Centrale Maths 2 PSI 2012

Thème de l'épreuve Étude de matrices réelles symétriques et symétriques définies positives
Principaux outils utilisés produit scalaire, diagonalisation, théorème spectral, convexité
Mots clefs matrices symétriques, orthogonales, positives, Cauchy-Schwarz

Corrigé

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PSI 4 heures Calculatrices autorisées 2012 Mathématiques 2 Notations On note R le corps des nombres réels. Si n est un entier positif,ðon munit l'espace vectoriel Rn du produit scalaire canonique, noté éX, Y ê pour X, Y Rn . On note ëXë = éX, Xê la norme associée. On note Mn (R) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. On assimile Rn à l'espace des vecteurs colonnes d'ordre n et Mn (R) à son algèbre d'endomorphismes. Ainsi éX, Y ê = tXY . On note In la matrice unité de Mn (R). n Ø Si A = (aij )16i,j6n Mn (R), on note Tr(A) la somme de ses éléments diagonaux : Tr(A) = aii . On rappelle i=1 que Tr(A) est égale à la somme des valeurs propres complexes de A comptées avec leurs ordres de multiplicité. Si A Mn (R), le polynôme caractéristique de A est PA (X) = det(A - XIn ). ) * Si A Mn (R), on définit R(A) = t XAX - X Rn , ëXë = 1 qui est une partie de R. Les parties ainsi que les questions ne sont pas indépendantes. I Généralités Soit A = (aij )16i,j6n Mn (R). I.A ­ Démontrer que les valeurs propres réelles de A sont dans R(A). I.B ­ I.B.2) I.B.1) Démontrer que les éléments aii (1 6 i 6 n) de la diagonale de A sont dans R(A). En considérant la matrice A= 3 0 -1 1 0 4 montrer que les éléments aij avec i Ó= j ne sont pas nécessairement dans R(A). I.C ­ On considère deux nombres réels a R(A) et b R(A), avec a < b. Soient X1 et X2 deux vecteurs de norme 1 tels que t X1 AX1 = a, t X2 AX2 = b. I.C.1) Démontrer que X1 et X2 sont linéairement indépendants. I.C.2) On pose X = X1 + (1 - )X2 pour 0 6 6 1. t X AX est définie et continue sur l'intervalle [0, 1]. Démontrer que la fonction : Ô ëX ë2 I.C.3) En déduire que le segment [a, b] est inclus dans R(A). I.D ­ Démontrer que si Tr(A) = 0 alors 0 R(A). I.E ­ Soit Q une matrice orthogonale réelle. Démontrer que R(A) = R(t QAQ). I.F ­ On considère les conditions suivantes : (C1) Tr(A) R(A) (C2) Il existe une matrice orthogonale réelle Q telle que la diagonale de la matrice t QAQ soit de la forme (Tr(A), 0, . . . , 0) I.F.1) Démontrer que la condition (C2) implique la condition (C1). I.F.2) On suppose que x R(A). Démontrer qu'il existe une matrice Q1 orthogonale telle que 4 3 x L t Q1 AQ1 = C B où B est une matrice de format (n - 1, n - 1) (B Mn-1 (R)), C un vecteur colonne à n - 1 éléments (C Mn-1,1 (R)) et L un vecteur ligne à n - 1 éléments (L M1,n-1 (R)). I.F.3) Démontrer que si la matrice A est symétrique il en est de même pour la matrice B ci-dessus. 2 avril 2012 17:27 Page 1/3 I.F.4) Démontrer que Tr(A) = Tr(t Q1 AQ1 ). I.F.5) En déduire que si A est symétrique, la condition (C1) implique la condition (C2) On pourra raisonner par récurrence sur n. II Matrices symétriques de format (2, 2) Dans toute cette partie A et B désignent des matrices symétriques réelles de M2 (R). On note 1 6 2 (resp. µ1 6 µ2 ) les valeurs propres de A (resp. B). De plus on dira qu'une matrice symétrique S est positive, ce que l'on notera S > 0, si et seulement si toutes ses valeurs propres sont > 0. II.A ­ Démontrer que R(A) = [1 , 2 ]. II.B ­ On considère l'ensemble R2 défini par l'équation éAX, Xê = 1. II.B.1) Caractériser les conditions sur les i pour lesquelles cet ensemble est : a) b) c) d) vide ; la réunion de deux droites ; une ellipse ; une hyperbole. II.B.2) Réprésenter sur une même figure les ensembles obtenus pour A diagonale avec 1 {-4, -1, 0, 1/4, 1} et 2 = 1. II.C ­ Démontrer que Tr(AB) 6 1 µ1 + 2 µ2 . On pourra utiliser une matrice P orthogonale telle que t P BP soit une matrice diagonale, pour obtenir t P AP = A = (aij ) avec Tr(A) = 1 + 2 = a11 + a22 . II.D ­ On pose A= 3 a b b d 4 et on suppose A > 0. II.D.1) Démontrer que det(A) > 0. II.D.2) Démontrer que t XAX > 0 pour tout vecteur X. II.D.3) Démontrer que a > 0 et