Centrale Maths 2 PSI 2015

Thème de l'épreuve Problème de Dirichlet sur le disque unité
Principaux outils utilisés polynômes, fonctions à deux variables, intégrales à paramètre, applications linéaires
Mots clefs polynôme, laplacien problème de Dirichlet

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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î, % Mathématiques 2 L0 ".; FI ( --/ PS| O EUNEDUHSEENTHHLE-SUPËLEE 4heures Calculatrices autorisées N Le problème de Dirichlet est un problème aux limites bien connu en théorie du potentiel, en particulier lorsqu'on est en présence d'une symétrie de révolution. Dans le plan [R2, étant donnée une succession continue de valeurs sur un contour fermé (en particulier sur le cercle trigonométrique), il s'agit de déterminer une fonction (par exemple un potentiel en physique) harmonique a l'intérieur du domaine délimité par ce contour et coïncidant avec les valeurs données sur le contour. Dans le cas particulier où l'on a des valeurs polynomiales sur le contour fermé, on obtient comme solution un polynôme harmonique. Les applications physiques liées à ce type de problème aux limites sont nombreuses, par exemple en géophysique, en physique quantique et en cristallographie. Rappels et notations -- L'espace vectoriel [R2 est muni de sa structure euclidienne canonique et de la norme associée || - ||2 définie par V 0, la notation D((æ, y), 7") (respectivement D((oe, y), r)) désigne le disque ouvert de centre (oe, y) et de rayon 7" (respectivement le disque fermé de centre (a:, y) et de rayon 7°). En particulier la notation D(O, 1) (respectivement Ë(O, 1) et C(0,1)) désigne le disque ouvert de centre O de rayon 1 (respectivement le disque fermé de centre O de rayon 1 et le cercle de centre O et de rayon 1). On note 9 un ouvert de [R2. . . (2 --> [R 8 f . -- SI est une fonction de classe 01 de Q dans [R, : , 8 ou -- res ect1vement 8 ou f f (x.y) |--> f(OE.y) 1f ( p 2f 8f 895 ET) est la dérivée partielle du premier ordre par rapport a la première variable (respectivement par rapport y a la seconde variable) dans la base canonique. 82 82 Si f est de classe C2, 811f ou 8--æê (respectivement 822 f ou ô--yê) est la dérivée partielle d'ordre 2 de f par rapport a la première variable (respectivement par rapport a la seconde variable) dans la base canonique. -- Si u : (Z --> [R est une application de classe C2 sur l'ouvert Q, on rappelle que le laplacien de u est l'application () --> [R 33,3!) '--> 811u(oe,y) + 822u(oe,y) -- Soit Q un ouvert de [RZ. Une application @ : (2 --> [R est dite harmonique (sur Q) si 1) est de classe C2 sur Q et si Av(oe,y) = 0 pour tout (93,31) EUR Q. -- On appelle fonction polynomiale des deux variables a: et y sur [R2 (ou plus simplement polynôme de deux variables, ou encore polynôme quand il n'y a pas de confusion possible) toute application de la forme Au définie par Au : ( [R2 --> [R P (9373!) '--> Z CYkz--7ckyl k,leN k+l< J, où 1 et J sont des intervalles ouverts non vides de [R contenant respectivement 93 et y. L'utilisation d'un dessin sera appréciée ; ce dessin ne constituera cependant pas une preuve. b ) En déduire que P est le polynôme nul. On pourra se ramener à étudier des fonctions polynomiales d'une variable. I.A.2) Ce résultat subsiste--t-il si l'ensemble Q admet une infinité d'éléments mais n'est pas supposé ouvert ? I.B -- I.B.1) Soit m EUR IN. Justifier que l'espace vectoriel S"... est de dimension finie et déterminer sa dimension. I.B.2) Déterminer un polynôme harmonique de degré 1, puis de degré 2. I.B.3) a ) Montrer que l'ensemble des polynômes harmoniques est un sous--espace vectoriel de IP. 17 ) Pour tout m > 2, on note A... la