E3A Maths A PSI 2012

Thème de l'épreuve Vrai/Faux sur les suites et les séries entières. Étude des suites (un)n∈N vérifiant un+p = un + a.
Principaux outils utilisés suites récurrentes d'ordre 2, séries entières, endomorphisme
Mots clefs suites, suites récurrentes d'ordre 2

Corrigé

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 938 Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - EST P -- ARCHIMEDE Épreuve de Mathématiques A PSI Durée 3 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. AVERTISSEMENT La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte. QUESTIONS D'APPLICATIONS DU COURS Parmi les affirmations suivantes indiquez sans justification (sauf à la question 2.d.) celles que vous jugez vraies et celles que vous jugez fausses Soient a et b deux réels. On note <Ê'a,b l'espace vectoriel des suites réelles qui vérifient la relation : Vn E N, un+z = aun+1 + b un. a. Pour tous réels a et b, é"... contient au moins une suite géométrique non nulle. b. Pour que é"... contienne deux suites géométriques linéairement indépendantes, il suffit que a = --3 et b = 4. c. Pour que £a,b contienne deux suites géométriques linéairement indépendantes, il faut que a = --3 et b = 4. d. é"a,b contient deux suites géométriques indépendantes lorsque a = 2 et b = --1. e. La condition a2 + 4b ; 0 est une condition nécessaire pour qu'il existe dans é"a,b deux suites géométriques indépendantes. a. L'application f : U G é"... l-----> (u......) E R2 est une application linéaire toujours surjective mais injective seulement si 2 a + 4b < 0. b. La condition a # 0 est une condition suffisante pour que g : U EUR EUR... n--> (u... 11.2) E R2 soit un isomorphisme. c. La dimension de 623, est égale à. deux seulement si a2 + 4b ; 0. d. Donner en le justifiant soigneusement une base de l'espace vectoriel â'a'b dans le cas où a = --1 et b = --1. Question 3. nn On considère la série entière ê an a;" où an = --'-- et on note R son rayon de convergence. n. 7121 an+1 a. On a lim n-->+oo a,n = 1 et on en déduit que R = 1. . a 1 , . , . .. . . b. On a lim "+ > 1 et on en dedu1t que la serre ent1ere diverge pour toute valeur du reel ac. n-->+oo an 1 c. On a R < --. 2 Question 4. . ... , . ... n \ sin(n) On cons1dere la serre ent1ere 2 an x ou an = et on note fr son rayon de convergence. n n>1 * 1 a.Ona:VnEURN,|an|<£etdonc,rgl. b.Ona:r21. c. Le rayon de convergence de la série entière Ê sin(n) svn--1 vaut 1 et donc, 7" = 1. 7121 1 d.Ona:r2î +00 1 1 sin(n) " _ x -- cos(l) e. Pour toutæEUR]--ê,ë[, Z a; --arctan _ . n=1 n sin(1) +oo . 1 1 srn(n) . f.PourtoutæEUR)--ê,--2--[, 2 n æ"=--ln|1--xe'l. n=1 , 1 1 +°° sin(n) ,, 1 _ 2 g. PourtoutrEUR _ê'ä , Â n r =êln(1--2a, cos(1)+x ). PROBLÈME Dans tout le problème, E désigne l'espace vectoriel des suites réelles. On pourra noter une suite U E E sous la forme : u = (no, u1,u2, . . . ,un, . . .) ou sous la forme u = (un). Une suite u de E est dite périodique de période ;D E N* lorsqu'elle vérifie : Vn G N, un+p = un. PARTIE A Soit l'ensemble 5% = {u E E] Vn G N, un+z + u,, = 0}. TF 1. Soient les deux suites À et u définies par : Vn E N, )... = cos ("2) et ,u,, = sin (11%) 1.1 Vérifier que A et n sont des éléments de .5"g. 1.2 Montrer que ces deux suites sont périodiques. 2. Montrer que 5% est un sous-espace vectoriel de E. 3. Donner une base de 5% et préciser sa dimension. 4. Soit U EUR 5% non nulle. 4.1 La suite 11 est-elle convergente? 4.2 La série En... de terme général 11... est--elle convergente? +oo 4.3 Soit f la fonction de la variable réelle oe donnée par f (a:) = z u,, x" n=0 Donner l'ensemble de définition de f et une expression de f (a:) a l'aide des fonctions usuelles et des termes ...) et ul. PARTIE B Soit .5" = {U E E | Ela E R, Vn G N, un+z + un = 2a}, c'est--à--dire l'ensemble des suites réelles n pour lesquelles il existe une constante réelle et telle que pour tout entier naturel n, un+z + un : 2a 1. 