E3A Maths A PSI 2010

Thème de l'épreuve Calcul de l'intégrale 0+∞ sin(ax)ex-1 dx
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants, séries de Fourier, séries de fonctions, développements limités, calculs d'intégrales

Corrigé

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 e 3 a 1OPSI1O Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Mathématiques A PSI Durée 3 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Dans tout le sujet, E désigne l'espace des fonctions de classe C°° de R à valeurs dans R : E : C°°(R,R). Applications directes du cours Soit f E E. 1. Démontrer que si f est paire alors ]" est impaire. 2. Démontrer une propriété analogue lorsque f est impaire. 3. Soit H l'application de E dans E qui à. toute application u E E associe l'application 'U E E définie par : Va: E R, v(a:) : u(----:c) 3.1 Vérifier que H est une symétrie vectorielle de E . 3.2 Retrouver, à l'aide de H , que tout élément de B se décompose de façon unique comme somme d'une fonction paire et d?une fonction impaire. 4. Les réciproques des résultats obtenus dans les questions 1 et 2 sont-elles vraies? 5. Déduire des questions précédentes toutes les fonctions de E qui vérifient : Va: E R, f"(:c) + f(----oe) = 1 + sin(2æ) Préliminaires. On rappelle E : C°°(R, IR) . Soit À E R et go l'application qui à y E E associe cp(y) : y" + Ày. 1. Vérifier que 

0. Déterminer un entier q tel que 2 2 ---- ,6 < 8. n=1 T). +00 1 1.6 Calculer : î: --7;2--. n=1 1.7 La fonction f est--elle de classe C2 sur R'? 2. Soit 0. E R*. . . +oe " cos (nx) Pour tout 56 E R, on définit la fonction h. : cc +------+ h (a:) : Z (----1) 2 2 n___1 n + a. 2.1 Prouver que il est définie et continue sur R tout entier. +oo 2.2 Déterminer les fonctions on : R ----+ R qui vérifient : V x E R, h (a:) = f (a:) + Z Un (a:). n=l +oo 2.3 Vérifier que la fonction a: +----> z Un (cr) est une fonction de classe C'2 sur IR. n=l 2.4 Prouver que la est de classe 02 sur ] ---- 7r, 7r[. 3. Montrer que la est solution sur l-- 7r, 7r{ dïme équation différentielle du type y" + Ày : lc où A et le sont des constantes réelles. 4. Calculer h'(0) et h2(7r) (dérivée à gauche de h en 7r). ; l 1 5. En déduire que : V .r EUR ]- 7r, 7r[, fi (m) : ...;ÛC ]li(Îaæ7)r) -- 2 (1°. ,8 " 6. Justifier que l'égalité précédente est encore valable sur le segment [--7r, 7r]. +00 1 7. C l a culer la valeur de 2 n2 + a? n=1 +00 1 8. En déduire la valeur de 2 n--2. On prend dans cette partie : a E Rj_. sin (au:) + 00 1. Prouver que l'intégrale : / dac converge. 0 e--'" ---- 1 + 00 2. Soient k E N* et Jk = / @ "'" sin (ax) doe. 0 2.1 Pour quelles valeurs de k: E N* l'intégrale Jk existe--t--elle ? 2.2 Pour ces valeurs, calculer Jk. 3. Pour tout 71 E N*, exprimer sous forme d'une intégrale +oo R...:/ s___--m(a'æ Îdoe--a Za 0 k=0 4. Prouver que : lim Rn : O. n----++oo 5. En déduire le résultat : Va>0, _1_ [+00 sin(aæ) da:= 7rch(a7r @ 0 @ Fin de l'épreuve +(k+1)2