restriction de A à ?.... Montrer que dim(ker A...) 2 2771 + 1. c ) Que peut--on déduire pour la dimension de l'espace vectoriel des polynômes harmoniques ? I .C -- Déterminer, dans chacun des cas suivants, un polynôme harmonique H qui vérifie H (93, y) = f (93,31) pour tout (a:,y) EUR C(O, 1) : I-C-1) f(oe,y) = 3611 ; I.C.2) f(oe, y) = 934 -- y4. II Quelques exemples d'applications harmoniques Soit Q un sous-ensemble ouvert inclus dans [R2. On définit, pour tout À E [R* et tout couple (oe0,y0) G [R2 : Qæo,y0,À : {À(oe7y) + (OE07y0) [ (337?!) EUR Q} II.A -- On prend pour Q (uniquement dans cette question) l'intérieur du triangle équilatéral de sommets (1,0), (--1/2, \/Ë/2) et (--1/2,--\/ä/2). Faire un dessin sur lequel apparaissent Q et Q27171/2. II.B -- Soient À E [R* et (oe0,y0) G [R2 fixés. II.B.1) Soit f : Q --> [R une application harmonique de classe C2 telle que 81 f et 82 f sont de classe C2 sur Q. Montrer que les applications 811" et 82 f sont également harmoniques sur Q. II.B.2) Par quelle(s) transformation(s) géométrique(s) l'ensemble Q ,\ est--il l'image de Q ? Justifier que OE07y07 2 Qæoyy07)' est un ouvert de [R . II.B.3) Soit g : meÿo: Montrer que l'application (oe,y) |--> g(À(oe,y) + (ac... y0)) est harmonique sur Q. ). --> [R une application harmonique. II.C -- II.C.1) Montrer que les applications [R2 \ {(0,0)} --> [R 932+y2 sont harmoniques. 1 -- ((a: + cos t)2 + (y + sint)2) est harmoni ue 952 + 3/2 q 11.02) En déduire que, pour tout t E [R, l'application (x, y) +--> sur [R2 \ {(0,0)}. II.D -- Un eæemple fondamental Pour (a:,y) EUR D(O, 1) fixé, on définit le nombre complexe z = a: + t'y et on pose pour t réel (quand l'expression a un sens) : 1--|Z|2 _ 1--(OE2+y2) _ |z--e"|2 _ (ac--cost)2 +(y--sint)2 2015-0149 10:47:30 Page 2/4 [_ II.D.1) Montrer que, pour tout t E [R, l'application est harmonique. On pourra utiliser la question II.B.3. II.D.2) Dans la suite de cette partie, le couple (a:,y) est fixé dans D(O,1). Montrer que t i--> N(oe, y, t) est définie et continue sur [D, 27r]. II.D.3) Soit t E [O, 27r] fixé. Déterminer deux nombres complexes & et fl , indépendants de t et de 2, tels que & fl t = --1 __ . N(oe,y, ) + 1 -- ze*" + 1 -- ie" 1 271' II. D. 4) En déduire que --/ N( oe(, y,t) =1. 27r 01 On pourra écrire-- 1 _.t sous la forme de la somme d une série de fonctions. -- ze" III Problème de Dirichlet sur le disque unité de IR2 Soit f : C(O, 1) --> [R une application continue. On appelle Df l'ensemble des applications définies et continues sur D(O, 1), harmoniques sur D(O, 1) et qui coïncident avec l'application f sur C (O, 1). Le problème de Dirichlet sur le disque unité de [R2 associé à f, consiste à rechercher les éléments de l'ensemble Df. On définit en outre, en reprenant les notations de la partie Il, l'application 1 27'r 2--7T/0 N(oe, y, t)f(cos t, sm t) dt N N y)= sur D(O, 1) et l'application _ N (oe,y) si (oe,y)EURD(0, 1) ...,... ' {f(oe,y> si (ny) e cam sur D(O, 1). III.A -- Étude de l'application Nf III.A.1) a ) Montrer que N f admet une dérivée partielle 811 N f d'ordre 2 par rapport a a:. De même on peut montrer que Nf admet des dérivées partielles d'ordre 2 par rapport a toutes ses variables continues sur D(O,1). Ce résultat est admis pour la suite. Exprimer, pour tout (a:,y) EUR D(O,1), pour tout (i,j) EUR {1, 2}2, ô,--j Nf(oe,y) en fonction de ô,--j N(oe,y, t). I) ) En déduire que il est harmonique sur D(O, 1). III.A.2) Dans cette question, on fixe to EUR [0,27r], (ac, y) EUR D(O,1) et 8 > 0. De plus, on note, pour tout réel 5 > 0 : = {t E [0,27r] | "(cos t, sint) -- (cos t0,sint0)ll2 < 6} a ) Montrer que [g est un intervalle ou bien la réunion de deux intervalles disjoints. L'utilisation