1.1 On prend : Vn G N, U.,, = (--1)". Vérifier que n $ .5". 1.2 On prend : Vn G N, U" = (--1)E(n/2) où E(t) désigne la partie entière du réel t. Vérifier que u EUR .5" et préciser la valeur du réel et correspondant. 1.3 On prend un = 5. Vérifier que 'a E .5" et préciser la valeur du réel a correspondant. 2. Vérifier que les suites constantes appartiennent a .5" . 3. Déterminer les suites géométriques appartenant à .5" . 4. Montrer que .5" est un sous-espace vectoriel de E. 5. A--t--on ÿCÿo ? ÿ0Cÿ? 6. Soit 

fi(") : uo ; u2. Montrer que ça est une forme linéaire sur .5" . Quel est son noyau? 7. Soit 11 EUR E définie par : Vn EUR N, v,, = 1; Montrer que .5" = Yo @ Vect(v) où Vect(v) est la droite vectorielle engendrée par la suite 1}. 8. Soit 11. EUR .5" . Déterminer alors pour tout entier naturel 71, une expression de un en fonction de 'n. 9. Montrer que tout élément u de .9" est une suite périodique de période 4. 10. Prouver que l'application 9 : u EUR Y |_) 0(u) = (ue, ..., @) EUR R3 est un isomorphisme d'espaces vectoriels. On note C = (I, J, K) la base de .5" obtenue comme image réciproque de la base canonique de R3 par 9 : 9(I) = (1,0,0), 9(J) = (0,1,0) et 9(K) : (O, O, 1) 11. Expliciter les cinq premiers termes de chacune des suites I, J et K. 12. Soient k EUR N* et T}, :u EUR E »--+ Tk(u) = w définie par : Vn EUR N, w., = w.... 12.1 Vérifier que T;, est un endomorphisme de E. 12.2 Le sous--espace .? est--il stable par T2 ? 12.3 Le sous--espace .? est-il stable par T 3 ? 12.4 Ecrire la matrice, dans la base C obtenue à la Question 10., de l'endomorphisme 7'3 induit par T3 sur .5" . 12.5 L'endomorphisme 73 de .? est-il diagonalisable ? 12.6 Reconnaître alors la nature géométrique de 73. 13. Soient u EUR .5" et h la fonction de la variable réelle :c donnée par Mr) = 2 un a:". n=0 Exprimer h(oe) à l'aide des fonctions usuelles pour 55 EUR] -- 1, 1[. Etudier les prolongements possibles en --1 et 1. PARTIE C Soient p EUR N, 1) 2 2 fixé et l'espace vectoriel .5"p : {u EUR E ] 3a EUR R, Vn EUR N, un+p + u,, = 2a} 1. Montrer que tout élément de Y,, est périodique de période 219. 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 2. SoitF= ' ' ' ' ' e.x//p+1(R). () 0 '- 1 0 --1 0 0 2 0 0 0 1 2.1 Calculer le polynôme caractéristique de la matrice F. 2.2 Déterminer les valeurs propres de F. 2.3 F est-elle inversible? 2.4 F est--elle diagonalisable dans .//{p+1((C) ? dans /lp+1(R) ? uo+up 2 7 3. Prouver que l'application 5 définie par : Vu EUR 5%, ô(u) : (ug,u1, . . . ,up_1,a) EUR ]RP+1 où a : est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Quelle est la dimension de 5"? ? On note C,, l'image réciproque de la base canonique de Rp+1 par 6. 4. Soit 1,b l'application définie par : î,b :u EUR 5",, »----> 1[1(u) = t telle que Vn E N, tn : un+1 4.1 Vérifier que 1/1 est un endomorphisme de 5%. 4.2 Sans nouveaux calculs, préciser w2P : 1/1 01,b0... ozÿ, composée 2p fois de l'application d}. 4.3 Ecrire la matrice de 1,11 dans la base Cp de 5%. 4.4 w est-elle diagonalisable ? 4.5 Prouver que 1/1 est bijective et déterminer son inverse 1/1"1. Fin de l'épreuve

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 E3A Maths A PSI 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Martin (ENS Lyon) ; il a été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Guillaume Batog (Professeur agrégé). L'épreuve porte essentiellement sur l'espace vectoriel des suites réelles, avec en particulier l'étude de suites récurrentes d'ordre 2. Elle est constituée d'un exercice et d'un problème qui sont indépendants. · L'exercice est une succession de Vrai/Faux pour lesquels aucune justification n'était demandée. Les questions concernent les suites récurrentes d'ordre 2 et les séries entières. · Le problème porte