Centrale Maths 2 PSI 2021

Corrigé

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Mathématiques 2
PSI

4 heures Calculatrice autorisée

2021

Autour des fonctions hypergéométriques
Objectif

L'objectif du problème est l'étude de suites, séries et fonctions dites 
hypergéométriques et d'en donner quelques
exemples en analyse et en probabilités.

La partie I introduit la notion de suites et séries hypergéométriques. La 
partie IT, indépendante de la partie I,
définit la fonction l', permettant d'étendre la factorielle à des valeurs non 
entières. La partie III, qui s'appuie sur
certains résultats des deux premières parties, introduit deux familles de 
fonctions hypergéométriques. Les parties
IV et V, indépendantes l'une de l'autre, donnent des exemples de fonctions 
hypergéométriques, respectivement
dans le cadre d'une famille de polynômes et dans un contexte probabiliste.

Notations

l
nl!
| si p < n et égal à 0 sinon. Soit (n,p) EUR N?. On note 7 | le coefficient binomial p parmi n, égal à P pl(n --p)! On note D =R\{---n|n EN} l'ensemble des réels qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls. nm Si f est une fonction de classe C", les deux notations f(" et a sont utilisées pour la dérivée n-ième de f. z I Suites et séries hypergéométriques Soit (u,)nhen une suite à valeurs réelles. On dit que la suite (u,),en est hypergéométrique lorsqu'il existe deux polynômes non nuls P et Q de R[X] tels que VrEeN, P(nju, = Q(n)un. (L.1) On dit alors que P et Q sont des polynômes associés à la suite hypergéométrique (u,,),ew- On dit également qu'une série entière Sur" est une série hypergéométrique lorsque la suite (u,),en est hypergéométrique. Q 1. Montrer qu'une suite géométrique est hypergéométrique. n Q 2. Soit p EUR N. Montrer que la suite de terme général u,, = | | est hypergéométrique. P Q 3. Démontrer que l'ensemble des suites vérifiant la relation (1.1), avec P(X) = X(X -- 1)(X -- 2) et Q(X) = X(X -- 2), est un espace vectoriel dont on précisera une base et la dimension. Q 4. Soit (u,)nen une suite hypergéométrique de polynômes associés P et Q. On suppose qu'il existe un entier naturel n, tel que P(n,) = 0 et, Vn > no, Q(n) Æ 0. Justifier que la 
suite (u,,),en est nulle à partir d'un
certain rang.

M047/2021-01-05 15:18:59 Page 1/5 CIEL
II Extension de la factorielle

On pose, pour tout x EUR R**,

+00
T'(x) = | tr let dt.
0
Q 5. Justifier qu'on définit ainsi une fonction sur R**.
Q 6. Montrer que la fonction L est continue et strictement positive sur RT*.
Q 7. Montrer que, pour tout x EUR R**,
P(x +1) = xl(x). (IL.1)

Q 8. Déterminer la valeur de l'(n), pour n EUR N*.

On admet qu'on peut prolonger la fonction [sur D par une fonction continue, 
toujours notée [", qui vérifie la
relation (IL.1) pour tout x EUR D.

III Fonctions hypergéométriques

TIT. À --- Symbole de Pochhammer

On définit le symbole de Pochhammer, pour tout nombre réel a et tout entier 
naturel n par

1 sin = 0,
[al _ n--1
" a(a+1)-(a+n--1) = J[(a+x) sinon.
k=0
Q 9. Si a est un entier négatif ou nul, justifier que la suite ([a],,) est 
nulle à partir d'un certain rang.

neEN
Q 10. SoitaeR. Vérifier que, pour tout entier naturel n, [a),,,, = ala +1].
Q 11. Soit n EUR N. Donner une expression de [a],

-- à l'aide de factorielles lorsque a EUR N° :

-- à l'aide de deux valeurs de la fonction [", lorsque a EUR D.

ITI.B -- Fonction hypergéométrique de Gauss

Étant donné trois nombres réels a, b et c, on appelle fonction hypergéométrique 
de Gauss associée au triplet
(a, b,c), la fonction, définie sur un sous-ensemble de R, par

Fr) = 3 nl 2

ur [c,, nl

a|,, |b
Q 12.  Justifier que, si c EUR D), alors [al bl est bien défini pour tout 
entier naturel n.

