Centrale Maths 2 PSI 2009

Thème de l'épreuve Valeurs singulières et pseudo-inverse d'une matrice
Principaux outils utilisés endomorphismes symétriques, quadriques
Mots clefs produit scalaire euclidien, diagonalisation, matrices symétriques, matrices orthogonales, valeurs singulières, pseudo-inverse

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- version du 12 mars 2009 10h51 2 2 l'endomorphisme f dans la base B. On admet que ce résultat est encore vrai si A n'est pas inversible. I.C - On suppose que A est inversible. On note I la matrice identité d'ordre n. I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA - xA, démontrer que pour tout x réel ou complexe, on a : det(AB - xI) = det(BA - xI). I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou complexes, avec le même ordre de multiplicité. I.B - Soit une valeur propre réelle non nulle de AB, X R n un vecteur propre de AB associé à cette valeur propre . I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls. I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA. I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles. I.A - Cas de la valeur 0. I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, det(AB) = 0. I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur propre de BA. Page 1/3 En particulier, si B1 = B2 = B, on note MatB ( f ) = MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de 2 PB1 B2 la matrice de passage de B1 vers B2 . Si f est un endomorphisme de R n , on note MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de l'endomorphisme f par rapport à la base B1 au départ et B2 à l'arrivée, c'est-à-dire la matrice dont les colonnes sont les vecteurs f (e1 ) B , f (e2 ) B , . . . , f (en ) B . Si B est une base de R n , on note (x1 , . . . , xn )B le vecteur de R n de coordonnées (x1 , . . . , xn ) dans la base B. Si B1 = (e1 , e2 , . . . , en ) et B2 = (e1 , e2 , . . . , en ) sont deux bases de R n , on note On peut ainsi écrire le produit scalaire < X, Y > de deux vecteurs p X et Y de R p t sous la forme XY et la norme ||X|| = < X, X > sous la forme tXX. Pour 1 , . . . , n des réels, on note Diag(1 , . . . , n ) Mn (R) la matrice diagonale avec 1 , . . . , n comme coefficients diagonaux. On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonales de Mn (R). n Soit n > 2 un entier et A, B deux matrices appartenant à Mn (R). On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le même ordre de multiplicité. PSI Dans le problème, R désigne l'ensemble des nombres réels ; Mn (R) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. L'espace vectoriel euclidien R n est muni du produit scalaire usuel. On identifie l'espace vectoriel R n et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre n. Filière Partie I - Valeurs propres de AB et BA MATHÉMATIQUES II Préliminaires trs trsés Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2009 - version du 12 mars 2009 10h51 2 2 l'endomorphisme f dans la base B. On admet que ce résultat est encore vrai si A n'est pas inversible. I.C - On suppose que A est inversible. On note I la matrice identité d'ordre n. I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA - xA, démontrer que pour tout x réel ou complexe, on a : det(AB - xI) = det(BA - xI). I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou complexes, avec le même ordre de multiplicité. I.B - Soit une valeur propre réelle non nulle de AB, X R n un vecteur propre de AB associé à cette valeur propre . I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls. I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA. I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles. I.A - Cas de la valeur 0. I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, det(AB) = 