Centrale Maths 2 PSI 2008

Thème de l'épreuve Distance d'un sous-espace de matrices 3×3 au groupe orthogonal
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, matrices symétriques, topologie, quadriques
Mots clefs norme, groupe orthogonal, décomposition polaire, distance, diagonalisation

Corrigé

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- version du 19 fevrier 2008 17h4 MATHÉMATIQUES II AP, BQ inf kA - Bk I.C - Demontrer que l'application M 7 kM k, de M3 (R) dans R est continue. Filière PSI En appliquant la methode decrite ci-dessus determiner U O3 (R) et S S3+ (R) telles que M = U S. II.D - Etude d'un exemple 1 0 0 On considere la matrice M = 0 1 - 2. 2 0 0 On admettra que le resultat reste vrai si M est non inversible, c'est-a-dire : « Si M M3 (R), il existe U O3 (R) et S S3+ (R), telles que M = U S (decomposition polaire) ». II.C - Demontrer que si M est inversible, il existe U O3 (R) telle que M = U S. II.B - Demontrer qu'il existe S M3 (R) symetrique a valeurs propres positives telle que tM M = S 2 . II.A - Demontrer que tM M est symetrique a valeurs propres positives. Soit M M3 (R). Partie II - Decomposition polaire I.F - Soit P un sous-espace vectoriel de M3 (R). Si r R+ , on pose Br = M M3 (R) kM k 6 r . I.F.1) Demontrer qu'il existe r > 0 tel que d P, O3 (R) = d P Br , O3 (R) . I.F.2) Demontrer qu'il existe A P telle que d P, O3 (R) = d A, O3 (R) . I.E - Soit l'application de M3 (R) dans R definie par (M ) = d(M, O3 (R)). I.E.1) Soient M, N M3 (R). Demontrer que : U O3 (R), d M, O3 (R) 6 kN - U k + kN - M k, puis que : d M, O3 (R) 6 d N, O3 (R) + kN - M k. I.E.2) En deduire que est continue. I.D - Soit A M3 (R). Demontrer qu'il existe U O3 (R) tel que d A, O3 (R) = kA - U k. Page 1/3 I.B - Demontrer que O3 (R) est une partie bornee. En deduire que O3 (R) est un compact de M3 (R). I.A - Si A O3 (R), calculer kAk. Partie I - Generalites sur les distances AP On a aussi (et on l'admettra) d(P, Q) = inf d(A, Q). d(P, Q) = · Si P et Q sont deux parties non vides de M3 (R), la distance entre P et Q est : BP · Si A M3 (R), et P est une partie non vide de M3 (R), la distance de A a P est, par definition : d(A, P ) = inf kA - Bk · On note O3 (R) le groupe des matrices orthogonales, S3 (R) l'espace des matrices symetriques, et S3+ (R) l'ensemble des matrices symetriques positives de M3 (R), c'est-a-dire des matrices symetriques dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles. · On note k k la norme associee : kAk = hA, Ai. i=1 j=1 2 a 0 0 · On designe la matrice 0 b 0 par la notation diag(a, b, c). Ainsi diag(1, 1, 1) 0 0 c est la matrice identite I3 . · L'espace vectoriel des matrices reelles 3 × 3, note M3 (R) est muni du produit 3 X 3 X t scalaire usuel hA, Bi = T r ( A)B = ai,j bi,j . Notations et definitions Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2008 - version du 19 fevrier 2008 17h4 MATHÉMATIQUES II AP, BQ inf kA - Bk I.C - Demontrer que l'application M 7 kM k, de M3 (R) dans R est continue. Filière PSI En appliquant la methode decrite ci-dessus determiner U O3 (R) et S S3+ (R) telles que M = U S. II.D - Etude d'un exemple 1 0 0 On considere la matrice M = 0 1 - 2. 