Centrale Maths 2 PSI 2017

Thème de l'épreuve Étude de systèmes dynamiques à coefficients périodiques
Principaux outils utilisés suites récurrentes linéaires d'ordre 2, systèmes différentiels, réduction, calcul matriciel par blocs
Mots clefs suites périodiques, wronskien, Réduction matricielle, Floquet

Corrigé

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î, % Mathématiques 2 l\ % 1--l ( ----"/ |D5' C:: unusuuns EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N Objectifs L'objectif du problème est l'étude de l'évolution de certains systèmes (discrets ou continus) à coefficients périq diques, dans le cadre de la théorie de Floquet. Dans la première partie on démontre quelques propriétés des suites complexes périodiques et des normes matricielles. La théorie de Floquet est introduite dans la partie Il a travers l'étude de suites vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients périodiques. Dans la partie III, le résultat est généralisé au cas des suites vectorielles. Une approche du cas continu est proposée dans la partie 1V. La partie V est consacrée à la preuve d'un lemme nécessaire a la partie 111 ; en dehors de cette finalité elle est indépendante des autres parties. Notations -- M,,(C) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes ; -- M ,,71012) l'ensemble des matrices colonnes de taille n a coefficient complexes ; on identifie M n'1((fî) et C". -- GL,,(C) représente l'ensemble des éléments inversibles de Mn (C). -- tr(M) est la trace de la matrice M de M,,(C). -- T,, ((C) désigne l'ensemble des matrice triangulaires supérieures d'ordre n. -- 0Ln est la matrice ligne de taille n dont tous les coefficients sont nuls. y1 -- Pour tout Y : ( 5 ) E C", on pose HY||OO : max |y,--|. 1<1 2, la suite nulle est la seule solution périodique de (11.1). II.A.3) Montrer que si a : --2 alors, (11.1) admet une infinité de solutions constantes et une infinité de solutions non bornées. 2017--04--13 15:08:28 Page 1/4 ÎCÔ BY--NC-SA II.A.4) Montrer que si a : +2 alors, (11.1) admet une infinité de solutions 2--périodiques et une infinité de solutions non bornées. II.A.5) On suppose dans cette question que p est un entier supérieur ou égal à 3. Donner une valeur de 11 EUR ]--2, 21 pour laquelle toutes les solutions de l'équation (11.1) sont p--périodiques. II.B EUR Dans toute la suite de cette partie, on suppose que p est un entier supérieur ou égal à 2, que (ak)keN et (bk)keN sont deux suites de nombres réels ppériodiques et que Vk EUR N, bk # 0. On note Sol(11.2) l'ensemble des suites complexes (zk)kEN qui vérifient la relation de récurrence Vk E N*, bkzk+1 + aka + bkÿlzkÿl : 0 (11.2) 801(11.2) --> c2 zo est un isomorphisme de C--espaces vectoriels. (Zk>keN '_> 21 II.B.2) On se fixe (yk)keN et (zk)kEURN, deux suites solutions de (11.2). On pose pour tout k EUR N, Wk : bk(ykz:k+1 -- zkyk+l). Montrer que la suite (Wk)kEURN est constante. II.B.1) Justifier que l'application 'Il : II.E.3) Montrer que les deux suites (yk)kEURN et (zk)kEURN forment une base de Sol(11.2) si et seulement si WO # 0. II. C * À toute suite complexe (zk)kEURN, on associe la suite (Zk)kEURN d'éléments de C2 définie par VkEURN, zk=( Zk) Zk+1 Démontrer que la suite (zk)kGN est solution de (11.2) si et seulement si la suite (Z k)keN est solution d'un système (11.3) de la forme Préciser la matrice Ak EUR M2 (C). II.D * On note dorénavant @ : ApI1ApI2--nAO. On se fixe dans cette sous--partie une solution (Zk)keN de (11.3). II.D.1) Démontrer que det Q : 1. II.B.2) Démontrer que, pour tout entier naturel