Centrale Maths 2 PSI 2019

Thème de l'épreuve Quelques propriétés des endomorphismes nilpotents
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, trigonalisation, combinatoire
Mots clefs endomorphismes nilpotents, partitions d'un entier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Mathématiques 2 OO
qi

Ps! ©

4 heures Calculatrice autorisée ON

La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les 
matrices et les endomorphismes
nilpotents et aborde l'étude de cas particuliers qui seront généralisés dans la 
partie II.

Notations et rappels
Dans tout le sujet, n désigne un entier naturel non nul et E un C-espace 
vectoriel de dimension n.
Si M E M,(C), on note M\ la transposée de la matrice M.

Si M est une matrice de M, (C), on définit la suite des puissances de M par M° 
= 1, et, pour tout entier
naturel &, M°A = MM.

De même, si u est un endomorphisme de Æ, on définit la suite des puissances de 
u par u° = Id, et, pour tout

entier naturel &, u*1 = u our.

Une matrice M est dite nilpotente s'il existe un entier naturel k > 1 tel que M 
-- 0. Dans ce cas, le plus petit
entier naturel # > 1 tel que MF -- 0 s'appelle l'indice de nilpotence de M.

Soit B une base de E, un endomorphisme de E est nilpotent d'indice p si sa 
matrice dans 8 est nilpotente
d'indice p.

0 -- 0
1

On pose J, = (0) et, pour a >2, J, = | 0 e M, (C).
0 0 1 0

SiAeM,(C) et Be M,,(C), on note diag(A, B), la matrice diagonale par blocs

diag(A, B) = (5 n) E Mn (O).

Plus généralement, si A, EUR M, (C), 4, EUR M,,(C), ..., 4, EUR M, (C), on note

A 0 + 0
diag(A, 4, A3) = | 0 42 em C
iag(A:, A, À) = : .... 0 EUR mtnytetng ( ).
0 ... O0 À,
I Premiers résultats
Q 1. Que peut-on dire d'un endomorphisme nilpotent d'indice 1 ?
I. A -- Réduction d'une matrice de M,(C) nilpotente d'indice 2

On suppose que n = 2. Soit u un endomorphisme de Æ nilpotent d'indice p > 2.
Q 2. Montrer qu'il existe un vecteur x de E tel que uw? !(x) £ 0.

Q 3. Vérifier que la famille CO) est libre. En déduire que p = 2.

Q 4. Montrer que Ker u = Im u.
Q 5. Construire une base de Æ dans laquelle la matrice de u est égale à J..

Q 6. En déduire que les matrices nilpotentes de M,(C) sont exactement les 
matrices de trace nulle et de
déterminant nul.

2019-04-02 10:07:14 Page 1/4 CHELLES
I.B --- Réduction d'une matrice de M,(C) nilpotente d'indice 2
On suppose que n > 3. Soit u un endomorphisme de Æ nilpotent d'indice 2 et de 
rang r.
Q 7. Montrer que Imu EUR Keru et que 2r < n. Q 8. On suppose que Imu -- Keru. Montrer qu'il existe des vecteurs e,, EURe,, ..., e., de ÆE tels que (e,,u(e;),e,u(e2), ...,e,.u(e,)) est une base de E. Q 9. Donner la matrice de w dans cette base. Q 10. On suppose Imu Æ Keru. Montrer qu'il existe des vecteurs e,, EUR, ..., e. de E et des vecteurs Uj, Vo, ..., Un, appartenant à Ker u tels que (e,,u(ei),e2, u(e2),...,e,,u(e,),U,,.....,0,_2,) est une base de Æ. Q 11. Quelle est la matrice de w dans cette base ? IC - Valeurs propres, polynôme caractéristique, polynômes annulateurs d'une matrice nilpo- tente Dans cette sous-partie, À désigne une matrice de M,(C). Q 12. Montrer que, si À est nilpotente, alors 0 est l'unique valeur propre de À. Q 13. Quelles sont les matrices de M,(C) à la fois nilpotentes et diagonalisables ? Q 14. Montrer qu'une matrice est nilpotente si, et seulement si, son polynôme caractéristique est égal à X7. Q 15. Montrer la réciproque de la question 12. Q 16. Montrer qu'une matrice triangulaire de M,(C) à diagonale nulle est nilpotente et qu'une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle. Q 17.  Démontrer que, si À est une matrice nilpotente d'indice p, alors tout polynôme de C[X]) multiple de XP est un polynôme annulateur de À. On suppose que P est un polynôme annulateur de À nilpotente. Q 18.  Démontrer que 0 est racine de P. Q 19. On note m la multiplicité de 0 dans P, ce qui permet d'écrire P = X"Q où Q est un polynôme de CIX! tel que Q(0) Æ 0. Démontrer que Q(A) est inversible puis que P est un multiple de X? dans C[X|. I.D --- Racines carrées de matrices nilpotentes Pour une matrice V EUR M,(C) donnée, on dit qu'une matrice R EUR M,,(C) est une racine carrée de V si R? = V. On se propose d'étudier l'existence et les valeurs de racines carrées éventuelles de certaines matrices nilpotentes. 1 3 --7 I.D.1) On note A= | 2 6 --14 | et u l'endomorphisme de C* canoniquement associé à À. 1 3 --7 Q 20. Calculer la trace et le rang de À. En déduire, sans aucun calcul, le polynôme caractéristique de À. Montrer que À est nilpotente et donner son indice de nilpotence. Q 21.  Démontrer que À est semblable à la matrice diag(J,, J,). Donner la valeur d'une matrice P inversible telle que À = Pdiag(J,,J,) PT. On cherche à déterminer l'ensemble des matrices R EUR M,(C) telles que R° = À. On note p l'endomorphisme canoniquement associé à À. Q 22.  Démontrer que Im «u et Ker u sont stables par p et que p est nilpotent. Q 23. En déduire l'ensemble des racines carrées de À. On pourra considérer R° = P-tRP. I.D.2) On se propose dans cette question d'étudier l'équation matricielle R? = J.. Q 24. Soit À une solution de cette équation. Donner les valeurs de R* et RS, puis l'ensemble des solutions de l'équation. 2019-04-02 10:07:14 Page 2/4 (Cc)EATET: I.D.3) Plus généralement, soit V EUR M,(C) une matrice nilpotente d'indice p. On se propose d'étudier l'équation R? = V. Q 25. Montrer que, si 2p -- 1 > n, alors il n'existe aucune solution.

