E3A Maths A PSI 2008

Thème de l'épreuve Étude de séries entières sur le cercle de convergence
Principaux outils utilisés séries entières, suites, équations différentielles

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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 ;:+:--::+, e a Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Mathématiques A PSI Durée 3 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Questions de cours. Question 1. Les assertions suivantes, dans lesquelles E un et E vn désignent deux séries numériques n20 n20 réelles, sont--elles vraies, ou fausses '? En cas de réponse afiîrmative, vous démontrerez le résultat, et en cas de réponse négative vous donnerez un contre exemple. 1) (un) converge vers 0 => E un converge. n>0 2) E un converge => (un) converge vers 0. n>0 3) un ..., vn => 2 un et E vn sont de même nature. +00 n20 n20 4) E un converge => E | un] converge. n>0 n>0 Question 2. . , . ,, ln n Etud1er la convergence de la senc : (------ 1) n n>2 Préliminaires : Soit (t")neN une suite réelle qui converge vers 0. Soit 8 > 0 : il existe doncN & N tel que : VnEURN,tæ>N ==> |tnl  N, N n 1 1 Tn = tk + E tk» n+l n+l k=0 k=h@l 1.1.Prouverque: E tk < ne. k=Näl 1.2. En déduire que la suite (T n) converge vers 0. 2. Prouver alors le cas général : " Si (tn) converge vers T alors (T n) converge aussi vers T " . On pourra par exemple utiliser la suite (vn) définie par : V n EUR N, V,, = tn -- T. 3. On prend dans cette question : V n EUR N, tn = cos (m9), 9 EUR ]O,27r[, fixé . 3.1. Montrer que : sin((n +1)--â--) """"m<--â--) ' VnEURN, Tn= n--l--ICOS(n%) 3.2. La suite (T n) converge--t--elle ? 3.3. On prend ici 9 = %. La suite (tn) converge--t--elle ? 3.4. Conclure. Partie 1. Soit (an),,eN une suite réelle telle que : i) lim 11 an = 0. n++oe 1. Montrer qu'il existe un réel K tel que : VnEURN*, \anlâ--IÊ-- 2. En déduire que la série E an x" converge absolument pour tout x EUR [O, 1 [. n>0 +oe On note alorsflx) sa somme : \7' x EUR [0,1 [, f(x) = E anx". n=0 Page2/5 Désormais, on suppose que : +oo ii) lim E anx" = L EUR R. x--+l xn 4.2. Prouver que la suite (Mn) converge. Quelle est sa limite '? 5. Déduire de ce qui précède que : VnEURN, VxEUR[O,l[, " lllnl < | L"f(X) '+â lakl (1--xk)+ÎÎÏI--:----5 Mn puisque: VneN, Vx5[0,l[, 1 " |"HI < | L---f(x) l+(1*x) ;; klakl+m Mn- 6.0nprend:x= 1-----L--, n 6 N'". n En utilisant tout ce qui précède, y compris les préliminaires, prouver alors que lim un == 0. n--++00 7 . Conclure en énonçant clairement le résultat obtenu concernant la fonction f. Partie 2. Soit (E) l'équation différentielle : 1. Sur quels intervalles peut--on résoudre (E) '? 2. On note 1 == ]0, l [. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (E) sur I '? 1 H 1 l-----xeÏJÇ l+x' 3. Développer en série entière autour de l'origine les fonctions x » Donner les domaines de convergence des séries obtenues. Page 3 / 5 4. Trouver une solution développable en série entière autour de l'origine de (E). Donner le rayon de convergence de la série entière obtenue. +oe " 5.Soitcpzxelwq)x= x . () ä4n2--l 5.1. Déterminer les constantes a et [3 tels que l a 5 > :: V"--1' 4n2_1 2n--l+2n+l° " 2n+l . _____ x = u 5.2. Sment pourx EUR [et u 65 I, H(x) ,ÊO 2n + 1 et h(u) ,,.-- 2n + 1 Montrer que h(u) == ln / } ÎZ . 5.3. En déduire une expression simple de H(x). On pourra poser u = J: . 5.4. En déduire une expression de (p(x) à l'aide de fonctions usuelles. 5.5. Calculer la valeur de L = lim rp(x). x»l x<1 1 . 4n2--1 6.1. Vérifier que la suite (an) satisfait les hypothèses i) et ii) de la Partie 1. 6. Soit pourn & N*, an == 1 . 4n2--1 +00 6.2. Calculer, à l'aide des résultats précédents, la valeur de S ==-- 2 n=0 7 . On se propose dans cette question de retrouver la valeur de S directement. n Soit s,, = 2 M; 1 . k=l ___..-- _1_ .. 1 Prouver que S 2 (l 211 + 1 . Conclure. Partie 3. +oe Soit (C")nGN une suite de nombres réels telle que la série entière E en x" a pour rayon de n=0 convergence l. +oe On note alors, pourx EUR ]---- 1 , 1 [, h(x) = E cn x" et on suppose que : lim h(x) = H 63 R. x41 "30 x<1 Page4/5 1. La série E en est--elle toujours convergente ? n>0 On pourra utiliser des résultats établis dans la partie précédente. 2. On suppose de plus, et dans cette question uniquement, que : V n EUR N, en > 0. +00 Montrer que la série E cn converge et que l'on a : lim h(x) = E cn. x---+ 1 n20 x<1 n=0 3. On revient au cas général. En utilisant un résultat établi dans l'une des parties précédentes, quelle condition suffit--il de rajouter concernant la suite (c")neN pour que la série E C,, converge ? n>0 Fin du problème.

