Centrale Maths 2 PSI 2018

Thème de l'épreuve Notion de moment dans différents contextes
Principaux outils utilisés séries entières, espérance, convergence normale, intégrales généralisées
Mots clefs moment, loi de Poisson, fonction génératrice des moments, polynômes de Hilbert, sommation par paquets

Corrigé

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t, % Mathématiques 2 °° % , !--l _/ PSI @ communs EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N Ce problème aborde la notion de moment dans différents contextes: moment d'une variable aléatoire réelle discrète à valeurs positives dans la partie I ; moment d'une suite numérique réelle dans la partie Il ; moment d'une fonction dans la partie III. Notations Si f est une fonction de classe 000 et p un entier naturel, on note f(p,q)ew2 est une famille de nombres reels telle que i. pour tout ]) E N, la série E lup,ql converge, 1120 +00 11. la serie E lupvql converge, 1720 (FC +oo alors, en notant Sp : E up7q et, pour tout n entier naturel, W,, = E up_q, q=° (p,q)EURfN2 p+q=n . pour tout q EUR IN, la série Ë up7q converge ; on note SZ; sa somme ; P>O . les séries E S' , E S' et g W convergent ; P (1 " p>0 1120 n>0 +30 +00 +oo . E Sp : E S' = E W... c'est--à--dire: «; p=0 q=O n=0 +00 +90 +00 +00 +oo }: up,q : Ë:upsq : E: }: uP-ÿ p=0 q=0 p+q=n I Moments d'une variable aléatoire Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé (Q, A, IP). On suppose que X (Q) C [R+*. Si p E N, on dit que X admet un moment d'ordre p si la variable aléatoire Xp admet une espérance. On note alors m,,(X), appelé moment d'ordre p de X, l'espérance de Xp. On remarque que mO(X) : 1. Q 1. Justifier que VkEUR [[l,nfl,0gng1+X". Q 2. En déduire que, si X admet un moment d'ordre n (n EUR IN*), alors X admet des moments d'ordre k: pour tous [EUR EUR [[l,n-- 1]. I.A * Fonction génératrice des moments On suppose que, pour tout entier naturel non nul n, X admet un moment d'ordre n et que la série entière tn Ë m,,(X)--, admet un rayon de convergence RX > O. "20 n. +00 Ën Pour tout t EUR ]--RX, RX{, on note MX(t) : E mn (X)--|. La fonction MX s'appelle la fonction génératrice des n. n=0 moments de la variable aléatoire X. 2018-02-12 20:12:45 Page 1/4 (GQ BY--NC-SA Q 3. Justifier que la connaissance de la fonction M X permet de déterminer de manière unique la suite (mn (X)) nEURN' Q 4. En utilisant les résultats du préambule, montrer que, pour tout t EUR ]--R X, R X[, la variable aléatoire etX admet une espérance et que Mx(t) : - (etX). Q 5. Montrer réciproquement que, s'il existe un réel R > 0 tel que, pour tout t EUR ]--R,R[, la variable aléatoire etX admet une espérance, alors l'ensemble de définition de la fonction génératrice des moments de X contient ]--R, R[ et pour tout t EUR ]--R, R[, Mx(t) : *(etx). On suppose que X et Ysont deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes à valeurs strictement positives admettant des moments de tous ordres. On note RX (respectivement RY) le rayon de convergence (supposé strictement positif) associé à la fonction M X (respectivement My). Q 6. Montrer que la variable aléatoire X + Yadmet des moments de tous ordres et que V[tl < mîn(RX: RY): Ï"X+Y(Ü : ÏWX(Ü >< MY LB EUR Eæemples A est un nombre réel fixé. I.B.1) On suppose que Z est une variable aléatoire sur (Q, A, [P) suivant la loi de Poisson de paramètre À. Q 7. Montrer que Z admet des moments de tous ordres. Q 8. Calculer la fonction génératrice des moments de Z. En déduire les valeurs de m1(Z) et m2(Z ) I.B.2) Soit n un entier naturel non nul. Pour [ EUR [[1, 71], X ,- est une variable aléatoire sur (Q, /l , [P) suivant une loi de Bernoulli de paramètre À/ n. On suppose que X 1: X2, ..., X" sont mutuellement indépendantes et on n pose Sn : î:X,. i=1 Q 9. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Sn. Q 10. Pour 75 EUR R, calculer lim MS (t). n-->+oo " Q 11. Comparer avec les résultats de la question 8. I.B.3) Pour n EUR N*, Un est une variable aléatoire sur (Q, A, [R) suivant la loi uniforme sur [[1, n]]. On pose 1 Y,, = --U,,. n Q 12. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Y,,. Q 13. Pour 75 EUR R, calculer lim MY (t). n-->+oo " II Moments d'une suite numérique Si (an)nEURlN est une suite réelle telle que, pour tout entier naturel p, la série E npan converge absolument, on 71.20 +oo appelle moment d'ordre p de la suite (an) le nombre 2 npan. n=0 Le but de cette partie est de construire une suite non nulle dont tous les moments d'ordre p (p EUR IN) sont nuls. II.A -- Étude d'une fonction On définit la fonction 

[R par @(OE)=exp(Æ) si:cl æ<1 Q 16. Montrer que, pour tout entier naturel non nul p, il existe deux polynômes PP et Qp à coefficients réels tels que, pour tout a: EUR ]--00, 1[, *q/2 q=0 (1. On considère les polynômes de Hilbert HO(X) : 1 : ?; ÎÎ(X k) : X') ( / | Q 23. Utiliser les résultats admis dans le préambule pour établir l'égalité VoeEUR]-- 1,1, 0 +oo Pour 2 EUR 23, on note O(z) : E a,,z" et, sous réserve de convergence, n=0 ©. : Z...a...z" n=0 Q 25. Justifier que, pour tout p EUR N* et tout 33 EUR ]--1,1{, <Ï),,(æ) : C par 0(æ) : 0 si a: < () 9()Î ln2æ+_lnæ _ >0 x -- exp 4W2 1 27r si 33 Q 32. Montrer que lina|0(m)l : 0. ma æ>0 Q 33. Justifier que 9 est de classe C°° sur [R+* et démontrer que, pour tout n EUR D\l*, il existe Pn EUR C{X] tel que P 1 V3: EUR ]0,+oe{ 9Û On pourra effectuer le changement de variable y : --lnæ. Q 35. Démontrer que 0 est de classe C°° sur [R. III.B + Étude d'une intégrale Q 36. Montrer que pour tout entier naturel p, l'intégrale +oo Ip = / e*"*P">' sintdt est absolument convergente et qu'elle vaut zéro. \ 1 . Q 37. A l'aide du changement de variable 75 = %, démontrer que 7r 2 2 +00 2 EUR*?" " f1 ln oe _ lnoe Vp EUR IN Ip : 27r /æP exp (-- 47r2 ) sm (ï) dx 0 Q 38. Conclure. oooFlNooo 2018-02-12 20:12:45 Page 4/4 @@ BY--NC-SA

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 Centrale Maths 2 PSI 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (professeur en CPGE) ; il a été relu par Florian Metzger (docteur en mathématiques) et Sophie Rainero (professeur en CPGE). Ce problème porte sur la notion de moment, qui est étudiée pour des variables aléatoires (I), des suites (II) et des fonctions réelles (III). · La première partie porte sur les probabilités. Le moment mn (X) d'ordre n N de la variable aléatoire discrète réelle X est défini par E(Xn ), en cas d'existence. La première moitié des questions est théorique et plutôt difficile pour une entrée en matière. Pour toute variable aléatoire X possédant des moments à tout ordre, on établit l'égalité + P n=0 mn (X) tn = E(e tX ) n! où t appartient à un intervalle ] -R ; R [ sur lequel l'un des deux membres est bien défini. On utilise essentiellement les séries entières et un résultat hors-programme d'échange de deux sommes, énoncé en préambule. La seconde moitié des questions exploite la fonction t 7 E(e tX ), qui caractérise la loi de la variable X, afin de démontrer deux résultats d'approximation : la loi de Poisson comme « limite » d'une suite de lois binomiales d'une part ; la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] comme « limite » d'une suite de lois uniformes discrètes d'autre part. · La deuxième partie étend la définition des moments aux suites, le but étant de construire une suite non identiquement nulle dont tous les moments sont nuls (ce qui n'est pas possible avec la suite des valeurs d'une variable aléatoire discrète). On démontre d'abord qu'une certaine fonction définie par morceaux est de classe C (avec le programme de Sup !), puis on la développe en série entière en 0 (encore avec le théorème en préambule). Enfin, on établit (avec des séries entières et des convergences normales) que la suite des coefficients obtenus répond au problème. · La troisième partie prolonge le problème précédent au cas des fonctions réelles, où le moment d'ordre p N d'une fonction f est défini par l'intégrale sur R de la fonction t 7 tp f (t), en cas d'existence. À nouveau, on établit le caractère C d'une certaine fonction, cette fois-ci à valeurs complexes, définie avec l'exponentielle complexe. Ensuite, quelques changements de variables permettent d'exhiber une fonction de classe C sur R non nulle dont tous les moments sont nuls. Finalement, ce problème est un sujet sur les séries entières et l'analyse locale de première année. Signalons de nombreux calculs de limites, qui nécessitent une bonne dextérité avec les « petits o », « grands O » et équivalents. Indications Partie I 2 Adapter la démonstration concernant le cas n = 2. 3 Autrement dit, exprimer mn (X) pour tout n N en fonction de MX (et de ses dérivées en 0 d'après le cours). 4 En notant {xi | i N} l'ensemble à l'intérieur duquel X prend ses valeurs, poser tn n! Utiliser le théorème du préambule où n et i jouent respectivement le rôle de p et q. Ne pas s'occuper des sommes W. (n, i) N2 un,i = xi n P(X = xi ) 5 Reprendre la démonstration de la question 4 avec la même suite double en considérant d'abord la somme en i puis la somme en n. 6 À l'aide de la formule du binôme, justifier que X + Y possède un moment à tout ordre n N. Ensuite, établir la formule de la question en partant du produit MX (t) × MY (t) et en utilisant les questions 4 et 5 pour retrouver MX+Y (t). 7 Comparer la série du moment d'ordre k N à une série exponentielle. 8 Calculer plutôt E(e tZ ). 9 Généraliser rapidement le résultat de la question 6 pour une somme de n variables aléatoires mutuellement indépendantes, puis calculer les moments d'une variable aléatoire de Bernoulli (attention au moment d'ordre 0 !) Partie II 15 Pour la limite, se ramener à une expression de la forme X3 e X pour X -. Pour le caractère C 1 sur R, utiliser le théorème de la limite de la dérivée. 16 Démontrer le résultat par récurrence sur p N . 17 S'intéresser aux monômes de plus bas degré pour les polynômes Pp et Qp de la question 16, afin de trouver un équivalent de (p) (x). Calculer la limite avec les mêmes ingrédients qu'à la question 15. 18 Démontrer par récurrence sur p N la propriété Q(p) : « est de classe C p et (p) (1) = 0 ». 19 Utiliser le développement en série entière de l'exponentielle. 20 Écrire le développement en série entière de (1 + u) en utilisant les polynômes de Hilbert de l'énoncé. Changer d'indice dans chaque coefficient. 21 Isoler le terme de rang q = 0 dans l'expression de puis décaler l'indice q. 22 Justifier que Hj (i - 2)/2 + j est positif puis calculer la double somme en remontant les calculs des questions 20 et 19. 23 Utiliser les paquets Wn (n N) du théorème en préambule. 24 Revenir à la définition du rayon de convergence d'une série entière. 