0. I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur propre de BA. Page 1/3 En particulier, si B1 = B2 = B, on note MatB ( f ) = MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de 2 PB1 B2 la matrice de passage de B1 vers B2 . Si f est un endomorphisme de R n , on note MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de l'endomorphisme f par rapport à la base B1 au départ et B2 à l'arrivée, c'est-à-dire la matrice dont les colonnes sont les vecteurs f (e1 ) B , f (e2 ) B , . . . , f (en ) B . Si B est une base de R n , on note (x1 , . . . , xn )B le vecteur de R n de coordonnées (x1 , . . . , xn ) dans la base B. Si B1 = (e1 , e2 , . . . , en ) et B2 = (e1 , e2 , . . . , en ) sont deux bases de R n , on note On peut ainsi écrire le produit scalaire < X, Y > de deux vecteurs p X et Y de R p t sous la forme XY et la norme ||X|| = < X, X > sous la forme tXX. Pour 1 , . . . , n des réels, on note Diag(1 , . . . , n ) Mn (R) la matrice diagonale avec 1 , . . . , n comme coefficients diagonaux. On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonales de Mn (R). n Soit n > 2 un entier et A, B deux matrices appartenant à Mn (R). On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le même ordre de multiplicité. PSI Dans le problème, R désigne l'ensemble des nombres réels ; Mn (R) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. L'espace vectoriel euclidien R n est muni du produit scalaire usuel. On identifie l'espace vectoriel R n et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre n. Filière Partie I - Valeurs propres de AB et BA MATHÉMATIQUES II Préliminaires trs trsés Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2009 - version du 12 mars 2009 10h51 2 2 l'endomorphisme f dans la base B. On admet que ce résultat est encore vrai si A n'est pas inversible. I.C - On suppose que A est inversible. On note I la matrice identité d'ordre n. I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA - xA, démontrer que pour tout x réel ou complexe, on a : det(AB - xI) = det(BA - xI). I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou complexes, avec le même ordre de multiplicité. I.B - Soit une valeur propre réelle non nulle de AB, X R n un vecteur propre de AB associé à cette valeur propre . I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls. I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA. I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles. I.A - Cas de la valeur 0. I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, det(AB) = 0. I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur propre de BA. Page 1/3 En particulier, si B1 = B2 = B, on note MatB ( f ) = MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de 2 PB1 B2 la matrice de passage de B1 vers B2 . Si f est un endomorphisme de R n , on note MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de l'endomorphisme f par rapport à la base B1 au départ et B2 à l'arrivée, c'est-à-dire la matrice dont les colonnes sont les vecteurs f (e1 ) B , f (e2 ) B , . . . , f (en ) B . Si B est une base de R n , on note (x1 , . . . , xn )B le vecteur de R n de coordonnées (x1 , . . . , xn ) dans la base B. Si B1 = (e1 , e2 , . . . , en ) et B2 = (e1 , e2 , . . . , en ) sont deux bases de R n , on note On peut ainsi écrire le produit scalaire < X, Y > de deux vecteurs p X et Y de R p t sous la forme XY et la norme ||X|| = < X, X > sous la forme tXX. Pour 1 , . . . , n des réels, on note Diag(1 , . . . , n ) Mn (R) la matrice diagonale avec 1 , . . . , n comme coefficients diagonaux. On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonales de Mn (R). n Soit n > 2 un entier et A, B deux