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 E3A Maths A PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (ENS Cachan). Ce sujet traite presque exclusivement de séries numériques et de séries entières, et tourne autour de la notion de convergence sur le cercle de convergence. Il fait intervenir les théorèmes importants du cours, et demande de savoir manier les inégalités proprement. Il est composé de deux questions de cours et quelques préliminaires suivis de trois parties liées. · Les questions de cours rappellent des résultats usuels sur les séries numériques. · Les préliminaires redémontrent les propriétés des suites de Césaro. · La partie I exhibe une condition suffisante pour qu'une série entière convergeant absolument sur son disque ouvert de convergence et admettant une limite au bord soit prolongeable par continuité sur le cercle de convergence. · Dans la deuxième partie, on résout partiellement une équation différentielle en cherchant une solution sous la forme d'une série entière, et l'on montre que cette dernière vérifie les hypothèses de la partie précédente. · Enfin, la partie III conclut sur la convergence de séries entières sur leur cercle de convergence en utilisant les résultats de la partie I. Ce problème constitue un bon exercice de révision des séries entières et met en évidence des différences de comportement sur le bord de leur disque de convergence. Hormis dans la partie III, il ne présente pas de réelle difficulté mais demande de bien maîtriser le cours. Le rapport du jury pointe du doigt dans les mauvaises copies « une suite informe de raisonnements faux et de calculs incorrects parfois contradictoires », ainsi qu'« une très mauvaise gestion des inégalités en général ». Indications Questions de cours 1 Pour la troisième proposition, prendre garde au fait que les suites ne sont pas nécessairement de signe constant. 2 Utiliser le critère des séries alternées. Préliminaires 1.2 Utiliser la décomposition de Tn en les deux sommes données par l'énoncé, puis montrer la convergence de (Tn ) en utilisant des . n 1 P e i k n + 1 k=0 3.1 Calculer la somme Partie I I.1 Une suite convergente est bornée. I.2 Étudier la convergence de la série entière de terme général K/n. I.4.1 L'ensemble {|kak | | k > n} est inclus dans R, non vide et majoré. I.4.2 La suite (Mn ) est décroissante. Utiliser ensuite i) pour trouver sa limite. I.5 Partir de l'expression déterminée à la question I.3 et utiliser l'inégalité k > n ak xk 6 Mn /nxk I.6 Afin de montrer que chacun des termes du membre de droite de l'inégalité précédente converge vers 0, utiliser successivement l'hypothèse ii), les préliminaires et la question I.4.2. Partie II II.2 Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz. + II.4 Chercher une solution sous la forme y(x) = P an xn et exploiter l'équation (E). n=0 II.5.2 L'expression h(u) fait intervenir les termes impairs d'une série facile à calculer. II.5.5 Simplifier aumaximum l'expression de (x) et remarquer que la limite du produit (1 - x) ln(1 - x) vaut 0 par croissances comparées. II.7 Utiliser le résultat de la question II.5.1. Partie III III.1 La question II.3 donne un contre-exemple. P III.2 Borner la suite des sommes partielles afin d'établir que la série cn converge. Montrer ensuite que la série de fonctions de terme général x 7 cn xn converge normalement sur [ 0 ; 1 ] : la fonction associée est donc continue. III.3 Exploiter les résultats de la partie II (en particulier la question II.6). Questions de cours 1 La première proposition est fausse : il suffit de considérer la suite (un ) définie par un = 1/(n + 1). Elle converge bien vers 0, alors que la série associée est la série harmonique, qui diverge. P La deuxième assertion est correcte. Supposons que la série un converge et notons (Sn ) la suite de ses sommes partielles : Sn = u0 +· · ·+un . Alors, par définition, la suite (Sn ) converge vers une limite finie . Or, un = Sn - Sn-1 , donc (un ) converge vers - = 0. La troisième proposition est fausse. En effet, posons un = (-1)n / n + 1 et sont équivalentes puisque leur vn = (-1)n / n + 1 + 1/(n + 1). Ces deux suites différence 1/(n + 1) est négligeable devant 1/ n + 1. En outre, la suite (un ) est alternée et son module tend en décroissant vers 0 : la série de terme général un vérifie donc le critère des séries alternées. Par suite, elle converge. Comme la série harmonique diverge, la série de terme général vn diverge aussi. Ce qui est trompeur, c'est que l'affirmation est vraie si les suites sont de signe constant. C'est ce résultat qui guide le choix d'un contre-exemple : on le cherche donc parmi les suites dont le signe change, et les plus connues sont celles faisant intervenir un (-1)n . Le rapport du jury signale des « choses bizarres sur les équivalents » avec des copies assurant que « 1/n et (-1)n /n sont équivalents mais une série converge et l'autre diverge » (l'équivalence est fausse). Remarquons enfin qu'on aurait pu montrer que (un ) et (vn ) sont équivalentes en calculant la limite de (vn /un ) (puisque (un ) ne s'annule pas) et en montrant qu'elle vaut 1. Enfin, le dernier énoncé est faux. Posons à nouveau un = (-1)n / n + 1. On vient de voir que la série de terme général un converge. En revanche, la série de terme général |un | est une série de Riemann, qui diverge car 1/2 < 1. Les propositions 1, 3 et 4 sont fausses, et 2 est vraie. 2 Posons un = (-1)n ln(n)/n : comme ln(n)/n > 0 pour n > 2, (un )n>2 est bien alternée et elle tend vers 0. Il reste à montrer que (|un |) est décroissante pour utiliser le critère des séries alternées. Posons pour cela f (x) = ln(x)/x pour x [ 2 ; + [. f est dérivable sur cet intervalle et 1 - ln x f (x) = x2 Si x > 3, ln x > 1, donc f (x) < 0. On en déduit que f est décroissante sur [ 3 ; + [, P puis que (|un |)n>3 est décroissante. Par suite, la série un converge. Comme elle n>3 ne diffère de la série étudiée que du terme constant u2 , La série P (-1)n n>2 ln n converge. n On peut étudier une série en lui retirant quelques-uns de ses premiers termes. Ici, il faut considérer n > 3 pour vérifier les hypothèses du critère des séries alternées (c'est-à-dire pour que le signe de la dérivée concernée soit constant). Préliminaires 1.1 D'après l'inégalité triangulaire, n P tk 6 k=N+1 n P k=N+1 |tk | En outre, comme pour tout k > N, |tk | 6 , on en déduit n n P P |tk | 6 = (n - (N + 1) + 1) = (n - N) k=N+1 k=N+1 n P d'où tk 6 n k=N+1 1.2 Soient > 0 et N l'entier défini précédemment. Décomposons la somme Tn et majorons sa valeur absolue : |Tn | = 6 |Tn | 6 N n P P 1 tk tk + n + 1 k=0 k=N+1 N P 1 1 tk + n + 1 k=0 n+1 n P tk k=N+1 N P 1 n tk + n + 1 k=0 n+1 le dernier résultat provenant de la question précédente. Posons AN = N P tk k=0 C'est une constante qui ne dépend que de N. Comme la suite 1/(n + 1) converge vers 0, il existe un entier N tel que pour n > N , 1/(n + 1) 6 /AN . En outre, n/(n + 1) 6 1. En posant n0 = max(N, N ), pour tout n > n0 , |Tn | 6 2 Comme est quelconque, 2 l'est aussi. Finalement, La suite (Tn ) converge vers 0. Il est faux de dire que « la suite (n/(n + 1)) converge vers 0 ». Il faut soit raisonner avec des limites, soit avec des , mais pas mélanger les deux. Le rapport du jury de cette épreuve signale à ce sujet que « la gestion des est souvent maladroite ou très incorrecte ». 2 Définissons la suite (vn ) par vn = tn - T. Alors Vn = n n n 1 P 1 P 1 P (tk - T) = tk - T = Tn - T n + 1 k=0 n + 1 k=0 n + 1 k=0 Par définition, la suite (vn ) tend vers 0, donc la question précédente assure que la suite (Vn ) tend vers 0. Le calcul ci-dessus montre alors que (Tn ) converge vers T. Finalement, Si la suite (tn ) converge vers T, la suite (Tn ) converge aussi vers T.