Centrale Maths 2 PSI 2022

Thème de l'épreuve Étude d'un endomorphisme symétrique sur un espace L2
Principaux outils utilisés intégration, séries entières, équations différentielles
Mots clefs fonctions de carré sommable, opérateur de fonctions, endomorphisme symétrique

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Mathématiques 2
PSI

4 heures Calculatrice autorisée

2022

Objectif

Ce problème propose d'étudier quelques propriétés d'un opérateur intégral U 
défini sur un espace préhilbertien
réel E. Cet espace et son produit scalaire sont introduits dans la partie IT et 
l'opérateur U est étudié dans la
partie II. Dans la partie IV, on s'intéresse à l'étude d'une famille 
d'équations différentielles à un paramètre
pour lesquelles on recherche des solutions développables en séries entières. 
Enfin, la partie V fait le lien entre les
vecteurs propres de l'endomorphisme U et les solutions des équations 
différentielles trouvées dans de la partie IV.

Liens entre les différentes parties
-- Les parties T et II sont très largement indépendantes à l'exception de la 
définition de la fonction k,..

-- La partie TI utilise les résultats de la partie IT ainsi que la condition 
d'appartenance à E établie dans la
partie I.

-- La partie IV fait ponctuellement appel à l'espace E défini et étudié dans 
les parties I et IL. Elle est indépen-
dante de la partie IIT.

-- La partie V utilise les résultats des parties III et IV ainsi que le 
résultat de la question 8.

Notations

+00
--t

On note E l'ensemble des fonctions f continues de R° dans R telles que 
l'intégrale | f? D dt converge.

0
R* -- R
# : +
Pour a EUR K°, on note p,, la fonction a 3
I Préliminaires : étude de quelques éléments de E
I.A --- Des fonctions de E utiles pour la suite
Q 1. Montrer que, pour tout & EUR R°, p, appartient à E.
Q 2. Soit P une fonction polynomiale non identiquement nulle à coefficients 
réels. Montrer que la restriction
de P à R° appartient à E si et seulement si P(0) -- 0.
; à : RO -- KR : :
Q 3. Soient a et b deux nombres réels. Montrer que la fonction à tip appartient 
à Æ£ si et
H ae
seulement si a = b=0(.
RU -- R
Q 4. Montrer que, pour tout x EUR K°, la fonction t est intégrable sur ]0, x].

Fr (et--1ÿ Fe

Q 5. Pour tout x EUR R° et tout £ EUR R°, on note k, (4) = er, 1 où min(r,t) 
désigne le plus petit des
réels x et {. Représenter graphiquement la fonction k,. Montrer que k, 
appartient à E.

I.B - Une condition suffisante d'appartenance à E

Dans cette sous-partie, on suppose que f est une fonction de R°. dans R de 
classe ©! vérifiant
lim f(x) = 0,
æ--0

L e7/2
2C>0; Vx>0, |f'(x)l

Ve

/\

Q 6. Pour x EUR R*

a/2  fat/2
:, on pose D(x) -- AE -- | A Montrer que ® est de classe C! sur R', que

1+%
0
lim (x) = 0 et que, pour tout x > 0, P'(x) > 0. En déduire que P(x) > 0 pour 
tout x > 0.

x--0

æ/2
Q 7. Montrer que, pour tout æ > 0, [f(x)| < TE .
x

Q 8. En déduire que fe E.

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IT Structure préhilbertienne de E

+00
--t

Q 9. Montrer que, si f et g sont deux fonctions de Æ, alors l'intégrale | 
f(t)g(t) _ dt est absolument

0
convergente.

Q 10. En déduire que Æ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel C(R*, 
R) des fonctions continues
sur KR à valeurs dans KR.
+00
--t

Pour toutes fonctions f EUR E et 9EUR E, on pose, {f | g) = | F9) -- dt.
0

Q 11. Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur Æ.

La norme |:] associée à ce produit scalaire est donc définie pour toute 
fonction f EUR E par

= (fro"r]

1/2

Q 12. Montrer que lin |A, | -- 0. On rappelle que, pour tout x > 0, k,(4) = 
emintt) 27,
X--
+00
Q 13. Montrer que, pour tout k EUR N, | tfe-t dt = k!.
0

Q 14. On rappelle que les fonctions p,, ont été définies dans les notations en 
tête de sujet. La famille (p,, ),ewr
est-elle une famille orthogonale de E ?

III Un opérateur sur Ë
À chaque fonction f EUR E, on associe la fonction U (f) définie pour tout x > 0 
par

+00

UP) = UE LP) =] (ent 1) DE at

0

IIT. À -
Q 15. À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour toute 
fonction f EUR F,

lim U(F)(x) = 0.
æ>0

Q 16. Montrer que pour toute fonction f EUR E et pour tout x > 0,

T

ven = fan fBar+(e -0 [ro at

0

Q 17. Soit f EUR E. Montrer que U(f) est de classe © sur R', et vérifie, pour 
tout x > 0,

wo) =e [ro at

Dans la suite, pour alléger les notations, la dérivée de la fonction U(f) est 
notée U(f)'.

