Centrale Maths 2 PSI 2010

Thème de l'épreuve Dimension maximale d'un sous-espace vectoriel d'endomorphismes formé de similitudes
Principaux outils utilisés endomorphismes symétriques et antisymétriques, orthogonalité
Mots clefs matrices de similitude, sous-espace orthogonal, famille de vecteurs orthonormés, famille d'endomorphismes anticommutatifs

Corrigé

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- version du 11 decembre 2009 14h59 Calculatrices autorisées MATHÉMATIQUES II Le symbole 0 désigne indifféremment l'élément nul de R, de E ou de L ( E). GL( E) est l'ensemble des automorphismes de E. C'est un groupe pour la composition des applications. L'application identité est notée IdE . On appelle endomorphisme antisymétrique de E tout endomorphisme de E tel que f = - f . L'ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est un sous-espace vectoriel de L ( E). On pourra utiliser cette propriété sans démonstration. On appelle similitude de E tout endomorphisme f de E du type g avec R et g O( E), où O( E) est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E. On rappelle que O( E) est un groupe pour la composition des applications. On désigne par Sim( E) l'ensemble des similitudes de E. · · · · Filière PSI Partie I - Premières propriétés Soit g un endomorphisme antisymétrique de E, tel que f g = - g f . Montrer que : x E, < f ( x ), g( x ) >= 0. Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E). Ainsi 1 6 dn 6 n. On fixe x E \ {0}. En considérant : f 7 f ( x ), application linéaire de V dans E, montrer que dim(V ) 6 n. I.C.2) I.C - Encadrement de dn I.C.1) Montrer que dn > 1. I.B.4) Que vaut f 2 = f f si f est un automorphisme orthogonal et antisymétrique de E ? I.B.3) I.B.2) Montrer que, si S est un sous-espace vectoriel de E stable par f , alors S est stable par f . Montrer que les endomorphismes induits par f sur S et sur S sont antisymétriques. Soit f un endomorphisme antisymétrique de E. I.B.1) Montrer que : x E, < x, f ( x ) >= 0. I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice orthogonale : c'est donc la matrice d'une similitude dans une base orthormale. iii) la matrice de h dans une base orthonormale de E est colinéaire à une matrice orthogonale. ii) h h est colinéaire à IdE ; i) h est élément de Sim( E) ; I.A.2) Soit h L ( E) un endomorphisme de E. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : I.A.1) Montrer que l'ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de GL( E) pour la composition des applications. I.A - Étude de Sim( E) Page 1/3 Note : on peut démontrer ­ et nous l'admettrons ­ que la notation dn est licite, car cet entier ne dépend effectivement que de la dimension de E. E étant un espace euclidien de dimension n, dn est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E) c'est-à-dire d'un sous-espace vectoriel de L ( E) formé de similitudes. Le but du problème est de calculer l'entier dn défini de la manière suivante : Objectif du problème L ( E) désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de E. Si f et g sont dans L ( E), f g désigne la composée f g des applications et f désigne l'endomorphisme adjoint de f . · Dans tout le texte, n est un entier strictement positif et E est un espace euclidien de dimension n ; on note < x, y > le produit scalaire de deux éléments x et y de E ; La norme utilisée est la norme euclidienne associée. Définitions et notations Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2010 - version du 11 decembre 2009 14h59 Calculatrices autorisées MATHÉMATIQUES II Le symbole 0 désigne indifféremment l'élément nul de R, de E ou de L ( E). GL( E) est l'ensemble des automorphismes de E. C'est un groupe pour la composition des applications. L'application identité est notée IdE . On appelle endomorphisme antisymétrique de E tout endomorphisme de E tel que f = - f . L'ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est un sous-espace vectoriel de L ( E). On pourra utiliser cette propriété sans démonstration. On appelle similitude de E tout endomorphisme f de E du type g avec R et g O( E), où O( E) est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E. On rappelle que O( E) est un groupe pour la composition des applications. On désigne par Sim( E) l'ensemble des similitudes de E. · · · · Filière PSI Partie I - Premières propriétés Soit g un endomorphisme antisymétrique de E, tel que f g = - g f . Montrer que : x E, < f ( x ), g( x ) >= 0. Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E). Ainsi 1 6 dn 6 n. On fixe x E \ {0}. En considérant : f 7 f ( x ), application linéaire de V dans E, montrer que dim(V ) 6 n. I.C.2) I.C - Encadrement de dn I.C.1) Montrer que dn > 1. I.B.4) Que vaut f 2 = f f si f est un automorphisme orthogonal et antisymétrique de E ? I.B.3) I.B.2) Montrer que, si S est un sous-espace vectoriel de E stable par f , alors S est stable par f . Montrer que les endomorphismes induits par f sur S et sur S sont antisymétriques. Soit f un endomorphisme antisymétrique de E. I.B.1) Montrer que : x E, < x, f ( x ) >= 0. I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice orthogonale : c'est donc la matrice d'une similitude dans une base orthormale. iii) la matrice de h dans une base orthonormale de E est colinéaire à une matrice orthogonale. ii) h h est colinéaire à IdE ; i) h est élément de Sim( E) ; I.A.2) Soit h L ( E) un endomorphisme de E. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : I.A.1) Montrer que l'ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de GL( E) pour la composition des applications. I.A - Étude de Sim( E) Page 1/3 Note : on peut démontrer ­ et nous l'admettrons ­ que la notation dn est licite, car cet entier ne dépend effectivement que de la dimension de E. E étant un espace euclidien de dimension n, dn est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E) c'est-à-dire d'un sous-espace vectoriel de L ( E) formé de similitudes. Le but du problème est de calculer l'entier dn défini de la manière suivante : Objectif du problème L ( E) désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de E. Si f et g sont dans L ( E), f g désigne la composée f g des applications et f désigne l'endomorphisme adjoint de f . · Dans tout le texte, n est un entier strictement positif et E est un espace euclidien de dimension n ; on note < x, y > le produit scalaire de deux éléments x et y de E ; La norme utilisée est la norme euclidienne associée. Définitions et notations Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2010 - version du 11 decembre 2009 14h59 Calculatrices autorisées MATHÉMATIQUES II Le symbole 0 désigne indifféremment l'élément nul de R, de E ou de L ( E). GL( E) est l'ensemble des automorphismes de E. C'est un groupe pour la composition des applications. L'application identité est notée IdE . On appelle endomorphisme antisymétrique de E tout endomorphisme de E tel que f = - f . L'ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est un sous-espace vectoriel de L ( E). On pourra utiliser cette propriété sans démonstration. On appelle similitude de E tout endomorphisme f de E du type g avec R et g O( E), où O( E) est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E. On rappelle que O( E) est un groupe pour la composition des applications. On désigne par Sim( E) l'ensemble des similitudes de E. · · · · Filière PSI Partie I - Premières propriétés Soit g un endomorphisme antisymétrique de E, tel que f g = - g f . Montrer que : x E, < f ( x ), g( x ) >= 0. Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E). Ainsi 1 6 dn 6 n. On fixe x E \ {0}. En considérant : f 7 f ( x ), application linéaire de V dans E, montrer que dim(V ) 6 n. I.C.2) I.C - Encadrement de dn I.C.1) Montrer que dn > 1. I.B.4) Que vaut f 2 = f f si f est un automorphisme orthogonal et antisymétrique de E ? I.B.3) I.B.2) Montrer que, si S est un sous-espace vectoriel de E stable par f , alors S est stable par f . Montrer que les endomorphismes induits par f sur S et sur S sont antisymétriques. Soit f un endomorphisme antisymétrique de E. I.B.1) Montrer que : x E, < x, f ( x ) >= 0. I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice orthogonale : c'est donc la matrice d'une similitude dans une base orthormale. iii) la matrice de h dans une base orthonormale de E est colinéaire à une matrice orthogonale. ii) h h est colinéaire à IdE ; i) h est élément de Sim( E) ; I.A.2) Soit h L ( E) un endomorphisme de E. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : I.A.1) Montrer que l'ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de GL( E) pour la composition des applications. I.A - Étude de Sim( E) Page 1/3 Note : on peut démontrer ­ et nous l'admettrons ­ que la notation dn est licite, car cet entier ne dépend effectivement que de la dimension de E. E étant un espace euclidien de dimension n, dn est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E) c'est-à-dire d'un sous-espace vectoriel de L ( E) formé de similitudes. Le but du problème est de calculer l'entier dn défini de la manière suivante : Objectif du problème L ( E) désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de E. Si f et g sont dans L ( E), f g désigne la composée f g des applications et f désigne l'endomorphisme adjoint de f . · Dans tout le texte, n est un entier strictement positif et E est un espace euclidien de dimension n ; on note < x, y > le produit scalaire de deux éléments x et y de E ; La norme utilisée est la norme euclidienne associée. Définitions et notations Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2010 c) Montrer que les hi sont antisymétriques et vérifient : i 6= j, hi h j + h j hi = 0. Que faire pour que les hi soient aussi des automorphismes orthogonaux ? On considère, dans la suite de cette question, une base (h1 , ..., hd-1 ) de Vect( g1 , ..., gd-1 ) orthogonale pour ce produit scalaire. Filière PSI Dans cette question, n = 2p, avec p entier impair. Montrer que dn = 2. Montrer que = = = 0 et que {-1, 1}. Soit un vecteur fixé x E de norme 1. a) Justifier que la famille B = x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est une base de E puis montrer qu'il existe des nombres réels , , , tel que : f 3 ( x ) = x + f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + f 1 f 2 ( x ). On considère alors, conformément à I.D.4 une famille ( f 1 , f 2 , f 3 ) d'éléments de L ( E) telle que les f i soient des automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0 II.B - Dans cette section, la dimension de E est 4. II.B.1) On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension 4 inclus dans Sim( E). II.A.2) II.A.1) Soit p un entier impair tel que dim( E) = n = 2p. On suppose qu'il existe d > 3 et une famille ( f 1 , f 2 , ..., f d-1 ) d'éléments de L ( E) telle que les f i soient des automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0. Soit x E de norme 1. a) Montrer que ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x )) est une famille orthonormale, et que S = Vect x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est stable par f 1 et f 2 . b) En déduire que dn-4 > 3 II.A - Dans cette section, dim( E) = 2p où p est un entier impair. Partie II - Étude dans des dimensions paires Ainsi, si dim( E) > 2, sont équivalentes les deux propriétés : · il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension d > 2 inclus dans Sim( E) il existe une famille ( f 1 , ..., f d-1 ) d'automorphismes orthogonaux antisy· métriques de E vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0. I.D.4) Réciproquement, soit (h1 , ..., hd-1 ) une famille de L ( E) telle que les hi soient des automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant pour tous i 6= j, hi h j + h j hi = 0. Montrer que Vect(IdE , h1 , ..., hd-1 ) est un sous-espace vectoriel de L ( E), de dimension d, inclus dans Sim( E). Page 2/3 I.D.3) On