sur les suites ; on s'intéresse à l'ensemble Sp = {u RN | a R n N un+p + un = 2a} La partie A considère le cas p = 2 avec a = 0. Ensuite, la partie B, la plus longue, étudie le cas particulier de S2 . Enfin, la partie C s'intéresse au cas p quelconque (p > 2). Ces trois parties ont pour objectif commun de trouver une base de Sp en utilisant à chaque fois les mêmes outils (applications linéaires, séries entières, diagonalisation), les questions étant de plus en plus difficiles à mesure que l'on avance dans le problème. La longueur et la difficulté de ce sujet se situent dans la moyenne de ce genre d'épreuves de 3 heures. De nombreuses questions sont faciles et nécessitent avant tout une rédaction irréprochable. Les correcteurs y sont sensibles et savent apprécier les copies empreintes de rigueur. On peut noter la nouveauté qu'apporte l'introduction de questions Vrai/Faux. Les concepteurs de sujets rivalisent d'imagination dans l'élaboration des énoncés. Bien que les justifications ne soient pas exigées, il ne faut en aucun cas proposer une réponse qui ne soit pas mûrement réfléchie (un contre-exemple est vite arrivé). Indications Questions d'application du cours 1 Considérer l'équation caractéristique de la suite récurrente d'ordre 2 considérée, à savoir X2 - aX - b = 0, dont le discriminant est égal à a2 + 4b. 2.a L'application linéaire f est toujours injective. 2.d Lorsque les deux racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique sont exp(i) et exp(-i), une base de solutions est alors donnée par (n cos(n))nN , (n sin(n))nN 3.c Appliquer la règle de D'Alembert à la série de terme général an (2/5)n et en déduire que R 6 2/5. 4.c Penser à intégrer la série entière. 4.f Comparer les dérivées des deux termes. Problème A.4.1 Montrer que si u S0 converge vers alors u est constante égale à et nécessairement = 0. A.4.3 Calculer explicitement un selon la parité de n. B.7 Remarquer que S0 = Ker() est un hyperplan de S . B.8 Considérer la suite w = u - (u)v. B.10 Montrer que est injective en utilisant le résultat de la question B.8. B.12.2 Regarder l'image de par T2 . B.13 Utiliser l'expression obtenue à la question B.8. C.2.1 Développer det(F - XIp+1 ) d'abord par rapport à la dernière ligne puis selon la première colonne. C.2.4 Remarquer que F admet p + 1 valeurs propres distinctes et non toutes réelles. C.4.2 Se rappeler que tout élément de Sp est 2p-périodique. C.4.3 Bien réaliser que la matrice F n'a pas été introduite pour le roi de Prusse... Questions d'application du cours 1.a Faux. Si a = b = 0, on a un+2 = 0 pour tout n > 0. Ainsi, la seule suite géométrique vérifiant cette condition est la suite nulle. Dans les questions suivantes, les concepteurs du sujet ont voulu tester la capacité des candidats à reconnaître des conditions nécessaires et suffisantes. 1.b Vrai. Si a = -3 et b = 4, on a un+2 = -3un+1 + 4un pour tout n > 0. L'équation caractéristique de cette suite récurrente d'ordre 2 est X2 + 3X - 4 = 0 dont 1 est une racine évidente, l'autre racine étant alors -4. Les suites u et v définies par un = 1 et vn = (-4)n , linéairement indépendantes, appartiennent alors à E-3,4 . Les suites u et v définies par un = pn et vn = q n sont toujours linéairement indépendantes si p 6= q. En effet, si u + µv = 0 alors u0 + µv0 = + µ = 0 puis u1 + µv1 = (p - q) = 0. Si p 6= q, on en déduit que = µ = 0. 1.c Faux. En choisissant a et b tels que X2 - aX - b ait deux racines réelles distinctes, l'ensemble Ea,b contient deux suites géométriques linéairement indépendantes. Par exemple, si l'on prend (a, b) = (0, 1) 6= (-3, 4), on remarque que cette condition est encore vérifiée. En conclusion, le fait que Ea,b contienne deux suites géométriques linéairement indépendantes n'entraîne pas que a = -3 et b = 4. Autrement dit, l'implication réciproque de la question précédente est fausse. 