Q 18. Soit f EUR E. Montrer que U(f) est de classe C*° sur R° et que la 
fonction U(f) est solution sur R° de
l'équation différentielle

y y = Ju) (IIL.1)

Q 19. Montrer que pour tout f EUR E et pour tout x > 0,

1/2

T° --t x/2
sure  0,

x/2
UC) < APE

Q 21. En déduire que

UCI < 41 F1].
Q 22. Montrer que U est injectif.
Q 23. L'endomorphisme Ü est-il surjectif ?
ITI.B -- On fixe deux fonctions f et g de Æ. Pour x > 0, on pose

Fa) = --U(f) (x)e

LT

Q 24. Vérifier que F est une primitive de xk f (x) -- sur l'intervalle R*.

ue
Q 25. Montrer que pour tout # > 0, |F(æ)U(g)(x)| < al
x

Q 26. Montrer que pour tout x EUR ]0,1}, [F(x)| < | f|(e-* --In(x))
On pourra utiliser la question 19.

1/2

Q 27. Montrer l'existence et calculer les valeurs des limites en 0 et en + de 
la fonction t+ F(t)U(g)(t).
+00

Q 28. Montrer que (f | U(g)) = | U(f)'()U(g)'(t}e * dt.
Q 29. En déduire que {f | U(g)) = {U(f) | g).

IV Solutions d'une équation différentielle développables en série
entière
Pour p EUR (R* on note (E,) l'équation différentielle sur KR".

(E,): ag" -- y!) + py = 0.

Q 30. Soient p EUR KR* et (a, ),,ç.n une suite de nombres réels. On suppose que 
la série entière > a, Z" à un

n>0
+00
rayon de convergence infini. Montrer que la fonction f :æ+ Ù a,x" est solution 
de (E;,) si et seulement si
n=Û0

op = Ù,
n(in+lja,., =(n--pla,, Vne Nr.

IV.A -- Recherche de solutions polynomiales

Q 31. Montrer que (E,,) possède des solutions polynomiales non identiquement 
nulles si et seulement si
p EUR N°. Montrer qu'alors, les solutions polynomiales non nulles de (E,,) sont 
de degré p et appartiennent à
l'espace vectoriel E.

On ne demande pas de déterminer explicitement les solutions polynomiales 
lorsqu'elles existent.

Dans la suite de cette sous-partie, on fixe p EUR N* et on considère un 
polynôme P EUR R|X1] tel que la fonction
polynomiale x + P(x) soit solution de l'équation (Æ,). L'objectif est de 
déterminer une expression simple de P
en fonction du paramètre p.

Pour tout x EUR KR, on note h(x) = e *P(x).
Q 32. Montrer que la fonction h est solution de l'équation différentielle x(y°7 
+ y7) + py = 0 sur R*.

Q 33. Justifier que la fonction À est développable en série entière sur R.

On note (b,),en la suite des coefficients du développement en série entière de 
h. Aïnsi, pour tout + EUR RK,
+00

R(x) = D ba". On peut montrer, de la même façon qu'à la question 30 (cette 
démonstration n'est pas

Tv
demandée), que ces coefficients vérifient

n(n+1)b,,, =---(n+p)b,, Vne Nr.

À _1\n--1 Li |
Q 34. Etablir que, pour tout n EUR N°, b,, -- ED +P D'y.
pln!(n --1)!

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Q 35. On pose g, (x) = x? le *. Justifier que gP) est développable en série 
entière et déduire de la question 34
Jp D
que, pour tout x E K,

P(x) = Cxe* g) (x)

où C est une constante réelle dont on précisera l'expression en fonction de b, 
et de p.

IV.B --- Solutions développables en séries entières non polynomiales
Dans toute cette sous-partie, on fixe un réel p non nul et on suppose que p EUR 
N*.

Q 36.  Justifier l'existence de suites (a, ),en EUR R° non identiquement nulles 
telles que la série entière > a, x"

n>0
+00
ait un rayon de convergence infini et telles que la fonction x > a,x" soit 
solution de (E;,).
0)
On fixe une telle série entière et on pose pour # > 0,
+00
f()= > ant"
n=0

Q 37. Montrer qu'il existe un entier naturel q > p tel que, pour tout entier n 
> q.

> --1

q!la,
on--anl

Q 38. En déduire que, pour tout entier n > q, (a, | >
KR, -- KR
Q 39. Montrer que la fonction Y : = , nest pas un élément de Æ.
x dla, lr
n=q

Q 40. En déduire enfin que la fonction f n'est pas un élément de Æ.

V Éléments propres de U

Q 41. Le nombre réel 0 est-il valeur propre de U ?
Q 42. Soit À EUR R*. On suppose que À est valeur propre de U. Soit f un vecteur 
propre associé. Montrer que
f est solution de l'équation différentielle (E;,,).

On suppose que f est développable en série entière sur KR, c'est-à-dire qu'il 
existe une série entière Ù a,x" de
n>0
rayon de convergence infini telle que

+00

Vz ER, f(x) -- dax".
n=0

Q 43. Montrer que les seules valeurs propres possibles de U sont de la forme À 
= 1/p avec p EUR N*.
Q 44. Soit P une solution polynomiale non nulle de (Æ,). Démontrer que la 
fonction pU(P)-- P vérifie sur
R' l'équation différentielle y" -- y" = 0.
Q 45. Montrer que P est un vecteur propre de U pour la valeur propre 1/p.
Q 46. Pour tout entier p EUR N° et tout x > 0, on pose P, (x) -- reg (x), où 
g,(x) = x? "e ?. On rappelle
que P, est une fonction polynomiale de degré p et que P,, EUR E. Montrer que 
les polynômes PF, sont deux à deux
orthogonaux dans Æ,.

ee oeFINeee

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