PSI
4 heures
Calculatrice autorisée
2025
Mathématiques 2
Attribution d'une valeur à des séries divergentes
Le 23 février 1913 Srinivasa Ramanujan écrivit une lettre au mathématicien
Godfrey Hardy dans laquelle il présenta
1
une théorie selon laquelle la somme infinie 1 + 2 + · · · + n + · · · vaut - 12
. S'en est suivi tout un ensemble de recherches
sur ce sujet...
L'objectif de ce problème est de présenter quelques situations où l'on attribue
une valeur finie à "une somme infinie".
On s'interesse en particulier au cas de la série de terme général n. Dans la
première partie sont présentées deux
1
, ce qui montre que cette valeur ne semble pas être
situations qui dans les deux cas font apparaître la valeur - 12
fortuite. La deuxième partie traite plus particulièrement de la façon dont
Ramunajan a étudié les sommes infinies en
s'appuyant sur la formule de Euler-Maclaurin. La valeur qu'il octroie à ces
sommes étant en quelque sorte un terme de
compensation entre une somme et une intégrale. Enfin la troisième partie
consiste à établir des développements dits
tayloriens généralisés.
Notations et définition
On note, pour tout x R, x la partie entière de x. On rappelle qu'il s'agit de
l'unique entier qui satisfait x - 1 < x x. On dira qu'une fonction définie sur R+ est à support compact dans R+ lorsqu'il existe un réel K 0 tel que pour tout t K, (t) = 0. Partie A Deux approches pour une valeur à 1+2+· · · + n + · · · I Une première approche Soit f la fonction définie par f (x) = + X e-nx , où x R. n=0 Q1. Déterminer l'ensemble de définition Df de f puis calculer f (x) pour tout x Df . Q2. Montrer que f est de classe C 1 sur Df et calculer f (x) pour tout x Df . Q3. À l'aide de développements limités en 0, déterminer trois constantes réelles a, b et c telles qu'au voisinage de 0 a b e-x = 2 + + c + o(1). (1 - e-x )2 x x ! + X 1 -nx Q4. En déduire lim ne - 2 . x0 x n=0 II Une deuxième approche On considère dans cette partie une fonction de classe C à support compact dans R+ et telle que (0) = 1. Soit K > 0 telle que soit nulle sur [K, + [. On pose la fonction telle que pour
tout t 0, (t) = t(t). On peut alors
observer que ainsi que toutes ses dérivées sont nulles sur [K, + [.
1/6
II.1 Une généralisation du théorème des sommes de Riemann pour les fonctions
de
classe C 1
Dans cette sous-partie f désigne une fonction définie de classe C 1 sur un
segment [a,b] et x est un réel strictement
positif.
Q5. Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que a + nx ]a,b].
Q6. Montrer que pour tout L 0, L - L
x x x.
Q7. Montrer que x
b-a
X
x
Z b
f (a + nx) -
a
n=1
Q8. Montrer que lim x
b-a
X
x
x0
f (t)dt =
b-a
X
Z a+nx
x
n=1
!
f (a + nx) -f (t)dt
Z b
-
f (t)dt.
a+ b-a
x x
a+(n-1)x
Z b
f (a + nx) =
f (t)dt.
a
n=1
II.2 Un développement asymptotique lorsque x tend vers 0 de
+
X
n(nx)
n=1
Soit x un réel strictement positif.
K
X
x Z nx
Z t
(t - s)k (k+l)
(s)ds dt. On admet la formule
k!
nx
n=1 (n-1)x
de Taylor avec reste intégral : pour toute fonction f de classe C n+1 sur I,
pour tout a I, pour tout b I,
Z b
n
X
(b - a)k (k)
(b - t)n (n+1)
f (b) =
f (a) +
f
(t)dt.
k!
n!
a
On pose, pour tout k N, pour tout l N, Rk,l (x) =
k=0
Z K
Q9. Déterminer
(t)dt ainsi que
Z K
0
(t)dt.
0
Q10. Déterminer lim x
x0
K
X
x
nx(nx) ainsi que les valeurs de lim x
x0
n=1
K
X
x
(nx) et de lim x
x0
n=1
Q11. Montrer que pour tout k N, pour tout l N, pour tout t 0, (l) (t) =
K
X
x
n=1
Z t
(t - s)k (l+k+1)
(s)ds.
k!