25 Se ramener aux résultats de dérivation de la somme d'une série entière. 26 Penser au théorème des bornes atteintes. 27 Utiliser un théorème d'intégration terme à terme pour calculer l'intégrale. 28 Isoler an dans l'égalité de la question 27. Remarquer que le polynôme en n est équivalent à np pour n +. 29 Considérer l'inégalité de la question 28 pour p = 2. Pour calculer P lan somme, invoquer la continuité sur [ 0 ; 1 ] de la somme de la série entière an x . 30 Raisonnements identiques à ceux de la question 29. P k 31 Démontrer par récurrence sur p N la propriété R(p) : « la série n an converge et sa somme est nulle pour tout k [[ 0 ; p ]]. » Au cours de l'hérédité, utiliser la série de la question 30 avec p + 1 au lieu de p, en décalant l'indice n pour manipuler an au lieu de an+p+1 puis en développant le polynôme en n pour faire apparaître np+1 an . Partie III 33 Procéder comme à la question 16 pour le calcul des dérivées n-ièmes. 34 En notant Xa le monôme dominant de Pn , justifier que (n) (x) est négligeable devant une expression de la forme Ya/2 e -Y avec Y +. 35 Travailler avec les parties réelle et imaginaire de . 2 36 Pour la convergence de l'intégrale, comparer la fonction intégrée avec t 7 e -t /2 , intégrable sur R. Pour la valeur nulle de l'intégrale, considérer le changement de variable u = t - p. 37 Appliquer soigneusement le théorème de changement de variable pour les intégrales généralisées. 38 Reconnaître Im dans l'intégrale Ip . I. Moments d'une variable aléatoire 1 Soient x > 0, n N et k [[ 1 ; n ]]. · Si x [ 0 ; 1 ] alors xk 6 1. · Si x [ 1 ; + [ alors xk 6 xn par comparaison des fonctions puissances. Ainsi, x > 0 0 6 xk 6 max(1, xn ) 6 1 + xn (1 et xn positifs) Puisque la variable aléatoire X est à valeurs positives, k [[ 1 ; n ]] 0 6 Xk 6 1 + Xn 2 Supposons que X admet un moment d'ordre n (n N ) et qu'elle est à valeurs dans l'ensemble dénombrable {xi | i N}. Soit Pk k [[ 1 ; n - 1 ]]. D'après le théorème de transfert, il suffit de montrer que la série xi P(X = xi ) converge pour établir i que Xk admet une espérance. 1. Majoration du terme général : d'après la question 1 et comme toute probabilité est positive, 0 6 xi k P(X = xi ) 6 P(X = xi ) + xi n P(X = xi ) P 2. Convergence de la série majorante : d'une la série P(X = xi ) converge P part, car de somme 1 ; d'autre part, la série xi n P(X = xi ) converge puisque Xn admet une espérance par hypothèse. D'après la propriété de linéarité pour les P séries convergentes, la série (1 + xi n ) P(X = xi ) converge. P k Par comparaison pour les séries à termes positifs, la série xi P(X = xi ) converge. i N Si mn (X) existe alors mk (X) existe pour tout k [[ 1 ; n - 1 ]]. Le résultat suivant qui figure dans le programme de MP permet de simplifier la réponse à la question 2 : « si |X| 6 Y et que Y admet une espérance, alors X admet une espérance. » Justement, la question 1 donne Xk 6 1 + Xn et la linéarité de l'espérance assure que 1+Xn admet bien une espérance lorsque X possède un moment d'ordre n. P 3 D'après le cours, la somme MX de la série entière mn (X)/n! tn est de classe C sur ] -RX ; RX [, où RX > 0 d'après l'énoncé. Toujours d'après le cours, les coefficients de la série entière sont ceux de la série de Taylor associée à la somme : d'où n N mn (X) MX (n) (0) = n! n! n N mn (X) = MX (n) (0) 4 Soit t ] -RX ; RX [ fixé. Posons (n, i) N2 un,i = xi n P(X = xi ) tn n! où X est à valeurs dans l'ensemble dénombrable {xi | i N}. Remarquons que n + + + P +P P P t n MX (t) = xi P(X = xi ) = un,i n! n=0 i=0 n=0 i=0