Q 26. Pour toute valeur de l'entier n > 3, exhiber une matrice V EUR M,(C), 
nilpotente d'indice p > 2 et
admettant au moins une racine carrée.

II Deuxième partie

On cherche dans cette partie à généraliser les résultats des sous-parties TA et 
TB.
IT. À --- Réduction des matrices nilpotentes
On suppose n > 2. Soit u un endomorphisme de Æ nilpotent d'indice p > 2.

Q 27.  Démontrer que Im est stable par u et que l'endomorphisme induit par uw 
sur Im est nilpotent.
Préciser son indice de nilpotence.

Q 28. Pour tout vecteur x non nul de E, on note C,(x) l'espace vectoriel 
engendré par les (u*(x)) BEN

démontrer que C!,(x) est stable par u et qu'il existe un plus petit entier s(x) 
> 1 tel que u°®)(x) = 0.

Q 29.  Démontrer que (x, u(x), ...., us) T1 (x)) est une base de C,.(x) et 
donner la matrice, dans cette base, de
l'endomorphisme induit par u sur C, (x).

t
Q 30.  Démontrer par récurrence sur p qu'il existe des vecteurs x,, ..., x, de 
E tels que E -- OE C, (x;).
i=1

On pourra appliquer l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme induit par uw 
sur Im(u).

t
Q 31. Donner la matrice de u dans une base adaptée à la décomposition E -- OE 
C(x;).
i=1

II.B -- Partitions d'entiers
On appelle partition de l'entier n toute suite finie (a,,.....,a,) EUR (N*)" 
telle que
A 2 24 et QG ++ a = Nn.
On note F, l'ensemble des partitions de l'entier n. Aïnsi, L, = {(1)}, lo = 
{(2),(1,1)}, 2 = {(3),(2,1),(1,1,1)}.
Soit uw un endomorphisme de Æ nilpotent d'indice p et de rang r.

Q 32. Montrer qu'il existe une partition o = (a,,..,a,) de n et une base B de E 
dans laquelle la matrice
de u est égale à la matrice N,, = diag(J, ,.....,J,.).

1 dx

Q 33. Soit à un entier naturel non nul. Calculer le rang de J] pour tout entier 
naturel 7. En déduire que J,
est nilpotente et préciser son indice de nilpotence.

Q 34. En déduire la valeur de @..

Q 35. Pour je N,on note A; ={ie{[1,k] | a; > j}. Démontrer que rg(N?) -- > _(a, 
-- j).

iEA,

Q 36.  Démontrer que, pour tout j EUR N°, l'entier d; = rg(u/ 1) -- rg(u/) est 
égal au nombre de blocs J,, dont
la taille a, est supérieure ou égale à 7.