d'un dessin sera appréciée ; ce dessin ne constituera cependant pas une preuve. !) ) Montrer, en utilisant l'application f, l'existence d'un réel 6 > 0 tel que / N(oe, y, t)(f(cost, sint) -- f(cost0,sinto)) dt < % telô c) Soit 6 > 0 quelconque. Montrer que, si t E [O, 27r] \ [EUR et || (oe,y) (cos t...sin t0)||2< 6/2, alors 1 -- (932 + 3/2) 62 2015-0149 10:47:30 Page 3 / 4 [_ d) Déduire de la question précédente que, pour 5 > 0 fixé, il existe 77 > 0 tel que, si ||(oe, y) -- (cos to, sin t0)||2 < 77, alors Ml") / N(oe,y,t)(f(cos t, sint) -- f(cos t...sin t0)) dt < te[0,2«]\Iâ III.A.3) Prouver que u est une application continue en tout point de C(0, 1). Qu'en conclut-on pour l'applica- tion u ? III.B -- Dans cette sous--partie, on suppose que f est l'application nulle sur C(O, 1) et que u est un élément de Df. Pour tout n EUR IN, on définit l'application D(0, 1) --> [R " ' (9641) H u n III.B.1) Supposons que un admette un maximum local en (", ( a) En s'intéressant au comportement de la fonction a: l--> un a:, montrer que, dans ce cas, 811un(î,ÿ) < 0. De même, on peut montrer que 822un(53, 37) < 0. Ainsi Aun(î, ") < 0. Ce résultat est admis pour la suite. 1) ) En déduire que un n'admet pas de maximum local sur D( , 1). III.B.2) En déduire que, pour tout (a:,y) EUR D(O, 1), u,,(oe,y) < 1/n. III.B.3) Montrer que u est identiquement nulle sur D(0,1). III.C -- Prouver que, pour toute application continue f : C(O, 1) --> [R, l'ensemble Df admet exactement un élément. IV Retour sur les polynômes harmoniques I V.A -- Dans cette question, m est un entier supérieur ou égal à 2. On considère un polynôme P EUR ?... et on note PC la restriction de P au cercle C(0,1). IV.A.1) Montrer que l'application &"..._ --> &" @m--2: 2 Q»-->AQ est linéaire et injective et que Im d)..._2 C .'P..._2. IV.A.2) En déduire qu'il existe un polynôme T G [Pm_2 tel que P+ (1--9c2 --y2)T soit un polynôme harmonique. où Q(oe, y) = (1 -- OE2 _ y2)Q(oe, y) IV.A.3) Montrer que l'unique élément de l'ensemble DPC est la restriction à D(O, 1) d'un polynôme de degré inférieur ou égal à m. IV.A.4) Expliciter l'ensemble D Pc quand le polynôme P est défini par P(oe,y) : 933. IV.B -- IV.B.1) Soit P E .'P. Montrer que P se décompose de manière unique sous la forme : Ha 31) = H(oe, y) + (1 -- 932 -- y2)Q(oe, 31) où H est un polynôme harmonique et Q EUR 5". IV.B.2) Soit m E N. On note .'7--[... le sous--espace vectoriel des polynômes harmoniques de degré inférieur ou égal à m. Déterminer la dimension de .'7--[.... IV.B.3) Déterminer explicitement une base de IH3. I V.C -- Dans cette dernière sous--partie, on se place sur [R" pour un entier naturel n > 3 et on reprend les notations précédentes, en adaptant les outils au contexte de [R" ; en particulier on considère maintenant les applications polynomiales à n variables. On admet que le problème de Dirichlet sur la boule unité de [R", associé à une fonction continue et définie sur la sphère unité (notée S,,(0,1)) f : S,,(O, 1) --> [R, admet encore une unique solution. Soit m EUR IN*. IV.C.1) Montrer que l'ensemble {(i17i27 "'azn) EUR Nn | Z'1 +i2 + +Zn : TTL} n+m--1 m ) . En déduire la dimension de !Pm. a pour cardinal ( IV.C.2) Déterminer la dimension de ZH... en fonction de m et de n. oooFlNooo 2015-0149 10:47:30 Page 4/4 [_

