e3a Maths 1 PSI 2016

Thème de l'épreuve Cinq exercices indépendants
Principaux outils utilisés séries numériques, éléments propres, endomorphismes, loi d'une variable aléatoire, programmation
Mots clefs transformation d'Abel, projecteurs spectraux, nombres jumeaux, nombres premiers

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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120 CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH Épreuve de Mathématiques 1 PSI Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de L'usage de calculatrices est interdit. AVERTISSEMENT La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs. Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. Tournez la page S.V.P. Exercice 1. Soit (an )nN une suite de réels. Pour tout n N , on pose : bn = n(an - an+1 ), An = n ak et Bn = k=1 1 1. On prend dans cette question, pour tout n 1, an = 1.1 Vérifier que la série 2n-1 n bk k=1 . an converge et calculer sa somme. n1 1.2 Déterminer le rayon de convergence de la série entière n xn-1 n1 1.3 Montrer que la série bn converge et calculer sa somme. n1 2. On prend dans cette question, an = 1 , n 2 et a1 = 0. n ln(n) 2.1 Etudier la monotonie et la convergence de la suite (an )n2 . 2.2 Quelle est la nature de la série an ? n1 2.3 Calculer lim n an . n+ 2.4 Quelle est la nature de la série bn ? n1 3. On suppose dans cette question que la série an converge et que la suite (an )nN est une suite décroissante n1 de réels positifs. 3.1 Pour tout entier naturel n non nul, on note un = 2n ap . Montrer que : n N , n a2n un . p=n+1 3.2 En déduire lim n a2n . n+ 3.3 Démontrer alors que lim n an = 0. n+ 3.4 Montrer que la série bn converge. n1 3.5 A-t-on + n=1 an = + bn ? n=1 4. On suppose dans cette question que la série bn converge et que la suite (an )nN est positive, décroissante n1 et de limite nulle. 4.1 Vérifier que : m N , m n, Bn Am - m an+1 . 4.2 En déduire que la série an converge. n1 2 4.3 Peut-on en déduire que + an = n=1 + bn ? n=1 Exercice 2. Pour tout entier naturel n, on note en : x R+ - xn e-x . Soient N N et E le sous-espace vectoriel de C 1 (R+ , R) défini par : E = Vect(e0 , e1 , ..., eN ). 1. Montrer que B = (e0 , e1 , ..., eN ) est une base de E. En déduire la dimension de E. 2. Pour tout élément g de E, on note (g) = g . 2.1 Démontrer que L (E) 2.2 Ecrire la matrice A de dans la base B. est-il un automorphisme de E ? 2.3 Déterminer les éléments propres de . L'endomorphisme est-il diagonalisable ? 3. Soient k 0, N et x 0. Montrer que la série de terme général wn = ek (x + n) est convergente. 4. 4.1 Pour tout entier naturel k, on considère une suite (un,k )nN telle que la série un,k converge . n0 Citer le théorème du cours qui justifie que l'on a pour tout N N : N + n=0 k=0 un,k = + N k=0 un,k . n=0 4.2 Soit f E. Démontrer que la série de terme général un = f (n + x) est convergente pour tout x 0. On note alors F (x) = + f (n + x). n=0 4.3 Justifier que la série de terme général nj e-n pour tout j fixé de N est convergente. On note alors Aj = + nj e-n . n=0 4.4 Exprimer F (x) en fonction des Aj pour tout x 0. 4.5 En déduire que F E et que l'application : f - F ainsi définie est un endomorphisme de E. 5. Ecrire la matrice de dans la base B en fonction des Aj . L'endomorphisme est-il diagonalisable ? 3 Tournez la page S.V.P. Exercice 3. 