e3a Maths 1 PSI 2017

Thème de l'épreuve Quatre exercices (interpolation, intégration, probabilités, informatique)
Principaux outils utilisés espaces vectoriels, polynômes, intégrales, variables aléatoires, programmation en Python
Mots clefs interpolation de lagrange, fonctions de carré sommable, dichotomie, tri par insertion

Corrigé

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Académie: Session : Modèle EN. Examen ou Concours: Série* : Spécialité/option : Repère de l'épreuve : % Épreuve/sous-épreuve : 5 NOM : 8 {en majuscules, suivi, s'il y a lieu, du nom d'épouse) Prén m : . <£ 0 3 N° du candidat < Né(e) le (le numéro est celui qui figure sur la D convocation ou la liste d'appel) MJ 5 161 E U -uJ 2 E OE ... 2 q (") E' 3 a CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH Epreuve de Mathématiques 1 PSI Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. AVERTISSEMENT La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs. Le candidat devra porter l'ensemble de ses réponses sur le cahier réponses, à l'exclusion de toute autre copie. Les résultats doivent être reportés dans les cadres prévus à cet effet. Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. Tournez la page S.V.P. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE EXERCICE 1. Dans tout l'exerciceî n désigne un entier supérieur ou égal à 3. On note E = Rnf1[X] et 93 = (1,X,...,X"*l) sa base canonique. Soient a1, , a... n réels vérifiant : ... < (L2 < < a... 1. Montrer que l'application T : P >--> (P(a1), ..., P(an)) est un isomorphisme de E dans IR". 2. On note 5 = (61, ...e...) la base canonique de R" et pour tout 2' EUR [[1,n]], on note L = T*1(ei), c'est-à--dire l'unique polynôme dont l'image par T est ei. Montrer que %" = (L1, ..., l...) est une base de E puis déterminer les composantes d'un polynôme P quelconque de E dans cette base. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE Dans la suite de l'exercice, on note 1% = (mij)1giîjgn la matrice de passage de la base %" à la base Æ'. 3. Dans cette question uniquement, on suppose que n = 3, (11 = 0, cm = 1 et a:; = 2. 3.1 Donner7 sans justification, les polynômes L1, L2 et L3 et expliciter la matrice ]VI . 3.2 Montrer que 1 est valeur propre de la matrice M et déterminer le sous--espace propre associé. Tournez la page S.V.P. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE 4. On revient au cas général. 4.1 Montrer que M est inversible. Calculer son inverse. (On pourra utiliser la question 2.) " 4.2 Établir la relation : ZLi : l. i=1 NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE '" TL 4.3 Montrer que l'on a : 2 mm = 1. Montrer ensuite que pour tout i E [[2, n]], ÉmÜ = O. j=1 j:1 4.4 Lorsque ... = 1, déterminer la somme des coefficients de chaque colonne de M. Tournez la page S.V.P. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE 5. Dans cette question., on suppose que n > 4 et soit u l'endomorphisme de E défini par : VP EUR E, u(P) = Q avec Q(X) : P(O) L1(X) + P(1) L2(X) + P(2) L3(X) 5.1 Déterminer Ker(u) et Im(u) Sont-ils supplémentaires ? 5.2 Déterminer les éléments propres de u et caractériser géométriquement u. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE EXERCICE 2. Dans tout l'exercice, 1 désigne l'intervalle [O, +00{ et CË(I,R) est le R-espace vectoriel des applications continues de ] vers R. On note E le lR--espace vectoriel constitué des éléments f de 'Ë(l,lR) tels que f2 est intégrable sur I., c'est-à--dire +oo tels que / [f(t)]2 dt converge. 0 Questions de cours (a2 + 52). 1 1. Prouver que pour tous réels @ et b, ab < 5 2. Montrer que le produit de deux éléments de E est une application intégrable sur I . +00 3. Soit @ l'application qui au couple (f,g) EUR E2 associe le réel : . Tournez la page S.V.P. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE Partie 1 +00 Soit h, élément de +oo 2. En déduire l'existence d'une suite (an)nEURN d'éléments de ] telle que : lim an = +00 et lim h(an) = O. n-->+oo n-->+oo NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE Partie 2 +00 Soit F l'ensemble des applications f de I dans R de classe %1 sur I, telles que les intégrales / 752 [ f (t)}2 dt et 0 +00 / lf'(t)]2 dt convergent. Soit f EUR F. 0 +oc +00 1. Montrer que les intégrales / [f(t)l2 dt et / tf(t) f'(t) dt convergent. 0 0 1 +00 +00 2. Établir l'égalité: /0 tf(t)f'(t)dt=--5 /0 [f(t)l2dt- On pourra, par exemple, utiliser un résultat de la partie 1. Tournez la page S.V.P. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE 3. Démontrer que :  (/Û+oe[f'(t)]2dt) (*) NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE 4. Déterminer toutes les applications f EUR F pour lesquelles il y a égalité dans l'inégalité (*). 10 Tournez la page S.V.P. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE EXERCICE 3. On considère une expérience aléatoire dont l'ensemble des résultats possible est noté Q. Soient k EUR N* et T une variable aléatoire définie sur Q et à valeurs dans []0, It]. On considère alors une suite (XÙOEHO,k] de variables aléatoires de même loi et toutes à valeurs dans Z. On suppose que les variables aléatoires X0, X1, . . . , X k et T sont mutuellement indépendantes. On définit la variable aléatoire Y par : T(W) Vw EUR 9, Y(w) = z Xi(w) i=0 1. Montrer que l'existence de l'espérance des variables aléatoires Xi entraîne l'existence de l'espérance de Y. On pourra constater que (]T = jl)jEUR[]0,k]] constitue un système complet d'évènements. 2. Calculer alors EUR(Y) en fonction de EUR(Xg) et --*'(T). 11 NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE 3. On suppose que EUR(Xg) = 0 et que Xâ possède une espérance. Prouver alors que : V(Y) = V(X0) *'(T). 12 Tournez la page S.V.P. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE EXERCICE 4. PARTIE A. Recherche de zéro d'une fonction 1. Soient @ et 19 deux réels, f : [a, b} --> R une fonction continue telle que f (a) f (19) < 0. 1.1 Justifier que f s'annule sur [a, b]. 1.2 Écrire une fonction Python rech_dicho prenant en arguments une fonction f: deux flottants & et b tels que f(a)f(b) < 0 et une précision eps et qui renvoie un couple de réels encadrant un zéro de f a une précision eps près. 13 NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE 2. Soit f une fonction continue de [O, 1] dans ]0, 1]. 2.1 Montrer que f admet un point fixe (c'est a dire un réel 0 de [0,1] tel que f(c) : c). 2.2 Écrire une fonction Python rech_pt_fixe qui prend en argument une fonction f que l'on suppose conti- nue de ]0, 1] dans ]0, 1], une précision eps et qui renvoie un couple de réels encadrant un point fixe de f a une précision eps près. On pourra utiliser la fonction rech_dicho. PARTIE B. Recherche dans une liste. 1. On propose l'algorithme suivant 1 def rech_dicho(L,g,d,x)z 2 """L est une liste, telle que L[g:d+i] est triee""" 3 if x>L[d]: 4 return d+1 5 else: 6 a=g 7 b=d 8 while a!=b: 9 c=(a+b)//2 10 if x<=L[c]: 11 b=c 12 else: 13 a=c+1 14 return a 14 Tournez la page S.V.P. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE 1.1 On prend L = [2,4,5,7,7,8, 10]. Que renvoient les instructions suivantes ? >>>rech_dicho (L1 .,5 ,6) >>>rech_dicho(Lû .,5 ,1) On donnera les valeurs prises par les variables a et b a chaque passage ligne 9. 1.2 Détailler clairement ce que fait le programme rech_dicho. 1.3 Déterminer; en le justifiant, la complexité du programme, mesurée en nombre de comparaisons. On utilisera, si besoin est, la notation O, et on pourra exprimer cette complexité en fonction d'un ou plusieurs paramètres parmi len(L), g, (1, x. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE 2. Proposer un algorithme tri_dicho de tri par insertion utilisant la fonction rech_dicho pour trouver la position à laquelle insérer l'élément. 16 Tournez la page S.V.P. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE 3. Estimer le nombre d'afl'ectations de tri_dicho ainsi que le nombre de comparaisons effectuées par l'al-- gorithme tri_dicho. Comparer avec le tri par insertion classique. 17

