E3A Maths A PSI 2006

Thème de l'épreuve Étude d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants
Principaux outils utilisés calcul différentiel et intégral, séries de Fourier

Corrigé

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G41S e 3 5 Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques A PSI durée 3 heures Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de Iacalculatrice n'est pas autorisé Soit (L) l'équation différentielle : y "(x) ---- y(x) == h(x), définie sur [0,1], où b et y sont des fonctions définies sur [O, 1] à valeurs dans R, b continue et y de classe C2 et (L0) l'équation différentielle homogène associée : y ' ' (x) ---- y(x) == 0. Partie 1 : Expression des solutions de (L). 1. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (Lo) ? En donner une base. 2. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (L) ? x 3. Vérifier que la fonction h : x EUR [0,1] .... h(x) = ! sh (x ---- t) b(t) dt est une solution de O l'équation différentielle (L). (Rappel : pour tout z réel, sh(z) : ÊÎ--Ë-'Ë--ÏÏ-- et ch(z) : ËÎ--%Ê:î ). 4. En déduire que les solutions de (L) s'écrivent sous la forme : V x E [0,1], y(x) : Ach(x) + Bsh(x) + h(x) où A et B sont des constantes réelles. 5. Soient a et [? deux nombres réels. s (O) = a sh (1 ) Prouver l'existence d'une unique solution s de (L) vérifiant : et s ( l ) == fl sh ( 1 ) Page 1 / 4 Tournez la page S.V.P On admettra que la fonction 3 est la fonction : 1 s : xe [0,1] e--+ s(x) : ash(l ---x) +flsh(x)--J H(x,t) b(t) dt 0 où H est la fonction de deux variables définie par : H:[du2 @ R 1 . sh(l--x) sh(t) 31 tx 1 et que la fonction x » ] H(x, t) b(t) dt est de classe C2 sur [O, 1]2. 0 Partie 2 : Développement en série de Fourier de la fonction H. On fixe x dans [O, 1] et soit (p la fonction impaire, 2 ---- périodique, définie sur [O, 1] par : sh]l --- x) . sh(l) sh(t) s10 < t < x, sh (x) sh ( 1 ) V t 65 [0,1],  ([ f(t) sin (ant) dt). O 3. Donner la définition d'un endomorphisme auto-adjoint (ou symétrique) de E. Prouver que 'P est un endomorphisme auto--adjoint de E. 4. Vérifierque : VfEUR E, ('P(l) If) > O 5. Soit u & Etelle que : ('P (u) l u) = O 1 5.1. Vérifier que : V n 6 N, [ u(x) sin (nnx) dx = O. 0 5.2. Soit F la fonction définie sur R, impaire et 2 --- périodique, telle que : u(x) si x & ]O,l[ 2 six==Ooule F:xe[O,l]r--+F(x)={ Exprimer les coefficients de Fourier de F en fonction de u. 1 En déduire que : ! u2(x) dx = O. 0 5.3. Prouver alors que : Pour toute fonction v différente de la fonction nulle de E, ('P (v) | v) > 0. 5.4. Quel résultat peut--on en conclure pour les valeurs propres de '1' '? 6. Pour m & N*, soit la fonction fm définie par : V x EUR [0,1], fm(x) : sin (mm). 1 6.1. Soient p et q deux entiers naturels non nuls. Calculer : [ sin (7r px) sin (7cqx) dx. 0 6.2. Déterminer, pour m G N*, lP(fm). 7. Soit 2. une valeur propre de '1' et f À un vecteur propre associé. 7.1. Prouver que f). est de classe C2 sur [0,1]. Mo --- (1 --- -------O)y(x>0 = 7.2. Vérifier que f ). est solution du problème : y(O) : J'... =0 7.3. Prouver qu'il est impossible que ). = 1. 7.4. Prouver qu'il est impossible que 1 ----- %-- > 0. 7.5. Lorsque 1 ---- --1-- < 0, montrer qu'il existe m e N* tel que : ). = ---------------L----------. Â m2 7r2 + 1 7.6. Déterminer alors les éléments propres de 'P. Page 3 / 4 Tournez la page S.V.P Partie 4 : Calcul de la norme de l'endnmorphisme 'P. 1. Déterminer, pour m E N*, Il fm II. On pose alors, pour tout m EUR N*, m = ----£'--'1--. Nik" 2. Vérifier que : +oo 2.1. erE,'PU)= Wh..., 1 m 7t2 +1 m: +oo 2.2. ... E, ...2 = 2 (h... lf)2- m=l 3. En déduire que : er E, ||'P(I)ll2 < " "2 2. ' (n2+1) 4. Prouver que 'P est un endomorphisme continu de (E, || ll ). 5. Enfin, calculer : sup ll'P(f) Il. l|fll=1 Fin du problème. Page4/4

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 E3A Maths A PSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Chloé Mullaert (ENS Cachan). Cette épreuve s'intéresse à l'application qui à une fonction b continue sur [ 0 ; 1 ] à valeurs réelles associe l'unique fonction y de classe C 2 sur [ 0 ; 1 ] vérifiant ( x [ 0 ; 1 ] y (x) - y(x) = b(x) y(0) = y(1) = 0 · Dans la première partie, on démontre une formule exprimant (b) en fonction de b à l'aide d'une fonction intermédiaire H à deux variables. · Dans la deuxième partie, on écrit H comme la somme d'une série de fonctions. · Dans la troisième partie, on s'intéresse aux valeurs propres et aux vecteurs propres de l'application linéaire après avoir montré son caractère auto-adjoint pour le produit scalaire défini par Z 1 (f, g) C 0 ([ 0 ; 1 ] , R)2 (f | g) = f (x)g(x) dx 0 · Enfin, la quatrième et dernière partie démontre la continuité de l'endomorphisme de C 0 ([ 0 ; 1 ] , R) pour la norme induite par le produit scalaire, et l'on calcule la norme de . Ce sujet est d'une difficulté raisonnable à condition de bien maîtriser presque tous les chapitres d'analyse et d'algèbre linéaire, notamment les équations différentielles linéaires (théorème de Cauchy, principe de superposition), les séries de Fourier (coefficients trigonométriques, condition suffisante de convergence normale, relation de Parseval) et les endomorphismes dans un espace préhilbertien réel (symétrie, positivité, éléments propres, continuité). C'est une bonne occasion de réviser ou d'approfondir ces sujets délicats. Indications Partie I I.5 Raisonner par analyse-synthèse. Partie II II.2 Justifier que est continue et de classe C 1 par morceaux sur R puis démontrer n N an () = 0 et n N bn () = 2 sin(nx) 1 + n2 2 II.3 Justifier que la série de Fourier de converge normalement vers sur R. II.4 Exploiter le lien entre et H ainsi que les deux questions précédentes. Partie III 2 III.1 Utiliser le fait que H est bornée sur [ 0 ; 1 ] . III.2 Penser à la question II.4 et intervertir la somme et l'intégrale. III.3 Utiliser le théorème d'interversion des symboles de sommation et d'intégration pour montrer que pour tout (f, g) E2 Z 1 Z 1 + P 1 ((f ) | g) = 2 f (t) sin(nt) dt g(x) sin(nx) dx 2 2 n=1 1 + n 0 0 III.4 III.5.1 III.5.2 III.5.3 Utiliser la relation démontrée à la question précédente. Même indication que précédemment. Justifier que F vérifie l'identité de Parseval. Raisonner par l'absurde et utiliser la question III.4. III.6.2 Montrer que m N (fm ) = 1 fm 1 + 2 m2 III.7.3 Raisonner par l'absurde et utiliser la question III.7.2. III.7.4 Raisonner par l'absurde et intégrer sur [ 0 ; 1 ], après l'avoir justifiée, la relation 1 f f = 1 - f 2 III.7.5 Utiliser la question III.7.2. Partie IV IV.2.1 Utiliser la question III.2. IV.2.2 Procéder comme en III.5.2. IV.3 Appliquer le résultat de la question IV.2.2 à (f ), utiliser le caractère symétrique de puis exploiter le résultat de la question III.6.2. IV.5 Utiliser la question III.6.2 avec m = 1. I. Expression des solutions de (L) I.1 L'équation (L0 ) est linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants. Ainsi, Les solutions de (L0 ) sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] forment un espace vectoriel de dimension 2. L'équation caractéristique associée à (L0 ) est X2 - 1 = 0 Celle-ci admet deux racines réelles simples : -1 et 1. Il vient donc, Les fonctions t 7 e t et t 7 e -t forment une base de l'espace vectoriel des solutions de (L0 ) sur [ 0 ; 1 ]. Comme tout R-espace vectoriel de dimension 2, l'espace des solutions de L0 sur R admet une infinité de bases. Par exemple, la famille (ch , sh ) est également une base de cet espace. I.2 L'équation (L) est une équation linéaire, d'ordre 2 et à coefficients constants. De plus, la fonction b est continue sur [ 0 ; 1 ]. Par conséquent, Les solutions de (L) sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] forment un espace affine de dimension 2. Plus précisément, pour toute solution y0 de (L) sur [ 0 ; 1 ], l'espace (affine) des solutions de (L) sur [ 0 ; 1 ] est exactement l'ensemble y0 + S(L0 ) où S(L0 ) désigne l'espace (vectoriel) des solutions de (L0 ) sur [ 0 ; 1 ]. I.3 Définissons les fonctions h1 et h2 sur [ 0 ; 1 ] en posant pour x [ 0 ; 1 ] Z x Z x x-t h1 (x) = e b(t) dt et h2 (x) = e t-x b(t) dt 0 0 1 h = (h1 - h2 ) 2 de sorte que Remarquons que h1 (x) = e x Z x e -t b(t) dt et h2 (x) = e -x 0 Z x e t b(t) dt 0 Puisque la fonction b est continue sur [ 0 ; 1 ] et puisque les fonctions t 7 e t et t 7 e -t le sont aussi, il en est de même de leurs produits t 7 e t b(t) et t 7 e -t b(t). Par suite, les fonctions Z x Z x e -t b(t) dt x 7 e t b(t) dt et x 7 0 0 1 sont de classe C sur [ 0 ; 1 ]. Par produit, les fonctions h1 et h2 sont également de classe C 1 sur [ 0 ; 1 ]. De plus, pour x [ 0 ; 1 ], Z x x h1 (x) = e e -t b(t) dt + e x e -x b(x) = h1 (x) + b(x) 0Z x et de même h2 (x) = -e -x e t b(t) dt + e -x e x b(x) = -h2 (x) + b(x) 0 Par conséquent, la fonction h est de classe C 1 sur [ 0 ; 1 ] et vérifie 1 (h - h2 ) 2 1 1 = (h1 + b + h2 - b) 2 1 h = (h1 + h2 ) 2 h = Les fonctions h1 et h2 étant de classe C 1 sur [ 0 ; 1 ], il en est de même de h . Par suite, h est de classe C 2 sur [ 0 ; 1 ]. En outre, 1 (h + h2 ) 2 1 1 = (h1 + b - h2 + b) 2 1 = (h1 - h2 ) + b 2 h = h+b h = En particulier, La fonction h est solution de (L) sur [ 0 ; 1 ]. I.4 Remarquons que les fonctions ch et sh sont solutions de (L0 ) sur [ 0 ; 1 ] d'après le résultat de la question I.1. Puisqu'elles sont linéairement indépendantes, elles forment une base de l'espace vectoriel des solutions de (L0 ) sur [ 0 ; 1 ]. Comme h est une solution particulière de (L) sur [ 0 ; 1 ] d'après la question précédente, le résultat de la question I.2 assure que les solutions de (L) sur [ 0 ; 1 ] sont exactement les fonctions de l'ensemble h + S(L0 ) où S(L0 ) désigne l'ensemble des solutions de (L0 ) sur [ 0 ; 1 ]. Puisque S(L0 ) = Vect (ch , sh ) on en conclut que Les solutions de (L) sur [ 0 ; 1 ] sont exactement les fonctions de la forme x 7 A ch (x) + B sh (x) + h(x) où A et B sont deux constantes réelles quelconques. I.5 Raisonnons par analyse-synthèse. Supposons connue une solution s de l'équation (L) sur [ 0 ; 1 ] vérifiant s(0) = sh (1) et s(1) = sh (1) D'après la question précédente, il existe deux réels A et B tels que pour tout x [ 0 ; 1 ] s(x) = A ch (x) + B sh (x) + h(x) En particulier, s(0) = A ch (0) + B sh (0) + h(0) et s(1) = A ch (1) + B sh (1) + h(1)