1. Programmes mystères 1.1 On donne les programmes python P0 et P1 suivants. Que renvoient les appels P0(5) , P1(5) et P0(9) , P1(9) ? Dire en une phrase ce que fait chacun des programmes P0 et P1 ? P1 P0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 def P0 ( N ) : # N entier naturel if N == 1 : return False if N == 2 : return True for d in range (2 , N ) : if N % d == 0 : return False return True 1 2 3 4 5 6 7 8 9 def P1 ( N ) : # N entier naturel if N == 1 : return False if N == 2 : return True for d in range (2 , N ) : if N % d == 0 : return False return True 1.2 En une phrase dire ce que fait le programme python, P2, qui utilise le programme P1 précédent : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 def P2 ( N ) : # N entier naturel L = [] k = 0 n = k * k + 1 while n <= N : if P1 ( n ) : L . append ( n ) k = k + 1 n = k * k + 1 return L Que renvoie l'appel P2(127) ? 1.3 Écrire une fonction nextPrime en langage python qui prend un argument entier N et qui retourne comme valeur le premier nombre premier qui est strictement supérieur à N. 1.4 Nombres jumeaux On appelle couple de nombre premiers jumeaux toute liste [p,q] telle que p,q sont deux nombres premiers vérifiant p < q et q = p + 2. Par exemple [3,5], ou[11,13] sont des couples de nombres premiers jumeaux alors que [2,3] ne l'est pas. 1.4a Écrire à l'aide de la fonction nextPrime précédente, une fonction python nommée jumeau, prenant comme argument un entier N et renvoyant le couple [p,q] de nombres premiers jumeaux tel que p strictement supérieur à N et le plus petit possible. Par exemple, >>> jumeau(5), renvoie comme valeur : [11, 13] 4 Tournez la page S.V.P. *** Dans tout l'exercice : · on identifie le vecteur V de Rn et la matrice colonne de ses composantes dans la base canonique de Rn . x1 · on munit l'espace Rn du produit scalaire usuel : (X|Y ) = t X Y où t X désigne la transposée de la matrice X = ... . xn · M est une matrice de Mn (R) possédant n valeurs propres réelles distinctes, 1 , ..., n . Pour tout k 1, n, on choisit un vecteur Vk non nul de Ek = Ker(M - k In ) 1. Montrer que la matrice t M , transposée de M , est diagonalisable dans Mn (R) et admet les mêmes valeurs propres que M . On choisit alors, pour tout k 1, n, un vecteur Wk non nul de Ker(t M - k In ). 2. Prouver que : (i, j) 1, n2 , i = j = t Vi Wj = 0. 3. Démontrer que : i 1, n, t Vi Wi = 0. Pour tout k 1, n, on note Bk = 4. Exemple : Soit A = 1 0 tV 1 (Vk t Wk ). k Wk 1 . 2 Vérifier que A posssède deux valeurs propres 1 et 2 , distinctes et telles que 1 < 2 . Déterminer les matrices B1 + B2 et 1 B1 + 2 B2 . 5. On revient au cas général. Soit k 1, n. Déterminer le rang de Bk . Calculer Bk2 . La matrice Bk est-elle diagonalisable dans Mn (R) ? 6. Déterminer P = n Bk et Q = k=1 n k B k . k=1 7. Soit r N. Déterminer Gr = n (k )r Bk . k=1 Exercice 5 1. Soient x R et x la fonction qui à tout réel t associe x (t) = max(x, t). 1.1 Donner une représentation graphique de x . 1 x (t) dt. 1.2 Calculer (x) = 0 1.3 Donner une représentation graphique de . Dans toute la suite de l'exercice, on considère une variable aléatoire X, définie sur un espace probabilisé (, A , P) et on admet que l'on définit une variable aléatoire Y , définie sur le même espace probabilisé par : 1 , Y () = max(X(), t) dt 0 6 M. Um:oe 038 9538? un msg 55 ...o... moeoËwîfi5oe. UmæoewBÈo--. ...ÀË woS 85 8 m D. a. U...Ëm 83m 95355... N 93 55 ...o... UËoE...Ëm %wî, 3 o@ = m 2* 3 N... flo. 2. w.H ÜoE...OE VÂDY ÎÛn H et o....-- & m NAD? ......oe%®Ëbom $ ?  

