e3a Maths 1 PSI 2017

Académie: Session : Modèle EN.

Examen ou Concours: Série* :
Spécialité/option : Repère de l'épreuve :
% Épreuve/sous-épreuve :
5 NOM :
8 {en majuscules, suivi, s'il y a lieu, du nom d'épouse)
Prén m : .
<£ 0 3 N° du candidat < Né(e) le (le numéro est celui qui figure sur la D convocation ou la liste d'appel) MJ 5 161 E U -uJ 2 E OE ... 2 q (") E' 3 a CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH Epreuve de Mathématiques 1 PSI Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. AVERTISSEMENT La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs. Le candidat devra porter l'ensemble de ses réponses sur le cahier réponses, à l'exclusion de toute autre copie. Les résultats doivent être reportés dans les cadres prévus à cet effet. Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. Tournez la page S.V.P. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE EXERCICE 1. Dans tout l'exerciceî n désigne un entier supérieur ou égal à 3. On note E = Rnf1[X] et 93 = (1,X,...,X"*l) sa base canonique. Soient a1, , a... n réels vérifiant : ... < (L2 < < a... 1. Montrer que l'application T : P >--> (P(a1), ..., P(an)) est un isomorphisme 
de E dans IR".

2. On note 5 = (61, ...e...) la base canonique de R" et pour tout 2' EUR 
[[1,n]], on note L = T*1(ei), c'est-à--dire
l'unique polynôme dont l'image par T est ei. Montrer que %" = (L1, ..., l...) 
est une base de E puis déterminer

les composantes d'un polynôme P quelconque de E dans cette base.

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

Dans la suite de l'exercice, on note 1% = (mij)1giîjgn la matrice de passage de 
la base %" à la base Æ'.
3. Dans cette question uniquement, on suppose que n = 3, (11 = 0, cm = 1 et a:; 
= 2.

3.1 Donner7 sans justification, les polynômes L1, L2 et L3 et expliciter la 
matrice ]VI .

3.2 Montrer que 1 est valeur propre de la matrice M et déterminer le 
sous--espace propre associé.

Tournez la page S.V.P.

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

4. On revient au cas général.

4.1 Montrer que M est inversible. Calculer son inverse. (On pourra utiliser la 
question 2.)

"
4.2 Établir la relation : ZLi : l.
i=1

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

'" TL
4.3 Montrer que l'on a : 2 mm = 1. Montrer ensuite que pour tout i E [[2, n]], 
ÉmÜ = O.
j=1 j:1

4.4 Lorsque ... = 1, déterminer la somme des coefficients de chaque colonne de 
M.

Tournez la page S.V.P.

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

5. Dans cette question., on suppose que n > 4 et soit u l'endomorphisme de E 
défini par :
VP EUR E, u(P) = Q avec Q(X) : P(O) L1(X) + P(1) L2(X) + P(2) L3(X)

5.1 Déterminer Ker(u) et Im(u) Sont-ils supplémentaires ?

5.2 Déterminer les éléments propres de u et caractériser géométriquement u.

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

EXERCICE 2.

Dans tout l'exercice, 1 désigne l'intervalle [O, +00{ et CË(I,R) est le 
R-espace vectoriel des applications continues
de ] vers R.

On note E le lR--espace vectoriel constitué des éléments f de 'Ë(l,lR) tels que 
f2 est intégrable sur I., c'est-à--dire

+oo
tels que / [f(t)]2 dt converge.
0

Questions de cours

(a2 + 52).

1
1. Prouver que pour tous réels @ et b, ab < 5 2. Montrer que le produit de deux éléments de E est une application intégrable sur I . +00 3. Soit @ l'application qui au couple (f,g) EUR E2 associe le réel : .

Tournez la page S.V.P.

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

Partie 1

+00
Soit h, élément de +oo

2. En déduire l'existence d'une suite (an)nEURN d'éléments de ] telle que : lim 
an = +00 et lim h(an) = O.
n-->+oo n-->+oo

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

Partie 2

+00
Soit F l'ensemble des applications f de I dans R de classe %1 sur I, telles que 
les intégrales / 752 [ f (t)}2 dt et
0

+00
/ lf'(t)]2 dt convergent. Soit f EUR F.
0

+oc +00
1. Montrer que les intégrales / [f(t)l2 dt et / tf(t) f'(t) dt convergent.
0 0

1

+00 +00
2. Établir l'égalité: /0 tf(t)f'(t)dt=--5 /0 [f(t)l2dt-

On pourra, par exemple, utiliser un résultat de la partie 1.