1.d Faux. Si a = 2 et b = -1, l'équation caractéristique X2 - 2X + 1 = 0 admet 1 comme racine double. L'ensemble E2,-1 = {(a + bn)nN | a, b R} ne contient donc comme suites géométriques que la droite vectorielle des suites constantes. 1.e Vrai. Une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe deux suites géométriques linéairement indépendantes dans Ea,b est que le trinôme X2 - aX - b ait deux racines réelles distinctes. Cela revient à dire que = a2 + 4b > 0. La condition a2 + 4b > 0 est nécessaire pour avoir = a2 + 4b > 0 (mais elle n'est pas suffisante). 2.a Faux. L'application linéaire f est toujours injective : si f (u) = (u0 , u1 ) = (0, 0), alors u2 = au1 +bu0 = 0 et par une récurrence immédiate sur n on montre que un = 0 pour tout n > 0, c'est-à-dire u est la suite nulle. Soit (, ) R2 , on pose u telle que u0 = , u1 = et pour tout n > 2, un = aun-1 + bun-2 . On a u Ea,b et f (u) = (, ), ce qui assure la surjectivité de f . Par conséquent, f est un isomorphisme : une suite u Ea,b est entièrement caractérisée par la donnée de u0 et de u1 . 2.b Vrai. Supposons a 6= 0. Soit (, ) R2 , considérons la suite u définie par u0 = , u1 = ( - b)/a et un = aun-1 + bun-2 pour tout n > 2. Alors u2 = d'où g(u) = (, ). L'application linéaire g est donc surjective, montrons maintenant qu'elle est injective : si (u0 , u2 ) = (0, 0) alors u1 = 0 et par le même raisonnement qu'à la question précédente, u est la suite nulle. Ainsi, g est un isomorphisme. 2.c Faux. Comme f est un isomorphisme, on a toujours dim(Ea,b ) = 2. 2.d Pour a = b = -1, l'équation caractéristique devient X2 + X + 1 = 0 dont les racines sont j = exp(2i/3) et = exp(-2i/3). Lorsque les deux racines complexes de l'équation caractéristique sont exp(i) et exp(-i), une base de solutions est donnée par (n cos(n))nN , (n sin(n))nN . On en déduit une base de E-1,-1 : ! 2n 2n cos , sin 3 3 nN nN 3.a Faux. Soit n N. Comme an 6= 0, on peut calculer explicitement an+1 /an . an+1 (n + 1)n+1 n! (n + 1)n+1 (n + 1)n = = = = (1 + 1/n)n an (n + 1)! nn (n + 1) nn nn Or n (1 + 1/n) = exp(n ln(1 + 1/n)) = exp(n [1/n + o(1/n)]) = exp(1 + o(1)) an+1 ----- e 6= 1 an n+ Par conséquent, 3.b Faux. L'affirmation lim an+1 /an > 1 est vraie, mais la suite de la proposition n+ est complètement farfelue : une série entière converge toujours en x = 0. 3.c Vrai. En utilisant la limite obtenue à la question 3.a, il vient que : an+1 (2/5)n+1 2 an+1 2e = ----- >1 (e 2, 718) an (2/5)n 5 an n+ 5 Ainsi, en appliquant la règle de D'Alembert pour les séries à termes positifs, la série entière diverge en x = 2/5, d'où R 6 2/5 < 1/2. Une autre façon de faire consiste à utiliser la règle de D'Alembert pour les séries entières (à la limite du programme, donc à utiliser avec modération) qui s'énonce de la manière suivante : si an 6= 0 pour tout n N et que |an+1 /an | ----- [ 0 ; + ] alors le rayon de convergence de la série P n+ entière an xn est égal à 1/. Le rayon de convergence vaut alors ici 1/e. 4.a Faux. On a bien |an | 6 1/n pour tout P n > 1, mais cela implique r > 1, et non r 6 1 (car le rayon de la série entière xn /n est égal à 1). Rappel : si |an | 6 |bn | pour tout n N alors R 4.b Vrai (vu dans la question précédente). P P an xn > R bn xn . 4.c Vrai. Notons r le rayon de convergence de la série entière P sin(n)xn-1 . n>1 Le sinus étant borné, on en déduit que r > 1. Pour x = 1, comme sin(n) ne tend pas vers 0 quand n tend vers +, la série diverge grossièrement, d'où r = 1. Puisque la P série entière an xn en est la série des primitives, il en résulte que r = r = 1. n>1 Le rayon de convergence de la série entière des dérivées/primitives est toujours identique à celui de la série entière d'origine. Et tant que l'on reste dans le disque ouvert de convergence, on peut dériver/intégrer terme à terme. 4.d Vrai car r = 1 > 1/2.