matrices appartenant à Mn (R). On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le même ordre de multiplicité. PSI Dans le problème, R désigne l'ensemble des nombres réels ; Mn (R) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. L'espace vectoriel euclidien R n est muni du produit scalaire usuel. On identifie l'espace vectoriel R n et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre n. Filière Partie I - Valeurs propres de AB et BA MATHÉMATIQUES II Préliminaires trs trsés Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2009 Filière PSI -1 0 0 1 . 0 0 III.A - Dans cette section, on utilise les notations et résultats de la partie II. III.A.1) Déterminer le rang de A et calculer tAA. III.A.2) Déterminer les valeurs singulières de A que l'on notera 1 , 2 , 3 avec 1 > 2 > 3 . On note f l'endomorphisme de R3 canoniquement associé à A et B la base canonique de R3 . 1 Dans cette partie, on pose A = 1 0 Partie III - Étude géométrique d'un exemple II.C II.C.1) Soient 1 , . . . , n R + des réels positifs. Démontrer qu'il existe deux matrices Q1 et Q2 dans O(n) telles que : A = Q1 · Diag(1 , . . . , n ) · Q2 1 , . . . , n sont les valeurs singulières de A. II.C.2) Soient A, B Mn (R) deux matrices réelles. Démontrer que : A et B ont les mêmes valeurs singulières (R1 , R2 ) O(n)2 , A = R1 BR2 . II.B - On rappelle que A = MatB ( f ) et tAA = MatB (g) et dans cette section, on note = rg (tAA) = rg (g). II.B.1) Justifier l'existence d'une base orthonormée de R n notée B1 = (X1 , . . . , Xn ) telle que : · Pour tout entier i [1, ], tAAXi = i Xi ; · (X+1 , . . . , Xn ) soit une base de Ker f . II.B.2) Démontrer que la famille (AX1 , . . . , AX ) est une famille orthogonale de vecteurs non nuls et une base de Im ( f ). II.B.3) Pour tout entier i [1, ], calculer ||AXi ||. II.B.4) Démontrer qu'il existe une base orthonormée B2 de R n telle que MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , . . . , n ). II.B.5) Démontrer qu'il existe deux matrices orthogonales P1 , P2 O(n) telles que A = P1 · Diag(1 , . . . , n ) · P2 . Page 2/3 On suppose par la suite que 1 , . . . , r sont non nuls et donc r+1 = · · · = n = 0. II.A.5) a) En utilisant tAA = PD tP, démontrer qu'on peut écrire D sous la forme tMM, avec M Mn (R). b) Démontrer que 1 , . . . , n [0, +[. Pour i p {1, . . . , n}, on appelle « valeurs singulières de A » les n nombres i définis par i = i . II.A.6) Soient U, V O(n). Démontrer que les valeurs singulières de U AV sont exactement celles de A. II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose que A Mn (R) est une matrice symétrique réelle. Déterminer les valeurs singulières de A en fonction des valeurs propres de A. II.A - Diagonalisation de AtA et de tAA. II.A.1) a) Démontrer que pour tout X R n , AX = 0 = tAAX = 0. b) On suppose que X R n est tel que tAAX = 0. Calculer tX tAAX et en déduire que AX = 0. c) En déduire que Ker g = Ker f puis que rg(A) = rg (tAA). II.A.2) Démontrer que tAA et A tA sont deux matrices symétriques. II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu'il existe P, Q O(n) et D Mn (R) diagonale telles que t AA = PD tP et A tA = QD tQ On pose D = Diag(1 , . . . , n ) II.A.4) Démontrer que D possède exactement r termes diagonaux non nuls. Dans cette partie II, on fixe un entier n, n > 2, une matrice A appartenant à Mn (R) et on pose r = rg (A). On note f et g les deux endomorphismes de R n dont les matrices dans la base canonique B sont respectivement A et tAA. Partie II - Valeurs singulières d'une matrice MATHÉMATIQUES II Filière PSI -1 0 0 1 . 