fixe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V comme définie à la question précédente c'est-à-dire avec pour tout i, gi antisymétrique. a) Montrer que pour tout i 6= j, gi g j + g j gi est colinéaire à IdE . b) Montrer que l'on définit un produit scalaire sur L ( E) en posant, pour tout f , g de L ( E) ( f | g) = tr ( f g). I.D.2) Montrer qu'il existe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V telle que pour tout i {1, 2, . . . , d - 1}, gi soit antisymétrique (on cherchera gi comme combinaison de f i et id E ). I.D - Systèmes anti-commutatifs d'endomorphismes antisymétriques Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) contenant IdE , inclus dans Sim( E) et de dimension d > 2. Soit (IdE , f 1 , ..., f d-1 ) une base de V. I.D.1) Montrer que pour tout i {1, 2, . . . , d - 1}, f i + f i est colinéaire à IdE . C'est pourquoi, dans toute la suite, on s'intéressera uniquement à des sous-espaces vectoriels de L ( E), inclus dans Sim( E) et contenant IdE . On pourra raisonner en considérant le polynôme caractéristique de f g-1 . En déduire que dn = 1. I.C.5) Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E), de dimension d > 1. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel W de L ( E) inclus dans Sim( E), de même dimension d, et contenant IdE . I.C.4) Dans cette question seulement, on suppose n impair. Si f , g appartiennent à GL( E), montrer qu'il existe R tel que f + g soit non inversible. I.C.3) Dans cette question seulement, on suppose n = 2. Expliciter un espace vectoriel de dimension 2, formé de matrices de similitudes. En déduire, avec soin, que d2 = 2. MATHÉMATIQUES II c) Montrer que les hi sont antisymétriques et vérifient : i 6= j, hi h j + h j hi = 0. Que faire pour que les hi soient aussi des automorphismes orthogonaux ? On considère, dans la suite de cette question, une base (h1 , ..., hd-1 ) de Vect( g1 , ..., gd-1 ) orthogonale pour ce produit scalaire. Filière PSI Dans cette question, n = 2p, avec p entier impair. Montrer que dn = 2. Montrer que = = = 0 et que {-1, 1}. Soit un vecteur fixé x E de norme 1. a) Justifier que la famille B = x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est une base de E puis montrer qu'il existe des nombres réels , , , tel que : f 3 ( x ) = x + f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + f 1 f 2 ( x ). On considère alors, conformément à I.D.4 une famille ( f 1 , f 2 , f 3 ) d'éléments de L ( E) telle que les f i soient des automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0 II.B - Dans cette section, la dimension de E est 4. II.B.1) On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension 4 inclus dans Sim( E). II.A.2) II.A.1) Soit p un entier impair tel que dim( E) = n = 2p. On suppose qu'il existe d > 3 et une famille ( f 1 , f 2 , ..., f d-1 ) d'éléments de L ( E) telle que les f i soient des automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0. Soit x E de norme 1. a) Montrer que ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x )) est une famille orthonormale, et que S = Vect x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est stable par f 1 et f 2 . b) En déduire que dn-4 > 3 II.A - Dans cette section, dim( E) = 2p où p est un entier impair. Partie II - Étude dans des dimensions paires Ainsi, si dim( E) > 2, sont équivalentes les deux propriétés : · il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension d > 2 inclus dans Sim( E) il existe une famille ( f 1 , ..., f d-1 ) d'automorphismes orthogonaux antisy· métriques de E vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0. I.D.4) Réciproquement, soit (h1 , ..., hd-1 ) une famille de L ( E) telle que les hi soient des automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant pour tous i 6= j, hi h j + h j hi = 0. Montrer que Vect(IdE , h1 , ..., hd-1 ) est un sous-espace vectoriel de L ( E), de dimension d, inclus dans Sim( E). Page 2/3 I.D.3) On fixe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V