2 0 0 On admettra que le resultat reste vrai si M est non inversible, c'est-a-dire : « Si M M3 (R), il existe U O3 (R) et S S3+ (R), telles que M = U S (decomposition polaire) ». II.C - Demontrer que si M est inversible, il existe U O3 (R) telle que M = U S. II.B - Demontrer qu'il existe S M3 (R) symetrique a valeurs propres positives telle que tM M = S 2 . II.A - Demontrer que tM M est symetrique a valeurs propres positives. Soit M M3 (R). Partie II - Decomposition polaire I.F - Soit P un sous-espace vectoriel de M3 (R). Si r R+ , on pose Br = M M3 (R) kM k 6 r . I.F.1) Demontrer qu'il existe r > 0 tel que d P, O3 (R) = d P Br , O3 (R) . I.F.2) Demontrer qu'il existe A P telle que d P, O3 (R) = d A, O3 (R) . I.E - Soit l'application de M3 (R) dans R definie par (M ) = d(M, O3 (R)). I.E.1) Soient M, N M3 (R). Demontrer que : U O3 (R), d M, O3 (R) 6 kN - U k + kN - M k, puis que : d M, O3 (R) 6 d N, O3 (R) + kN - M k. I.E.2) En deduire que est continue. I.D - Soit A M3 (R). Demontrer qu'il existe U O3 (R) tel que d A, O3 (R) = kA - U k. Page 1/3 I.B - Demontrer que O3 (R) est une partie bornee. En deduire que O3 (R) est un compact de M3 (R). I.A - Si A O3 (R), calculer kAk. Partie I - Generalites sur les distances AP On a aussi (et on l'admettra) d(P, Q) = inf d(A, Q). d(P, Q) = · Si P et Q sont deux parties non vides de M3 (R), la distance entre P et Q est : BP · Si A M3 (R), et P est une partie non vide de M3 (R), la distance de A a P est, par definition : d(A, P ) = inf kA - Bk · On note O3 (R) le groupe des matrices orthogonales, S3 (R) l'espace des matrices symetriques, et S3+ (R) l'ensemble des matrices symetriques positives de M3 (R), c'est-a-dire des matrices symetriques dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles. · On note k k la norme associee : kAk = hA, Ai. i=1 j=1 2 a 0 0 · On designe la matrice 0 b 0 par la notation diag(a, b, c). Ainsi diag(1, 1, 1) 0 0 c est la matrice identite I3 . · L'espace vectoriel des matrices reelles 3 × 3, note M3 (R) est muni du produit 3 X 3 X t scalaire usuel hA, Bi = T r ( A)B = ai,j bi,j . Notations et definitions Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2008 - version du 19 fevrier 2008 17h4 MATHÉMATIQUES II AP, BQ inf kA - Bk I.C - Demontrer que l'application M 7 kM k, de M3 (R) dans R est continue. Filière PSI En appliquant la methode decrite ci-dessus determiner U O3 (R) et S S3+ (R) telles que M = U S. II.D - Etude d'un exemple 1 0 0 On considere la matrice M = 0 1 - 2. 2 0 0 On admettra que le resultat reste vrai si M est non inversible, c'est-a-dire : « Si M M3 (R), il existe U O3 (R) et S S3+ (R), telles que M = U S (decomposition polaire) ». II.C - Demontrer que si M est inversible, il existe U O3 (R) telle que M = U S. II.B - Demontrer qu'il existe S M3 (R) symetrique a valeurs propres positives telle que tM M = S 2 . II.A - Demontrer que tM M est symetrique a valeurs propres positives. Soit M M3 (R). Partie II - Decomposition polaire I.F - Soit P un sous-espace vectoriel de M3 (R). Si r R+ , on pose Br = M M3 (R) kM k 6 r . I.F.1) Demontrer qu'il existe r > 0 tel que d P, O3 (R) = d P Br , O3 (R) . I.F.2) Demontrer qu'il existe A P telle que d P, O3 (R) = d A, O3 (R) . I.E - Soit l'application de M3 (R) dans R definie par (M ) = d(M, O3 (R)). I.E.1) Soient M, N M3 (R). Demontrer que : U O3 (R), d M, O3 (R) 6 kN - U k + kN - M k, puis que : d M, O3 (R) 6 d N, O3 (R) + kN - M k. I.E.2) En deduire que est continue. I.D - Soit A M3 (R). Demontrer qu'il existe U O3 (R) tel que d A, O3 (R) = kA - U k. Page 1/3 I.B - Demontrer que O3 (R) est une partie bornee. En deduire que O3 (R) est un compact de M3 (R). I.A - Si A O3 (R), calculer kAk. Partie I - Generalites sur les distances AP On a aussi (et on l'admettra) d(P, Q) = inf d(A, Q). d(P, Q) = · Si P et Q sont deux parties non vides de M3 (R), la distance entre P et Q est : BP · Si A M3 (R), et P est une partie non vide de M3 (R), la distance de A a P est, par definition : d(A, P ) = inf kA - Bk · On note O3 (R) le groupe des matrices orthogonales, S3 (R) l'espace des matrices symetriques, et S3+ (R) l'ensemble des matrices symetriques