(Cl

On suppose cette condition vérifiée dans les questions suivantes.

a|,, \b|,, x"
al lbln -- est hypergéométrique et préciser des polynômes associés.

lc, on!

Q 14.  Réciproquement, démontrer que l'ensemble des séries hypergéométriques 
associées aux polynômes
obtenus à la question précédente est un espace vectoriel dont on donnera une 
base et dont on précisera la
dimension.

Q 13. Montrer que la série entière >

[a], [b], 2°

lc, on!

Q 15. Déterminer le rayon de convergence de la série entière Ù

M047/2021-01-05 15:18:59 Page 2/5 (cc) BY-NC-SA
Q 16.  Justifier que F,,,. est de classe © l sur |---1,1|. Calculer sa dérivée 
et l'exprimer à l'aide d'une fonction
hypergéométrique de Gauss.

Q 17.  Justifier que F,,. est de classe C® sur |---1,1{ et exprimer sa dérivée 
n-ième à l'aide d'une fonction
hypergéométrique de Gauss.

Q 18.  Exprimer la fonction x + F 11,5 (--x*) à l'aide de fonctions usuelles.

Q 19.  Exprimer la fonction

m(i+x) .
me si æ E |---1,1| \ {0}
I si & = Ù

à l'aide d'une fonction hypergéométrique de Gauss.

On admet, en cas d'existence de toutes les quantités présentes dans 
l'expression suivante, que

F(c)l(c-- a --b)
T(c--a)T(e--b)

F6. (1) --

Q 20. Soient NEN, ce D,aeRrR tels que c -- a EUR D. Justifier l'existence de 
FN) et démontrer que
N
See (le 2 lee
pra k } Iclz [Cla

Q 21. Soit (u,v) EUR N° tels que N < min(u,v). En prenant a = --u et c = v -- N +1, montrer l'identité de Vandermonde : u + v : ÿ u V N | Z\k)\N-k) On admet pour la suite que l'identité de Vandermonde reste valable pour tous entiers naturels u, v, N. Q 22. Donner une interprétation combinatoire de l'identité de Vandermonde. ITI.C -- Fonction hypergéométrique confluente Soient deux nombre réels a et c tels que c EUR D. Q 23. Déterminer les solutions développables en série entière de l'équation différentielle my" (x) +(c--x)y'(x) -- ay(x) = 0. (IIL.1) On exprimera ces solutions à l'aide du symbole de Pochhammer et on précisera la structure algébrique de leur ensemble. On note M, . la solution de l'équation (III.1) vérifiant M, (0) = 1. Cette fonction est appelée fonction hyper- géométrique confluente associée au couple (a, c). IV Les polynômes de Laguerre Soit n EUR N. On pose, pour tout nombre réel x, P,(x) =e "x" et L,, (x) = --®0 (x). Q 24. Déterminer L,, L,, L, et La. Dans toute la suite, n est un entier naturel non nul. Q 25. En utilisant la formule de Leibniz, démontrer que la fonction L,, est polynomiale de degré n. Déterminer Tv les coefficients c,, , tels que L,,(x) -- > Cat".
k=0

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Q 26. Pour tout nombre réel x, exprimer pt) (x) et PT (x) en fonction de L, (x) 
et L' (x).

n dti D
Q 27. Utiliser l'égalité M (x) -- re que l'on justifiera, pour démontrer 
l'égalité
AL
x x
L -- | 1 -- L L'
n+1(r) | --) ETS n()
valable pour tout nombre réel x.
9 dr
Q 28. Utiliser l'égalité ®" (x) = = EL (x) pour démontrer l'égalité
AL
L' jt) = L (a) -- L,(®

valable pour tout nombre réel x.
Q 29. En déduire que L,, est solution de l'équation différentielle
xl (x) +(1--x)L' (x) +nL,(x) = 0. (IV.1)

Q 30. Montrer que Z,, est une fonction hypergéométrique confluente.

V Loi hypergéométrique

On considère un espace probabilisé (Q,.4,P).

