Centrale Maths 2 PSI 2018

Thème de l'épreuve Notion de moment dans différents contextes
Principaux outils utilisés séries entières, espérance, convergence normale, intégrales généralisées
Mots clefs moment, loi de Poisson, fonction génératrice des moments, polynômes de Hilbert, sommation par paquets

Corrigé

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_/ PSI @
communs EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Ce problème aborde la notion de moment dans différents contextes: moment d'une 
variable aléatoire réelle
discrète à valeurs positives dans la partie I ; moment d'une suite numérique 
réelle dans la partie Il ; moment
d'une fonction dans la partie III.

Notations

Si f est une fonction de classe 000 et p un entier naturel, on note f(p,q)ew2 est une famille de nombres reels telle que
i. pour tout ]) E N, la série E lup,ql converge,
1120
+00
11. la serie E lupvql converge,
1720 (FC
+oo
alors, en notant Sp : E up7q et, pour tout n entier naturel, W,, = E up_q,
q=° (p,q)EURfN2
p+q=n
. pour tout q EUR IN, la série Ë up7q converge ; on note SZ; sa somme ;
P>O
. les séries E S' , E S' et g W convergent ;
P (1 "
p>0 1120 n>0

+30 +00 +oo
. E Sp : E S' = E W... c'est--à--dire:
«;
p=0 q=O n=0

+00 +90 +00 +00 +oo

}: up,q : Ë:upsq : E: }: uP-ÿ
p=0 q=0
p+q=n

I Moments d'une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé (Q, A, 
IP). On suppose que X (Q) C [R+*.

Si p E N, on dit que X admet un moment d'ordre p si la variable aléatoire Xp 
admet une espérance. On note
alors m,,(X), appelé moment d'ordre p de X, l'espérance de Xp.

On remarque que mO(X) : 1.

Q 1. Justifier que VkEUR [[l,nfl,0gng1+X".

Q 2. En déduire que, si X admet un moment d'ordre n (n EUR IN*), alors X admet 
des moments d'ordre k:
pour tous [EUR EUR [[l,n-- 1].

I.A * Fonction génératrice des moments

On suppose que, pour tout entier naturel non nul n, X admet un moment d'ordre n 
et que la série entière

tn
Ë m,,(X)--, admet un rayon de convergence RX > O.
"20 n.
+00 Ën
Pour tout t EUR ]--RX, RX{, on note MX(t) : E mn (X)--|. La fonction MX 
s'appelle la fonction génératrice des
n.
n=0

moments de la variable aléatoire X.

2018-02-12 20:12:45 Page 1/4 (GQ BY--NC-SA

Q 3. Justifier que la connaissance de la fonction M X permet de déterminer de 
manière unique la suite (mn (X))

nEURN'
Q 4. En utilisant les résultats du préambule, montrer que, pour tout t EUR ]--R 
X, R X[, la variable aléatoire
etX admet une espérance et que Mx(t) : - (etX).
Q 5. Montrer réciproquement que, s'il existe un réel R > 0 tel que, pour tout t 
EUR ]--R,R[, la variable

aléatoire etX admet une espérance, alors l'ensemble de définition de la 
fonction génératrice des moments de X
contient ]--R, R[ et pour tout t EUR ]--R, R[, Mx(t) : *(etx).

On suppose que X et Ysont deux variables aléatoires réelles discrètes 
indépendantes à valeurs strictement
positives admettant des moments de tous ordres. On note RX (respectivement RY) 
le rayon de convergence
(supposé strictement positif) associé à la fonction M X (respectivement My).

Q 6. Montrer que la variable aléatoire X + Yadmet des moments de tous ordres et 
que
V[tl < mîn(RX: RY): Ï"X+Y(Ü : ÏWX(Ü >< MY

LB EUR Eæemples
A est un nombre réel fixé.

I.B.1) On suppose que Z est une variable aléatoire sur (Q, A, [P) suivant la 
loi de Poisson de paramètre À.
Q 7. Montrer que Z admet des moments de tous ordres.