k et tout entier naturel 7" EUR [[1, p -- 1]], {ka : kao ka+r : Arf1Arf2...A0ka0 II.E -- II.E.1) Démontrer que (11.2) admet une solution périodique non nulle de période p si et seulement si 1 est une valeur propre de Q. II.B.2) En déduire que (11.2) admet une solution périodique non nulle de période p si et seulement si tr(Q) : 2. Démontrer que dans ce cas, ou bien toutes les solutions de (11.2) sont périodiques de période p, ou bien (11.2) admet une solution non bornée. On pourra démontrer qu'il existe une matrice P EUR GL2(C) et un nombre complexe oz tels que Q : P(â Î)Pl et, dans le cas où oz # O, considérer la suite de Sol(ll.2) dont l'image par 'Il est le vecteur P< ? ) . II.E.3) Montrer que si |trQ| < 2, alors toute solution de (11.2) est bornée. III Généralisati0n Soient n et ]) deux entiers supérieurs ou égaux à 2. On se fixe dans toute cette partie une suite (Ak),EUREURN de matrices de GL,,(C) que l'on suppose p--périodique, c'est--à--dire telle que Vk EUR N, Ak+p : Ak. On note Sol(111.1) l'ensemble des suites (Yk)kEURN de vecteurs de @" vérifiant la relation de récurrence (Ï)0:In III.A -- Justifier qu on defimt une suite (<Ï>k)kEURN de matrices de GL,,(C) en posant {®k+l : Ak'Ï'k Vk EUR N et que (Yk)kEURN EUR Sol(111.1) si et seulement si Vk EUR N, Yk : (1)kYO. 2017--04--13 15:08:28 Page 2/4 l(°_ III.B -- III.B.1) Démontrer que Vk EUR N, (1)k+p : <1)k<1>p. La matrice Q,, est appelée matrice de Floquet de l'équation (111.1) et ses valeurs propres complexes sont appelées les multiplicateurs de Floquet de (111.1). III.B.2) Soit p un multiplicateur de Floquet de (111.1). a) Démontrer qu'il existe une solution (Yk)kEURN de (111.1) non nulle vérifiant Vk EUR Ù\l, Yk+p : ka. b) Soit (Yk)kEURN une telle solution, démontrer que, si |p| < 1, klim HYkl|00 : O. '%+OE) Dans toute la suite de cette partie 111, on note B une matrice appartenant à GL,,(C) et vérifiant Bp : <1>p (l'existence d'une telle matrice sera démontrée dans la partie V). III. C EUR Démontrer qu'il existe une unique suite (Pk)kEURN EUR (GLn(C))N, périodique de période p, telle que Vk e N, <î>k : P,,Bk III.B * Soit (Yk)keN une solution de (111.1). III.D.1) Justifier l'existence de M : 12an "Belle Montrer que pour tout k EUR Ù\l, ll®kll0 < n]V[\|Bkl|o. EUR III. D. 2) a) Démontrer que si lim ||BkH0 _ 0, alors lim HYkHoe _ O. kfi+ +oe> kä+oe b) Démontrer que si la suite (HBkHO) est bornée, alors la suite ("Yklloo) est également bornée. kEURN kEURN III.E -- On suppose toujours que p est un entier supérieur ou égal à 2. III.E.1) Soit R EUR C{X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à racines simples. Démontrer que le polynôme R(X P ) est à racines simples si et seulement si R(O) # O. III.E.2) En déduire que Q,, est diagonalisable si et seulement si B est diagonalisable. III.E.3) On suppose que B est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont de module strictement inférieur à 1. Démontrer que pour toute solution (Yk)kEURN de (111.1), klimæ HYkHoe : 0. IV Le cas continu en dimension 2 Soient A une fonction continue, périodique de période T > 0 et X une fonction de classe 81 U? C2 A.)RaM.