0 0 III.A - Dans cette section, on utilise les notations et résultats de la partie II. III.A.1) Déterminer le rang de A et calculer tAA. III.A.2) Déterminer les valeurs singulières de A que l'on notera 1 , 2 , 3 avec 1 > 2 > 3 . On note f l'endomorphisme de R3 canoniquement associé à A et B la base canonique de R3 . 1 Dans cette partie, on pose A = 1 0 Partie III - Étude géométrique d'un exemple II.C II.C.1) Soient 1 , . . . , n R + des réels positifs. Démontrer qu'il existe deux matrices Q1 et Q2 dans O(n) telles que : A = Q1 · Diag(1 , . . . , n ) · Q2 1 , . . . , n sont les valeurs singulières de A. II.C.2) Soient A, B Mn (R) deux matrices réelles. Démontrer que : A et B ont les mêmes valeurs singulières (R1 , R2 ) O(n)2 , A = R1 BR2 . II.B - On rappelle que A = MatB ( f ) et tAA = MatB (g) et dans cette section, on note = rg (tAA) = rg (g). II.B.1) Justifier l'existence d'une base orthonormée de R n notée B1 = (X1 , . . . , Xn ) telle que : · Pour tout entier i [1, ], tAAXi = i Xi ; · (X+1 , . . . , Xn ) soit une base de Ker f . II.B.2) Démontrer que la famille (AX1 , . . . , AX ) est une famille orthogonale de vecteurs non nuls et une base de Im ( f ). II.B.3) Pour tout entier i [1, ], calculer ||AXi ||. II.B.4) Démontrer qu'il existe une base orthonormée B2 de R n telle que MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , . . . , n ). II.B.5) Démontrer qu'il existe deux matrices orthogonales P1 , P2 O(n) telles que A = P1 · Diag(1 , . . . , n ) · P2 . Page 2/3 On suppose par la suite que 1 , . . . , r sont non nuls et donc r+1 = · · · = n = 0. II.A.5) a) En utilisant tAA = PD tP, démontrer qu'on peut écrire D sous la forme tMM, avec M Mn (R). b) Démontrer que 1 , . . . , n [0, +[. Pour i p {1, . . . , n}, on appelle « valeurs singulières de A » les n nombres i définis par i = i . II.A.6) Soient U, V O(n). Démontrer que les valeurs singulières de U AV sont exactement celles de A. II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose que A Mn (R) est une matrice symétrique réelle. Déterminer les valeurs singulières de A en fonction des valeurs propres de A. II.A - Diagonalisation de AtA et de tAA. II.A.1) a) Démontrer que pour tout X R n , AX = 0 = tAAX = 0. b) On suppose que X R n est tel que tAAX = 0. Calculer tX tAAX et en déduire que AX = 0. c) En déduire que Ker g = Ker f puis que rg(A) = rg (tAA). II.A.2) Démontrer que tAA et A tA sont deux matrices symétriques. II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu'il existe P, Q O(n) et D Mn (R) diagonale telles que t AA = PD tP et A tA = QD tQ On pose D = Diag(1 , . . . , n ) II.A.4) Démontrer que D possède exactement r termes diagonaux non nuls. Dans cette partie II, on fixe un entier n, n > 2, une matrice A appartenant à Mn (R) et on pose r = rg (A). On note f et g les deux endomorphismes de R n dont les matrices dans la base canonique B sont respectivement A et tAA. Partie II - Valeurs singulières d'une matrice MATHÉMATIQUES II Partie IV - Image de la sphère unité y2 y2 y2 y = (y1 , y2 , y3 )B S 12 + 22 + 32 = 1 1 2 3 IV.A.3) Préciser la nature géométrique de S . Filière PSI · · · FIN · · · V.E - Soit Y R n fixé. On considère le système linéaire AX = Y, où X R n est l'inconnu. On suppose que ce système n'a pas de solution et, à défaut, on recherche les vecteurs X tels que la norme de Y - AX soit minimale. Démontrer que X = A+ Y est l'un de ces vecteurs. V.D - Démontrer que Im ( f ) = Im (h). V.C - On note f et h les endomorphismes R n dont les matrices dans la base canonique sont respectivement A et P. Démontrer que h est un projecteur orthogonal dont on donnera le rang. V.B - Simplifier le produit matriciel AA+ et en déduire que, si A est une matrice inversible, A+ = A-1 . V.A - Démontrer que rg(A) = p. On pose P = AA+ . On définit le pseudo-inverse A+ de A par 1, 1, , + t , , ··· 