Q 8. Calculer la fonction génératrice des moments de Z. En déduire les valeurs 
de m1(Z) et m2(Z )
I.B.2) Soit n un entier naturel non nul. Pour [ EUR [[1, 71], X ,- est une 
variable aléatoire sur (Q, /l , [P) suivant

une loi de Bernoulli de paramètre À/ n. On suppose que X 1: X2, ..., X" sont 
mutuellement indépendantes et on

n
pose Sn : î:X,.
i=1

Q 9. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Sn.
Q 10. Pour 75 EUR R, calculer lim MS (t).
n-->+oo "
Q 11. Comparer avec les résultats de la question 8.
I.B.3) Pour n EUR N*, Un est une variable aléatoire sur (Q, A, [R) suivant la 
loi uniforme sur [[1, n]]. On pose
1
Y,, = --U,,.
n
Q 12. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Y,,.
Q 13. Pour 75 EUR R, calculer lim MY (t).
n-->+oo "

II Moments d'une suite numérique

Si (an)nEURlN est une suite réelle telle que, pour tout entier naturel p, la 
série E npan converge absolument, on
71.20

+oo
appelle moment d'ordre p de la suite (an) le nombre 2 npan.
n=0
Le but de cette partie est de construire une suite non nulle dont tous les 
moments d'ordre p (p EUR IN) sont nuls.

II.A -- Étude d'une fonction
On définit la fonction 

[R par @(OE)=exp(Æ) si:cl æ<1 Q 16. Montrer que, pour tout entier naturel non nul p, il existe deux polynômes PP et Qp à coefficients réels tels que, pour tout a: EUR ]--00, 1[, *q/2 q=0 (1. On considère les polynômes de Hilbert HO(X) : 1 : ?; ÎÎ(X k) : X') ( / | Q 23. Utiliser les résultats admis dans le préambule pour établir l'égalité VoeEUR]-- 1,1, 0 +oo Pour 2 EUR 23, on note O(z) : E a,,z" et, sous réserve de convergence, n=0 ©. : Z...a...z" n=0 Q 25. Justifier que, pour tout p EUR N* et tout 33 EUR ]--1,1{, <Ï),,(æ) : C par 0(æ) : 0 si a: < () 9()Î ln2æ+_lnæ _ >0 x -- exp 4W2 1 27r si 33 Q 32. Montrer que lina|0(m)l : 0. ma æ>0 Q 33. Justifier que 9 est de classe C°° sur [R+* et démontrer que, pour tout n EUR D\l*, il existe Pn EUR C{X] tel que P 1 V3: EUR ]0,+oe{ 9Û On pourra effectuer le changement de variable y : --lnæ. Q 35. Démontrer que 0 est de classe C°° sur [R. III.B + Étude d'une intégrale Q 36. Montrer que pour tout entier naturel p, l'intégrale +oo Ip = / e*"*P">' sintdt est absolument convergente et qu'elle vaut zéro. \ 1 . Q 37. A l'aide du changement de variable 75 = %, démontrer que 7r 2 2 +00 2 EUR*?" " f1 ln oe _ lnoe Vp EUR IN Ip : 27r /æP exp (-- 47r2 ) sm (ï) dx 0 Q 38. Conclure. oooFlNooo 2018-02-12 20:12:45 Page 4/4 @@ BY--NC-SA

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Centrale Maths 2 PSI 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (professeur en CPGE) ; il a été
relu par Florian Metzger (docteur en mathématiques) et Sophie Rainero 
(professeur
en CPGE).

Ce problème porte sur la notion de moment, qui est étudiée pour des variables
aléatoires (I), des suites (II) et des fonctions réelles (III).
· La première partie porte sur les probabilités. Le moment mn (X) d'ordre n  N
de la variable aléatoire discrète réelle X est défini par E(Xn ), en cas 
d'existence.
 La première moitié des questions est théorique et plutôt difficile pour une
entrée en matière. Pour toute variable aléatoire X possédant des moments
à tout ordre, on établit l'égalité
+

P

n=0

mn (X)

tn
= E(e tX )
n!

où t appartient à un intervalle ] -R ; R [ sur lequel l'un des deux membres
est bien défini. On utilise essentiellement les séries entières et un résultat
hors-programme d'échange de deux sommes, énoncé en préambule.
 La seconde moitié des questions exploite la fonction t 7 E(e tX ), qui 
caractérise la loi de la variable X, afin de démontrer deux résultats 
d'approximation : la loi de Poisson comme « limite » d'une suite de lois 
binomiales
d'une part ; la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] comme « limite » d'une suite de lois
uniformes discrètes d'autre part.
· La deuxième partie étend la définition des moments aux suites, le but étant
de construire une suite non identiquement nulle dont tous les moments sont
nuls (ce qui n'est pas possible avec la suite des valeurs d'une variable 
aléatoire
discrète). On démontre d'abord qu'une certaine fonction  définie par morceaux
est de classe C  (avec le programme de Sup !), puis on la développe en série
entière en 0 (encore avec le théorème en préambule). Enfin, on établit (avec
des séries entières et des convergences normales) que la suite des coefficients
obtenus répond au problème.
· La troisième partie prolonge le problème précédent au cas des fonctions 
réelles,
où le moment d'ordre p  N d'une fonction f est défini par l'intégrale sur R de
la fonction t 7 tp f (t), en cas d'existence. À nouveau, on établit le caractère
C  d'une certaine fonction, cette fois-ci à valeurs complexes, définie avec 
l'exponentielle complexe. Ensuite, quelques changements de variables permettent
d'exhiber une fonction de classe C  sur R non nulle dont tous les moments
sont nuls.
Finalement, ce problème est un sujet sur les séries entières et l'analyse 
locale de
première année. Signalons de nombreux calculs de limites, qui nécessitent une 
bonne
dextérité avec les « petits o », « grands O » et équivalents.

Indications
Partie I
2 Adapter la démonstration concernant le cas n = 2.
3 Autrement dit, exprimer mn (X) pour tout n  N en fonction de MX (et de ses
dérivées en 0 d'après le cours).
4 En notant {xi | i  N} l'ensemble à l'intérieur duquel X prend ses valeurs, 
poser
tn
n!
Utiliser le théorème du préambule où n et i jouent respectivement le rôle de p
et q. Ne pas s'occuper des sommes W.
 (n, i)  N2

un,i = xi n P(X = xi )

5 Reprendre la démonstration de la question 4 avec la même suite double en 
considérant d'abord la somme en i puis la somme en n.
6 À l'aide de la formule du binôme, justifier que X + Y possède un moment à tout
ordre n  N. Ensuite, établir la formule de la question en partant du produit
MX (t) × MY (t) et en utilisant les questions 4 et 5 pour retrouver MX+Y (t).
7 Comparer la série du moment d'ordre k  N à une série exponentielle.
8 Calculer plutôt E(e tZ ).
9 Généraliser rapidement le résultat de la question 6 pour une somme de n 
variables
aléatoires mutuellement indépendantes, puis calculer les moments d'une variable
aléatoire de Bernoulli (attention au moment d'ordre 0 !)
Partie II
15 Pour la limite, se ramener à une expression de la forme X3 e X pour X  -.
Pour le caractère C 1 sur R, utiliser le théorème de la limite de la dérivée.
16 Démontrer le résultat par récurrence sur p  N .
17 S'intéresser aux monômes de plus bas degré pour les polynômes Pp et Qp de la
question 16, afin de trouver un équivalent de (p) (x). Calculer la limite avec 
les
mêmes ingrédients qu'à la question 15.
18 Démontrer par récurrence sur p  N la propriété Q(p) : «  est de classe C p et
(p) (1) = 0 ».
19 Utiliser le développement en série entière de l'exponentielle.
20 Écrire le développement en série entière de (1 + u) en utilisant les 
polynômes de
Hilbert de l'énoncé. Changer d'indice dans chaque coefficient.
21 Isoler le terme de rang q = 0 dans l'expression de  puis décaler l'indice q.

22 Justifier que Hj (i - 2)/2 + j est positif puis calculer la double somme en 
remontant les calculs des questions 20 et 19.
23 Utiliser les paquets Wn (n  N) du théorème en préambule.
24 Revenir à la définition du rayon de convergence d'une série entière.
25 Se ramener aux résultats de dérivation de la somme d'une série entière.
26 Penser au théorème des bornes atteintes.
27 Utiliser un théorème d'intégration terme à terme pour calculer l'intégrale.
28 Isoler an dans l'égalité de la question 27. Remarquer que le polynôme en n 
est
équivalent à np pour n  +.