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 E3A Maths A PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Juliette Brun-Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Laetitia Borel-Mathurin (Professeur en CPGE). Il s'agit d'un sujet classique d'analyse portant sur les équations différentielles, les séries de Fourier et les calculs d'intégrales. Il est composé de quatre parties. · Une première partie demande des applications directes du cours. On y démontre en particulier que toute fonction f de classe C sur R s'écrit de façon unique comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire de classe C sur R. Cette décomposition permet ensuite de résoudre une équation fonctionnelle en ramenant sa résolution à celles d'équations différentielles du second ordre à coefficients constants. · Une deuxième partie est consacrée à des questions préliminaires au problème. Elle traite essentiellement de la résolution d'équations linéaires du second ordre à coefficients constants, de la structure de l'ensemble des solutions de l'équation avec ou sans second membre et du lien de cet ensemble avec celui des fonctions bornées de classe C sur R. · Une troisième partie (la partie 1 du problème), étudie plus particulièrement une fonction 2-périodique, ses coefficients de Fourier et la convergence de la série de Fourier associée. Cette fonction permet ensuite de montrer que + h : x 7 P (-1)n n=1 cos(nx) a2 + n2 est de classe C 2 sur ] - ; [ pour tout a R . On prouve alors que la fonction h vérifie une équation différentielle du type de celles étudiées dans les préliminaires, ce qui permet d'en donner une expression explicite sur ] - ; [ puis sur [ - ; ]. Ce dernier résultat permet le calcul de certaines séries. · Enfin, une dernière partie (la partie 2 du problème) est consacrée à l'étude de la convergence et au calcul de l'intégrale Z + sin(ax) dx ex - 1 0 pour tout a > 0. On y utilise des résultats de la partie 1. Il s'agit donc d'un sujet d'analyse étudiant plusieurs thèmes centraux du programme, d'un niveau totalement abordable, ce qui permet de travailler ou réviser les chapitres correspondants. Les deux premières parties permettent également de faire le point sur sa connaissance du cours, comme le souligne le rapport du jury sur cette épreuve. Indications Applications directes du cours 3.1 H est une symétrie vectorielle de E si et seulement si H est un endomorphisme de E et H H = id E . 3.2 Si H est une symétrie vectorielle de E, alors E = Ker (H - id E ) Ker (H + id E ). 4 Démontrer que la réciproque de la question 1 est vraie et donner un contreexemple pour démontrer que la réciproque de la question 2 est fausse. 5 Raisonner par analyse-synthèse. Considérer une fonction f solution de l'équation, puis utiliser la décomposition de f comme somme d'une fonction paire u et d'une fonction impaire v. Réécrire l'équation en remplaçant f par u + v. Utiliser ensuite l'unicité de la décomposition pour en déduire deux équations différentielles vérifiées respectivement par u et par v. Les résoudre et conclure. Préliminaires 2 Penser au théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire. 3 Utiliser la question 2. 4 Utiliser la conséquence du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire sur la structure des solutions d'une équation linéaire homogène du second ordre. 5 Étudier et résoudre l'équation caractéristique associée en distinguant les cas : > 0, = 0 et < 0. 6 Utiliser la conséquence du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire sur la structure des solutions d'une équation linéaire du second ordre avec second membre. Pour déterminer une solution particulière de l'équation, chercher une solution constante dans les cas où 6= 0 et une solution polynomiale dans le cas où = 0. 7.1 Distinguer les cas > 0, = 0 et < 0. Dans les cas > 0, utiliser les vitesses de croissance en + et/ou en - des fonctions de la base de Ker (). 