positives de M3 (R), c'est-a-dire des matrices symetriques dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles. · On note k k la norme associee : kAk = hA, Ai. i=1 j=1 2 a 0 0 · On designe la matrice 0 b 0 par la notation diag(a, b, c). Ainsi diag(1, 1, 1) 0 0 c est la matrice identite I3 . · L'espace vectoriel des matrices reelles 3 × 3, note M3 (R) est muni du produit 3 X 3 X t scalaire usuel hA, Bi = T r ( A)B = ai,j bi,j . Notations et definitions Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2008 2 2i ! - 2hU, Di + 3. Filière PSI Soit A V. En considerant les valeurs propres de t AA, demontrer l'inegalite : d(V, O3 (R)) > 1. Calculer d(I3 , V), puis en deduire la valeur de d V, O3 (R) . (a, b, c, d, e, f ) R6 . · AV · B orthogonale a I3 - D 1 · C = diag(-a2 - b2 , -a2 - c2 , -b2 - c2 ). 2 Dans la suite, est la fonction apparaissant dans ce developpement limite de f . IV.E - Justifier que : I3 + t2 B + C + (t) - D > kI3 - Dk. t0 IV.D - Demontrer que f a un developpement limite du type : f (t) = I3 + tA + t2 (B + C) + t2 (t) avec (t) -- 0 ou A, B, C M3 (R) verifient : a, b, c sont ainsi fixes pour la suite, et on pose f : t R 7 R1 (at)R2 (bt)R3 (ct). IV.C - Verifier que R1 (0), R2 (0), R3 (0) est une famille libre formee de matrices orthogonales a I3 - D. Demontrer qu'il existe a, b, c R non tous nuls tels que aR1 (0)+bR2 (0)+cR3 (0) V. IV.B - Comparer (D - I3 ) et V. cos(t) - sin(t) 0 cos(t) 0 - sin(t) 1 0 , Pour t R, on note R1 (t) = sin(t) cos(t) 0, R2 (t) = 0 0 0 1 sin(t) 0 cos(t) 1 0 0 et R3 (t) = 0 cos(t) - sin(t). 0 sin(t) cos(t) A l'aide de la partie III, on se ramene au cas ou d V, O3 (R) = kD - I3 k, avec + D = diag(x, y, z) V, et x, y, z R . On suppose D 6= I3 , sinon, d V, O3 (R) = 0, et l'inegalite est vraie. Dans toute la suite du probleme V designe un sous-espace vectoriel de dimension 6 quelconque de M3 (R). On se propose de demontrer que d V, O3 (R) 6 1. IV.A.2) IV.A.1) 0 0 0 Partie IV - Cas d'un sous-espace de dimension 6 a b IV.A - Dans cette question seulement, V = c d e f Page 2/3 III.C - Etude d'un exemple 1 0 0 Pour la matrice M = 0 1 - 2 definie dans la question II.D, calculer la 2 0 0 distance d M, O3 (R) . En deduire que d D, O3 (R) = kD - I3 k . III.B.3) i=1 i=1 i . Si U O3 (R), montrer que hU, Di 6 3 X Si U O3 (R), montrer que kD - U k = III.B.2) III.B.1) 3 X III.B - Soit D = diag(1 , 2 , 3 ), ou les i sont dans R+ . · Il existe D = diag(1 , 2 , 3) W ou les i sont dans R+ , telle que d W, O3 (R) = d D, O3 (R) . · d W, O3 (R) = d V, O3 (R) · dim(W) = dim(V) III.A.2) En deduire que si V est un sous-espace vectoriel de M3 (R), il existe W sous-espace vectoriel de M3 (R) verifiant : Soient A M3 (R) et U O3 (R). Demontrer que kU Ak = kAU k = kAk. En deduire que, pour tout A M3 (R), il existe une matrice D diagonale a coefficients positifs telle que : d A, O3 (R) = d D, O3 (R) . III.A III.A.1) Partie III - Distance a O3 (R) MATHÉMATIQUES II 2 2i ! - 2hU, Di + 3. Filière PSI Soit A V. En considerant les valeurs propres de t AA, demontrer l'inegalite : d(V, O3 (R)) > 1. Calculer d(I3 , V), puis en deduire la valeur de d V, O3 (R) . (a, b, c, d, e, f ) R6 . · AV · B orthogonale a I3 - D 1 · C = diag(-a2 - b2 , -a2 - c2 , -b2 - c2 ). 2 Dans la suite, est la fonction apparaissant dans ce developpement limite de f . IV.E - Justifier que : I3 + t2 B + C + (t) - D > kI3 - Dk. t0 IV.D - Demontrer que f a un developpement limite du type : f (t) = I3 + tA + t2 (B + C) + t2 (t) avec (t) -- 0 ou A, B, C M3 (R) verifient : a, b, c sont ainsi fixes pour la suite, et on pose f : t R 7 R1 (at)R2 (bt)R3 (ct). IV.C - Verifier que R1 (0), R2 (0), R3 (0) est une famille libre formee de matrices orthogonales a I3 - D. Demontrer qu'il existe a, b, c R non tous nuls tels que aR1 (0)+bR2 (0)+cR3 (0) V. IV.B - Comparer (D - I3 ) et V. cos(t) - sin(t) 0 cos(t) 0 - sin(t) 1 0 , Pour t R, on note R1 (t) = sin(t) cos(t) 0, R2 (t) = 0 0 0 1 sin(t) 0 cos(t) 1 0 0 et R3 (t) = 0 cos(t) - sin(t). 