E3A Maths A PSI 2011

Thème de l'épreuve Algèbre linéaire en dimension finie
Principaux outils utilisés réduction des endomorphismes, polynômes, équations différentielles, quadriques
Mots clefs matrice, matrice symétrique, diagonalisation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 e 3 5 Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Mathématiques A PSI Durée 3 h Si, au cours de l'é reuve un candidat re ère ce ui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une 9 part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Dans toute l'épreuve, . n est un entier naturel supérieur ou égal à 2, o //{n (R) désigne l'espace vectoriel des matrices à coefficients réels à n lignes et n colonnes, 0 on identifiera la matrice A E J!" (R) et l'endomorphisme f A de R" canoniquement associé, 0 In est la matrice identité et On la matrice nulle de J,, (R). Questions de Cours 1. Donner la définition de deux matrices semblables. Chacune des affirmations suivantes est--elle vraie ou est--elle fausse ? On justifiera la réponse par une démonstration ou un contre--exemple en dimension adéquate. 2.1 Deux matrices semblables ont le même rang. 2.2 Deux matrices ayant le même rang sont semblables. 2.3 Deux matrices semblables ont le même déterminant. 2.4 Deux matrices ayant le même déterminant sont semblables. 2.5 Si A E J/{n(R) vérifie A2 + 5A ----- 6In : 0... alors R" : ker(A ---- In) @ ker(A + 61n). 2.6 Si A E Æn(lR) vérifie A2 + 5A ---- 6In : 0... alors R" : ker(A + I,.) {B ker(A ---- 61"). 2.7 Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. 2.8 Deux matrices ayant le même polynôme caractéristique sont semblables. Soit A E Æn+1(R). On appelle a,--j le coefficient de A situé sur la i--ième ligne et sur la j-ième colonne. On suppose que pour tout couple (i,j) EUR {1,...,n + 1}2, on a : a,,--=O Sij=i a,-j=i sij=i+1 aij=n--i+2 sij==i--l a,,-=O sinon Ainsi, par exemple, pour n = 5 : 010000 502000 A___040300 003040 , 000205 000010 Enfin, dans tout le problème, on note E : R"+1. On prend dans cette partie n = 2 et on note tA la matrice transposée de la matrice A EUR .//{3 (R). 4 0 1. Soit B : tA A. On trouvera B de la forme : B = * 2 * * * * 1.1 B est--elle diagonalisable ? 1.2 Démontrer, sans les calculer, que les valeurs propres de B sont réelles, positives ou nulles. 1.3 Vérifier le résultat de la question précédente par le calcul des valeurs propres de B. 2. Soit % l'ensemble des points M (ac, y, z) de R3 défini par : 2æ2+4æz+y2+222=1 2.1 Donner la nature de (EUR et ses éléments de symétrie. 2.2 Déterminer les intersections de "EUR avec chacun des trois plans d'équations cc : 0, y = 0 et z = O, notées respectivement Cl, C2 et C3. 2.3 Sur la feuille jointe à annexer à la copie, donner une représentation graphique de chacune de ces inter-- sections et une allure de 'É . 3. Soit 13 E N. 3.1 Déterminer le reste de la division enclidienne de X ? par X 3 ----- 10 X 2 + 16X 3.2 Justifier que B3 ---- 10 B2 + 16B : On. La matrice B est--elle inversible '? Si oui, déterminer son inverse. 3.3 Déterminer les réels a,, et b,) tels que : VpEURN*, B"=apB2+pr " 1 3.4 Soit Tp=zÿBk. k=0 ' Vérifier que : V p E N, T,, est combinaison linéaire de I... B et B2. Déterminer lim TP. p--+ + oo Les résultats établis dans cette partie ne sont pas utiles pour traiter la suite du problème. On prend dans cette partie n = 3. Soit Æ' : (el, e2, 83, 64) la base canonique de E et f l'endomorpbisme de E dont la matrice dans la base @ est A. On rappelle que : f0 : idE et pour tout k 6 N, f'°+1 : f'° of. 1. Pour tout z' EUR {O, 1,2,3}, on pose u,--+1 : fi(el). Montrer que la famille 11 : (u1,u2,u3,u4) est une base de E. ' 2. Ecrire la matrice M de f dans la base U . 3. Calculer le polynôme caractéristique de f. 4. Déterminer les valeurs propres de A et une base de chacun des sous--espaces propres de A. On choisira pour chaque vecteur propre, la premiére composante non nulle égale à 1. 1 i 1 1 1 3 0 0 0 5. SoientK=--â-- â --Î :î _â etD= g _(1) (1) g 1 --1 1 ----1 0 0 0 --3 Existe--t-il une matrice P E GL4 (R) telle que K AP : D ? Si oui, en déterminer une. 6. Déterminer toutes les fonctions a:, y, z et u de la variable réelle t, de classe C1 sur R qui vérifient le système différentiel : OE'(t) = y(t) y'(t) = 3æ(t) + 2 z(t) z'(t) : 2 y(t) + 3u(t) u' (t) : z(t) On rappelle que n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on note E,, = R,, [X ] Soit 9 l'application définie par : VQEEn ,9(Q)=nXQ--(X2--1)Q' où Q ' désigne le polynôme dérivé du polynôme Q. 1. 