Tournez la page S.V.P.

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

3. Démontrer que :

 (/Û+oe[f'(t)]2dt) (*)

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

4. Déterminer toutes les applications f EUR F pour lesquelles il y a égalité 
dans l'inégalité (*).

10

Tournez la page S.V.P.

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

EXERCICE 3.

On considère une expérience aléatoire dont l'ensemble des résultats possible 
est noté Q.

Soient k EUR N* et T une variable aléatoire définie sur Q et à valeurs dans 
[]0, It].

On considère alors une suite (XÙOEHO,k] de variables aléatoires de même loi et 
toutes à valeurs dans Z.
On suppose que les variables aléatoires X0, X1, . . . , X k et T sont 
mutuellement indépendantes.

On définit la variable aléatoire Y par :

T(W)

Vw EUR 9, Y(w) = z Xi(w)
i=0

1. Montrer que l'existence de l'espérance des variables aléatoires Xi entraîne 
l'existence de l'espérance de Y.

On pourra constater que (]T = jl)jEUR[]0,k]] constitue un système complet 
d'évènements.

2. Calculer alors EUR(Y) en fonction de EUR(Xg) et --*'(T).

11

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

3. On suppose que EUR(Xg) = 0 et que Xâ possède une espérance.
Prouver alors que : V(Y) = V(X0) *'(T).

12

Tournez la page S.V.P.

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

EXERCICE 4.

PARTIE A. Recherche de zéro d'une fonction

1. Soient @ et 19 deux réels, f : [a, b} --> R une fonction continue telle que 
f (a) f (19) < 0. 1.1 Justifier que f s'annule sur [a, b]. 1.2 Écrire une fonction Python rech_dicho prenant en arguments une fonction f: deux flottants & et b tels que f(a)f(b) < 0 et une précision eps et qui renvoie un couple de réels encadrant un zéro de f a une précision eps près. 13 NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE 2. Soit f une fonction continue de [O, 1] dans ]0, 1]. 2.1 Montrer que f admet un point fixe (c'est a dire un réel 0 de [0,1] tel que f(c) : c). 2.2 Écrire une fonction Python rech_pt_fixe qui prend en argument une fonction f que l'on suppose conti- nue de ]0, 1] dans ]0, 1], une précision eps et qui renvoie un couple de réels encadrant un point fixe de f a une précision eps près. On pourra utiliser la fonction rech_dicho. PARTIE B. Recherche dans une liste. 1. On propose l'algorithme suivant 1 def rech_dicho(L,g,d,x)z 2 """L est une liste, telle que L[g:d+i] est triee""" 3 if x>L[d]:

4 return d+1

5 else:

6 a=g

7 b=d

8 while a!=b:

9 c=(a+b)//2
10 if x<=L[c]: 11 b=c 12 else: 13 a=c+1 14 return a 14 Tournez la page S.V.P. NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE 1.1 On prend L = [2,4,5,7,7,8, 10]. Que renvoient les instructions suivantes ? >>>rech_dicho (L1 .,5 ,6)
>>>rech_dicho(Lû .,5 ,1)

On donnera les valeurs prises par les variables a et b a chaque passage ligne 9.

1.2 Détailler clairement ce que fait le programme rech_dicho.

1.3 Déterminer; en le justifiant, la complexité du programme, mesurée en nombre 
de comparaisons. On
utilisera, si besoin est, la notation O, et on pourra exprimer cette complexité 
en fonction d'un ou
plusieurs paramètres parmi len(L), g, (1, x.

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

2. Proposer un algorithme tri_dicho de tri par insertion utilisant la fonction 
rech_dicho pour trouver la
position à laquelle insérer l'élément.

16

Tournez la page S.V.P.

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

3. Estimer le nombre d'afl'ectations de tri_dicho ainsi que le nombre de 
comparaisons effectuées par l'al--
gorithme tri_dicho. Comparer avec le tri par insertion classique.

17