0 sin(t) cos(t) A l'aide de la partie III, on se ramene au cas ou d V, O3 (R) = kD - I3 k, avec + D = diag(x, y, z) V, et x, y, z R . On suppose D 6= I3 , sinon, d V, O3 (R) = 0, et l'inegalite est vraie. Dans toute la suite du probleme V designe un sous-espace vectoriel de dimension 6 quelconque de M3 (R). On se propose de demontrer que d V, O3 (R) 6 1. IV.A.2) IV.A.1) 0 0 0 Partie IV - Cas d'un sous-espace de dimension 6 a b IV.A - Dans cette question seulement, V = c d e f Page 2/3 III.C - Etude d'un exemple 1 0 0 Pour la matrice M = 0 1 - 2 definie dans la question II.D, calculer la 2 0 0 distance d M, O3 (R) . En deduire que d D, O3 (R) = kD - I3 k . III.B.3) i=1 i=1 i . Si U O3 (R), montrer que hU, Di 6 3 X Si U O3 (R), montrer que kD - U k = III.B.2) III.B.1) 3 X III.B - Soit D = diag(1 , 2 , 3 ), ou les i sont dans R+ . · Il existe D = diag(1 , 2 , 3) W ou les i sont dans R+ , telle que d W, O3 (R) = d D, O3 (R) . · d W, O3 (R) = d V, O3 (R) · dim(W) = dim(V) III.A.2) En deduire que si V est un sous-espace vectoriel de M3 (R), il existe W sous-espace vectoriel de M3 (R) verifiant : Soient A M3 (R) et U O3 (R). Demontrer que kU Ak = kAU k = kAk. En deduire que, pour tout A M3 (R), il existe une matrice D diagonale a coefficients positifs telle que : d A, O3 (R) = d D, O3 (R) . III.A III.A.1) Partie III - Distance a O3 (R) MATHÉMATIQUES II 2 2 = kI3 - Dk + 2t2 hI3 - D, Ci + t2 2 (t) · · · FIN · · · IV.J - Demontrer que d(V, O3 (R)) 6 1. Page 3/3 Justifier que E F est un cercle dont on determinera le rayon. Quel est le diametre de E G (c'est-a-dire la distance maximum entre deux de ses points) ? IV.I - Identifier geometriquement les ensembles suivants : x2 + y 2 + z 2 = x + y + z , · E = (x, y, z) R3 x+y =2 , · F = (x, y, z) R3 3 · G = (x, y, z) R x+y >2 . IV.H - Demontrer que x2 + y 2 + z 2 = x + y + z. IV.G - Demontrer que l'un au moins des trois reels 2 - x - y, 2 - y - z, 2 - x - z est negatif ou nul. On suppose pour la suite, ce qui ne change rien, que 2 - x - y 6 0. t0 avec 2 (t) -- 0. Qu'en deduire sur hI3 - D, Ci ? I3 + t2 B + C + (t) - D IV.F - Etablir que : MATHÉMATIQUES II Filière PSI

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 Centrale Maths 2 PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Denis Conduché (ENS Ulm) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). L'objectif de ce problème est l'étude de la distance entre le groupe orthogonal O3 (R) et un sous-espace vectoriel quelconque de dimension 6 de M3 (R) à l'aide, entre autres, de la décomposition polaire. L'espace vectoriel des matrices 3 × 3 est muni du produit scalaire canonique et de la norme euclidienne associée. L'épreuve se compose de quatre parties relativement autonomes ; la partie II peut être traitée indépendamment du reste du sujet. · Dans la première partie, on montre quelques résultats généraux sur les distances. En particulier, si P est un sous-espace vectoriel de M3 (R), la distance de P à O3 (R) est égale à kA-Uk pour un certain couple (A, U) dans P×O3(R). · La deuxième partie s'intéresse à la décomposition polaire. L'existence d'une telle décomposition est démontrée dans le cas d'une matrice inversible, puis on calcule explicitement la décomposition polaire d'une matrice M particulière. · La troisième partie montre que, quitte à considérer un sous-espace vectoriel