2. |A Vérifier que g est un endomorphisme de E., et donner sa matrice dans la base canonique Æc : (1, X, X 2, ..., X ") de En. Soit (E,\) l'équation différentielle : où A est un réel quelconque. 2.1 Résoudre l'équation différentielle (&) pour a: E] ---- 1,1[. O our a re 1 1 1 1 n r m r e : = -- -- p "que qu oe2--1 2 :::--1 a:+1 2.2 Discuter suivant les valeurs du paramètre réel À l'existence de solutions polynomiales non nulles de ($;) sur ] --- 1, 1[. . En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de g. . La matrice A EUR J/{n+1(R) définie au début du problème est--elle diagonalisable '? . Calculer le déterminant de la matrice A. On considère l'équation différentielle (? ) : y' ' (cc) --- y(x) : 0 et on note : 311 la solution de (f ) qui vérifie y1(0) : 1 et yî (O) = 0 3/2 la solution de (f ) qui vérifie y2(0) = 0 et yê(0) : 1 Soient, pour tout le E {O, ..,n} et tout a: E R, gk(æ) : [y1(æ)]""k x [y2(æ)]k et {EUR = (go, ...,gn). 1. Exprimer m et y2 comme combinaisons linéaires des fonctions ch et sh. 2. Prouver que G : Vect (? ) est un espace vectoriel de dimension n + 1 dont EUR? est une base. 3. Soit A l'endomorphisme de l'espace C°° (R, R) qui à une fonction h associe A(h) : h'. 3.1 Montrer que A induit sur G un endomorphisme que l'on notera 5 . 3.2 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A. 3.3 On note, pour tout m EUR N,  

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 E3A Maths A PSI 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été relu par Arnaud Borde (École Polytechnique) et Tristan Poullaouec (Professeur agrégé). Ce sujet d'algèbre linéaire traite d'endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées correspondantes. Il se compose de 9 questions de cours et d'un long problème. Les questions de cours consistent en une définition et 8 questions sous forme de vrai/faux autour des matrices semblables et des quantités invariantes par similitude. Le problème, quant à lui, se compose de 4 parties. · La première partie se place dans M3 (R) et propose notamment un calcul d'exponentielle de matrice. · La deuxième partie étudie le spectre d'un élément de M4 (R) avant de s'attaquer à la résolution d'un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants de 4 équations à 4 inconnues. · La troisième partie étudie un endomorphisme de Rn [X]. On montre notamment qu'il est diagonalisable. · Enfin, la quatrième partie propose l'étude de la restriction de l'opérateur de dérivation sur C (R, R) à un sous-espace stable de dimension finie, et se conclut en remarquant que la matrice de cet endomorphisme dans une bonne base est la même que celle de l'endomorphisme de Rn [X] introduite lors de la partie précédente. Sans véritable difficulté technique, ce sujet proche du cours donne l'occasion de mettre oeuvre les notions de base d'algèbre linéaire et de réduction des endomorphismes en dimension finie. Ses 40 questions n'avaient vraisemblablement pas vocation à être toutes traitées dans les trois heures de l'épreuve. Indications Questions de cours 2.2 Considérer les matrices A = 1 1 1 0 et B = . 0 1 0 1 Problème Partie 1 1.1 Vérifier que B est une matrice symétrique réelle. 1.2 Si X R3 r {0} est vecteur propre de B pour la valeur propre , justifier que t = (A X)(A X) t XX 3.1 Le reste est un polynôme de degré au plus 2 dont on connaît les valeurs aux racines de X3 - 10X2 + 16X. 3.2 Utiliser la question 1. 3.3 Penser aux questions 3.1 et 3.2. 3.4 Utiliser le résultat de la question précédente puis la diagonalisabilité de B. Partie 2 1 Montrer que c'est une famille libre de 4 vecteurs. 3 Calculer le polynôme caractéristique de M. 4 Le polynôme caractéristique de M est un polynôme de degré 4 sans terme de degré impair, donc un trinôme du second degré en X2 , que l'on peut factoriser. 6 Observer que le système s'écrit x x y y = A z z u u Partie 3 1 Justifier que g(En ) En . Montrer pour cela l'inclusion g(En-1 ) En et le fait que g(Xn ) En . 2.1 Écrire l'équation sous forme résolue sur ] -1 ; 1 [. 