Q 37. Donner la valeur de l'entier k, nombre de blocs J

A intervenant dans W,.
t

Q 38. Pour tout entier j compris entre 1 et n, exprimer le nombre de blocs Je 
de taille exactement égale
à 7.

Q 39. On suppose qu'il existe une partition o' de l'entier n et une base 8° de 
Æ telles que la matrice de u
dans 8" soit égale à N,.. Montrer que o = a".

Q 40. Quel est le cardinal maximal d'un ensemble de matrices nilpotentes, 
toutes de même taille n, telles
qu'il n'y ait pas dans cet ensemble deux matrices semblables ?

2019-04-02 10:07:14 Page 3/4 (Cc)EATET:
IT.C -- Applications

O --1 2 --2 --I]
0 O0 0 0 0
Q 41. Soient À la matrice | O 1 0 0 0 et u l'endomorphisme canoniquement 
associé à À.
O I 0 0 0
O 1 --1 1 0

Déterminer la partition © de l'entier 5 associée à uw et donner la matrice N,.

Q 42. À l'aide du résultat de la question 31, démontrer que si M EUR M A(C) est 
nilpotente, alors M, 2M et
M sont semblables.

Q 43. À l'aide du résultat de la question 15, démontrer que si M et 2M sont 
semblables, alors M est nilpotente.
IT. D --- Un algorithme de calcul du nombre de partitions de n

Pour j EUR N, on note Y,, ; l'ensemble des partitions dont le premier terme a; 
est inférieur ou égal à j et y, ; le

cardinal de Y,,; ; on pose 59 = 1:

Q 44. Calculer y, 1.

On se propose de montrer que, si 2 < j < n, alors Un,j = Yn,j=1 À Yn=jmin(in--ÿ) Q 45.  Démontrer que cette égalité est vraie pour 7 = n. Q 46. Pour j < n, vérifier que y, ; = Yn.;_1 + Un Conclure. Q 47. Calculer les Un.j POUrT 1 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sélim Cornet (ENS Paris-Saclay) ; il a été relu par
Angèle Niclas (ENS Lyon) et Benoit Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet porte sur les matrices et endomorphismes nilpotents. Le principal 
théorème qui y est démontré concerne une réduction particulière des 
endomorphismes,
appelée réduction de Jordan, dans le cas des endomorphismes nilpotents.
· La première partie présente des résultats sur les endomorphismes nilpotents
ainsi que la réduction de Jordan dans un cas particulier. Elle s'achève par une
étude de l'existence et de la valeur de racines carrées de certaines matrices
nilpotentes.
· La seconde partie a pour but de démontrer l'existence et l'unicité de la 
réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents, ainsi que quelques-unes de 
ses
applications. On démontre notamment des critères de similitude pour des 
matrices nilpotentes, et on met en oeuvre la réduction de Jordan sur un exemple.
Enfin, un passage plus combinatoire fait le lien entre cette réduction et les 
partitions d'un entier naturel ; on y calcule le cardinal maximal d'un ensemble 
de
matrices nilpotentes de même taille tel qu'il ne contienne pas deux matrices
semblables.
Ce sujet était déstabilisant pour les candidats. D'un côté, les endomorphismes
nilpotents sont des classiques des concours, la réduction de Jordan avait pu 
être vue
en DM et certaines questions font appel à des raisonnements classiques. De 
l'autre,
les théorèmes de diagonalisation sont peu utilisés, contrairement à la 
trigonalisation
et au théorème de Cayley-Hamilton, et la difficulté n'est guère progressive 
puisque les
questions faciles et difficiles alternent tout au long du problème. Il est donc 
adapté
à une révision fine de l'algèbre linéaire, en complément d'un sujet faisant 
appel aux
mécanismes usuels de réduction des endomorphismes.