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 e3a Maths 1 PSI 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Benjamin Monmege (Enseignant-chercheur à l'université). Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants. P · Le premier exercice compare la nature d'une série aP n , où (an )nN est une suite décroissante de réels positifs, à celle de la série n(an - an+1 ). Après l'étude de deux exemples, on démontre que les deux séries sont de même nature, et de même somme en cas de convergence. C'est l'occasion de mettre en pratique un grand nombre de techniques sur les séries numériques. · Le deuxième exercice étudie deux endomorphismes sur le sous-espace vectoriel E de C 1 (R+ , R) engendré par les fonctions x 7- xn e -x pour 0 6 n 6 N : l'opérateur de dérivation et l'opérateur défini par + f E x > 0 (f )(x) = P f (x + n) n=0 On justifie qu'il s'agit bien d'endomorphismes de E et on étudie leur diagonalisabilité après avoir écrit leurs matrices dans une base. Aucune connaissance sur les séries de fonctions n'est utile pour l'étude de , on se contente d'outils simples sur les séries numériques. · Le troisième exercice porte sur le langage Python. D'abord, on doit décrire des programmes donnés dans l'énoncé portant sur les nombres premiers. Ensuite, trois questions amènent à la rédaction d'un programme court qui calcule une liste de couples de nombres premiers jumeaux, c'est-à-dire de la forme (p, p + 2) avec p et p + 2 premiers. Enfin, on détermine les valeurs prises par une fonction Python définie (doublement) récursivement. · Le quatrième exercice commence par des questions de cours sur les images, noyaux et éléments propres d'un endomorphisme. La suite est indépendante et porte (sans le dire) sur la construction des projecteurs spectraux d'une matrice M Mn (R), possédant n valeurs propres distinctes, à partir des vecteurs t propres de M et de M. L'étude est entièrement matricielle, avec une légère excursion dans la structure euclidienne canonique de Rn . · Le cinquième exercice s'intéresse à l'image Y = (X) d'une variable aléatoire réelle X par la fonction intégrale définie par Z 1 x R (x) = max(x, t) dt 0 Après avoir étudié la fonction , on traite les cas particuliers d'une variable X suivant une loi géométrique, une loi binomiale et une loi artificielle de support constitué de quatre valeurs. Les outils de probabilités sont de niveau 1re S (tableau d'une loi, calcul d'espérance) et les techniques de calcul de niveau collège (addition de fractions). Cet exercice devait être traité très rapidement. Globalement, ce sujet teste la maîtrise du calcul (sommes, matrices, fractions) et les compétences de base sur les chapitres abordés, tout en proposant des exercices originaux et accessibles au plus grand nombre des étudiants. Indications Exo1-1.1 Exo1-1.2 Exo1-1.3 Exo1-2.2 Exo1-2.3 Exo1-3.1 Exo1-3.2 Exo1-3.3 Exo1-3.4 Exo1-4.1 Exo1-4.2 Exo2-1 Exo2-2.1 Exo2-2.3 Exo2-3 Exo2-4.2 Exo2-4.4 Exo3-1.1 Exo3-1.3 Exo3-1.4a Exo3-1.4b Exo3-2.4 Exo4-P.4 Exo4-1 Exo4-2 Exo4-3 Exo4-5 Exo4-6 Exo5-1.2 Exo5-2 Exo5-3.2 Exo5-4.3 Exo5-4.4 C'est une série géométrique. C'est une série dérivée. Prendre x = 1/2 dans la série de la question 1.2. Effectuer une comparaison série/intégrale. Développer l'écriture de bn et trouver un équivalent de bn à l'aide de développements limités en 0 de ln(1 + h) et 1/(1 + h). Utiliser la décroissance de la suite (an )nN . Majorer la somme par le reste d'une série convergente. Montrer que 0 6 nan 6 4 n/2 a2n/2 pour tout n > 2. Faire apparaître un terme télescopique dans l'écriture de bn . À l'aide d'une décomposition télescopique de bn obtenue à la question 3.4, démontrer que Bn = An+1 - (n + 1) an+1 pour tout n > 1. Puis étudier le signe de Bn - Am + m an+1 pour m 6 n. Considérer p = n - m > 0 dans l'inégalité de la question 4.1 ; puis faire tendre p vers + pour m N quelconque fixé. Utiliser la définition de la liberté. Montrer que, pour toute fonction g E, la dérivée (g) est bien dans E en calculant les dérivées des fonctions ek pour 0 6 k 6 N. Raisonner sur la matrice A. P Comparer la série wn avec une série de Riemann. Partir d'une décomposition 0 e0 + · · · + N eN de f dans E (i R). Reprendre la décomposition de f introduite à la question 4.2, échanger les sommes dans l'expression