7.3 Raisonner par l'absurde. Utiliser et comparer les vitesses de croissance en + et/ou en - des fonctions intervenant dans la décomposition. 7.4 Deux sous-espaces supplémentaires sont nécessairement en somme directe. Pour le cas < 0, utiliser la question 7.3. Partie 1 1.1.1 Étudier la fonction sur [ - ; ] et en déduire par des translations le graphe de la fonction sur [ -2 ; 5 ]. 1.1.3 Utiliser le théorème de Dirichlet. 1.1.4 Appliquer la convergence de la série de Fourier de f en 0. 1.1.5 Utiliser le critère spécial des séries alternées. 1.1.6 Appliquer la convergence de la série de Fourier de f en . 1.1.7 Démontrer que la fonction f n'est pas continue en . 1.2.1 Démontrer que la série converge normalement sur R et que les fonctions x 7 (-1)n cos(nx) (n2 + a2 ) sont continues sur R pour tout n N . 1.2.2 Écrire sous forme de série la fonction h - f . 2 1.2.3 Montrer que les fonctions sont de classe P vn P P C sur R pour tout n N puis que les séries de fonctions vn , vn et vn convergent normalement sur R. + P 1.3 Calculer h et exprimer en particulier vn en fonction de h. n=1 1.5 Utiliser la question 6 des Préliminaires pour en déduire l'expression de la fonction h puis calculer la dérivée de cette expression. Appliquer le résultat de la question 1.4 pour en déduire l'expression demandée de h. 1.6 Employer un argument de continuité des fonctions de l'expression. 1.7 Appliquer les expressions de la fonction h des questions 1.2 et 1.5 au réel . 1.8 Calculer la limite en 0 de l'expression obtenue à la question 1.7 en utilisant les développements limités des fonctions ch et sh en 0. Partie 2 2.2.2 Faire deux intégrations par parties successives pour calculer Jk pour tout k > 1. 2.3 Écrire en fonction des (Jk )kN la somme a n P 1 2 + (k + 1)2 a k=0 puis utiliser la linéarité de l'intégrale. Reconnaître enfin la somme d'une suite P géométrique pour écrire Rn sans le symbole . 2.4 Penser au théorème de convergence dominée. 2.5 Calculer de deux façons différentes la limite de la suite n P 1 2 2 k=0 a + (k + 1) nN en utilisant les questions 1.7 et 2.3. Applications directes du cours 1 Soit f une fonction de E. Supposons que la fonction f est paire. On a alors : x R f (x) = f (-x) (1) Posons pour tout x R, g(x) = f (-x). La fonction g est la composée de la fonction x 7 -x par la fonction f et ces deux fonctions sont de classe C . La fonction g est donc de classe C sur R. Dérivons maintenant les deux membres de l'égalité (1) : x R f (x) = -f (-x) Par conséquent, la fonction f est impaire, d'où Si la fonction f est paire, alors la fonction f est impaire. 2 On raisonne de la même façon pour une fonction f de E impaire. En effet, on a x R f (x) = -f (-x) (2) D'après la question 1, la fonction x 7 f (-x) est dérivable sur R. D'où, en dérivant les deux membres de l'égalité (2), on obtient : x R f (x) = f (-x) Par conséquent, la fonction f est paire. Ainsi, Si la fonction f est impaire, alors la fonction f est paire. 3.1 Vérifions que H est une symétrie vectorielle de E. Commençons par prouver que H est un endomorphisme de E. Soient u et v deux applications de E et un réel. On a alors pour tout réel x, [H(u + v)](x) = [u + v](-x) = u(-x) + v(-x) = [H(u)](x) + [H(v)](x) Par conséquent, H(u+v) = H(u)+H(v) et H est un endomorphisme de E. De plus, x R [H (H(u))] (x) = [H(u)](-x) = u (-(-x)) = u(x) Ainsi, H H(u) = u d'où H H = id E . En conclusion, H est une symétrie vectorielle de E. Il est important de ne pas oublier de justifier que H est d'abord un endomorphisme de E, le rapport du jury insiste sur ce point en particulier. 3.2 Comme H est une symétrie vectorielle de E, E = Ker (H - id E ) Ker (H + id E ) Tout élément u de E s'écrit alors de façon unique comme la somme d'une fonction de Ker (H - id E ) et d'une fonction de Ker (H + id E ). Caractérisons ces deux noyaux. f Ker (H - id E ) H(f ) = f x R g Ker (H + id E ) H(g) = -g x R f (-x) = f (x) f est paire g(-x) = -g(x) g est impaire