29 Considérer l'inégalité de la question 28 pour p = 2. Pour calculer
P lan somme,
invoquer la continuité sur [ 0 ; 1 ] de la somme de la série entière
an x .

30 Raisonnements identiques à ceux de la question 29.

P k
31 Démontrer par récurrence sur p  N la propriété R(p) : « la série
n an converge
et sa somme est nulle pour tout k  [[ 0 ; p ]]. » Au cours de l'hérédité, 
utiliser
la série de la question 30 avec p + 1 au lieu de p, en décalant l'indice n pour
manipuler an au lieu de an+p+1 puis en développant le polynôme en n pour faire
apparaître np+1 an .
Partie III
33 Procéder comme à la question 16 pour le calcul des dérivées n-ièmes.
34 En notant  Xa le monôme dominant de Pn , justifier que (n) (x) est 
négligeable
devant une expression de la forme Ya/2 e -Y avec Y  +.
35 Travailler avec les parties réelle et imaginaire de .
2

36 Pour la convergence de l'intégrale, comparer la fonction intégrée avec t 7 e 
-t /2 ,
intégrable sur R. Pour la valeur nulle de l'intégrale, considérer le changement 
de
variable u = t - p.
37 Appliquer soigneusement le théorème de changement de variable pour les 
intégrales généralisées.
38 Reconnaître Im  dans l'intégrale Ip .

I. Moments d'une variable aléatoire
1 Soient x > 0, n  N et k  [[ 1 ; n ]].
· Si x  [ 0 ; 1 ] alors xk 6 1.
· Si x  [ 1 ; + [ alors xk 6 xn par comparaison des fonctions puissances.
Ainsi,

x > 0

0 6 xk 6 max(1, xn ) 6 1 + xn

(1 et xn positifs)

Puisque la variable aléatoire X est à valeurs positives,
 k  [[ 1 ; n ]]

0 6 Xk 6 1 + Xn

2 Supposons que X admet un moment d'ordre n (n  N ) et qu'elle est à valeurs
dans l'ensemble dénombrable {xi | i  N}. Soit
Pk k [[ 1 ; n - 1 ]]. D'après le théorème
de transfert, il suffit de montrer que la série
xi P(X = xi ) converge pour établir
i
que Xk admet une espérance.
1. Majoration du terme général : d'après la question 1 et comme toute 
probabilité
est positive,
0 6 xi k P(X = xi ) 6 P(X = xi ) + xi n P(X = xi )
P
2. Convergence de la série majorante : d'une
la série
P(X = xi ) converge
P part,
car de somme 1 ; d'autre part, la série
xi n P(X = xi ) converge puisque Xn
admet une espérance par hypothèse.
D'après la propriété de linéarité pour les
P
séries convergentes, la série
(1 + xi n ) P(X = xi ) converge.
P k
Par comparaison pour les séries à termes positifs, la série
xi P(X = xi ) converge.
i  N

Si mn (X) existe alors mk (X) existe pour tout k  [[ 1 ; n - 1 ]].

Le résultat suivant qui figure dans le programme de MP permet de simplifier
la réponse à la question 2 : « si |X| 6 Y et que Y admet une espérance, alors X
admet une espérance. » Justement, la question 1 donne Xk 6 1 + Xn et la
linéarité de l'espérance assure que 1+Xn admet bien une espérance lorsque X
possède un moment d'ordre n.

P
3 D'après le cours, la somme MX de la série entière
mn (X)/n! tn est de
classe C  sur ] -RX ; RX [, où RX > 0 d'après l'énoncé. Toujours d'après le 
cours,
les coefficients de la série entière sont ceux de la série de Taylor associée à 
la somme :

d'où

n  N

mn (X)
MX (n) (0)
=
n!
n!

n  N

mn (X) = MX (n) (0)

4 Soit t  ] -RX ; RX [ fixé. Posons
 (n, i)  N2

un,i = xi n P(X = xi )

tn
n!

où X est à valeurs dans l'ensemble dénombrable {xi | i  N}. Remarquons que
 
 n
+
+ +
P +P
P P
t
n
MX (t) =
xi P(X = xi )
=
un,i
n! n=0 i=0
n=0 i=0