d > 0. II.D.4) Soit S M2 (R) symétrique. Démontrer que : S>0 II.E ­ si et seulement si (Tr(S) > 0 et det(S) > 0) On pose A= 3 a1 b1 b1 d1 4 B= 3 a2 b2 b2 d2 4 On suppose dans cette section que A > 0 et B > 0. II.E.1) En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs (b1 , det A) et (b2 , det B), démontrer que ð b1 b2 6 a1 a2 d1 d2 - det A det B II.E.2) En calculant det(A + B) - det A - det B, en déduire que ð det(A + B) > det(A) + det(B) + 2 det(A) det(B) II.F ­ On suppose dans cette sous-partie A > 0 et B > 0, det A det B Ó= 0 et b1 b2 Ó= 0. II.F.1) Démontrer que l'on a l'égalité dans la formule de la question II.E.2 si et seulement si les vecteurs (a1 , d1 ) et (a2 , d2 ) sont liés, ainsi que les vecteurs (b1 , det A) et (b2 , det B). II.F.2) Démontrer alors que l'on a l'égalité dans la formule de la question II.E.2 si et seulement si les matrices A et B sont proportionnelles (A = B pour un R, > 0). II.G ­ On considère la relation suivante sur l'ensemble des matrices symétriques réelles de format (2,2) : on dit que S 6 S si et seulement si la matrice symétrique S - S vérifie S - S > 0. Démontrer que la relation 6 ci-dessus est bien une relation d'ordre sur les matrices symétriques réelles de format (2,2). 2 avril 2012 17:27 Page 2/3 II.H ­ On considère une suite (An )n>0 An = 3 an bn bn dn 4 de matrices symétriques de M2 (R). On suppose que la suite (An )n>0 est croissante et majorée pour la relation d'ordre définie à la question précédente. II.H.1) Démontrer que pour tout vecteur X, la suite (t XAn X)n>0 est croissante majorée. II.H.2) Démontrer que les suites (an )n>0 et (dn )n>0 sont croissantes majorées. II.H.3) En considérant le vecteur X = (1, 1), démontrer que la suite de matrices (An )n>0 est convergente dans M2 (R), c'est-à-dire que les suites (an )n>0 , (bn )n>0 et (dn )n>0 sont convergentes dans R. III Matrices symétriques définies positives Dans cette partie toutes les matrices sont de format (n, n), où n est un entier supérieur ou égal à 2. On dit qu'une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. III.A ­ Soit A une matrice symétrique définie positive. Démontrer qu'il existe une matrice inversible Y telle que A = t Y Y . III.B ­ Soient A une matrice symétrique définie positive et B une matrice symétrique. Démontrer qu'il existe une matrice inversible T telle que : t T AT = In et t T BT = D où In désigne la matrice identité et D une matrice diagonale. III.C ­ Soient A et B deux matrices symétriques définies positives. III.C.1) Démontrer que : det(In + B) > 1 + det B. III.C.2) En déduire que : det(A + B) > det A + det B. III.D ­ Soient x un nombre réel strictement positif, un nombre réel tel que 0 < < 1. Démontrer que : x 6 x + 1 - . III.E ­ Soient A et B deux matrices symétriques définies positives, et deux nombres réels > 0 tels que + = 1 ; démontrer que : det(A + B) > (det A) (det B) III.F ­ Pour 1 6 i 6 k, soient Ai des matrices symétriques définies positives et i des nombres strictement positifs tels que 1 + · · · + k = 1. Démontrer que det(1 A1 + · · · + k Ak ) > (det A1 )1 . . . (det Ak )k On pourra raisonner par récurrence sur k. · · · FIN · · · 2 avril 2012 17:27 Page 3/3

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 Centrale Maths 2 PSI 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet d'algèbre s'organise en trois parties très largement indépendantes. · La première partie concerne l'étude du haussdorfien d'une matrice, défini pour toute matrice A Mn (R) par R(A) = {t XAX | kXk = 1} L'objectif est principalement d'établir (sans que ce soit dit explicitement) qu'il s'agit d'une partie convexe de R qui contient notamment les valeurs propres et les éléments diagonaux de la matrice, ainsi que sa trace sous certaines conditions. On justifie également que cet ensemble est invariant par changement de base orthogonale. · La deuxième partie introduit la notion incontournable, bien que hors programme, de matrice symétrique positive. Après quelques questions aboutissant à des inégalités sur leurs déterminants, on établit un résultat qui rappellera étrangement une propriété bien classique des suites réelles : pour une relation d'ordre bien choisie, on démontre que toute suite croissante et majorée de matrices symétriques positives est convergente. · La troisième partie démarre comme la deuxième par une nouvelle notion horsprogramme de matrice symétrique définie positive. L'objectif est à nouveau d'établir des inégalités sur des déterminants, et notamment la jolie formule det(1 A1 + · · · + k Ak ) > det(A1 )1 · · · det(Ak )k pour tous réels 1 , . . . , k et toutes matrices A1 , . . . , Ak symétriques définies positives. Le rapprochement avec les comparaisons des moyennes arithmétique et géométrique est bien entendu immédiat. Le sujet manipule donc en long, en large et en travers les matrices symétriques positives. Cette notion est hors programme en PC/PSI mais elle survient très fréquemment aux concours, au point que la plupart des enseignants de CPGE dans ces deux filières ont un paragraphe à leur sujet dans leur cours. La plupart des résultats présentés ici sont d'ailleurs des classiques d'oraux de la filière MP. En ce sens, l'épreuve est plutôt décevante car même si chaque résultat pris séparément est intéressant, l'absence de lien entre les parties est évident, et aucune application sérieuse de ces résultats n'est présentée. Indications Partie I I.A Considérer X un vecteur propre de A, supposé de norme 1, et calculer t X AX. t I.B.1 Montrer que les éléments diagonaux de A s'obtiennent en calculant X AX pour X variant dans la base canonique. I.B.2 Calculer t X AX pour tout vecteur X. I.C.1 Montrer qu'une relation de dépendance entre X1 et X2 s'écrit X2 = + - X1 . I.C.2 Remarquer que la fonction est une fraction rationnelle. I.C.3 Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. I.E Observer qu'une isométrie vectorielle réalise une bijection entre les vecteurs de norme 1. t I.F.2 Considérer X1 un vecteur de norme 1 tel que X1 AX1 = x, et compléter la famille (X1 ) en une base orthonormale (X1 , . . . , Xn ). Poser ensuite Q1 la matrice dont les vecteurs colonnes sont les Xi . t f2 telle que Q f2 BQ f2 a sa I.F.5 Lors de la récurrence on obtiendra une matrice Q diagonale de la forme (0, . . . , 0). Introduire ensuite la matrice Q2 dont le bloc f2 , et compléter par un 1 en position carré inférieur droit de taille n - 1 est Q (1, 1) et des zéros ailleurs. Partie II II.A II.B II.D.2 II.D.3 II.E.2 II.F.1 Diagonaliser A en utilisant le théorème spectral et utiliser la question I.E. Se ramener au cas d'une matrice diagonale. Se ramener à X de norme 1 et utiliser la question II.A. Utiliser le résultat de la question II.B.1. Développer l'expression det(A + B) et utiliser la question précédente. Il y a égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz si et seulement si les vecteurs sont liés. II.G Une relation d'ordre est une relation réflexive, antisymétrique et transitive. Pour la transitivité, en prenant S, S et S symétriques telles que S - S > 0 et S - S > 0, on pourra considérer un vecteur propre de S - S et utiliser la question II.D.2. Partie III III.A Utiliser le théorème spectral. Une matrice diagonale DA semblable à A ayant ses valeurs propres strictement positives, on pourra considérer une de ses racines carrées, c'est-à-dire une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont des racines carrées de ceux de D. t III.B Remarquer que (Y-1 ) BY-1 est symétrique. III.C.1 On pourra diagonaliser B. III.C.2 Montrer que la matrice D obtenue à la question III.B est définie positive. Appliquer ensuite le résultat de la question III.C.1 à det(In + D). III.D Introduire la fonction x 7 x et montrer qu'elle est concave. III.E Utiliser les matrices T et D de la question III.B, ainsi que la question III.D. III.F Pour dérouler correctement la récurrence, justifier qu'une combinaison linéaire à coefficients strictement positifs de matrices symétriques définies positives est symétrique définie positive. I. Généralités I.A Soient une valeur propre réelle de A et X un vecteur propre associé à . Le vecteur Y = X/kXk est ainsi de norme 1 et est également un vecteur propre t t associé à . De plus Y AY = Y Y = kYk2 = . Par suite appartient à R(A). En conclusion, Les valeurs propres réelles de A sont dans R(A). t I.B.1 Soit i {1, . . . , n}. Posons Yi = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (1 en position i) t le i-ème vecteur de la base canonique de Rn . Alors AYi = (a1,i , . . . , an,i ) est le t i-ème vecteur colonne de A et Yi AYi est le i-ème coefficient de AYi , c'est-à-dire ai,i . Puisque Yi est de norme 1, ai,i R(A). Par conséquent, Les éléments diagonaux de A sont dans R(A). I.B.2 Soit X = t (x, y) un vecteur quelconque de R2 . Alors t X A = (-y, x) et t X AX = -xy + xy est nul. En particulier, pour tout vecteur X de R2 de norme 1, t X AX = 0 et donc R(A) = {0}. Ainsi -1 et 1, qui sont les éléments hors diagonale de A, ne sont pas dans R(A). Les éléments ai,j pour i 6= j ne sont pas nécessairement dans R(A). I.C.1 Supposons la famille (X1 , X2 ) liée. Puisque X1 et X2 sont deux vecteurs réels de même norme, · soit X2 = X1 , auquel cas t X2 AX2 = t X1 AX1 = a 6= b, ce qui est absurde ; t t t · soit X2 = -X1 , auquel cas X2 AX2 = (-X1 ) A(-X1 ) = X1 AX1 = a 6= b, ce qui est absurde également. Par conséquent, X1 et X2 sont linéairement indépendants. I.C.2 Puisque X1 et X2 sont linéairement indépendants, le vecteur X est non nul pour tout [ 0 ; 1 ]. Ainsi kX k n'est jamais nul et est définie sur l'intervalle [ 0 ; 1 ]. Par ailleurs, l'application 7 X étant une application affine de R vers Rn , elle est continue. De plus, les applications t X 7 X AX et t X 7 X X = kXk2 sont continues de Rn vers R par continuité du produit matriciel. Enfin, l'application (x, y) 7 x/y est continue de R × R vers R. Comme s'écrit comme composée d'applications continues, est continue sur [ 0 ; 1 ]. I.C.3 Remarquons que pour = 0, X = X2 et pour = 1, X = X1 (la notation est maladroite mais il n'y a pas d'ambiguïté !). Ainsi, (0) = b et (1) = a. Soit t [ a ; b ]. étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires s'applique et il existe [ 0 ; 1 ] tel que () = t. Comme on l'a remarqué à la question précédente, X n'est jamais nul. Par suite, Y = X /kX k est de norme 1 et vérifie t Y AY = () = t R(A). En conclusion, [ a ; b ] R(A) I.D D'après la question I.B.1, les éléments diagonaux de A sont dans R(A). Supposons que Tr A = 0. · Si tous les éléments ai,i sont nuls alors 0 R(A). · Sinon, puisque Tr A = a1,1 + · · ·+ an,n = 0, il existe deux entiers i et j distincts tels que a = ai,i < 0 < aj,j = b. Par conséquent, d'après la question précédente, [ a ; b ] R(A). Puisque 0 [ a ; b ], on conclut que 0 est dans R(A). Si Tr A = 0 alors 0 appartient à R(A). Conclusion : I.E Puisque Q est orthogonale, l'application associée est une isométrie, donc pour tout vecteur X de norme 1, QX est également de norme 1. Réciproquement, puisque Q est inversible et que Q-1 est également orthogonale, pour tout élément X de norme 1, kQ-1 Xk = 1 et X = Q(Q-1 X). Ainsi X 7 QX est une bijection de la sphère unité sur elle-même et {QX | X Rn , kXk = 1} = {X Rn | kXk = 1} Par suite, t t t R( Q AQ) = { X Q AQX | X Rn , kXk = 1} t = { (QX) A(QX) | X Rn , kXk = 1} R( t Q AQ) = { t X AX | X Rn , kXk = 1} Par conséquent t R( Q AQ) = R(A) t I.F.1 Supposons (C2). Alors l'élément en position (1, 1) de Q AQ est Tr A. D'après t le résultat de la question I.E, R( Q AQ) = R(A) et l'on a montré en question I.B.1 t que Tr A R( Q AQ). Par conséquent, Tr A R(A) et l'on a montré que La condition (C2) implique la condition (C1). t I.F.2 Puisque x R(A), il existe un vecteur X1 de norme 1 tel que X1 AX1 = x. Le sous-espace vectoriel F = (X1 ) est de dimension n - 1 et c'est un espace vectoriel euclidien si on le munit du produit scalaire canonique défini sur E. D'après le cours, il existe une base orthonormale (X2 , . . . , Xn ) de E. Puisque F = (X1 ) , la famille (X1 , . . . , Xn ) forme une base orthonormale de E. Un théorème hors-programme stipule que toute famille orthonormale d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormale : c'est le théorème de la base orthonormale incomplète.