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 e3a Maths 1 PSI 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Hervé Diet (professeur agrégé) ; il a été relu par Rémi Pellerin (ENS Lyon) et Sophie Rainero (professeur en CPGE). Ce sujet se compose de quatre exercices indépendants qui couvrent les grands thèmes au programme de la filière PSI. · Le premier exercice se focalise sur l'espace vectoriel des polynômes sur R. L'énoncé introduit sans le dire la base des polynômes de Lagrange. On étudie des morphismes sur cet espace sous toutes leurs formes possibles. On passe en revue des isomorphismes, des changements de base, l'étude des matrices associées et les éléments propres du morphisme. · Le deuxième exercice introduit des intégrales de fonctions réelles sur l'intervalle [ 0 ; + [. Cette partie commence par des questions de cours classiques, pour ensuite s'ouvrir vers l'étude des intégrales sur les fonctions de carré intégrable. Pour réussir cet exercice, il faut bien maîtriser les définitions et propriétés liées à la convergence des intégrales. · Le troisième exercice porte sur les variables aléatoires et en particulier sur un processus stochastique à temps discret. Il s'agit d'utiliser les propriétés du cours pour justifier l'existence et calculer l'espérance et la variance du processus. · Le quatrième exercice aborde la programmation sous Python avec le thème de la dichotomie. Dans un premier temps, il s'agit de programmer une fonction de recherche d'un zéro d'une fonction par dichotomie. Ensuite, on passe au tri des listes et à la recherche de la position d'insertion d'un élément. Le but est de construire un tri par insertion basé sur une recherche par dichotomie et de le comparer au tri par insertion du programme. Ce sujet permettait de vérifier que les candidats maîtrisaient le cours et avaient retenu des études classiques faites pendant l'année. Le document-réponse qui était fourni, et qui tenait lieu de copie, obligeait à adopter une rédaction concise. Indications Exercice 1 Exo1-1 Utiliser les dimensions des espaces vectoriels. Exo1-2 Calculer T(P) en utilisant les deux bases B et B . Exo1-3.1 Il faut bien noter que le polynôme L1 s'annule en 1 et en 2 et qu'il est de degré 2 au plus. Exo1-3.3 Faire le lien avec la question précédente. Exo1-4.1 Remarquer que M-1 est aussi une matrice de changement de base. n P Exo1-4.2 Étudier l'image par T de 1 et de Li . i=1 Exo1-4.4 Donner Li (1) en fonction de i puis l'exprimer en fonction des coefficients mi,j . Exo1-5.1 Dissocier les cas en fonction de la présence des valeurs 0, 1 et 2 parmi les réels ai . Une erreur d'énoncé a été commise dans la définition de u et complique cette question. Exo1-5.2 Impossible de résoudre cette question sans modifier u. Pour poursuivre, l'endomorphisme u doit être défini par la relation : u(P) = Q si Q(X) = P(a1 )L1 (X) + P(a2 )L2 (X) + P(a3 )L3 (X) Exercice 2 Exo2-C-2 Exo2-P1-1 Exo2-P1-2 Exo2-P2-1 Exo2-P2-2 Utiliser la question précédente pour majorer f g. On peut ici étudier la série de terme général Jn . Il faut définir le terme an par rapport à Jn . On peut réutiliser ici l'une des questions de cours. Une intégration par parties permettra de faire apparaître les deux intégrales voulues. Exo2-P2-4 En utilisant le cas d'égalité dans le théorème de Cauchy-Schwarz, montrer que les fonctions t 7 tf (t) et t 7 f (t) sont liées. Exercice 3 Exo3-1 Comparer les variables aléatoires Y