0 · · · 0 · t Q1 A = Q2 · Diag 1 p forme A = Q1 · Diag(1 , . . . , p , 0, . . . , 0) · Q2 , où Q1 , Q2 O(n) sont deux matrices orthogonales et 1 , . . . , p des réels strictement positifs. Soit n un entier, n > 2 et A Mn (R), qu'on écrit, comme dans la Partie II, sous la Partie V - Pseudo-inverse d'une matrice IV.B Dans cette section, on suppose que rg (A) = 1. IV.B.1) Démontrer qu'une seule des valeurs singulières de A est non nulle. On la note 1 . IV.B.2) Démontrer que S est un segment dont on donnera la longueur. Page 3/3 IV.A Dans cette section on suppose que rg (A) = 3. IV.A.1) Démontrer que A admet trois valeurs singulières 1 , 2 , 3 strictement positives, distinctes ou non. IV.A.2) Démontrer qu'il existe une base orthonormée de R3 notée B telle que : Dans cette partie, comme dans la Partie III, A est une matrice de M3 (R) et on étudie S l'ensemble S = {AX ; X R3 , ||X|| = 1}. III.B.2) III.B.3) Démontrer que S = {QDX , X R3 , ||X || = 1}. Démontrer que dans une base adaptée B à déterminer, 2 y2 y1 + 22 6 1 2 y = (y1 , y2 , y3 )B S 2 1 y3 = 0 III.B.4) Préciser la nature géométrique de l'ensemble S. S = {AX ; X R3 , ||X|| = 1} = { f (x) ; x R3 , ||x|| = 1}. C'est donc l'ensemble décrit par f (x) quand x décrit l'ensemble des vecteurs de norme 1 (sphère unité de R3 ). III.B.1) Démontrer que S est une partie d'un plan dont on déterminera une base et une équation cartésienne. III.B - On étudie la partie S de R3 définie par III.A.5) Démontrer que A = PB B2 · Diag(1 , 2 , 3 ) · tPB B1 . On pose pour la suite P = PB B1 , Q = PB B2 et D = Diag(1 , 2 , 3 ). III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de tAA que l'on notera B1 = (X1 , X2 , X3 ). On rangera les vecteurs dans l'ordre décroissant des valeurs propres correspondantes. III.A.4) Déterminer une base orthonormée B2 = (Y1 , Y2 , Y3 ) telle que MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , 2 , 3 ). MATHÉMATIQUES II Partie IV - Image de la sphère unité y2 y2 y2 y = (y1 , y2 , y3 )B S 12 + 22 + 32 = 1 1 2 3 IV.A.3) Préciser la nature géométrique de S . Filière PSI · · · FIN · · · V.E - Soit Y R n fixé. On considère le système linéaire AX = Y, où X R n est l'inconnu. On suppose que ce système n'a pas de solution et, à défaut, on recherche les vecteurs X tels que la norme de Y - AX soit minimale. Démontrer que X = A+ Y est l'un de ces vecteurs. V.D - Démontrer que Im ( f ) = Im (h). V.C - On note f et h les endomorphismes R n dont les matrices dans la base canonique sont respectivement A et P. Démontrer que h est un projecteur orthogonal dont on donnera le rang. V.B - Simplifier le produit matriciel AA+ et en déduire que, si A est une matrice inversible, A+ = A-1 . V.A - Démontrer que rg(A) = p. On pose P = AA+ . On définit le pseudo-inverse A+ de A par 1, 1, , + t , , ··· 0 · · · 0 · t Q1 A = Q2 · Diag 1 p forme A = Q1 · Diag(1 , . . . , p , 0, . . . , 0) · Q2 , où Q1 , Q2 O(n) sont deux matrices orthogonales et 1 , . . . , p des réels strictement positifs. Soit n un entier, n > 2 et A Mn (R), qu'on écrit, comme dans la Partie II, sous la Partie V - Pseudo-inverse d'une matrice IV.B Dans cette section, on suppose que rg (A) = 1. IV.B.1) Démontrer qu'une seule des valeurs singulières de A est non nulle. On la note 1 . IV.B.2) Démontrer que S est un segment dont on donnera la longueur. Page 3/3 IV.A Dans cette section on suppose que rg (A) = 3. IV.A.1) Démontrer que A admet trois valeurs singulières 1 , 2 , 3 strictement positives, distinctes ou non. IV.A.2) Démontrer qu'il existe une base orthonormée de R3 notée B telle que : Dans cette partie, comme dans la Partie III, A est une matrice de M3 (R) et on étudie S l'ensemble S = {AX ; X R3 , ||X|| = 