comme définie à la question précédente c'est-à-dire avec pour tout i, gi antisymétrique. a) Montrer que pour tout i 6= j, gi g j + g j gi est colinéaire à IdE . b) Montrer que l'on définit un produit scalaire sur L ( E) en posant, pour tout f , g de L ( E) ( f | g) = tr ( f g). I.D.2) Montrer qu'il existe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V telle que pour tout i {1, 2, . . . , d - 1}, gi soit antisymétrique (on cherchera gi comme combinaison de f i et id E ). I.D - Systèmes anti-commutatifs d'endomorphismes antisymétriques Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) contenant IdE , inclus dans Sim( E) et de dimension d > 2. Soit (IdE , f 1 , ..., f d-1 ) une base de V. I.D.1) Montrer que pour tout i {1, 2, . . . , d - 1}, f i + f i est colinéaire à IdE . C'est pourquoi, dans toute la suite, on s'intéressera uniquement à des sous-espaces vectoriels de L ( E), inclus dans Sim( E) et contenant IdE . On pourra raisonner en considérant le polynôme caractéristique de f g-1 . En déduire que dn = 1. I.C.5) Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E), de dimension d > 1. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel W de L ( E) inclus dans Sim( E), de même dimension d, et contenant IdE . I.C.4) Dans cette question seulement, on suppose n impair. Si f , g appartiennent à GL( E), montrer qu'il existe R tel que f + g soit non inversible. I.C.3) Dans cette question seulement, on suppose n = 2. Expliciter un espace vectoriel de dimension 2, formé de matrices de similitudes. En déduire, avec soin, que d2 = 2. MATHÉMATIQUES II On pose V = Vect( F ). C'est donc un sous-espace vectoriel de E de dimen- II.C.6) En déduire la valeur de d12 . - x6 - x7 x3 - x5 - x2 x4 x0 x1 · · · FIN · · · II.E - Conjecture du résultat général Conjecturer la valeur de dn dans le cas général. Que peut-on en déduire ? est une matrice de similitude. Montrer que, quel que soit ( x0 , ..., x7 ) R8 , x0 - x1 - x2 - x4 - x3 - x5 x1 x0 - x4 x2 - x5 x3 x2 x4 x0 - x1 - x6 x7 x4 - x2 x1 x0 x7 x6 x3 x5 x - x x - x1 6 7 0 x5 - x3 - x7 - x6 x1 x 0 x6 x7 - x3 x5 x2 - x4 x7 - x6 x5 x3 - x4 - x2 II.D - Dans cette section, la dimension de E est 8 Page 3/3 d) Montrer que la somme de W et V est directe et que W V est stable par f 1 , f 2 , f 3 , f 4 . Aboutir alors à une contradiction. Ainsi W = f 4 (V ) est un sous-espace vectoriel de V de dimension 4. c) Soit e fixé dans V , de norme 1. En procédant comme au II.B.1.a) (mais ce n'est pas à refaire), on peut montrer que (e, f 1 (e), f 2 (e), f 1 f 2 (e)) et une base orthonormale de V . En remarquant que f 3 (e) = f 1 f 2 (e), utiliser cette base pour montrer que : y V , f 4 (y) V. Quitte à remplacer f 3 par - f 3 , on considère pour la suite que f 3 = f 1 f 2 . b) On note f i l'endomorphisme induit par f i sur V , i = 1, 2, 3. Justifier qu'il existe {-1, 1} tel que f 3 = f 1 f 2 . a) Montrer que V est stable par f 1 , f 2 , f 3 . II.C.5) sion 8. II.C.4) Montrer que F = ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ), f 1 f 2 ( x ), f 1 f 3 ( x ), f 2 f 3 ( x ), f 1 f 2 f 3 ( x )) est une famille orthonormale. On fixe un tel x pour la suite. Montrer qu'il existe x E de norme 1 tel que < f 1 f 2 f 3 ( x ), x >= 0. II.C.1) En utilisant f 4 , montrer que f 3 ne peut être égal à ± f 1 f 2 . II.C.2) Montrer que f 1 f 2 f 3 est un automorphisme orthogonal, symétrique et non colinéaire à IdE . II.C.3) Quel est le spectre de f 1 f 2 f 3 ? II.C - Dans cette section, la dimension de E est 12 On suppose qu'il existe dans L ( E), une famille ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) d'automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0. II.B.2) Vérifier que pour tout ( x0 , x1 , x2 , x3 ) R4 , M( x0 , x1 , x2 , x3 ) est une matrice de similitude. Qu'en conclure ? c) Si x0 , x1 , x2 , x3 sont des nombres réels, donner la matrice M( x0 , x1 , x2 , x3 ) dans B de l'endomorphisme x0 IdE + x1 f 1 + x2 f 2 + x3 f 3 . b) Montrer que f 3 = f 1 f 2 . Quitte à changer f 3 en son opposé, on suppose dans la suite que f 3 = f 1 f 2 . MATHÉMATIQUES II - x7 x6 - x5 - x3 x4 x2 - x1 x0 Filière PSI On pose V = Vect( F ). C'est donc un sous-espace vectoriel de E de dimen- II.C.6) En déduire la valeur de d12 . - x6 - x7 x3 - x5 - x2 x4 x0 x1 · · · FIN · · · II.E - Conjecture du résultat général Conjecturer la valeur de dn dans le cas général. Que peut-on en déduire ? est une matrice de similitude. Montrer que, quel que soit ( x0 , ..., x7 ) R8 , x0 - x1 - x2 - x4 - x3 - x5 x1 x0 - x4 x2 - x5 x3 x2 x4 x0 - x1 - x6 x7 x4 - x2 x1 x0 x7 x6 x3 x5 x - x x - x1 6 7 0 x5 - x3 - x7 - x6 x1 x 0 x6 x7 - x3 x5 x2 - x4 x7 - x6 x5 x3 - x4 - x2 II.D - Dans cette section, la dimension de E est 8 Page 3/3 d) Montrer que la somme de W et V est directe et que W V est stable par f 1 , f 2 , f 3 , f 4 . Aboutir alors à une contradiction. Ainsi W = f 4 (V ) est un sous-espace vectoriel de V de dimension 4. c) Soit e fixé dans V , de norme 1. En procédant comme au II.B.1.a) (mais ce n'est pas à refaire), on peut montrer que (e, f 1 (e), f 2 (e), f 1 f 2 (e)) et une base orthonormale de V . En remarquant que f 3 (e) = f 1 f 2 (e), utiliser cette base pour montrer que : y V , f 4 (y) V. Quitte à remplacer f 3 par - f 3 , on considère pour la suite que f 3 = f 1 f 2 . b) On note f i l'endomorphisme induit par f i sur V , i = 1, 2, 3. Justifier qu'il existe {-1, 1} tel que f 3 = f 1 f 2 . a) Montrer que V est stable par f 1 , f 2 , f 3 . II.C.5) sion 8. II.C.4) Montrer que F = ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ), f 1 f 2 ( x ), f 1 f 3 ( x ), f 2 f 3 ( x ), f 1 f 2 f 3 ( x )) est une famille orthonormale. On fixe un tel x pour la suite. Montrer qu'il existe x E de norme 1 tel que < f 1 f 2 f 3 ( x ), x >= 0. II.C.1) En utilisant f 4 , montrer que f 3 ne peut être égal à ± f 1 f 2 . II.C.2) Montrer que f 1 f 2 f 3 est un automorphisme orthogonal, symétrique et non colinéaire à IdE . II.C.3) Quel est le spectre de f 1 f 2 f 3 ? II.C - Dans cette section, la dimension de E est 12 On suppose qu'il existe dans L ( E), une famille ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) d'automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0. II.B.2) Vérifier que pour tout ( x0 , x1 , x2 , x3 ) R4 , M( x0 , x1 , x2 , x3 ) est une matrice de similitude. Qu'en conclure ? c) Si x0 , x1 , x2 , x3 sont des nombres réels, donner la matrice M( x0 , x1 , x2 , x3 ) dans B de l'endomorphisme x0 IdE + x1 f 1 + x2 f 2 + x3 f 3 . b) Montrer que f 3 = f 1 f 2 . Quitte à changer f 3 en son opposé, on suppose dans la suite que f 3 = f 1 f 2 . MATHÉMATIQUES II - x7 x6 - x5 - x3 x4 x2 - x1 x0 Filière PSI

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 Centrale Maths 2 PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Guillaume Batog (ENS Cachan). Ce sujet s'intéresse à l'ensemble Sim(E) des similitudes d'un espace vectoriel euclidien E. Plus précisément, si E est de dimension n, l'objectif du problème est de déterminer la dimension maximale dn d'un sous-espace vectoriel de L (E) inclus dans Sim(E). Il procède pour cela en deux temps : · La première partie établit une caractérisation des similitudes de E et prouve plusieurs propriétés sur les endomorphismes antisymétriques. Ceci permet d'obtenir un encadrement de dn , puis sa valeur lorsque n est impair. L'aboutissement de cette partie est la démonstration de l'équivalence entre l'existence d'un sousespace vectoriel de L (E) de dimension d inclus dans Sim(E) et l'existence d'une famille (f1 , . . . , fd-1 ) d'automorphismes orthogonaux antisymétriques telle que i 6= j fi fj + fj fi = 0 · Cette équivalence est ensuite exploitée dans la deuxième partie, pour calculer dn dans plusieurs cas particuliers : n = 2p avec p impair, puis n = 4, n = 8 et enfin n = 12, l'objectif étant de conjecturer la valeur de dn dans le cas général. Comme le résume le rapport du jury, ce sujet comporte « des parties "faciles", découlant directement des définitions ou théorèmes classiques du cours, notamment les débuts des deux parties. Les "milieux et fins" de ces parties [sont], en revanche, plus difficiles [...]