<@> X. * ...,, ' t |--> A t ' t |--> ( ) ( ' m. On s'intéresse au système différentiel homogène d'inconnue X w EUR ne, X'(t) : A(t)X(t) (rv.1) R --> C2 [R --> (132 On se fixe to EUR [R. On note U :  t |--> "2 @) U2(Ü (IV.1) vérifiant U(t0) : (à) et ve,) : (?). IV.A -- IV.A.1) On considère le système différentiel linéaire (1V.2) dont les solutions sont des fonctions de classe 6'1 à valeurs dans M2(GÊ) w E [R, M'(t) : A(t)M(t) (rv.2) Pour tout 75 EUR HQ, on pose E(t )-- -- {U(t),V(t )]. Vérifier que E est la solution de (1V.2) vérifiant E(t0) : 12. [R --> M 2(Q:) {F(t), G(Ül "71 IV. A. 2) Réciproquement, si M. '... w 2 est une solution de (1V.2) et W = ( ) EUR (132, démontrer lR-->C2 t r--> M(t)W : w1F(t) + w2G(t) est une solution de (1V.1). que la fonction Y : ' IV.B EUR "71 IV.B.1) Soit tl EUR R et W : ( w2 ) EUR (132. On suppose que E(tl)W : (8)' Montrer que la fonction Y : [R-->OEY t +--> E(t)W : w1U(t) + w2V(t) est nulle. En dedu1re que pour tout reel t, E(t) est invers1ble. 20174)443 15:08:28 Page 3/4 (cc BY--NC-SA IV.B.2) Soit M EUR EUR1([R, M2(C)) une solution du système (IV.2). Montrer que pour tout réel 1%, M(t) : E(t)M(t0). IV.B.3) Déduire de la question précédente qu'il existe une unique matrice B EUR GL2(C) indépendante de t telle que pour tout réel t, E(t + T) : E(t)B. B s'appelle la matrice de Fl0quet du système (IV.1) et les valeurs propres complexes de B s'appellent les multiplicateurs de Fl0quet de (IV.1). IV. C * IV.C.1) Soit p EUR C un multiplicateur de Floquet de (lV.1), c'est--à--dire une valeur propre de B, et Z EUR 632 un ., \ _ R --> C2 vecteur propre de B assooee a cette valeur propre. On note Y . t |_) E ( 1%) Z' a) Démontrer que Vt EUR Üî, Y(t + T) : pY(t). R --> C2 17) Démontrer qu'il existe un nombre complexe # et une fonction S' : ' non nulle et T--périodique telle Vt & R, Y(t) : e"'S(t). IV.C.2) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les multiplicateurs de Floquet pour que le système différentiel (IV.1) admette une solution non nulle périodique de période T. tr--> S(t) IV.C.3) On suppose que la matrice B est diagonalisable. Donner une condition nécessaire et sufiisante portant sur les multiplicateurs de Floquet pour que le système diflérentiel (lV.1) admette une solution non bornée sur [R. IV.D EUR On pose pour tout t EUR R, W(t) : det(E(t)) et on note p1 et p2 les multiplicateurs de Floquet de (IV.1). IV.D.1) Montrer que pour tout réel t, W'(t) : tr(A(t))W(t). T IV.B.2) En déduire que p1p2 : exp (/ tr(A(s)) ds). 0 V Racines p--ièmes dans GLn(C) On se fixe un entier naturel ]) supérieur ou égal à 2. Pour toute matrice B de GLn(C), on appelle racine p--ième de B toute matrice A de GLn(C) vérifiant AP : B. Le but de cette partie est de prouver l'existence d'une telle matrice. On rappelle le résultat suivant relatif au produit de deux matrices triangulaires par blocs. Pour toutes matrices A1 et A2 de MJC), toutes matrices X1 et X2 de M n'1(C) et tous nombres complexes À1 et À2 : A1 Xl A2 X2 * A1A2 A1X2+À2Xl 01,71 )'1 01.71 À2 _ 01,77, )'1À2 V.A * Soient A EUR Mn(e), X EUR M...(C) et /\ e (13. k kf1 A X A'EUR X . . Démontrer que, pour tout entier le 2 1 on a : : ;? où Xk : î: Àk*1*JAJ X. 01,71 A 01,11 A j=0 V.B * On notera dans toute cette sous--partie VP : {e2iæîfir ; [EUR EUR [[17 p -- 1]]}, l'ensemble des racines p--ièmes de l'unité difi"érentes de 1. @ V.B.1) Soient @ et À des nombres complexes non nuls. On suppose que )\ EUR VP, ce qui signifie que, soit a : À, pf1 ap . . soit À_P # 1. Démontrer que le nombre complexe î: Àp*1*3a3 est non nul. j=0 V.B.2) Soit A = (a...) une matrice de Mn (C) triangulaire supérieure et inversible. Soit A un nombre complexe pf1 a- - . . non nul. On suppose que, pour tout i EUR [[1, n]], Â" EUR Vp' Démontrer que la matrice î: )\P*1*JAJ est inversible. j=0 V.B.3) Montrer que toute matrice triangulaire supérieure et inversible admet au moins une racine p--ième triangulaire supérieure. On pourra prouver par récurrence sur n 2 1 la propriété suivante : flsz E ll i VB EUR 7n(C) fi GLn(C). A EUR 7n(C) te e que {V(i,j) EUR [[1'n]]27 î- .z' V ,j'É" ]. V.B.4) Démontrer que toute matrice inversible de MJC) admet au moins une racine pième. oooFlNooo 2017--04--13 15:08:28 Page 4/4 ËC) BY--NC-SA