1}. III.B.2) III.B.3) Démontrer que S = {QDX , X R3 , ||X || = 1}. Démontrer que dans une base adaptée B à déterminer, 2 y2 y1 + 22 6 1 2 y = (y1 , y2 , y3 )B S 2 1 y3 = 0 III.B.4) Préciser la nature géométrique de l'ensemble S. S = {AX ; X R3 , ||X|| = 1} = { f (x) ; x R3 , ||x|| = 1}. C'est donc l'ensemble décrit par f (x) quand x décrit l'ensemble des vecteurs de norme 1 (sphère unité de R3 ). III.B.1) Démontrer que S est une partie d'un plan dont on déterminera une base et une équation cartésienne. III.B - On étudie la partie S de R3 définie par III.A.5) Démontrer que A = PB B2 · Diag(1 , 2 , 3 ) · tPB B1 . On pose pour la suite P = PB B1 , Q = PB B2 et D = Diag(1 , 2 , 3 ). III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de tAA que l'on notera B1 = (X1 , X2 , X3 ). On rangera les vecteurs dans l'ordre décroissant des valeurs propres correspondantes. III.A.4) Déterminer une base orthonormée B2 = (Y1 , Y2 , Y3 ) telle que MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , 2 , 3 ). MATHÉMATIQUES II

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 Centrale Maths 2 PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Grandpierre (ENS Cachan) ; il a été relu par Julien Reygner (École Polytechnique) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet d'algèbre bilinéaire introduit la notion de valeur singulière d'une matrice, puis des applications à la géométrie et à la résolution approchée d'un système linéaire. Il fait appel à la réduction de matrices symétriques à l'aide d'une matrice de passage orthogonale. · La première partie est consacrée à la comparaison des valeurs propres de AB et de BA, où A et B sont deux matrices carrées à coefficients réels. Après une approche initiale reposant sur la manipulation directe des vecteurs propres, on utilise finalement les polynômes caractéristiques. t t · Dans la deuxième partie, coeur du sujet, on étudie les matrices A A et A A afin d'introduire la notion de valeur singulière d'une matrice A. Pour cela, on réduit d'abord t A A à l'aide d'une matrice de passage orthogonale, puis on démontre la positivité de ses valeurs propres. Les valeurs singulières de A sont t les racines carrées des valeurs propres de A A. Cette partie s'achève sur un critère indiquant si deux matrices possèdent les mêmes valeurs singulières. · La partie III est consacrée à l'étude d'un cas particulier, dans lequel A est une matrice de M3 (R) de rang 2 donnée. Dans un premier temps, on détermine explicitement les valeurs singulières et les matrices orthogonales utilisées en suivant le même cheminement que dans la partie II. Dans un second temps, on étudie l'image de la sphère unité par A en déterminant une équation de cet ensemble. · Dans la partie IV, l'étude de l'image de la sphère unité est reprise, dans le cas où A est une matrice de M3 (R) de rang 1 ou 3. · Enfin, dans la partie V, on fait usage des valeurs singulières d'une matrice pour définir une matrice notée A+ et dite pseudo-inverse de la matrice A. Concrètement, le produit de A avec sa pseudo-inverse est un projecteur dont le rang est égal à celui de A. Une application remarquable est l'utilisation de ces matrices pour obtenir une solution approchée d'un système linéaire. En effet, à défaut de résoudre exactement un système AX = Y pour A Mn (R), X, Y Rn , on peut chercher les vecteurs X Rn minimisant la norme de Y - AX. Poser X = A+ Y convient. Ce problème d'algèbre bilinéaire, certes assez long, constitue une excellente mise en oeuvre de la réduction des endomorphismes symétriques. La variété des applications, essentiellement géométriques, est appréciable. Indications I. Valeurs propres de AB et BA I.B.1 Utiliser la définition d'un vecteur