isomorphe et à la même distance de O3 (R), la distance entre un sous-espace vectoriel arbitraire et O3 (R) est la distance entre une certaine matrice diagonale et la matrice identité. On applique ce résultat à la matrice M de la partie précédente. · La dernière partie s'intéresse au cas d'un sous-espace de dimension 6. À l'aide de matrices de rotations bien choisies, on montre que la distance entre cet espace et O3 (R) est toujours plus petite que 1. Ce sujet donne l'occasion de manipuler des changements de bases et de réaliser quelques calculs explicites sur des matrices 3 × 3. Il ne présente pas de difficulté théorique majeure. Indications Partie I t I.A Utiliser la définition d'une matrice orthogonale : A A = I3 . I.B Une partie fermée et bornée dans un espace vectoriel de dimension finie est compacte. I.C Montrer que l'application est 1-lipschitzienne. I.D Une application continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes. I.E.1 Appliquer l'inégalité triangulaire, puis prendre la borne inférieure. I.E.2 Montrer que est 1-lipschitzienne. I.F.1 Écrire la définition d'une borne inférieure, puis utiliser le résultat de la question I.D. I.F.2 Même indication qu'à la question I.D. Partie II II.A Si X est un vecteur propre de t M M pour la valeur propre , remarquer que kMXk2 = kXk2 . II.B Une matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée. II.C Remarquer que M est une matrice diagonale par blocs, il suffit donc de décomposer chacun des blocs. Partie III III.A.1 Utiliser la décomposition polaire obtenue lors de la réponse à la question II.C, puis diagonaliser la matrice symétrique dans une base orthonormée. III.A.2 Se ramener à la question précédente en utilisant le résultat obtenu en I.F.2. III.B.1 Se souvenir que kAk2 = hA | Ai. III.B.2 Un calcul explicite suffit, en sachant que les coefficient d'une matrice orthogonale sont tous plus petit que 1. III.B.3 L'opposé d'un maximum est le minimum des opposés. Partie IV IV.A.1 À l'aide des questions précédentes, se ramener à l'étude de kD - I3 k. IV.A.2 L'identité est un élément de O3 (R). IV.B Le point qui réalise la distance à un sous-espace vectoriel est le projeté orthogonal sur ce sous-espace. IV.C Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel engendré par V et par les matrices Ri (0). IV.D Un simple développement limité de f à l'ordre 2 suffit. IV.E Noter que d(V , O3 (R)) = kD - I3 k. IV.G Expliciter en fonction de x, y et z le produit scalaire hI3 - D, Ci. IV.I Pour calculer le diamètre de E G, montrer que le centre de E n'est pas dans G. Par conséquent deux points à distance maximale seront dans E F. IV.J Faire la synthèse des résultats des questions IV.G, IV.H, IV.I. Le rapport du jury souligne que ce sujet traite « une partie essentielle du programme ». « Le problème est très bien gradué et débute par une première partie "facile", application directe du cours pour terminer par une quatrième partie beaucoup plus "géométrique" qui exige des qualités de compréhension et qui n'a été abordée, pour les questions difficiles, que par un nombre très restreint d'élèves. » En conclusion, le jury « pense que ce sujet a très bien rempli son rôle. L'écart-type est particulièrement important et les bonnes copies qui révèlent compréhension et connaissances obtiennent des notes en correspondance avec les qualités manifestées ». En effet, « les très bons candidats font preuve tout à la fois de maîtrise du cours dans son ensemble et de compréhension des enjeux du sujet proposé. » En revanche, le jury déplore « dans d'autres copies des fautes de raisonnement grossières et des erreurs portant sur des notions de base qui révèlent