Soient deux entiers naturels À et n tels que n < À et p un nombre réel compris entre 0 et 1. On suppose pA EN et on note q = Î -- p. Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur (Q,.4,P). On dit que X suit la loi hypergéométrique de paramètres n, p et À lorsque f X(Q) C 0, nl], pA gÀ P(X = k) -- pour tout k EUR [0, n||. On note alors X  Æ(n,p, À). V.A --- Premiers résultats Q 31. Vérifier qu'on a bien défini une loi de probabilité. Q 32. Soit X une variable aléatoire telle que X = Æ(n,p, A). Calculer l'espérance de X. N N --1 On rappelle que, pour tous entiers naturels non nuls k et N,k fr) -- x L ) Q 33. Montrer que la suite (P(X = k)),en est hypergéométrique. En déduire une expression de la fonction génératrice de À à l'aide d'une fonction hypergéométrique. V.B - Modélisation On considère deux urnes contenant chacune À boules dont pA sont blanches et gÀ sont noires. On tire simul- tanément, de manière équiprobable, n boules dans la première urne. On note Y le nombre de boules blanches obtenues. On tire également, de manière équiprobable, n boules dans la deuxième urne, mais successivement et avec remise. On note Z le nombre de boules blanches obtenues. Q 34. Quelle est la loi de la variable 7°? Donner l'espérance et la variance de Z. Q 35.  Démontrer que Y S Æ(n,p, À). M047/2021-01-05 15:18:59 Page 4/5 (cc) BY-NC-SA V.C - Calcul de la variance On se propose d'utiliser la modélisation du tirage dans la première urne pour retrouver la valeur de l'espérance et pour calculer la variance d'une variable aléatoire suivant la loi hypergéométrique Æ(n, p, À). Pour cela, on numérote de 1 à pA chacune des boules blanches contenues dans la première urne et, pour tout entier naturel à EUR [1,pAÏ], on pose Y. -- { 1 si la boule numérotée 2 a été tirée, t O0 sinon. Q 36.  Exprimer Y à l'aide des Y; et retrouver la valeur de l'espérance de Y. La comparer à celle de Z: Q 37. Pour 1 < à < j < pA, démontrer que la variable aléatoire Y;Y; suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre. Q 38. En déduire la valeur de la variance de Y. La comparer à celle de Z. V.D -- Résultats asymptotiques Soit X une variable aléatoire suivant la loi Æ(n,p, A). On fixe n et p. Soit k EUR ]0, nl]. Q 39. Montrer que lim P(X = k) -- h pri pi. A--+00 k Q 40.  Interpréter ce résultat en lien avec ceux obtenus pour l'espérance et la variance de ÿY. ee eFINeee M047/2021-01-05 15:18:59 Page 5/5 (cc) BY-NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PSI 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Rémi Pellerin (ENS Lyon) et Benjamin Monmege 
(enseignantchercheur à l'université).

Ce sujet est consacré à l'étude des suites, séries entières, fonctions et lois 
de
probabilité dites hypergéométriques. On dit qu'une suite (un )nN à valeurs 
réelles est
hypergéométrique s'il existe deux polynômes réels non nuls P et Q tels que
n  N
La série entière

P

P(n)un = Q(n)un+1

un xn est alors également dite hypergéométrique.

· Afin de permettre au candidat de se familiariser avec ces définitions, la 
première
partie considère quelques cas particuliers de suites hypergéométriques.
· La deuxième partie, indépendante de la première, consiste à étendre la 
factorielle par le biais de la fonction . C'est un exercice classique et sans 
difficultés
d'intégrales à paramètre que tout candidat bien préparé aura déjà croisé au
moins une fois.
· La partie III exploite certains résultats des deux parties précédentes et 
constitue
le coeur du sujet. Elle commence par définir le symbole de Pochhammer :
(
1
si n = 0
a  R n  N
[a]n =
a(a + 1) · · · (a + n - 1) sinon
que l'on peut exprimer à l'aide de factorielles ou de la fonction . La majorité
du reste de la partie est consacrée à l'analyse des fonctions hypergéométriques
de Gauss :
(a, b)  R2

c  R r {-n | n  N}

Fa,b,c : x 7

+
X
[a]n [b]n xn

n=0

[c]n

n!

