, à condition de ne pas traîner sur l'exercice 3, qui 
demande
une bonne maîtrise du cours d'intégration.

Indications
Exercice 1
1 Appliquer le théorème spécial des séries alternées à la série numérique de 
terme
général fn (x), pour x  J.
 +P

3 Montrer la convergence uniforme de la suite des restes partiels
fk
en
k=n+1

nN

utilisant à nouveau le théorème spécial des séries alternées pour borner chaque
reste par son premier terme, en valeurs absolues.
4 La convergence uniforme montrée à la question 3 permet d'intervertir la limite
et la somme.
P
P
5.1 Comparer la série
un à la série
fn (1).
n>1

n>0

5.2 Étudier le comportement en l'infini de (x) - ` - a/ x en l'écrivant comme
une somme de série. Appliquer alors l'inégalité des accroissements finis au 
terme
général de cette série.
Exercice 2
4.2 Utiliser le théorème spectral pour les matrices symétriques réelles, puis 
exploiter
le résultat de la question 4.1 pour une matrice diagonale.
4.3 Calculer Tr (AT A) de deux façons différentes, à l'aide des questions 4.1 
et 4.2.
Exercice 3
1.1 Composer le développement asymptotique de t 7 t/(1 + t2 ) en l'infini et le
développement limité de cos à l'ordre 2 en 0.
1.2 Distinguer les cas  6= 1 et  = 1.
2 Calculer de deux façons différentes la limite en + de
Z x
Z x
 - f (t)
µ - f (t)
dt -
dt
t
t
a
a
après avoir justifié l'existence des deux intégrales.
3.1 Appliquer le théorème fondamental du calcul intégral.
Z x
3.2 Exprimer
H (t)/t2 dt à l'aide d'une intégration par parties.
a

4.1 Montrer que la fonction  est de classe C 1 et de dérivée nulle.
4.4 Appliquer successivement les résultats des questions 4.3, 3.1 puis 2.
5.2 Composer les développements limités de sin en 0 à l'ordre 3 et de 1/(1 - u) 
en 0
à l'ordre 1.
5.3 Déduire du résultat de la question 5.2 que la fonction t 7 |1/t - 1/ sin t| 
est
prolongeable par continuité sur le segment [ 0 ; /2 ].
Exercice 4

-

-
-i + x 
-
4 En écrivant k = x1 
2  , traduire les contraintes sur k en un système
d'équations polynomiales vérifiées par x1 et x2 . On peut aussi préférer 
employer
le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.

Publié dans les Annales des Concours

Exercice 1
1 Soit x  J. Appliquons le théorème
P spécial des séries alternées pour montrer
la convergence de la série numérique
fn (x) :
· le terme (-1)n fn (x) est positif pour tout n  N ;
· pour tout n  N, puisque x est positif,
1
1
6
= |fn (x)|
|fn+1 (x)| = p
1
+
nx
1 + (n + 1)x
· comme x est strictement positif et par opérations sur les limites usuelles,

1
----- 0
1 + nx n+

P
Le théorème spécial des séries alternées assure ainsi que fn (x) converge 
simplement
pour tout x  J :
P
La série de fonctions
fn converge simplement sur J.
P
On a même montré que la série de fonctions
fn converge simplement
sur ] 0 ; + [, puisqu'on a seulement utilisé l'hypothèse x > 0 et pas x > 1.
2 Soit n  N. Calculons la borne supérieure de gn = |fn | sur J. La fonction gn 
est
dérivable sur J comme inverse de la fonction x 7 1 + nx qui ne s'annule pas sur 
J.
Pour tout x  J, sa dérivée vaut
gn 0 (x) =

-n

2(1 + nx) 1 + nx

qui est négative, puisque net x sont positifs. La fonction gn est donc 
décroissante
sur J. Puisque gn (1) = 1/ 1 + n, la fonction gn est bornée et sa borne 
supérieure
est sa valeur en 1 :
sup gn (x) = gn (1) = 
xJ

La série de Riemann

X
n>0

1
1+n

X 1
1
=
est divergente puisque 1/2 < 1, d'où 1 + n n>1 n1/2

La série de fonctions

P

fn ne converge pas normalement sur J.

3 Soit x  J. D'après la question 1,
partiels de terme général

P

fn (x) est convergente donc la suite des restes
+

Rn (x) =

P

fk (x)

k=n+1

est bien définie pour n  N. Le théorème spécial des séries alternées implique 
en particulier la majoration du reste
n  N

|Rn (x)| 6 |fn+1 (x)| = p

1
1 + (n + 1)x

= gn+1 (x)

Publié dans les Annales des Concours

D'après le résultat de la question 2, la fonction gn+1 , et donc la fonction 
|Rn |, admet
une borne supérieure sur J et
sup |Rn (x)| 6 sup |gn+1 (x)| = 
xJ

xJ

1
----- 0
n + 2 n+

La suite des restes partiels converge ainsi uniformément vers 0 sur J, ce qui 
assure que
La série de fonctions

P

fn converge uniformément sur J.

4 Pour n = 0, f0 est la fonction constante en 1. Pour tout n  N , la fonction fn
admet une limite en + et par limites usuelles :
fn (x) ---- 0
x+

P
Puisque + est une borne de J, la convergence uniforme de la série de fonctions 
fn
sur J permet de conclure, par le théorème de la double limite, à l'existence de 
la limite
+

` = lim

P

x+ n=0

+

fn (x) =

+
P
lim fn (x) = f0 (x) +
lim fn (x) = 1
+
+
x
| {z } n=1 x
n=0
{z
}
|
=1

P

=0

(-1)n
= -un+1
fn (1) = 
1+n
P
P
un = -
fn (1)

5.1 Pour tout n  N ,
Par suite,

n>1

n>0

qui converge et dont la somme vaut -(1), d'après le résultat de la question 1. 
Ainsi,
La série

P

un converge vers a = -(1).

n>1

5.2 Soit x  J. D'après la question 4, on a ` = 1. De plus, f0 (x) = 1. D'après 
la
convergence simple démontrée à la question 1,
+

(x) - ` =

+

P

fn (x) - f0 (x) =

n=0

P

fn (x)

n=1

La question 5.1 assure alors que
+

a=

P
n=1

un

d'où

+
X
a
(-1)n
 =

x n=1 nx

Par linéarité de la somme de séries convergentes, on obtient finalement

+
X
a
1
1
n

(x) - ` -  =
(-1)
-
x n=1
nx
1 + nx
Soit n  N . La fonction y 7 y -1/2 est de classe C 1 sur J et pour tout y  J,
sa dérivée en y vaut -y -3/2 /2. D'après l'inégalité des accroissements finis 
sur l'intervalle [ nx ; nx + 1 ],