K
Z K
1
Q12. Montrer que pour tout k N, pour tout l N, lim k
(l) (t)dt = 0.
x0 x
Kx x
Rk,l (x)
= 0.
x0
xk
Q13. Montrer que pour tout k N, pour tout l N, lim
Q14. Montrer que pour tout l N, pour tout p N ,
K
K
!
X
Z nx
p X
x Z nx
x
X
(t - nx)k (k+l)
(l)
(l)
(t) - (nx)dt =
(nx)dt + Rp,l+1 (x).
k!
(n-1)x
n=1 (n-1)x
n=1
k=1
Q15. En déduire que
Kx Z
Kx
Kx
1 X nx
1 X
x X
R2,1 (x)
(t) - (nx)dt = -
(nx) +
(nx) +
.
x2 n=1 (n-1)x
2 n=1
6 n=1
x2
Q16. Montrer que x
K
X
x
(nx) =
n=1
K
X
x Z nx
n=1
(nx) - (t)dt -
Z K
(t)dt.
x
K
x
(n-1)x
K
X
x
K
X
Z
x
x
R1,2 (x) 1 K
Q17. En déduire que
(nx) =
(nx) -
-
(t)dt.
K
2
x
x
x
x
n=1
n=1
2/6
(nx).
Kx Z
1 X nx
Q18. Déterminer lim 2
(t) - (nx)dt.
x0 x
n=1 (n-1)x
K
X
x
1
Q19. Montrer que
n(nx) = 2
x
n=1
Z K
0
!
Kx Z nx
Z K
1 X
1
(t)dt - 2
(t) - (nx)dt - 2
(t)dt.
x n=1
x Kx x
(n-1)x
Q20. En déduire que qu'il existe un réel A R tel que
+
X
n(nx) =
n=1
1
A
-
+ o(1).
2
x
12
Partie B Les sommes infinies au sens de Ramanujan
On considère une fonction f de classe C sur R+ .
I La formule d'Euler-Maclaurin
On considère la famille de polynômes (Bp )pN de sorte que B0 = 1, pour tout p
N , Bp = pBp-1 et
Z 1
Bp (x)dx = 0.
0
ep la
On admet dans cette partie l'existence et l'unicité des polynômes Bp . On pose
pour tout p N, bp = Bp (0) et B
e
e
fonction 1-périodique de sorte que Bp soit égale à Bp sur [0,1[. Autrement dit,
pour tout x R, Bp (x) = Bp (x - x).
Z a e
Bp (t) (p)
f (t)dt.
On pose, pour tout p N, pour tout a R, rp,a =
p!
1
Q21. Déterminer B1 et B2 .
Q22. Montrer que pour tout entier naturel p, Bp (1 - X) = (-1)p Bp (X).
Q23. Montrer que pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 2, bp = Bp (1)
et pour tout p 3 impair bp = 0.
Q24. Montrer que pour tout p N, pour tout k N,
Z k+1 (p)
Z k+1 e
f (t)
Bp+1 (1)f (p) (k + 1) - Bp+1 (0)f (p) (k)
Bp+1 (t) (p+1)
Bp (t)dt =
-
f
(t)dt.
p!
(p + 1)!
(p + 1)!
k
k
Q25. Montrer que pour tout n N .
Z n
f (1) + f (n)
+ r1,n .
f (1) + · · · + f (n) =
f (t)dt +
2
1
Q26. Montrer que pour tout p N , pour tout n N ,
Z n
p
f (1) + f (n) X b2l (2l-1)
f (1) + · · · + f (n) =
+
f (t)dt +
f
(n) - f (2l-1) (1) + r2p+1,n .
2
(2l)!
1
l=1
II La constante de Ramanujan
On suppose dans cette partie qu'il existe q N tel que pour tout p q, f (2p+1)
est intégrable sur R+ et que
f (2p+1) (t) - 0. On pose, sous réserve d'existence,
t+
Z 1
Z +
f (1)
e1 (t)f (t)dt et pour tout p N ,
-
f (t)dt +
B
C0 =
2
0
1
Z 1
Z + e
p
X
f (1)
b2l (2l-1)
B2p+1 (t) (2p+1)
Cp =
-
f (t)dt -
f
(1) +
f
(t)dt.
2
(2l)!
(2p
+ 1)!
0
1
l=1
Q27. Montrer pour tout p q que Cp est bien définie et ne dépend pas de
l'entier p. On note à présent
R
X
k1
valeur de Cp , où p q.