de F(x) puis utiliser la formule du binôme. Attention à l'indentation de l'instruction return True. Écrire une boucle while avec une variable p incrémentée à chaque étape. Utiliser la fonction nextPrime pour ne tester que des nombres premiers. L'énoncé interdit d'utiliser la fonction jumeau. Traiter d'abord le cas où n [[ 90 ; 100 ]], puis le cas où n < 90 en introduisant le plus petit entier k N tel que n + 11k > 90. Trouver des relations sur les multiplicités des valeurs propres. t Montrer que M et M ont le même polynôme caractéristique. t Démontrer que (i - j ) Vi Wj = 0 à partir des définitions de Vi et Wj . Raisonner par l'absurde en se rappelant que le vecteur nul est le seul vecteur orthogonal à tous les vecteurs d'un espace euclidien. La matrice Bk est le produit d'une colonne par une ligne. Pour le calcul de Bk 2 , se souvenir que le produit d'une ligne par une colonne n'est rien d'autre qu'un scalaire. Calculer PVi et QVi pour tout i [[ 1 ; n ]]. Distinguer trois cas suivant la position de x par rapport à 0 et 1. Les valeurs de X sont toutes supérieures à 1. Remarquer que Y() = X() pour tout . Déterminer les produits possibles entre une image de X et une image de Y. Passer son chemin ! Sinon, décomposer les entiers en produits de facteurs premiers afin de simplifier les calculs sur les fractions. Exercice 1 Exo1-1.1 La série P an est géométrique de raison 1/2 ] -1 ; 1 [ donc + Sa somme vaut P La série P an converge. + 1 P 1 1 = =2 k 2 1 - 1/2 = n-1 [k=n-1] n=1 2 k=0 + soit P an = 2 n=1 P n-1 P n Exo1-1.2 La série entière nx est la série dérivée de la série entière x de rayon 1. D'après le cours, ces deux séries entières ont même rayon de convergence d'où Le rayon de convergence de la série entière P nxn-1 vaut 1. Exo1-1.3 Pour tout n > 1, bn = n (an - an+1 ) = n 1 2n-1 - 1 2n = n 1 = ·n n 2 2 n-1 1 2 En prenant x = 1/2 ] -1 ; 1 [ dans la question 1.2, on conclut par linéarité que La série P bn converge. On peut dériver terme à terme la somme d'une série entière sur son disque ouvert de convergence. Ici, si x ] -1 ; 1 [, + P d n d +P x = xn dx n=1 n=1 dx + P d +P d 1 1 n-1 n d'où nx = x -1 = -1 = dx n=0 dx 1 - x (1 - x)2 n=1 + soit P nxn = n=1 Pour x = 1/2, on a + P n=1 bn = x (1 - x)2 =2 (1 - 1/2)2 Exo1-2.1 La suite (n ln n)n>2 est croissante de limite + car c'est le produit de deux fonctions usuelles positives qui le sont. Par inverse, La suite (an )n>2 est décroissante de limite nulle. Exo1-2.2 La fonction x 7- 1/(x ln x) est positive et décroissante sur [ 2 ; + [. Par croissance de l'intégrale sur [ k ; k + 1 ] pour k > 2, Z k+1 Z k+1 1 1 1 k > 2 ak = = dx > dx k ln k k ln k x ln x k k Sommons cette inégalité pour k allant de 2 à n > 2. D'après la relation de Chasles, Z n+1 n Z k+1 n n X P P 1 1 dx = dx n > 2 An = ak = 0 + ak > x ln x x ln x k=1 k=2 2 k=2 k Z n+1 h in+1 1 Or, dx = ln |ln x| = ln ln(n + 1) - ln(ln 2) ---- + n x ln x 2 2 P Par comparaison, la suite (An )nN des sommes partielles de la série an diverge, c'est-à-dire que P La série an diverge. P P La série an est une série de Bertrand 1/ n (ln n) avec = = 1. Rappelons que ces séries ne sont pas au programme, ce qui nécessite d'étudier leur nature à la main. Si 6= 1 ou = 1 et > 0, il suffit de comparer la série de Bertrand à une série de Riemann. Sinon, une comparaison série/intégrale permet de répondre. Exo1-2.3 Pour n > 2, nan = 1/ ln n d'où lim nan = 0 n+ Exo1-2.4 Déjà, comme la suite (an )n>2 est décroissante (question 2.1), la suite (bn )n>2 est positive à partir du rang 2. Ensuite, pour tout n > 2, 1 1 1 n 1 0 6 bn = n - = - × n ln n (n + 1) ln(n + 1) ln n n + 1 ln(n + 1) Déterminons un équivalent de bn à l'aide d'un développement limité. D'une part, n 1 1 1 = =1- +o n+1 1 + 1/n n n 1 1 1 D'autre part, ln(n + 1) = ln n + ln 1 + = ln n + + o n n n 1 1 1 1 1 d'où = · = 1-o ln(n + 1) ln n 1 + o(1/n) ln n n 1 1 1 1 1 Finalement, bn = - 1- +o 1+o ln n ln n n n n 1 1 1 = 1-1+ +o ln n n n 1 1 bn · = an n+ ln n n D'après le théorème de comparaison pour les séries à termes positifs, la question 2.2 implique que P La série bn diverge. Exo1-3.1 Soit n N . Puisque la suite (an )nN est décroissante, on a a2n 6 ak pour tout k [[ n + 1 ; 2n ]]. En sommant ces 2n - (n + 1) + 1 = n inégalités, on obtient n N na2n 6 2n P ak = u n k=n+1