une incompréhension totalte de concepts élémentaires » et recommande de ne pas se « réfugi[er] dans une argumentation fausse dès la première ligne sans se préoccuper de la moindre vraisemblance ». La première partie a « largement été abordée par la plupart des candidats et s'est révélée d'emblée très discriminante ». Le début de la troisième partie « est d'un niveau soutenu : seuls les très bons candidats ont pu faire la partie III.A.2 . Mais la suite du problème pouvait être traitée indépendamment de cette partie, en admettant le résultat final. » Enfin, « la question IV.B et la seconde partie de IV.C sont partculièrement difficiles (et intéressantes) et n'ont presque pas été traitées ». I. Généralités sur les distances I.A Soit A O3 (R) une matrice orthogonale. Par définition elle vérifie t A A = I3 , ce qui entraîne kAk2 = Tr ( t A A) = Tr (I3 ) = 3 Ainsi, kAk = 3 I.B D'après le résultat de la question précédente, O3 (R) est inclus dans la sphère de rayon 3 et de centre la matrice nulle, par conséquent c'est une partie bornée. De plus, si on note f : M 7 t M M, f est une application continue, car polynomiale en les coefficients de M, et O3 (R) = f -1 ({I3 }). Donc O3 (R) est fermé comme image réciproque par une application continue d'un ensemble fermé. Par conséquent O3 (R) est fermé et borné dans un espace vectoriel de dimension finie, c'est-à-dire que O3 (R) est un compact de M3 (R). D'après le rapport du jury, « plus de la moitié des candidats ont affirmé que "O3 (R) est un sous-espace vectoriel" et utilisé le théorème de Pythagore ». D'autres candidats ont défini O3 (R) comme « l'image réciproque de {-1, 1} par l'application déterminant ou de 3 par l'application "norme" »... I.C Pour tout (M, M ) M3 (R), la seconde partie de l'inégalité triangulaire s'écrit kMk - kM k 6 kM - M k Ceci signifie que la norme M 7 kMk est une application 1-lipschitzienne. Conclusion : L'application M 7 kMk est continue. Une autre démonstration existe, dans le cas présent, car la norme est la fonction composée suivante p kMk = Tr (f (M)) t où les fonctions f : M 7 M M, trace et racine carrée sont continues. Ainsi, la norme est continue comme composée d'applications continues. Rappelons comment s'obtient la seconde partie de l'inégalité triangulaire. Soient u et v deux éléments d'un espace vectoriel normé E. L'inégalité triangulaire classique pour u - v et v s'écrit kuk = k(u - v) + vk 6 ku - vk + kvk Par conséquent kuk - kvk 6 ku - vk En échangeant u et v, et puisque kv - uk = ku - vk, il vient kvk - kuk 6 ku - vk. Ceci entraîne finalement l'inégalité cherchée : kuk - kvk 6 ku - vk I.D Soit A M3 (R). L'application fA : M3 (R) R définie par fA (U) = kA - Uk est continue en tant que composée d'applications continues. Sur le compact O3 (R), elle est donc bornée et atteint sa borne inférieure d(A, O3 (R)). Ainsi, Il existe U O3 (R) tel que d(A, O3 (R)) = kA - Uk. I.E.1 Par définition, d(M, O3 (R)) = U O3 (R) Ainsi, Inf UO3 (R) kM - Uk, ce qui entraîne d(M, O3 (R)) 6 kM - Uk 6 kM - Nk + kN - Uk U O3 (R) d(M, O3 (R)) 6 kN - Uk + kN - Mk L'inégalité précédente étant vraie pour toute matrice U O3 (R), elle est vraie pour une matrice U qui vérifie d(N, O3 (R)) = kN - Uk. Une telle matrice existe d'après le résultat de la question I.D, donc d(M, O3 (R)) 6 d(N, O3 (R)) + kN - Mk I.E.2 L'inégalité obtenue lors de la réponse à la question I.E.1 peut s'écrire M, N M3 (R) Or (M) = d(M, O3 (R)), ainsi d(M, O3 (R)) - d(N, O3 (R)) 6 kN - Mk M, N M3 (R) (M) - (N) 6 kN - Mk Par symétrie des rôles joués par M et N, il vient M, N M3 (R) donc est 1-lipschitzienne. Par suite, |(M) - (N)| 6 kN - Mk L'application est continue.