Q28. Déterminer
R
X
k1
1 ainsi que
R
X
k1
k et
R
X
k2 .
k1
3/6
f (k) la
Q29. On suppose dans cette question que q = 0 et que la suite (f (n)) converge
vers 0. Montrer que
Z n
Z +
R
n
X
X
f (k) = lim
f (k) -
f (t)dt . Qu'obtient-on si
f (t)dt converge ?
n+
k1
k1
0
0
Partie C Développements tayloriens généralisés
On note E l'espace vectoriel normé C([0,1]) muni de la norme uniforme. Si g E,
on note g la norme uniforme
de g sur E. On admettra qu'une forme linéaire est continue sur E si et
seulement si il existe une constante C 0
telle que, pour tout g E, |(g)| Cg .
On considère une forme linéaire continue sur E vérifiant (t 7 1) = 1. Soit (Pn
) la suite de polynômes définie par
P0 = 1, pour tout n N , Pn = nPn-1 et (Pn ) = 0. On pose de plus, sous réserve
d'existence, pour tout x [0,1],
+
X
Pk (x) k
t . f désigne une fonction de classe C sur R.
pour tout t R, S(x,t) =
k!
k=0
I Les formules de Taylor généralisés
Q30. Montrer que la suite (Pn ) existe bien et est unique.
Q31. Montrer qu'il existe C R+ telle que pour tout n N, Pn+1 (n + 1)(1 +
C)Pn .
Q32. Montrer qu'il existe R > 0 telle que pour tout x [0,1], pour tout t ] -
R,R[, S(x,t) existe.
Q33. Montrer que pour tout t ] - R,R[, x 7- S(x,t) est de classe C 1 sur [0,1].
Q34. Montrer que pour tout t ] - R,R[ il existe un réel (t) tel que pour tout x
[0,1], S(x,t) = (t)etx. .
Q35. Montrer que pour tout t ] - R,R[, (x 7 S(x,t)) = 1. En déduire la valeur
de (t).
Q36. Justifier que la famille de polynômes (Bn ) définie en B-I existe et est
unique et montrer que pour tout x [0,1],
tetx
et -1 si t = 0 est développable en série entière au voisinage de 0 et que ce
développement
la fonction g : t 7
1 sinon
+
X
Bk (x) k
t .
est g(t) =
k!
k=0
Q37. Montrer que pour tout (x,y) R2 , pour tout p N,
Z x
p
X
Pk (x) (k)
Pk (y) (k)
Pp (x + y - t) (p+1)
f (x) = f (y) +
f (y) -
f (x) +
f
(t)dt.
k!
k!
p!
y
k=1
Q38. Montrer que pour tout x R, pour tout p N,
Z x
p
X
Pk (x)
Pp (x + y - t) (p+1)
f (x) =
y 7 f (k) (y) + y 7
f
(t)dt .
k!
p!
y
k=0
Q39. Justifier que l'application linéaire : g 7 g(0) est continue sur E.
Qu'obtient-on pour cette application ?
Q40. Soit j N. À l'aide de la fonction x 7 f (x + j) montrer que pour tout p
N,
Z y+j
p
X
Pk (0)
Pp (y - t + j) (p+1)
f (j) =
y 7 f (k) (y + j) - y 7
f
(t)dt .
k!
p!
j
k=0
II Formule d'Euler-Boole
Dans la suite est définie par, pour tout g E, (g) = 21 (g(0) + g(1)). Les
polynômes Pn sont alors notés En et sont
appelés polynômes d'Euler. On note pour tout n N, en = En (0).
+
Q41. Montrer qu'il existe R > 0 tel que pour tout t ] - R,R[, pour tout x
[0,1],
X Ek (x)
2etx
=
tk .
t
e +1
k!
k=0
4/6
Q42. En déduire que pour tout n N, En (1 - X) = (-1)n En (X).
Q43. Montrer que pour tout j N, pour tout p N,
Z
p
X
1 (k)
ek
1 j+1 (-1)p Ep (t - j) (p+1)
f (j) =
(f (j) + f (k) (j + 1))
-
f
(t)dt.
2
k!
2 j
p!
fn (x) = (-1)x+n En (x - x). Montrer que pour tout n N , pour tout p N,
Q44. On pose pour tout x R, E
Z
p
p
ep (t)
1 X (k) ek
(-1)n-1 X (k)
1 n+1 E
ek
n-1
f (1) - f (2) + · · · (-1)
f (n) =
f (1) +
f (n+1) +
f (p+1) (t)dt.
2
k!
2
k!
2 1
p!
k=0
k=0
Fin
5/6
M038 - 2 mai 2025 - 16:06:55 c b e a
k=0