3 Le vecteur Q En est vecteur propre de g pour R si et seulement si x 7 Q(x) est une solution polynomiale non triviale de (E ). 4 Justifier que A Mn+1 (R) admet n + 1 valeurs propres distinctes. 5 Calculer le produit des valeurs propres. Partie 4 2 Pour montrer que la famille G est libre, utiliser le fait que y2 s'annule en 0 et uniquement en 0. 3.2 Attention, est un endomorphisme d'un espace de dimension infinie. Montrer que l'ensemble de ses valeurs propres est R tout entier. Questions de cours 1 Deux matrices A et B de Mn (R) sont semblables s'il existe une matrice inversible P dans Mn (R) telle que A = P-1 B P On rappelle qu'il est équivalent de dire que A et B représentent le même endomorphisme de Rn dans deux bases (en général) différentes. Par ailleurs, la similitude est une relation d'équivalence sur Mn (R). 2.1 Vrai : deux matrices de Mn (R) sont semblables si, et seulement si, elles représentent le même endomorphisme dans des bases (éventuellement) différentes. Le rang d'un endomorphisme étant le rang de sa matrice dans toute base, on en déduit que Deux matrices semblables ont même rang. Consacrer un peu de temps à bien répondre à une question de cours peut être payant. En effet, le rapport du jury pour cette épreuve pointe le fait qu'« une bonne connaissance du cours permet aux candidats, via la première partie de l'épreuve, d'obtenir un bon nombre de points. » 2.2 Faux : considérons les matrices 1 1 A= 0 1 et B= 1 0 0 1 Elles sont toutes deux de rang 2. Toutefois, toute matrice semblable à B est égale à B. Puisque A 6= B, on conclut que Deux matrices de même rang ne sont pas nécessairement semblables. Le rapport du jury regrette qu'« une majorité des candidats donne des contre-exemples sans les vérifier. » On rappelle que pour tout n N , la classe de similitude de la matrice identité de Mn (R) est réduite à cette seule matrice. En effet, P GLn (R) P-1 In P = P-1 P = In Si deux matrices de même rang ne sont pas nécessairement semblables, elles sont en revanche équivalentes. Rappelons que, par définition, deux matrices M et N de Mn (R) sont équivalentes lorsqu'il existe deux matrices inversibles P et Q de Mn (R) telles que M = Q-1 N P. Un résultat classique affirme alors qu'une matrice M Mn (R) est de rang r {1, . . . , n} si et seulement si elle est équivalente à la matrice canonique de rang r Ir Or,n-r Jr = On-r,r On-r,n-r 2.3 Vrai : si A, B Mn (R) sont deux matrices semblables, alors il existe une matrice inversible P dans Mn (R) telle que A = P-1 B P. Par suite, det A = = = det A = Ainsi, det(P-1 B P) det(P-1 ) det B det P (det P)-1 det B det P det B Deux matrices semblables ont même déterminant. Rappelons qu'une matrice P Mn (R) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Le rapport du jury avertit que, dans toute l'épreuve, « tout résultat énoncé doit être justifié avec rigueur. » 2.4 Faux : les deux matrices A et B introduites à la question 2.2 sont de déterminant 1 mais ne sont pas semblables. Ainsi, Deux matrices de même déterminant ne sont pas nécessairement semblables. 2.5 Vrai : le polynôme P = X2 + 5X - 6 se factorise en (X - 1)(X + 6). Appliquons le théorème de décomposition des noyaux pour obtenir, puisque les polynômes X - 1 et X + 6 sont premiers entre eux : Ker P(A) = Ker (A - In ) Ker (A + 6In ) Comme P est un polynôme annulateur de A par hypothèse, on a Ker P(A) = Rn d'où Rn = Ker (A - In ) Ker (A + 6In ) 2.6 Faux : considérons la matrice A = In et remarquons que A2 + 5A - 6In = On . Puisque A + In = 2In , on a Ker (A + In ) = {0}. De même, puisque A - 6In = -5In , on a Ker (A - 6In ) = {0}. Ainsi, Ker (A + In ) Ker (A - 6In ) est strictement inclus dans Rn . 2.7 Vrai : si A, B Mn (R) sont deux matrices semblables, alors il existe une matrice P Mn (R) inversible telle que A = P-1 B P. Par suite, pour C, on a det(A - In ) = det(P-1 B P - P-1 In P) = det P-1 (B - In ) P = (det P-1 ) det(B - In ) det P = (det P)-1 det(B - In ) det P det(A - In ) = det(B - In ) Ainsi, A et B ont le même polynôme caractéristique. Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. 2.8 Faux : les deux matrices A et B introduites en 2.2 ont le même polynôme caractéristique (1 - X)2 . Cependant, elles ne sont pas semblables. Ainsi, Deux matrices ayant même polynôme caractéristique ne sont pas nécessairement semblables.