dont l'une des applications est la preuve de l'identité de Vandermonde.
Cette partie s'achève en définissant les fonctions hypergéométriques confluentes
comme des solutions particulières d'une équation différentielle.
· La partie IV s'appuie sur les précédentes pour donner un exemple de fonctions
hypergéométriques confluentes, les polynômes de Laguerre.
· Enfin, la partie V, indépendante de la partie IV, donne un autre exemple 
d'application des premières parties en étudiant la loi hypergéométrique de 
paramètres n, p et A (à valeurs dans [[ 0 ; n ]]) de façon assez originale. 
Après une
partie calculatoire exploitant les résultats établis précédemment, la loi est 
modélisée par un tirage sans remise. La fin de l'énoncé établit qu'une telle 
loi peut
être approchée par une loi binomiale de paramètres n et p si A est assez grand.
Ce problème constitue un bon sujet de révision d'analyse et probabilités, en 
proposant également un soupçon d'algèbre linéaire. Un certain nombre de 
questions
calculatoires demandent d'être à l'aise dans les manipulations de sommes et de 
coefficients binomiaux. C'est également un bon entraînement pour réussir à 
enchaîner
les questions en tâchant de garder tout le sujet en tête.

Indications
2
3
4
6
7
8

Distinguer les cas suivant les valeurs de n et p.
Montrer que c'est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des suites réelles.
Raisonner par récurrence.
Utiliser le théorème de continuité des intégrales à paramètre.
Effectuer une intégration par parties.
Raisonner par récurrence.

11 Montrer que

n  N

a  D

[a]n =

(a + n)
(a)

15 Utiliser la règle de d'Alembert.
16 Dériver la somme terme à terme.
17 Calculer la dérivée seconde pour conjecturer la valeur de la dérivée n-ième, 
puis
prouver par récurrence que
n  N

x  ] -1 ; 1 [

Fa,b,c (n) (x) =

[a]n [b]n
Fa+n,b+n,c+n (x)
[c]n

18 Utiliser la question 10 pour simplifier l'expression puis reconnaître le 
développement en série entière de la fonction Arctan.
19 Développer la fonction donnée en série entière et remarquer que l'on obtient 
au
signe près une fonction hypergéométrique de Gauss en posant a = b = 1 et c = 2.
20 Justifier l'existence à l'aide des questions 12 et 15 puis calculer sa 
valeur à l'aide
du résultat admis dans l'énoncé et des questions 9 et 11.
21 Appliquer les résultats des questions 20 et 11.
22 Considérer une urne contenant u boules blanches et v boules noires et 
calculer de
deux façons le nombre de tirages sans remise de n boules dans cette urne.
23 Écrire une telle solution de l'équation différentielle sous la forme d'une 
série entière
et raisonner par équivalences.
25 Appliquer la formule de Leibniz à f : x 7 e -x et g : x 7 xn .
27 Utiliser d'une part la question précédente et d'autre part la formule de 
Leibniz.
28 Utiliser la question 26.
29 Dériver l'expression de la question 27 avant de l'injecter dans le résultat 
de la
question 28.
30 Appliquer les questions 29, puis 23 et 25.
32 Utiliser la formule rappelée dans l'énoncé puis la formule de Vandermonde.

m
33 Exprimer tout d'abord i+1
en fonction de mi pour tous entiers m et i. Reconnaître ensuite les polynômes 
de la question 14. Il y a probablement une erreur
d'énoncé : il paraît nécessaire d'ajouter l'hypothèse qA > n.
35 Évaluer la probabilité demandée par dénombrement.
36 Exprimer Y = Y1 + · · · + YpA puis calculer la loi des Yi par dénombrement.
38 Exprimer la variance de Y en fonction des variances et covariances des Yi , 
puis
utiliser la formule de Huygens et la question 37.
39 Regrouper les factorielles ensemble pour trouver un équivalent de P(X = k)
quand A tend vers l'infini.
40 Conclure à l'aide des questions 39, 36 et 38.