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 Centrale Maths 2 PSI 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Michel Blockelet (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Nicolas Weiss (Professeur agrégé) et Benjamin Monmege (Enseignant-chercheur à l'université). Ce sujet porte sur les fonctions harmoniques à deux variables. Ce sont les fonctions réelles u de classe C 2 sur un ouvert de R2 dont le laplacien u est nul. Elles interviennent dans les solutions de l'équation de la chaleur avec conditions aux limites, que l'on retrouve dans de nombreuses applications physiques. · La partie I, préliminaire, donne quelques propriétés simples des polynômes harmoniques et des polynômes de deux variables s'annulant sur un ouvert non vide . Une dose de topologie et d'algèbre linéaire interviennent. · La partie II propose quelques exemples de fonctions harmoniques où l'on applique des résultats de stabilité par dérivation et par changement homothétique de domaine. On étudie plus particulièrement le noyau de Poisson N(x, y, t) = 1 - (x2 + y 2 ) (x - cos t)2 + (y - sin t)2 avec (x, y) dans le disque unité ouvert D(0, 1) et t R. Cette partie fait appel à un peu de géométrie sur les complexes, aux théorèmes généraux de dérivabilité dans R et dans R2 , et à un théorème d'échange des signes somme et intégrale dans la dernière question. · La partie III s'intéresse au problème de Dirichlet sur le disque unité fermé D(0,1) où l'on cherche les fonctions continues sur D(0, 1), harmoniques sur D(0, 1) et qui coïncident avec une fonction réelle f sur le cercle unité. Dans un premier temps, on montre qu'une telle solution est donnée par Z 1 2 (x, y) D(0, 1) Nf (x, y) = N(x, y, t) f (cos t, sin t) dt 2 0 C'est la partie la plus difficile du sujet. Elle demande une très bonne maîtrise technique lorsqu'il faut dériver sous le signe intégrale ou manipuler jusqu'à trois inégalités avec des , et (dépendants entre eux bien sûr !) pour établir la continuité en tout point du cercle. Dans un deuxième temps, on démontre l'unicité de cette solution avec des outils simples d'analyse sur R. · La partie IV se focalise sur le problème de Dirichlet avec une fonction f polynomiale sur le cercle, de degré au plus m N . À l'aide d'arguments d'algèbre linéaire, on montre que l'unique solution est polynomiale de degré au plus m et l'on trouve la dimension de l'espace Hm des fonctions harmoniques de degré au plus m. Le problème se termine par une extension aux polynômes à n variables où l'on obtient la dimension de Hm après avoir dénombré (sans indication !) les partitions de l'entier n. Cette épreuve étant trop longue pour le temps imparti, il était judicieux de traiter sans précipitation les parties I et II, en soignant la rédaction, puis de se focaliser sur une partie de la suite, après avoir lu entièrement l'énoncé pour comprendre sa logique, qui est très claire. Indications Partie I I.A.1.a Trouver un carré I × J à placer dans une boule ouverte incluse dans . I.A.1.b Se ramener à des polynômes d'une seule variable sachant qu'un polynôme de R[X] possédant une infinité de racines a tous ses coefficients nuls. I.B.1 La définition des polynômes à deux variables donne une base évidente. I.B.3.b Le laplacien abaisse de 2 le degré ou rend le polynôme nul. I.C.2 Pour (x, y) C (0, 1), on a x2 + y 2 = 1. Partie II II.B.1 Utiliser le théorème de Schwarz. II.B.2 Reconnaître la composée d'une homothétie et d'une translation. Elle envoie toute boule ouverte sur une boule ouverte de R2 . II.B.3 Après avoir justifié le caractère C 2 , calculer les dérivées à l'aide de la règle de la chaîne. II.C.1 Pour h2 , utiliser la question II.B.1. II.C.2 Exprimer la fonction de l'énoncé à l'aide de 1 h1 et 2 h1 . II.D.1 Ne faire aucun calcul de dérivée ! II.D.3 Réduire au même dénominateur le membre de droite et comparer avec l'expression complexe de N(x, y, t). II.D.4 Écrire 1/(1-ze -i t ) comme la somme d'une série puis appliquer le théorème d'échange des signes somme et intégrale. Partie III III.A.1.a Sortir le facteur constant 1 - x2 - y 2 de l'intégrale avant de dériver sous le signe intégrale. Il est judicieux d'exprimer les dérivées d'ordre 1 et 2au e y, t) = 1/ (x - cos t)2 + (y - cos t)2 . cours du calcul en fonction de N(x, III.A.2.a L'ensemble I0 représente les paramètres t des points Mt = (cos t, sin t) du cercle C(0, 1) situés à distance au plus du point Mt0 . III.A.2.b Écrire la définition avec de la continuité de f en un point (a0 ,b0 ) de C(0,1). III.A.2.c La racine carrée du dénominateur de N(x, y, t) représente une distance. La minorer à l'aide de l'inégalité triangulaire. III.A.2.d Fixer afin de majorer, grâce à la question III.A.2.c, l'intégrale de l'énoncé par K(1 - x2 - y 2 ) avec K constante. Déterminer ensuite > 0 pour rendre ce majorant inférieur à /2. III.A.3 Démontrer la continuité de u en (cos t0 , sin t0 ) à l'aide de la définition avec . Utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître les intégrales des questions III.A.2.b et III.A.2.d. III.B.1.a Écrire la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 au voisinage de x e pour la fonction x 7- un (x, ye). III.B.1.b Calculer un (x, y). III.B.2 Utiliser le théorème des bornes atteintes pour u sur D(0, 1). III.B.3 Montrer que u est négative puis qu'elle est positive en considérant -u. Partie IV IV.A.2 Montrer que m-2 est bijective. IV.A.3 Il s'agit du polynôme harmonique de la question IV.A.2. IV.A.4 Chercher un polynôme T de la forme ax + by + c avec a, b, c R. IV.B.1 L'existence provient de la question IV.A.2. L'unicité s'obtient en considérant deux décompositions et en utilisant l'injectivité de m-2 . IV.B.2 Reprendre la preuve de la question I.B.3.c en montrant que Im m = Pm-2 . IV.B.3 Utiliser des polynômes déjà rencontrés et montrer qu'ils sont indépendants entre eux. IV.C.1 Pour le calcul du cardinal, on se ramène à une situation plus facile à dénombrer : si i1 + i2 + · · · + in = m, alors on considère le mot · · A} B · · · A · · A} B A · · A} A · · A} B A | ·{z | ·{z | ·{z | ·{z i1 fois i2 fois in-1 fois in fois Remarquer enfin que Pm est une union disjointe d'ensembles de l'énoncé. IV.C.2 Reprendre la preuve de la question IV.B.2. I. Résultats préliminaires I.A.1.a Soit (x, y) . L'ensemble étant un ouvert de R2 , il existe par définition un rayon r > 0 tel que le disque ouvert D((x, y), r) soit inclus dans . Notons et I = ] x - r/2 ; x + r/2 [ J = ] y - r/2 ; y + r/2 [ Pour tout (x , y ) I × J, la distance de (x , y ) à (x, y) vaut p p d((x, y), (x , y )) = (x - x)2 + (y - y)2 < 2(r/2)2 < r donc (x , y ) D((x, y), r). Finalement, (x, y) I, J intervalles ouverts de R (x, y) I × J y J (x, y) x I I.A.1.b Soit (x0 , y0 ) . D'après la question I.A.1.a, considérons I et J deux intervalles ouverts non vides tels que (x0 , y0 ) I × J . Puisque P s'annule sur , il s'annule sur I × J donc, pour tout y J, le polynôme Py = P(·, y) en x s'annule sur l'intervalle I : n- n P P y J x I Py (x) = P(x, y) = k, y xk k=0 =0 Ainsi, Py possède une infinité de racines donc c'est le polynôme nul. Par conséquent, tous ses coefficients sont nuls : y J k [[ 0 ; n ]] n- P k y = 0 =0 Ce sont des polynômes en y s'annulant sur J donc ils sont identiquement nuls sur J. Ainsi, k, = 0 pour tous 1 6 k, 6 n donc P est le polynôme nul. Si un polynôme P s'annule sur un ouvert non vide de R2 , alors il est nul. I.A.2 Soient P(x, y) = xy et = {0} × R. L'ensemble est fermé par produit de fermés, il admet une infinité d'éléments et P s'annule sur sans être le polynôme nul. Le résultat de la question I.A.1 ne subsiste pas si n'est pas supposé ouvert. I.B.1 Par définition, Pm est engendré par la famille K des polynômes xk y pour k et entiers naturels vérifiant k + 6 m. Puisque cette famille est finie,