E3A Maths A PSI 2014

Thème de l'épreuve Polynômes de Tchebychev
Principaux outils utilisés polynômes, algèbre bilinéaire, trigonométrie
Mots clefs polynômes de Tchebychev, produit scalaire, interpolation de Lagrange

Corrigé

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e {3 &: CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH Epreuve de Mathématiques A PSI Durée 3 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 094 L'usage de calculatrices est interdit. AVERTISSEMENT La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs. Tournez la page S.V.P. Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. Problème Etant donné un entier naturel n on note R,, ]X ] le R-espace vectoriel des polynômes a coefficients réels et dont le degré est inférieur ou égal a n. 'ÏL Si P : Zazka E R,, ]X ], on dit que P est de degré n lorsque le coefficient an est non nul; ce coefficient est alors appelé k=0 n << coefiîcz'ent dominant de P >>. Dans tout le problème on identifie le polynôme P : î: czka et sa fonction polynomiale associée. k=0 Pour tout entier naturel n, on appelle en la fonction définie pour 95 EUR ]--1, 1] par : c,,(oe) : cos(n arccos(oe)) PARTIE 1. 1. Vérifier que pour tout entier naturel n, la fonction en est continue sur [--1,1]. 2. Pour 95 EUR ]--1, 1], donner une expression polynomiale de cO(oe), cl(oe), 02(oe) et 03(oe). 3. Représenter graphiquement dans un même repère orthonormal les fonctions Co, cl, 02 et Cg. 4. Montrer que : Vn EUR N*,Voe EUR ]--1, 1], cn+1(oe) + cn_1(oe) : 2oecn(oe). 5. Soit la suite de polynômes (Tn)neN définie par : T0 : 1,T1 : X, et VTL EUR N,Tn+2 : 2XTn+1 -- Tn Montrer que pour tout entier naturel n, T,, est un polynôme de degré n de coefficient dominant que l'on explicitera. 6. Prouver que, pour tout entier naturel n, la famille (TO,T1, ..., Tn) est une base de R,, ]X ] 7. Montrer que pour 95 EUR ]--1, 1] et n E N, on a T,,(oe) : c,,(oe). PARTIE 2. 1. Pour tout couple (P, Q) d'éléments de R]X] on pose (P]Q) : /1 Mdt. _1 \/ 1 -- 152 1.1 Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire sur R]X ] On note ]].]] la norme associée. Dans toute la suite du problème R]X ] est muni de ce produit scalaire. 1.2 Soient p et q dans N, on pose Ip,q : / cos(p 9) cos(q 9) dB. 0 Démontrer que, si l'on a p # q alors Ip,q : 0. Calculer I...,. 1.3 Montrer que, pour tout entier naturel n, la famille (TO,T1, ...,Tn) définie dans la partie 1 est une base orthogonale de R..., ]X ] Cette base est-elle orthonormale ? 1.4 Prouver que pour tout entier naturel n non nul, T... est orthogonal a Rn_1 ]X ] T.,, 2 1.5 Montrer que : Vn E N*, (X"]Tn) : ]] ]] 2n--1' n--1 2. Soient n E N*, a0,a1, . . . ,an_1 des réels et P le polynôme de Rn[Xl défini par : P = X" + Z ak Xk k=0 'n 2.1 Justifier l'existence d'une unique famille de réels (bk)ogk R définie par = et ük($k) = 1 Vérifier que, pour tout 95 réel7 on a : wk(oe) : Lk(oe). 2.4c Soit j E N. Calculer lim COS(J EUR) _ COS(J 91EUR) . 9-->9k cos(9) -- cos(9k) d9 existe. En déduire que l'intégrale uj : /7T cos(j @) -- cos(j 91EUR) 0 cos(9) -- cos(9k) (_1 k+1 Montrer que l'on a Àk : un sin(9k). 2.4d Vérifier que : Vj E N, uj+2 -- 2uj+1 cos(9k) + uj : 0 2.4e En déduire que Àk : Î. n 3. Démontrer que, pour tout polynôme R E R2n_1[X], on a la relation : /--11 Ëdt =% i R(c08(w)) IN CHOIS Y -- 141094 -- D'après documents fournis