propre pour le premier vecteur, puis raisonner par l'absurde pour le second. I.B.3 Procéder par inclusion, puis échanger les rôles de A et B dans les questions précédentes. I.C.2 Comparer les polynômes caractéristiques de ces deux matrices. Faire le lien entre les racines (et leur multiplicité) du polynôme caractéristique d'une matrice et ses valeurs propres. II. Valeurs singulières d'une matrice II.A.1.c Utiliser les deux questions précédentes et penser au théorème du rang. II.A.3 Utiliser la question précédente ainsi que le théorème de diagonalisation des t t matrices symétriques pour A A, puis pour A A. En utilisant la partie I, comparer les valeurs propres de ces deux matrices (il peut s'avérer judicieux de ranger les valeurs propres dans l'ordre croissant). Conclure. II.A.4 Faire le lien entre le nombre de termes diagonaux non nuls de D et son rang. II.A.5.b Expliciter les termes diagonaux de D à partir de l'expression obtenue à la question précédente. II.A.7 Diagonaliser A à l'aide d'une matrice orthogonale puis calculer t A A. II.B.1 Reformuler la réponse à la question II.A.3 et faire le lien entre Ker f et Ker g. II.B.4 Calculer les vecteurs colonnes AXi , et utiliser les questions II.B.2 et II.B.3. II.C.1 Récapituler la démarche suivie dans la partie II.B. II.C.2 Utiliser la question II.A.6. III. Étude géométrique d'un exemple III.A.4 On peut s'inspirer largement de la question II.B.4. III.B.1 Expliciter les coordonnées de Y S en fonction de celles de X, sans tenir compte de la condition kXk = 1. III.B.2 Procéder par double inclusion en utilisant l'écriture de la question III.A.5. III.B.3 Obtenir une relation entre l'écriture de y dans une base B et l'écriture de y sous la forme QDX avec kX k = 1. Calculer la matrice QD et construire B à l'aide de vecteurs colinéaires aux vecteurs colonnes de QD. IV. Image de la sphère unité IV.A.2 Procéder comme à la question III.B.3. IV.B.2 Procéder également comme à la question III.B.3. V. Pseudo-inverse d'une matrice V.B Obtenir AA sous forme d'un produit de trois matrices : une matrice orthogonale, une diagonale avec des 0 et des 1 sur la diagonale et la transposée de la première matrice. V.C Utiliser la caractérisation matricielle des endomorphismes autoadjoints. V.E Reformuler la question en terme de projecteur orthogonal et utiliser la question précédente. + Le rapport du jury note que « le sujet comporte des parties "faciles", découlant directement des définitions ou de théorèmes classiques du cours, notamment toute la première partie et le début de la seconde. Les notes sont donc, en moyenne, relativement élevées. Les parties III, IV et V sont, en revanche, plus difficiles et permettent de bien sélectionner les bons candidats (moins d'un sur cent a pu aborder l'ensemble du sujet). » Le jury précise que ces parties étaient plus « techniques » et que « les candidats devaient montrer leurs capacités à mener un calcul maîtrisé ». Finalement, « l'écarttype est donc important, environ le tiers de la moyenne ; ce qui permet à l'épreuve d'être "discriminante". Les très bons candidats font preuve, tout à la fois de maîtrise du cours dans son ensemble et de compréhension des enjeux. » Le jury regrette en revanche avoir vu « dans d'autres copies des fautes de raisonnement grossières et des erreurs portant sur des notions de base ; certains candidats n'hésitent pas à "inventer" des théorèmes (faux) qui donnent miraculeusement réponse à la question qu'ils ne savent résoudre. » Attention également à la présentation de votre copie. Le jury déplore la qualité de « l'orthographe, très souvent lamentable, qui peut changer le sens d'une assertion » et se demande à juste titre ce que sera « la