. Ils [exigent] un effort de réflexion, de compréhension et parfois même d'ingéniosité. » C'est un problème qui permet à la fois de bien réviser l'algèbre bilinéaire et de s'essayer à une démarche d'investigation mathématique peu fréquente dans les énoncés de concours. Indications Partie I I.A.2 Montrer les équivalences i) ii) et i) iii). I.B.2 Revenir à la définition de l'orthogonal d'un espace : f (x) S si et seulement si hf (x), yi = 0 pour tout y S. I.B.3 Montrer que hf (x), g(x)i = -hg(x), f (x)i. I.B.4 Partir de f 2 = -f f . I.C.1 Considérer l'espace Vect (Id E ). I.C.2 Démontrer que l'application est injective. I.C.3 Considérer Vect (I2 , A), où A est une matrice antisymétrique la plus simple possible. I.C.4 Prouver que f g -1 possède au moins une valeur propre réelle. I.C.5 Composer tous les endomorphismes de V par g -1 , où g est un endomorphisme inversible de V. I.D.1 Utiliser la caractérisation ii) de la question I.A.2 . Pour cela, considérer par exemple l'endomorphisme fi + Id E . I.D.3.a Calculer (gi + gj )2 puis appliquer la question I.B.4 . I.D.3.c Reprendre le raisonnement de la question I.D.3.a pour hi et hj et calculer de deux façons (hi | hj ). Partie II II.A.1.b Raisonner sur S . II.A.2 Montrer par l'absurde que d2p 6 2 puis chercher un exemple de sous-espace de dimension 2 en réutilisant celui de la question I.C.3 . II.B.1.a Exprimer les coefficients comme des produits scalaires entre f3 (x) et les éléments de la base. II.B.1.b Calculer de deux façons différentes la valeur f3 (x + y) où y est un vecteur non nul. II.B.2 Utiliser la caractérisation ii) de la question I.A.2. II.C.1 Raisonner par l'absurde et calculer f3 f4 . II.C.3 Considérer la somme d'un vecteur propre associé à la valeur propre 1 et d'un vecteur propre associé à la valeur propre -1. II.C.4 Raisonner comme dans les questions II.A.1 et II.B.1 . II.C.5.c Montrer d'abord que f4 (e) V puis décomposer un vecteur quelconque de V selon la base orthonormale donnée avant de lui appliquer f4 . II.C.5.d Pour la conclusion, appliquer la question I.D.4 à (W V ) . II.C.6 Pour montrer que d12 > 4, utiliser le même exemple qu'à la question II.B.2 en remplaçant chaque élément a de la matrice par un bloc aI3 . II.D Remarquer que x0 2 + · · · + x7 2 M(x0 , . . . , x7 ) est orthogonale pour tout (x0 , . . . , x7 ) R8 . Ces matrices forment un sous-espace de dimension 8. II.E Résumer tous les résultats obtenus et considérer la puissance de 2 dans la décomposition de n en facteurs premiers. Le rapport du jury signale que ce sujet « a bien rempli son rôle. L'écarttype est particulièrement important et les bonnes copies qui révèlent compréhension, connaissances et "inventivité" conjuguée avec rigueur obtiennent des notes en correspondance avec les qualités manifestées. » Il note également que « les très bonnes copies sont très rares » et font preuve à la fois de « maîtrise du cours dans son ensemble et de compréhension des enjeux ». Le jury déplore en revanche avoir vu dans d'autres copies « des fautes de raisonnement grossières et des erreurs portant sur des notions de base ». La forme laisse également parfois à désirer : « les correcteurs n'ont aucune demande "calligraphique", mais de futurs ingénieurs devaient être capables de fournir un texte lisible, si possible pas trop "truffé" de fautes d'orthographe. » Autre reproche du même ordre, « anecdotique mais désagréable : la plupart des candidats ne numérote pas les feuilles, les questions non plus, d'ailleurs. Le correcteur est souvent perplexe devant un "b)", tout seul, perdu en début d'une feuille sans aucun repère ! Pour peu que le raisonnement soit lui-même un peu "fumeux", sa patience est mise à rude épreuve ! » Enfin, le jury répète que les « affirmations du type : "il est clair que ...", "il est évident que ...", "on voit immédiatement que ...", pour justifier une proposition qui mérite d'être démontrée, se soldent par un zéro. Aucun point n'est prévu pour récompenser une conviction même si elle semble sincère. Le jury attend qu'on lui apporte une démonstration achevée, cohérente où les arguments soient clairement étayés. » Il ressort de ces conseils qu'il est aussi important de soigner la présentation de sa copie que le fond. Attention donc à bien maîtriser les résultats essentiels, faire des raisonnements cohérents et justifier les réponses, mais également à soigner votre orthographe et votre style. Ne négligez pas les conseils de vos professeurs à ce sujet durant l'année... I. Premières propriétés I.A Étude de Sim(E) I.A.1 Notons Sim (E) l'ensemble des similitudes non nulles de E. Montrons que c'est un sous-groupe de GL(E) : · Toute similitude f non nulle est la composée d'une homothétie de rapport non nul et d'un automorphisme orthogonal, tous deux inversibles, donc f est inversible. Ainsi, Sim (E) GL(E). · Id E Sim (E) donc il est non vide. · Soit (f, g) (Sim (E))2 . Par définition, il existe (F, G) O(E)2 et (, µ) R 2 tels que f = F et g = G. Comme O(E) est un groupe, FG O(E). Ainsi, f g = (µ)(FG) Sim (E). · Soit f Sim (E). Il existe F O(E) et R tel que f = F. Comme O(E) est un groupe, F-1 O(E). Par suite, f -1 = -1 F-1 Sim (E). Finalement, Sim (E) est un sous-groupe de GL(E) pour la composition des applications. Le jury regrette que « de nombreux candidats ignorent totalement ce qu'est un sous-groupe ». Ne perdez pas de points sur des questions aussi faciles... I.A.2 Montrons d'abord l'équivalence i) ii) : · i) ii) : Soit h Sim(E). Il existe f O(E) et R tel que h = f . Ainsi, h h = (f ) (f ) = 2 f f = 2 Id E puisque f O(E). Par suite, h h est colinéaire à Id E . · ii) i) : Si h est l'application nulle, alors h Sim(E). Sinon, si h h est colinéaire à Id E , il existe R tel que h h = Id E . Ainsi, x E kh(x)k2 = hh(x), h(x)i = hh h(x), xi = hx, xi = kxk2 Comme h 6= 0, on peut trouver 6 0, tel que h(x) 6= 0. On en déduit x E, x = que > 0. Posons g = (1/ )h. Alors g g = Id E et g O(E). Par suite, h = g Sim(E). Montrons ensuite l'équivalence i) iii) : · i) iii) : Soit h Sim(E). Il existe f O(E) et R tel que h = f . D'après le cours, la matrice P de f dans une base orthonormale est alors orthogonale. Celle de h est alors égale à P, donc colinéaire à une matrice orthogonale. · iii) i) : Si la matrice de h dans une base orthonormale est de la forme A = P avec P orthogonale, alors l'endomorphisme g associé à P est orthogonal et h = g Sim(E). Il y a équivalence entre les trois propriétés i), ii) et iii). La preuve « cyclique » i) ii) iii) i) n'est pas toujours la plus aisée. Ici, il était plus facile de se ramener systématiquement à l'hypothèse la plus simple, à savoir « h Sim(E) ». La preuve ii) iii) demandait sinon de savoir redémontrer le résultat classique « t H H = 0 H = 0 », dont on rappelle ici la preuve. t t t Soit X Mn,1 (R). On a H HX = 0, d'où X H HX = 0. Ceci se rét écrit (HX) HX = 0, c'est-à-dire kHXk2 = 0, en utilisant la norme euclidienne canonique sur Rn . Par suite, HX = 0. Comme ceci est vrai pour tout X Mn,1 (R), H = 0. Le rapport du jury regrette que « la plupart des élèves semble incapable de gérer un raisonnement par équivalence : ils débutent sur des équivalences (plus ou moins bien étayées), puis continuent sur des implications (elles aussi plus ou moins bien étayées) et enfin terminent sur une équivalence ! » Ne tentez pas le diable et raisonnez plutôt par implication, ce qui est plus facile. Le rapport résume bien ce problème en rappelant qu'« il faut toujours se méfier des raisonnements qui tendent à prouver directement une équivalence (i) ii)). Ils conduisent souvent le candidat à ne pas voir une difficulté et à faire un raisonnement faux par négligence. »