Indications
I - Premiers résultats
3 Considérer une combinaison linéaire nulle des vecteurs en question. Appliquer
alors à cette combinaison linéaire des puissances de u bien choisies. Pour la
seconde partie de la question, remarquer qu'il suffit de prouver p 6 2.
4 Utiliser le fait que u2 = 0 pour prouver une inclusion, puis utiliser un 
argument de dimension.
5 Une base vient naturellement à l'esprit si l'on tient compte des résultats des
questions précédentes.
6 Raisonner par double implication. Pour la réciproque, appliquer un résultat
de trigonalisation.
7 Raisonner comme à la question 4, puis penser au théorème du rang.
8 Considérer une base d'un supplémentaire de Ker (u) dans E.
10 Mettre en oeuvre un raisonnement similaire à celui de la question 8.
12 Considérer un vecteur propre de A, et exploiter le fait qu'il est aussi 
vecteur
propre des puissances de A.
13 Procéder par analyse-synthèse.
14 Faire appel au résultat de la question 12.
16 Recourir à nouveau aux résultats des questions 12 et 15.
19 Pour la première partie de la question, trigonaliser la matrice A. Pour la
seconde partie, prouver que m > p.
20 Montrer, à l'aide de considérations sur le rang et la trace de A, qu'elle 
admet 0
pour unique valeur propre.
21 Mettre en oeuvre la démarche vue à la question 10.
22 Remarquer que u et  commutent.
23 Vérifier que R est la matrice de  dans une base bien choisie. Déterminer
la forme de R , en faisant notamment appel aux résultats de la question 22.
En déduire la forme de R.
24 Montrer qu'une matrice de M3 (C) nilpotente a nécessairement un indice de
nilpotence inférieur ou égal à 3.
25 Reproduire le raisonnement de la question précédente.
26 On peut construire cette matrice à l'aide du résultat de la question 23, en
utilisant les règles du calcul par blocs.
II - Deuxième partie
28 Se rappeler que toute partie non vide de N possède un plus petit élément.
29 Montrer la liberté de la famille de la même manière qu'à la question 3.
30 Suivre d'abord l'indication donnée par l'énoncé. Considérer ensuite des 
antécédents par u des vecteurs x1 , · · · , xt et construire la base en 
s'appuyant sur
ces antécédents.
31 Le résultat découle de celui de la question 29.
33 Étudier l'action de J sur la base canonique de C .

34 Exprimer l'indice de nilpotence de N en fonction de 1 , · · · , k .
35 Exprimer le rang de la matrice N j en fonction de celui des blocs qui la
composent.
36 En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que dj est égal 
au
cardinal de j .
39 Remarquer que le nombre de blocs et leurs tailles s'expriment uniquement en
fonction du rang des puissances de u.
40 Utiliser les résultats des questions 32 et 39.
41 Commencer par calculer le nombre de blocs constituant N à l'aide du rang
de A. Chercher ensuite une base adaptée, ou calculer les puissances de A.
42 Utiliser les résultats des questions 31 et 38.
43 Commencer par montrer que si  est valeur propre de M, alors 2 l'est aussi.
45 Combien existe-t-il de partitions de n dont le premier terme vaut exactement 
n ?
46 Considérer un élément de Yn,j et distinguer des cas selon la valeur de son
premier terme.
48 On peut soit écrire une fonction itérative utilisant un tableau, en 
s'inspirant
de la question précédente, soit écrire une fonction récursive.

I. Premiers résultats
1 Soit u un endomorphisme nilpotent d'indice 1. Alors sa matrice M dans la base 
B
vérifie M1 = 0 soit M = 0. Par conséquent,
Un endomorphisme nilpotent d'indice 1 est nul.
2 L'endomorphisme u est nilpotent d'indice p. Celui-ci vérifie par définition 
up = 0
et up-1 6= 0. Ainsi,
Il existe un vecteur x  E tel que up-1 (x) 6= 0.
3 Soient 0 , . . . , p-1  C tels que
p-1
P

k uk (x) = 0

(1)

k=0

Montrons par récurrence sur q  [[ 0 ; p - 1 ]] la proposition
P(q) : 0 = · · · = q = 0
· Montrons que P(0) est vraie. En appliquant up-1 de chaque côté de (1), il 
vient
p-1

P
p-1
k
u
k u (x) = up-1 (0)
d'où par linéarité

k=0
p-1
P

k uk+p-1 (x) = 0

k=0

Or pour tout k > 1, k+p-1 > p donc uk+p-1 = 0, en particulier uk+p-1 (x) = 0.
L'égalité précédente se réécrit alors 0 up-1 (x) = 0. Comme on a choisi x de
sorte que up-1 (x) 6= 0, nécessairement 0 = 0.
· P(q) = P(q + 1) : Soit q  [[ 0 ; p - 2 ]] tel que 0 = · · · = q = 0. Montrons
que q+1 = 0. Par hypothèse de récurrence,
p-1
P

k uk (x) = 0

k=q+1

soit, après changement d'indice k  k - q - 1,
p-q-2
P

k+q+1 uk+q+1 (x) = 0

k=0

En appliquant up-q-2 de chaque côté de cette égalité, on obtient comme 
précédemment par linéarité
p-q-2
P

k+q+1 uk+p-1 (x) = 0

k=0

le seul terme non nul de la somme étant q+1 up-1 (x) puisque uk+p-1 = 0 pour
tout k > 1. Comme up-1 (x) 6= 0, il s'ensuit q+1 = 0.
· Conclusion : Par récurrence, 0 = · · · = p-1 = 0.
La famille (uk (x))06k6p-1 est libre.