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 Centrale Maths 2 PSI 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémi Pellerin (ENS Lyon) ; il a été relu par Guillaume Batog (professeur en CPGE). Ce sujet étudie l'évolution de certains systèmes (discrets ou continus) à coefficients périodiques. Notamment, on cherche des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur une matrice associée au système pour obtenir des solutions périodiques ou bornées. · La première partie démontre quelques propriétés des suites complexes périodiques et des normes matricielles. · La deuxième partie commence par quelques rappels sur les suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants avant de s'attaquer au cas où les coefficients sont des suites périodiques. Elle se termine par une traduction matricielle des relations de récurrence et l'introduction d'une matrice dite de Floquet. Sa trace donne des informations sur la périodicité des solutions et leur caractère borné. · La troisième partie généralise les résultats de la partie précédente au cas des suites vectorielles. On recourt en fin de partie à des critères de diagonalisation avec des polynômes annulateurs. · La quatrième partie poursuit l'étude dans le cas de systèmes différentiels linéaires. Les raisonnements sont assez similaires à ceux des parties précédentes. Toutefois, cette partie peut être traitée isolément afin de s'entraîner sur les équations différentielles. Il convient de bien comprendre les objets manipulés afin de minimiser le temps passé à faire des calculs. · La cinquième partie, indépendante du reste, démontre que toute matrice inversible de Mn (C) admet une racine p-ième, résultat qui avait été admis dans la partie III. Bien que les questions soient très guidées et comportent des indications, cette partie reste très technique, notamment dans la manipulations des notations et des matrices par blocs. Globalement, ce sujet est répétitif et n'est pas passionnant à faire d'une seule traite. Cela dit, il constitue un bon sujet de révision sur les suites et les équations différentielles. Indications Partie I I.A.3 Procéder par récurrence. I.B.1 Revenir à la définition du produit matriciel et majorer la somme. I.B.2 Idem, revenir à la définition du produit matrice vecteur. Partie II II.A.1 C'est du cours. Pour la somme et le produit des racines, écrire (X - a)(X - b) = X2 - (a + b)X + ab II.A.5 Remarquer que les racines r1 et r2 du polynôme caractéristique sont de module 1. Les écrire sous la forme r1 = e i = r2 avec R. II.B.1 Une suite récurrente linéaire d'ordre 2 sous forme résolue est totalement déterminée par la donnée de ses deux premiers termes. II.B.3 Penser au déterminant. II.D.2 Utiliser une récurrence sur k pour la première égalité. Exprimer Zkp+r en fonction de Zkp pour la seconde égalité. II.E.1 Considérer un vecteur propre comme premier terme de la suite de vecteurs associée. II.E.2 Quel est le lien entre la trace et les valeurs propres ? Discuter ensuite selon que Q est diagonalisable ou pas. Poser 0 (Zk )kN = -1 P 1 Vérifier ensuite que la suite (kZkp k )kN n'est pas bornée. II.E.3 Diagonaliser la matrice Q dans Mn (C) et utiliser les majorations établies dans les questions I.B.1 et I.B.2 pour borner les solutions. Partie III