Centrale Maths 2 PSI 2016

Thème de l'épreuve Transformations de Fourier et de Laplace
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, probabilités
Mots clefs transformation de Fourier, formule d'inversion de Fourier, support compact, fonctions périodiques, formule d'échantillonnage de Shannon, transformation de Laplace

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Mathématiques 2
PSI

4 heures Calculatrices autorisées

2016

Ce problème aborde l'étude de deux transformations intégrales utilisées pour le 
traitement des signaux analo--
giques : la transformation de Fourier et celle de Laplace. Chacune d'elles 
permet de modéliser le comportement
fréquentiel d'un signal. La partie I étudie quelques propriétés de la 
transformée de Fourier d'un signal analogique
continu par morceaux et intégrable sur IR. La partie Il aboutit à la formule 
d'inversion de Fourier qui permet de
retrouver un signal à partir de sa transformée de Fourier. La partie III traite 
le cas particulier d'un signal dont
le spectre des fréquences est limité à [--1/2, 1/2]. La partie IV étudie le cas 
particulier d'un signal périodique. Le
résultat auquel elle aboutit est utilisé dans la partie V pour démontrer le 
théorème de l'échantillonnage de Shan--
non. La partie VI utilise un résultat classique de probabilité pour démontrer 
l'injectivité de la transformation
de Laplace sur l'ensemble des fonctions continues sur [R + et nulles hors d'un 
segment.

On note
-- ECPm le C--espace vectoriel des fonctions f : [R --> [: continues par 
morceaux sur [R et intégrables sur [R ;

-- 5 le C--espace vectoriel des fonctions f : [R --> [: continues sur [R telles 
que VlEUR EUR M la fonction 55 r--> 331" f (sc)
est bornée sur [R.

I Transformation de Fourier

Pour toute fonction f EUR E on considère la fonction 5"(f) (transformée de 
Fourier de f) définie par