crédibilité, voire la compréhensibilité des rapports de ces futurs ingénieurs »... Enfin, ne compliquez pas le travail de votre correcteur : « numérote[z] les pages ou les feuilles et écri[vez] le numéro de la question traitée, par exemple II.A.3.a ; un a, tout seul, en haut d'une nouvelle feuille non numérotée, oblige le correcteur à faire une enquête minutieuse et fastidieuse ». I. Valeurs propres de AB et BA I.A.1 Supposons que 0 est valeur propre de AB. En d'autres termes, il existe X Rn , X 6= 0, tel que AB X = 0. Notons g l'endomorphisme de Rn canoniquement associé à la matrice AB et x Rn l'élément canoniquement associé à X. Ce qui précède implique que g(x) = 0 avec x 6= 0, en particulier g n'est pas injectif, donc pas bijectif. Matriciellement, cela signifie que AB n'est pas inversible et finalement det(AB) = 0. Inversement, supposons que det(AB) = 0, alors AB n'est pas inversible. Soit g l'endomorphisme de Rn canoniquement associé à la matrice AB. Rn étant de dimension finie et g étant un endomorphisme de Rn , g non inversible équivaut à g non injectif. Ainsi, il existe x Rn , x 6= 0, tel que g(x) = 0. Matriciellement, cela signifie qu'il existe X Rn tel que AB X = 0 et, par définition, cela veut dire que 0 est valeur propre de AB. Finalement, on a montré l'équivalence : 0 est valeur propre de AB si et seulement si det(AB) = 0. « 0 est valeur propre d'un endomorphisme g » signifie que Ker g 6= {0}. Notons également qu'en dimension finie, l'inversibilité, l'injectivité et la surjectivité d'un endomorphisme sont équivalentes. Le rapport du jury rappelle que « sur le corps des réels, les polynômes ne sont pas tous scindés ; par conséquent le déterminant n'est pas le produit des valeurs propres. » I.A.2 D'après la question précédente, 0 est valeur propre de AB si et seulement si det(AB) = 0. En échangeant les rôles de A et B, on déduit que 0 est valeur propre de BA si et seulement si det(BA) = 0. Or, det(AB) = det(A) det(B) = det(B) det(A) = det(BA) si bien que det(AB) = 0 si et seulement si det(BA) = 0. Par conséquent, 0 est valeur propre de AB si et seulement si 0 est valeur propre de BA. Rappel du cours : le déterminant est multiplicatif. Pour toutes matrices A, B Mn (R), det(AB) = det(A) det(B). Le rapport du jury note que « l'affirmation "det(AB) = det(BA) par propriété du déterminant" dans de nombreuses copies est un peu succinte et que le correcteur aimerait que le candidat précise de quelle propriété il s'agit. » I.B.1 Par hypothèse, X Rn est vecteur propre de AB associé à la valeur propre réelle non nulle . En particulier, X 6= 0 et AB X = (AB)X = |{z} |{z} X 6= 0 6=0 6=0 Le vecteur AB X est non nul. Supposons ensuite par l'absurde que BX = 0. Alors, nécessairement, AB X = A(BX) = A0 = 0 ce qui contredit la conclusion précédente. Le vecteur BX est lui aussi non nul. Dans la définition d'un vecteur propre, ne pas oublier que le vecteur doit être non nul ; c'est primordial. I.B.2 On vient de montrer que le vecteur BX est non nul. Il suffit maintenant de calculer (BA)(BX) = B (AB)X = B(X) = BX BX est vecteur propre de BA associé à la valeur propre . I.B.3 Procédons par double inclusion. Soit une valeur propre réelle de AB, et X Rn un vecteur propre associé. D'après la question I.A.2, si = 0, est aussi valeur propre de BA. Sinon, on a montré dans la réponse à la question I.B.2 que est valeur propre réelle non nulle de BA (associée au vecteur non nul BX). Par conséquent, le spectre réel de AB est inclus dans le spectre réel de BA. En échangeant maintenant les rôles de A et de B, on montre que le spectre réel de BA est inclus dans le spectre réel de AB. Ainsi, AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles.