Centrale Maths 2 PSI 2025

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2025

Mathématiques 2

Attribution d'une valeur à des séries divergentes
Le 23 février 1913 Srinivasa Ramanujan écrivit une lettre au mathématicien 
Godfrey Hardy dans laquelle il présenta
1
une théorie selon laquelle la somme infinie 1 + 2 + · · · + n + · · · vaut - 12
. S'en est suivi tout un ensemble de recherches
sur ce sujet...
L'objectif de ce problème est de présenter quelques situations où l'on attribue 
une valeur finie à "une somme infinie".
On s'interesse en particulier au cas de la série de terme général n. Dans la 
première partie sont présentées deux
1
, ce qui montre que cette valeur ne semble pas être
situations qui dans les deux cas font apparaître la valeur - 12
fortuite. La deuxième partie traite plus particulièrement de la façon dont 
Ramunajan a étudié les sommes infinies en
s'appuyant sur la formule de Euler-Maclaurin. La valeur qu'il octroie à ces 
sommes étant en quelque sorte un terme de
compensation entre une somme et une intégrale. Enfin la troisième partie 
consiste à établir des développements dits
tayloriens généralisés.

Notations et définition
On note, pour tout x  R, x la partie entière de x. On rappelle qu'il s'agit de 
l'unique entier qui satisfait x - 1 < x  x. On dira qu'une fonction  définie sur R+ est à support compact dans R+ lorsqu'il existe un réel K  0 tel que pour tout t  K, (t) = 0. Partie A ­ Deux approches pour une valeur à 1+2+· · · + n + · · · I ­ Une première approche Soit f la fonction définie par f (x) = + X e-nx , où x  R. n=0 Q1. Déterminer l'ensemble de définition Df de f puis calculer f (x) pour tout x Df . Q2. Montrer que f est de classe C 1 sur Df et calculer f  (x) pour tout x  Df . Q3. À l'aide de développements limités en 0, déterminer trois constantes réelles a, b et c telles qu'au voisinage de 0 a b e-x = 2 + + c + o(1). (1 - e-x )2 x x ! + X 1 -nx Q4. En déduire lim ne - 2 . x0 x n=0 II ­ Une deuxième approche On considère dans cette partie une fonction  de classe C  à support compact dans R+ et telle que (0) = 1. Soit K > 0 telle que  soit nulle sur [K, + [. On pose  la fonction telle que pour 
tout t  0, (t) = t(t). On peut alors
observer que  ainsi que toutes ses dérivées sont nulles sur [K, + [.

1/6

II.1 ­ Une généralisation du théorème des sommes de Riemann pour les fonctions 
de
classe C 1
Dans cette sous-partie f désigne une fonction définie de classe C 1 sur un 
segment [a,b] et x est un réel strictement
positif.
Q5. Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que a + nx ]a,b].
 
Q6. Montrer que pour tout L  0, L - L
x x  x.

Q7. Montrer que x

b-a
X
x 

Z b
f (a + nx) -
a

n=1

Q8. Montrer que lim x

b-a
X
x 

x0

f (t)dt =

b-a
X
Z a+nx
x 

n=1

!
f (a + nx) -f (t)dt

Z b
-

f (t)dt.
a+ b-a
x x

a+(n-1)x

Z b
f (a + nx) =

f (t)dt.
a

n=1

II.2 ­ Un développement asymptotique lorsque x tend vers 0 de

+
X

n(nx)

n=1

Soit x un réel strictement positif.
K
X
x  Z nx

Z t

(t - s)k (k+l)
(s)ds dt. On admet la formule

k!
nx
n=1 (n-1)x
de Taylor avec reste intégral : pour toute fonction f de classe C n+1 sur I, 
pour tout a  I, pour tout b  I,
Z b
n
X
(b - a)k (k)
(b - t)n (n+1)
f (b) =
f (a) +
f
(t)dt.
k!
n!
a
On pose, pour tout k  N, pour tout l  N, Rk,l (x) =

k=0

Z K
Q9. Déterminer

  (t)dt ainsi que

Z K

0

  (t)dt.

0

Q10. Déterminer lim x
x0

K
X
x 

nx(nx) ainsi que les valeurs de lim x
x0

n=1

K
X
x 

 (nx) et de lim x
x0

n=1

Q11. Montrer que pour tout k  N, pour tout l  N, pour tout t  0,  (l) (t) =

K
X
x 

n=1

Z t

(t - s)k (l+k+1)

(s)ds.
k!
K

Z K
1
Q12. Montrer que pour tout k  N, pour tout l  N, lim k
 (l) (t)dt = 0.
x0 x
 Kx x
Rk,l (x)
= 0.
x0
xk

Q13. Montrer que pour tout k  N, pour tout l  N, lim

Q14. Montrer que pour tout l  N, pour tout p  N ,
K
K
!
X
Z nx
p X
x  Z nx
x 
X
(t - nx)k (k+l)
(l)
(l)
 (t) -  (nx)dt =

(nx)dt + Rp,l+1 (x).
k!
(n-1)x
n=1 (n-1)x
n=1
k=1

Q15. En déduire que
 Kx  Z
 Kx 
 Kx 
1 X nx
1 X 
x X 
R2,1 (x)
(t) - (nx)dt = -
 (nx) +
 (nx) +
.
x2 n=1 (n-1)x
2 n=1
6 n=1
x2

Q16. Montrer que x

K
X
x 

 (nx) =

n=1

K
X
x  Z nx

n=1

  (nx) -   (t)dt -

Z K

  (t)dt.

 x
K
x

(n-1)x

K
X
x 

K
X
Z
x 
x
R1,2 (x) 1 K

Q17. En déduire que
 (nx) =
 (nx) -
-
  (t)dt.
K
2
x
x
x

x
n=1
n=1

2/6

  (nx).

 Kx  Z
1 X nx
Q18. Déterminer lim 2
(t) - (nx)dt.
x0 x
n=1 (n-1)x
K
X
x 

1
Q19. Montrer que
n(nx) = 2
x
n=1

Z K
0

!
 Kx  Z nx
Z K
1 X
1
(t)dt - 2
(t) - (nx)dt - 2
(t)dt.
x n=1
x  Kx x
(n-1)x

Q20. En déduire que qu'il existe un réel A  R tel que

+
X

n(nx) =

n=1

1
A
-
+ o(1).
2
x
12

Partie B ­ Les sommes infinies au sens de Ramanujan
On considère une fonction f de classe C  sur R+ .

I ­ La formule d'Euler-Maclaurin
On considère la famille de polynômes (Bp )pN de sorte que B0 = 1, pour tout p  
N , Bp = pBp-1 et

Z 1
Bp (x)dx = 0.
0

ep la
On admet dans cette partie l'existence et l'unicité des polynômes Bp . On pose 
pour tout p  N, bp = Bp (0) et B
e
e
fonction 1-périodique de sorte que Bp soit égale à Bp sur [0,1[. Autrement dit, 
pour tout x  R, Bp (x) = Bp (x - x).
Z a e
Bp (t) (p)
f (t)dt.
On pose, pour tout p  N, pour tout a  R, rp,a =
p!
1
Q21. Déterminer B1 et B2 .
Q22. Montrer que pour tout entier naturel p, Bp (1 - X) = (-1)p Bp (X).
Q23. Montrer que pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 2, bp = Bp (1) 
et pour tout p  3 impair bp = 0.
Q24. Montrer que pour tout p  N, pour tout k  N,
Z k+1 (p)
Z k+1 e
f (t)
Bp+1 (1)f (p) (k + 1) - Bp+1 (0)f (p) (k)
Bp+1 (t) (p+1)
Bp (t)dt =
-
f
(t)dt.
p!
(p + 1)!
(p + 1)!
k
k
Q25. Montrer que pour tout n  N .
Z n
f (1) + f (n)
+ r1,n .
f (1) + · · · + f (n) =
f (t)dt +
2
1
Q26. Montrer que pour tout p  N , pour tout n  N ,
Z n
p

f (1) + f (n) X b2l  (2l-1)
f (1) + · · · + f (n) =
+
f (t)dt +
f
(n) - f (2l-1) (1) + r2p+1,n .
2
(2l)!
1
l=1

II ­ La constante de Ramanujan
On suppose dans cette partie qu'il existe q  N tel que pour tout p  q, f (2p+1) 
est intégrable sur R+ et que
f (2p+1) (t) - 0. On pose, sous réserve d'existence,
t+
Z 1
Z +
f (1)
e1 (t)f  (t)dt et pour tout p  N ,
-
f (t)dt +
B
C0 =
2
0
1
Z 1
Z + e
p
X
f (1)
b2l (2l-1)
B2p+1 (t) (2p+1)
Cp =
-
f (t)dt -
f
(1) +
f
(t)dt.
2
(2l)!
(2p
+ 1)!
0
1
l=1

Q27. Montrer pour tout p  q que Cp est bien définie et ne dépend pas de 
l'entier p. On note à présent

R
X
k1

valeur de Cp , où p  q.
Q28. Déterminer

R
X
k1

1 ainsi que

R
X
k1

k et

R
X

k2 .

k1

3/6

f (k) la

Q29. On suppose dans cette question que q = 0 et que la suite (f (n)) converge 
vers 0. Montrer que

Z n
Z +
R
n
X
X
f (k) = lim 
f (k) -
f (t)dt . Qu'obtient-on si
f (t)dt converge ?
n+

k1

k1

0

0

Partie C ­ Développements tayloriens généralisés
On note E l'espace vectoriel normé C([0,1]) muni de la norme uniforme. Si g  E, 
on note g la norme uniforme
de g sur E. On admettra qu'une forme linéaire  est continue sur E si et 
seulement si il existe une constante C  0
telle que, pour tout g  E, |(g)|  Cg .
On considère  une forme linéaire continue sur E vérifiant (t 7 1) = 1. Soit (Pn 
) la suite de polynômes définie par
P0 = 1, pour tout n  N , Pn = nPn-1 et (Pn ) = 0. On pose de plus, sous réserve 
d'existence, pour tout x  [0,1],
+
X
Pk (x) k
t . f désigne une fonction de classe C  sur R.
pour tout t  R, S(x,t) =
k!
k=0

I ­ Les formules de Taylor généralisés
Q30. Montrer que la suite (Pn ) existe bien et est unique.
Q31. Montrer qu'il existe C  R+ telle que pour tout n  N, Pn+1   (n + 1)(1 + 
C)Pn  .
Q32. Montrer qu'il existe R > 0 telle que pour tout x  [0,1], pour tout t ] - 
R,R[, S(x,t) existe.
Q33. Montrer que pour tout t ] - R,R[, x 7- S(x,t) est de classe C 1 sur [0,1].
Q34. Montrer que pour tout t ] - R,R[ il existe un réel (t) tel que pour tout x 
 [0,1], S(x,t) = (t)etx. .
Q35. Montrer que pour tout t ] - R,R[, (x 7 S(x,t)) = 1. En déduire la valeur 
de (t).
Q36. Justifier que la famille de polynômes (Bn ) définie en B-I existe et est 
unique et montrer que pour tout x  [0,1],
 tetx
et -1 si t = 0 est développable en série entière au voisinage de 0 et que ce 
développement
la fonction g : t 7
1 sinon
+
X
Bk (x) k
t .
est g(t) =
k!
k=0

Q37. Montrer que pour tout (x,y)  R2 , pour tout p  N,
 Z x
p 
X
Pk (x) (k)
Pk (y) (k)
Pp (x + y - t) (p+1)
f (x) = f (y) +
f (y) -
f (x) +
f
(t)dt.
k!
k!
p!
y
k=1

Q38. Montrer que pour tout x  R, pour tout p  N,

Z x
p

X
Pk (x) 
Pp (x + y - t) (p+1)
f (x) =
 y 7 f (k) (y) +  y 7
f
(t)dt .
k!
p!
y
k=0

Q39. Justifier que l'application linéaire  : g 7 g(0) est continue sur E. 
Qu'obtient-on pour cette application ?
Q40. Soit j  N. À l'aide de la fonction x 7 f (x + j) montrer que pour tout p  
N,

Z y+j
p

X
Pk (0) 
Pp (y - t + j) (p+1)
f (j) =
 y 7 f (k) (y + j) -  y 7
f
(t)dt .
k!
p!
j
k=0

II ­ Formule d'Euler-Boole
Dans la suite  est définie par, pour tout g  E, (g) = 21 (g(0) + g(1)). Les 
polynômes Pn sont alors notés En et sont
appelés polynômes d'Euler. On note pour tout n  N, en = En (0).
+

Q41. Montrer qu'il existe R > 0 tel que pour tout t ] - R,R[, pour tout x  
[0,1],

X Ek (x)
2etx
=
tk .
t
e +1
k!
k=0

4/6

Q42. En déduire que pour tout n  N, En (1 - X) = (-1)n En (X).
Q43. Montrer que pour tout j  N, pour tout p  N,

Z
p 
X
1 (k)
ek
1 j+1 (-1)p Ep (t - j) (p+1)
f (j) =
(f (j) + f (k) (j + 1))
-
f
(t)dt.
2
k!
2 j
p!
fn (x) = (-1)x+n En (x - x). Montrer que pour tout n  N , pour tout p  N,
Q44. On pose pour tout x  R, E
Z
p
p
ep (t)
1 X (k) ek
(-1)n-1 X (k)
1 n+1 E
ek
n-1
f (1) - f (2) + · · · (-1)
f (n) =
f (1) +
f (n+1) +
f (p+1) (t)dt.
2
k!
2
k!
2 1
p!
k=0

k=0

Fin

5/6

M038 - 2 mai 2025 - 16:06:55 c b e a

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