cpm'
+oo '
% EUR R 5r(f)(ê) : f(ïÎ)EUR*""5dït
I.A * On considère la fonction 

.r"f(æ) est intégrable sur [R. I.B.2) Démontrer que la fonction 5"(f) est de classe C°° sur [R et que +oo Vn EUR IN, V5 EUR [R, (ÿ(f))...[(î) : (_27rî)n/ tnf(t>EURf2flitâ dt I.E * On considère la fonction 19 : [R --> @ définie par 0(æ) : exp (--7ræ2), pour r EUR [R. I.E.1) Justifier que 0 appartient a 5 et que 3'(0) est solution de l'équation différentielle % EUR [R, y'(ê) = --27r£y(ê) I.B.2) Établir que ÿ(9) : 9. On admettre que fjÏ 0(æ)doe : 1. 2016--01--13 14:24:16 Page 1/4 @@ BY--NC-SA II Formule d'inversion de Fourier Soit f E 5 . On suppose que ff ( f) est intégrable sur IR. Pour tout entier naturel non nul n, on pose +oo +°° !. : 5"(f)(£)9 (%) d£ J.. = / f (%) ÿ(0)(t)dt II.A * Montrer que n1--1>£Pooln : +OO 5"(f)(£) d£. II.B * Calculer lim Jn. n-->+oo II.C * Prouver que Vn EUR D\l*, ]" : Jn. On admettre la formule de Fubini : /+oo ( +00 f(t)9 (%) e*277it5 d£) dt : /+OO ( +oo f(t)9 (%) 6f2«itg dt) d£ II.D * Démontrer que f(0) : /+00 Î(f)(£) (15. En déduire, en utilisant la fonction h : t |--> f(OE + t), que voeue. f<æ>= oeï(f)(£)62"ioeïdê am *00 Cette formule permet de reconstruire le signal f a partir de sa transformée de Fourier ÿ" ( f). ILE -- Une application e27riæ£ 1 2 d£ : --eÎ|OE|. +oo Démontrer que V.ÎÏ EUR HQ, / m 2 III rI'ransformée de Fourier à support compact Soit f une fonction de 5 dont la transformée de Fourier ? ( f ) est nulle en dehors du segment [--1/27 1/2]. D'après la relation ll.1, on a 1/2 _ VoeetR. f<æ>=/ 5f<â>eî...fidê 1/2 III.A -- Démontrer que 5"(f) est de classe C°° sur [R et que 3"(f) EUR 5. En déduire que f est de classe 000 sur [R. III.B * Prouver que V 2 +00 ('T _OE0>n 1/2 - n 27rioe { <æ,æo> e n% , Z --... / / (2mê) 3'(f)(ê>e @ d£ : f n=0 il 2 III.C * On suppose que f est nulle en dehors d'un segment [a, b]. Montrer que f : 0. IV Cas des fonctions périodiques Pour tout entier naturel n, on note Sn la fonction définie sur [? par Vw E [R. Sn(æ) : Z 627..." k=fn Soit f : [EUR --> C une fonction de classe 000 sur D? et l--périodique. On considère : -- la fonction 9 définie sur [--1, 1] par Vw @ 1--L1[\{0}. g<æ> : @ g<0> : fÇ[°> g<1> : g<--1>= --g<0> sin(7roe) -- la suite de complexes (en ( f))nEURZ définie par 1/2 Vn EUR Z, cn(f) : / f(oe)e*2"mæ dx f1/2 2016--01--13 14:24:16 Page 2/4 GQ BY--NC-SA I V.A + IV.A.1) Montrer que la fonction g est de classe C1 sur ]--1,1]\ {0} et continue sur ]--1, 1]. IV.A.2) Calculer la limite de g' en 0. En déduire que g est de classe C1 sur ]+1,1]. On admet dorénavant que g est de classe 01 sur ]--1, 1]. 1/2 I V.B + Soit 71 EUR D\l. Calculer l'intégrale S,, (sc) dx. %1/2 IV. C + Démontrer que sin((2n + 1)7TOE) sin(7roe) Vn @ D\l, Va: @ ]--%, %] \ {o}, S,,(æ) : I V.D + Justifier que n 1/2 Vn EUR IN*, z ck(f) : f(0) +/ g(oe) sin((2n + 1)7m) da: k=+n 1/2 I V.E + À l'aide d'une intégration par parties, montrer l'existence d'un réel C tel que g C VnEN, 2n+1 1/2 / g<æ>sin(<2n+ 1)...dæ 1/2 IV.F + Soit 16 EUR ]--1/2,1/2]. On considère la fonction Gt définie sur ]--1/2,1/2] par w; EUR ]-%. %] , G,(oe) : f'(æ + t) Sm(m _ (f(æ + t) _ f(t))7rcos(m:) Établir l'existence d'un réel D, indépendant de a: et de t, tel que 1 1 We ]--%,%] , Voe EUR ]--%, %] , |G,(oe)l < Doe2 IV. G + Prouver l'existence d'un réel E tel que n We ]--%.â]. ]f(t)-- î: c.eW k=+fl E < 2n + 1 (Nl) On pourra introduire la fonction ht : oe 1--> f(oe +16). V Formule d'échantillonnage de Shannon Soit f E 5 dont la transformée de Fourier ff ( f) est nulle en dehors du segment ]--1/2,1/2] On pose Vk EUR Z, Vac E [R, 1/)k(sc) : 1/)(oe + k:) (V.1) où 1/) est définie à la question LB. V.A -- Justifier que Vn EUR N, (ÿ(f))"" (%> = (E...)... (--â) : 0. V.B + Soit h la fonction définie sur [R, qui est 1--périodique et qui vaut ÿ(f) sur l'intervalle ]--1/2,1/2] Montrer que h est de classe C°° sur [R. V. C + À l'aide de l'inégalité IV.1, prouver l'existence d'une suite de nombres complexes (dk)kEURZ telle que la suite de fonctions (x H 2 dk62"ikoe) converge uniformément vers 3" ( f) sur ]--1/2, 1 / 2]. k=+n nEURN V.D + Démontrer que la suite de fonctions d conver e uniformément vers sur [R. k k g . nEN +OE) On notera symboliquement f : î: dk'l/Jk. k=+OE) V.E % Établir que Vj EUR Z, f(--j) = d,. +OE) L'égalité f : î: f(--k)1/)k traduit la reconstruction du signal f a partir de l'échantillon ( f (k)) k=+OE) keZ' 2016--01--13 14:24:16 Page 3/4 @@ BY--NC-SA VI Transformation de Laplace Soit f : [R+ % C une fonction continue et nulle en dehors d'un segment. On définit la fonction Æ ( f ) (transformée de Laplace de f) sur [R par +oo Vw e ie, z<æ> = / f(t>e*"dt 0 On admettra que Æ(f) est de classe 000 sur B? et que VOE EUR R» Vn & n <Æ>%> = <--l>" /... ftflaætdr 0 Rappelons que, pour tout réel a:, Lst désigne la partie entière de :c. VI.A * On considère (X"),OEW une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisê (Q, A, P), mutuellement indépendantes et suivant la même loi de Poisson de paramètre À > 0. On pose VnEURN*, Sn=Xl+--'-+Xn VI.A.1) Par récurrence, démontrer que, pour tout entier n G N, Sn suit la loi de Poisson de paramètre nÀ. On admettra que, pour tout entier n G N*, les variables S" et Xn+1 sont mutuellement indépendantes. VI.A.2) Soit 5 EUR |Rî. Prouver que Vn EUR ... P(|Sn --nÀ| ; ne) < A 1152 VI.A.3) Soit 6 > O. Justifier les deux inclusions suivantes (Sn > n(À + e)) c (|Sn _ nÀ| ; ng) (Sn EUR "(À -- S)) C (ISn -- nÀ| ; ne) VI.A.4) Dans toutes les questions qui suivent, on suppose $ 2 0. Déduire du VI.A.3 que lim (Sn lim (S n n-->"oo oe)=0 si0<æ<À n noe)=1 siæ>À //\ //\ VI.B * À l'aide de la question VI.A, montrer que k . lim Z (nÀ) e"'={0 s10+oo k! 1 Sl I > À ngg lnoe) VI. C * Dans la suite de cette partie, on admettra que k lim î: (nÀ) eÎ"À= 1 . | -- s1 ar : À TL-->+OO ngg @@ [EUR 2 VI.C.1) Soit oe EUR R+. Démontrer que . k (k) " Æ; Z (--1)k%(£(f>) (n) = / f(y) dy 0gkglæææ) 0 VI.C.2) En déduire que l'application £ : f l--> Æ ( f) est injective sur l'ensemble des fonctions à valeurs com-- plexes, continues sur là et nulles en dehors d'un segment. oooFlNooo 2016--01--13 14:24:16 Page 4/4 ("à BY--NC-SA