I. Suites et séries hypergéométriques
1 Soit (un )nN une suite géométrique de raison q  R . Par définition,
n  N
n  N

soit

qun = un+1
P(n)un = Q(n)un+1

en notant P = q et Q = 1, qui sont bien deux polynômes non nuls de R[X].
Si q = 0, un = 0 pour tout n > 1. Les deux polynômes P = X = Q sont bien non
nuls et vérifient
n  N

P(n)un = Q(n)un+1

Par suite,

Une suite géométrique est hypergéométrique.
 
n
2 Soient p  N et (un )nN la suite de terme général
. Soit n  N.
p
· Si n > p, alors

n+1
n!
n+1
(n + 1) !
n+1
=
×
=
× un
un+1 =
=
p
p !(n + 1 - p) !
n + 1 - p p !(n - p) !
n+1-p
d'où

(n + 1 - p)un+1 = (n + 1)un

· Si n 6 p - 2, alors un = un+1 = 0, donc la relation précédente reste vraie.
· Enfin, si n = p - 1, alors un = 0 et (n + 1 - p)un+1 = 0, donc la relation est
toujours vérifiée.
Finalement, en posant P = X + 1 et Q = X + 1 - p, qui sont bien deux polynômes
non nuls de R[X], on obtient
n  N

P(n)un = Q(n)un+1
 
n
Pour tout p  N, la suite de terme général un =
est hypergéométrique.
p
3 Notons E l'ensemble des suites vérifiant la relation (I.1), avec
P(X) = X(X - 1)(X - 2)

et

Q(X) = X(X - 2)

et montrons que c'est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel RN des 
suites
réelles. Cela montrera alors que c'est en particulier un espace vectoriel.
· Par définition, E  RN .
· La suite identiquement nulle est incluse dans E.
· Soient (un )nN et (vn )nN deux suites de E,   R et n  N. Par définition
de E, on a P(n)un = Q(n)un+1 et P(n)vn = Q(n)vn+1 , donc
P(n)(un + vn ) = Q(n)(un+1 + vn+1 )
ce qui montre que (un + vn )nN  E.
L'ensemble E des suites vérifiant la relation (I.1),
avec P(X) = X(X - 1)(X - 2) et Q(X) = X(X - 2)
est un espace vectoriel.

Soit u = (un )nN  E. Par définition de E,
n  N

n(n - 1)(n - 2)un = n(n - 2)un+1

En considérant successivement n = 0, n = 1, n = 2 et n > 3, il vient

u0  R

u  R
1
u2 = 0

(n - 1)un = un+1 si n > 3
On montre alors par récurrence immédiate que

u0  R

u1  R
u2 = 0

u3  R

u
n+1 = (n - 1) ! u3

si n > 3

donc dim(E) = 3. Définissons la famille (a = (an )nN , b = (bn )nN , c = (cn 
)nN )
de RN par, pour tout n  N,
(
(
(
1 si n = 0
1 si n = 1
0
si n 6 2
an =
, bn =
et cn =
0 sinon
0 sinon
(n - 2) ! sinon
Il existe alors (, , )  R3 tel que
u = a + b + c
E  Vect (a, b, c)

ce qui prouve que

En outre, il est facile de vérifier que (a, b, c)  E3 car elles vérifient la 
relation (I.1).
Par suite,
E = Vect (a, b, c)
La famille (a, b, c) de cardinal 3 est donc une famille génératrice de E, qui 
est de
dimension 3, d'où
La famille (a, b, c) est une base de l'espace vectoriel E, qui est de dimension 
3.
Si l'on n'avait pas remarqué que dim(E) = 3, il suffisait de montrer que la
famille (a, b, c) est libre. Pour cela, considérons (, µ, )  R3 tel que
a + µb + c = 0
et évaluons cette relation en n = 0, n = 1 et n = 3. Il vient  = µ =  = 0,
donc la famille est libre.
4 Soit (un )nN une suite hypergéométrique de polynômes associés P et Q. Notons 
n0
l'entier défini dans l'énoncé et montrons, par récurrence sur n, que la 
propriété
P(n) :

un = 0

est vraie pour tout n > n0 + 1.