et n P Xi . i=0 Exo3-2 Il faut se servir du système complet d'événements proposé et de la formule des probabilités totales qui en découle. Exercice 4 Exo4-PA-1.1 Penser à utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. Exo4-PA-1.2 Un algorithme de dichotomie doit couper l'intervalle de recherche en deux puis décider de garder l'une ou l'autre des parties de l'intervalle pour poursuivre la recherche. Exo4-PA-1.3 Réutiliser le résultat de la question Exo4-PA-1.1. Exo4-PB-1.3 On pourra se servir du logarithme en base 2, log2 , pour exprimer la complexité recherchée. Exo4-PB-3 Il faut commencer par donner la complexité en affectations du programme rech_dicho. La formule de Stirling sera nécessaire pour expliciter la complexité voulue. Exercice 1 Exo1-1 Soit a R. Pour tout (P, Q) E2 et R, (P + Q)(a) = P(a) + Q(a). Ainsi, P 7 P(a) est une application linéaire de E dans R. Par extension, on montre ainsi que T est une application linéaire de E dans Rn . Ces deux espaces sont de même dimension finie. En effet : dim E = dim Rn-1 [X] = n = dim Rn Il suffit maintenant de montrer que T est injective. Soit P Ker T. Alors P(a1 ) = P(a2 ) = · · · = P(an ) = 0 avec a1 < a2 < · · · < an Le polynôme P Rn-1 [X] possédant n racines distinctes, c'est le polynôme nul. On a ainsi montré que Ker T 0 . L'autre inclusion étant toujours vérifiée, R [X] n-1 on a Ker T = 0Rn-1 [X] . L'application T est bien un morphisme injectif entre deux espaces de même dimension. Par conséquent, L'application T est un isomorphisme de E dans Rn . Exo1-2 La famille B est l'image par l'isomorphisme T-1 de la base canonique E de l'espace Rn . On en déduit que : La famille B forme une base de E. La base (L1 , . . . , Ln ) introduite ici est en fait la base bien connue des polynômes de Lagrange. Ces polynômes permettent en particulier d'exprimer facilement un polynôme passant par une liste de points du plan fixée. On parle d'interpolation polynomiale. Dans la base B , on peut exprimer P Rn-1 [X] comme une combinaison linéaire n P des Li . Ainsi, il existe (x1 , . . . , xn ) Rn tel que P(X) = xi Li . Alors, d'une part i=1 T(P) = T P n xi Li i=1 = = n P i=1 n P car T est linéaire xi T(Li ) par définition des Li xi ei i=1 T(P) = (x1 , x2 , . . . , xn ) et, d'autre part T(P) = (P(a1 ), P(a2 ), . . . , P(an )) On en déduit que xi = P(ai ), pour tout i [[ 1 ; n ]], par unicité de l'écriture dans une base. Finalement, Si P E, alors P(X) = n P P(ai )Li (X). i=1 Exo1-3.1 On donne directement L1 (X) = 1 (X - 1)(X - 2) 2 L2 (X) = -X(X - 2) L2 (X) = 1 X(X - 1) 2 On rappelle que la définition du polynôme de Lagrange est Li (X) = j[[ 1 ; n ]] j6=i X - aj ai - aj Si l'on ne retrouve plus cette formule, on peut remarquer qu'il existe tel que L1 (X) = (X - 1)(X - 2) puisque Li s'annule en 1 et 2, et doit être de degré 2. Il suffit alors de choisir la constante pour que L1 (0) = 1 puis de faire de même pour L2 et L3 . On peut exprimer les polynômes de la base B dans la base B : 1 3 1 L1 (X) = (X - 1)(X - 2) = 1 - X + X2 2 2 2 L2 (X) = -X(X - 2) = 0 + 2X - X2 1 1 1 L3 (X) = X(X - 1) = 0 - X + X2 2 2 2 La matrice de passage de la base B à la base B peut être donnée en écrivant les coordonnées des polynômes Li dans chaque colonne : 1 0 0 1 3 - 2 - M= 2 2 1 1 -1 2 2 Exo1-3.2 Soit X = t (x, y, z) un vecteur quelconque. Résolvons le système MX = X : x=x ( 1 3 -3x + 2y - z = 0 - x + 2y - z = y MX = X 2 2 x - 2y - z = 0 1x - y + 1z = z 2 2 En additionnant la première ligne du système à la deuxième, on obtient le système équivalent ( -3x + 2y - z = 0 MX = X -2x - 2z = 0 ( -3x + 2y - z = 0 z = -x ( -2x + 2y = 0 z = -x ( y=x MX = X z = -x On peut donc en déduire que MX = X X = t (x, x, -x) = x t (1, 1, -1) et ainsi Le réel 1 est une valeur propre de M et son sous-espace propre associée est Rt (1, 1, -1).