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 E3A Maths A PSI 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Gauthier Gidel (ENS Ulm) et Benjamin Monmege (ENS Cachan). Ce problème, qui combine algèbre (polynômes et espaces euclidiens) et analyse (calcul différentiel et intégral), se concentre sur les polynômes de Tchebychev, sujet d'étude ô combien classique, sans toutefois les nommer, ce qui est pour le moins surprenant. Il est constitué de trois parties qui peuvent être abordées indépendamment les unes des autres, car tous les résultats utiles apparaissent clairement dans l'énoncé. · Dans la première partie, on retrouve la définition et les propriétés fondamentales des polynômes de Tchebychev. · Dans la deuxième partie, on définit un produit scalaire sur R[X] et l'on montre ­ entre autres propriétés ­ que les polynômes de Tchebychev en constituent une base orthonormale. · Dans la troisième et dernière partie, on utilise les polynômes d'interpolation de Lagrange associés aux racines de l'un des polynômes de Tchebychev pour simplifier le calcul du produit scalaire. Le sujet ne comporte pas de difficulté particulière et fait appel à des techniques et notions très classiques, qui ne devraient pas surprendre un candidat maîtrisant le programme... et ne manifestant pas d'intolérance à la trigonométrie, outil incontournable dès que les polynômes de Tchebychev sont dans les parages. De plus, l'énoncé est d'une longueur raisonnable, constitué de questions précises et bien articulées, ce qui permet d'envisager de le traiter dans le temps imparti. Indications Partie 1. 2 On peut utiliser les formules d'addition des sinus et des cosinus, ainsi que la formule de Moivre. 4 Les formules d'addition mènent droit au but. 5 Effectuer une récurrence double sur n. 6 Établir la liberté de cette famille grâce au résultat de la question précédente. 7 Une nouvelle récurrence double conduit rapidement au résultat. Partie 2. 1.2 Utiliser les formules d'addition afin de linéariser l'intégrande. 1.3 Employer le résultat de la question 7, partie 1, puis effectuer le changement de variable t = cos afin de récupérer les résultats de la question précédente. 1.5 Partir de la division euclidienne de Tn par Xn , puis calculer (Tn | Tn ). 2.2 Exprimer de deux manières différentes (P | Tn ). 2.3 Utiliser les résultats des questions 1.3 et 2.1. 2.4 Dans quel cas l'inégalité précédente est-elle une égalité ? Partie 3. 2.1 Prouver que c'est une famille libre en évaluant une combinaison linéaire nulle en xj , pour j [[ 1 ; n ]]. 2.2 Employer la même idée pour déterminer les coordonnées de G dans la base L . 2.3b Combiner les résultats des questions 2.2 et 2.3a. 2.4b Ne pas perdre de vue que Tn est divisible par X - xk , ce qui permet de montrer que k est un polynôme. 2.4c Utiliser des développements limités à l'ordre 1 pour calculer la limite. Ensuite, effectuer le changement de variable t = cos dans l'intégrale définissant un . 2.4d Partir du calcul de uj+2 + uj , en pensant aux relations établies au cours de la question 4, partie 1. On peut aussi user de l'identité ab-cd = a(b-d)+d(a-c). 3 Combiner les résultats des questions 2.3b et 2.4e. Partie 1. 1 On sait que les fonctions Arccos et cos sont continues sur [ -1 ; 1 ] et sur R respectivement. De ce fait, en tant que composée de fonctions continues, La fonction cn est continue sur [ -1 ; 1 ] pour tout n N. 2 Soit x [ -1 ; 1 ]. Alors c0 (x) = cos(0) = 1 De plus, par définition de la fonction Arccos , il vient c1 (x) = cos(Arccos x) = x Rappelons que la fonction cos décrit une bijection de [ 0 ; ] sur [ -1 ; 1 ], dont la bijection réciproque est la fonction Arccos . Pour tout réel , on a de plus cos(2) = cos 2 - sin 2 = 2 cos 2 - 1 donc c2 (x) = cos(2 Arccos x) = 2x2 - 1 Enfin, d'après la formule de Moivre, on a pour tout réel cos(3) = Re (cos + i sin ) 3 = Re cos 3 + 3i cos 2 sin - 3 cos sin 2 - i sin3 = cos 3 - 3 cos (1 - cos 2 ) cos(3) = 4 cos 3 - 3 cos si bien que c3 (x) = cos(3 Arccos x) = 4x3 - 3x On peut également retrouver l'expression de cos(3) en fonction de cos à l'aide des formules d'addition des sinus et cosinus, en écrivant cos(3) = = = cos(3) = cos(2) cos - sin(2) sin (2 cos 2 - 1) cos - 2 sin 2 cos (2 cos 2 - 1) cos - 2(1 - cos 2 ) cos 4 cos 3 - 3 cos 3 Notons déjà que les fonctions affines c0 et c1 ont pour courbes respectives la droite horizontale d'équation y = 1 et la première bissectrice des axes d'équation y = x. La courbe de c2 est quant à elle la parabole d'équation y = 2x2 - 1 : sa concavité est donc dirigée vers le haut et elle a pour sommet le point S(0; -1). Enfin, la fonction polynomiale c3 est dérivable et, pour tout x [ -1 ; 1 ], 1 1 1 = 12 x + x- c3 (x) = 12x2 - 3 = 12 x2 - 4 2 2 ce qui permet de dresser son tableau de variations : x c3 (x) -1 + c3 (x) -1/2 0 1 - 0 1 -1 1 + -1 Voici les courbes Ci de ces quatre fonctions dans un repère orthonormal : y C1 2 C2 C0 1 x 0 -2 -1 0 1 2 -1 C3 -2 4 Soient n N , x [ -1 ; 1 ] et = Arccos x ; alors cn+1 (x) = cos((n + 1)) = cos(n + ) = cos(n) cos - sin(n) sin et donc cn-1 (x) = cos((n - 1)) = cos(n - ) = cos(n) cos + sin(n) sin cn+1 (x) + cn-1 (x) = 2 cos(n) cos = 2cn (x) c1 (x) d'où, d'après la question 2, n N x [ -1 ; 1 ] cn+1 (x) + cn-1 (x) = 2xcn (x) On pouvait retrouver ce résultat en employant directement la formule de factorisation des cosinus p+q p-q (p, q) R2 cos p + cos q = 2 cos cos 2 2