III.B.2.a Construire une solution (Yk )kN à partir d'un vecteur propre de p pour la valeur propre . III.B.2.b Montrer que kYk k = ||q kYr k 6 M ||q où M = Max {kYr k | r [[ 0 ; p - 1 ]]} III.E.1 Penser au lien entre multiplicité d'une racine et polynôme dérivé. III.E.2 Quelle condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice soit diagonalisable fait intervenir les polynômes à racines simples ? Partie IV IV.A.1 La matrice E est donnée par ses deux colonnes. Penser le produit matriciel en terme de produit matrice vecteur. IV.B.1 Penser à l'unicité de la solution à un problème de Cauchy. IV.B.3 Utiliser la question IV.B.2 avec la fonction t 7 E(t + T). IV.C.1.b Raisonner par analyse-synthèse. IV.C.2 S'il existe une solution Y non nulle et T-périodique pour le système (IV.1), montrer que y1 (t0 ) Z= y2 (t0 ) est un vecteur propre de B pour une valeur propre . Réciproquement, montrer que sp B est une condition suffisante. IV.C.3 Remarquer que toute solution Y de (IV.1) s'écrit sous la forme t R Y(t) = e µ1 t S1 (t) + e µ2 t S2 (t) avec e µ1 T et e µ2 T les deux valeurs propres de B comptées avec multiplicité. IV.D.1 Revenir aux définitions et calculer de manière organisée. IV.D.2 Résoudre l'équation vérifiée par W. Partie V V.A Faire une récurrence sur k N . V.B.1 Reconnaître une somme géométrique. V.B.2 Remarquer que la matrice considérée est triangulaire. Il suffit donc de montrer que ces coefficients diagonaux sont tous non nuls. V.B.3 Pour l'hérédité, écrire B sous forme d'une matrice par blocs pour se ramener à utiliser P(n) et P(1). Choisir judicieusement la racine p-ième du coefficient scalaire an+1,n+1 afin que la condition sur les coefficients diagonaux soit vérifiée. V.B.4 Toute matrice complexe est trigonalisable dans Mn (C). I. Préliminaire N I.A.1 Soit (zn )nN C une suite périodique de période p N . Alors n N Ainsi, n N zn {z0 , ..., zp-1 } |zn | 6 Max (|z0 | , ..., |zp-1 |) Ce majorant étant indépendant de n, la suite (zn )nN est bornée. Toute suite périodique est bornée. I.A.2 Les suites 1-périodiques sont constantes égales à leur premier terme. En effet, si (zn )nN CN est 1-périodique, alors zn = zn-1 = · · · = z0 pour tout n N . Ainsi, Une suite 1-périodique est constante égale à son premier terme. I.A.3 Soit (zn )nN CN une suite p-périodique. Montrons par récurrence sur k N que la propriété suivante est vraie : P(k) : « n N zn+kp = zn » · P(0) est clairement vrai. · P(k) = P(k + 1) : soit k N. Supposons P(k) vrai. Pour n N, zn+(k+1)p = zn+p+kp = zn+p d'après P(k) zn+(k+1)p = zn par définition de p-périodique donc P(k + 1) est vrai. · Conclusion : P(k) est vrai pour tout k dans N. Si (zn )nN est p-périodique alors zn+kp = zn pour tous k et n dans N. On peut également procéder de façon un petit peu plus astucieuse en remarquant que la suite (zn+kp )kN est 1-périodique donc constante égale à son premier terme qui n'est autre que zn . I.A.4 Considérons une suite (zn )nN CN p-périodique et convergente vers C. Montrons que, pour tout n N, zn = z0 = . Soit n N. La suite (zn+kp )kN est extraite de (zn )nN (car p > 1) donc convergente de limite . D'après la question I.A.3, elle est constante égale à zn car (zn )nN est p-périodique. Par conséquent, par passage à la limite, n N zn = lim zn+kp = k+ En particulier, z0 = . Ainsi, Une suite p-périodique convergente est constante égale à son premier terme. I.B.1 Soient A = (ai,j )16i,j6n et B = (bi,j )16i,j6n dans Mn (C). Pour i, j [[ 1 ; n ]], (AB)i,j = Par inégalité triangulaire, (AB)i,j 6 n P aik bkj k=1 n P |aik | |bkj | k=1