Centrale Maths 2 PSI 2006

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Notations. Dans tout le problème, on ne considère que des matrices carrées 
réelles.

On désigne par E l'espace vectoriel réel des matrices carrées (réelles) d'ordre 
2, c'est-J
a b
c d

_tmce Tr(M ) = a + d et de son polynôme caractéristique

à--dire à 2 lignes et 2 colonnes. Si M = < > E E, on rappelle la définition de 
sa '

XM : a: E R 1--------> det(oelb-- M),

où llz désigne la matrice identité et det le déterminant d'ordre 2.
En outre, on identifie les espaces vectoriels réels R2 et 93îg 1(R) et on munit 
R2 de
, Son produit scalaire canonique et de la norme euclidienne associée.

On pose donc, pour x = (ÿ) & R2, HXII = ,/æî +æâ.
2

On rappelle enfin qu'une matrice carrée réelle A d'ordre 2 est orthogonale si, 
et

seulement si, "AA : ll2. L'ensemble des matrices orthogonales réelles d'ordre 2 
est _
noté 02.

On désigne par 52 l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre 2.

Partie I - Généralités

I.A --

I.A.1) Démontrer que si deux matrices de E sont semblables, elles ont même trace
et même polynôme caractéristique. La réciproque est--elle vraie ? Justifier la 
réponse.

I.A.2) Démontrer que (I) : (M1, M2) 1----> Tr('M1 M2),définit un produit 
scalaire
sur E. Pour la suite du problème, E pourra être muni de la norme associée à ce
produit scalaire.

1
I..A 3) Démontrer que, pour toute matrice M E E, on a |det(M )] Tr("M M )

Quand y a--t- il égalité?

I.A.4) Pour MEUR E et a: EURR,exprimer XM(a') en fonction de a:, Tr(M) et 
det(M).
En conclure que 1 est 'une valeur propre de M si, et . seulement si,
Tr(M) : 1 + det(M). '

I.B -. La décomposition UDV
' a b

On donne dans cette question M = (c d

) élément de E, avec (a, b, c,d) EUR R4.

1.3.1) * Si 9 6 R, on pose P(9) : (ÊÎÊÉ ÎZÊÏSHHÛ) et 

Partie II - Les ensembles .% et .5"

On désigne par 9? l'ensemble des matrices M E E telles que HM X "{  VX 5 R2, tXtM MX < tX X. _ n.o.2) a) Si M E E. justifier le fait que le polynôme caractéristique de tM M est de la forme (cc -- À1)(oe ---- À2), avec /\1 et À2 réels. Démontrer ensuite que ces réels sont positifs ou nuls. On pourra considérer des erpressz'ons de la forme tX tM MX . b) Démontrer que M EUR 9? si, et seulement si, les valeurs propres de tM .M appar-- tiennent à [O, 1]. II.D - Déduire en particulier deII.C.2.a que ' thM) <-- 1+)2 '
MGÆÇ=>{TÏÜMM) < '2 e II.E -- On définit .? comme : 5"= {M595 | ElXO EURR2, X05£0> llMX0ll : llX0ll}'

II. E. 1) En'reprenant les calculs de Il. C. 2. a, démontrer que M appartient a 
.5" si,
et seulement si, le polynôme caractéristique de tM M est de la forme (oe-- 
À)(oe-- 1),
où A EUR [O, 1].

II.E.2) Si M E E, on l'écrit sous la forme M : P(f1)DP(tg), où (t1, t2) E R2 et
oùD=(ä 2)aveca0 '

a) Déterminer les valeurs propres de tM M en fonction dec) et 5 .

b) Démontrer que M EUR .5" si, et seulement si, il existe U et V, matrices 
orthogonales

d' ordre 2 et 7 EUR [---1, 1] tels que M-- - U (3 (1)) V.

II.E.3) En déduire que, si M est une'matrice non orthogonale de Y , il existe 
des

matrices orthogonales W et W' d'ordre 2 telles que M appartienne au segment
[WW'l-

On pourra montrer d'abord que si M est de la forme (3 (1))' avec 7 EUR] -- 1 
,,1[

on peut choisir W et W' orthogonales et diagonales telles que M appartienne au
segment [WW'].

II.F' - On "désigne par El l'ensemble des matrices de la forme (a --b>, avec.

b a
c d 2
d --c ,avec (c,d) EUR R .

II. F. 1) Démontrer que E1 et E2 sont deux sous-espaces vectoriels 
supplémentaires
de E orthogonaux au sens du produit scalaire  défini en I. A. 2.

(a, b) É R2 et par E: l'ensemble des matrices de la forme (

II. F. 2) Démontrer que El contient toutes 'les matrices orthogonales d'ordre 2 
et

de déterminant +1 et que E2 contient toutes les matrices orthogonales d' Ordre 
2 et
de déterminant --1. » ...

II.F.3) Lorsque M est une matrice non orthogonale de .5" , déduire de ce qui 
précède
le nombre de segments [WW' ] -- où W et W' sont orthogonales -- contenant M.

Partie III - Définition de l'ensemble %"

III.A - _ .
III.A.1) Si M : (î Z), démontrer que que M EUR 5" implique

a2+b2+62+cl2=1+(ad--bc)2

On désigne par % l'ensemble des matrices M EUR E vérifiant cette dernière 
relation.

III.A.2)

a) Réciproquement, à quelle condition, vérifiée par son déterminant, une matrice
M EUR %" appartient-elle à 5" ?

b) Démontrer qu'une matrice M EUR %" appartient à 5" si et seulement si TT('M 
M) $ 2.

III.B _-

-III.B.1) Si (A, B) EUR El >< E2, calculer det(A + B) en fonction de det(A) et de det(B). ' .! ' » Si (M1, M2) EUR E2, avec M1 # M2 on définit la droite affine (M1M2) comme l'ensemble des matrices de la forme (1 -- t)M1 + tM2, où t décrit R. Dans la suite, on l'appellera droite (M1M2). III.B.2) Dém0ntrer que, si W et W' sont des matrices orthog0nales éléments de E, telles que det(W) : +1 et det(W' ) = --1, la droite (WW' ) est incluse dans %" . Réciproquement, % est--elle réunion de droites de cette forme ? Partie IV - Représentatiàn graphique de %" IV.À - Si M E E, on rappelle que le polynôme caractéristique de tM M est de la forme (a: ----' À1)(oe ---- /\2), avec (À1,À2) EUR R2, À1 > 0 etÀ2 ; 0. Pour 
fixer les idées, on
suppose0 < À1 < Àg. On suppose M # 0". Déterminer en fonction de Al et À2 le nombre de réels t positifs tels que tM EUR % . On en trouvera << en général >> deux, et on interprétera
les cas particuliers.

\

On étudie a partir de cette question l'intersection de %" avec certains

sous--espaces vectoriels de E. On commence par des exemples de plans
vectoriels. '

a:
, fi ?!
IV.B -- Soit P1 l'ensemble des matrices de la forme //{1(æ, y) = 0 au
' 75

IV.B.1) Déterminer les matrices orthogonales qui sOnt dans Pl.

IV.B.2) Dans cette question, on identifie J/li(oe, y) avec le point (a:, y) de
R2 muni de son produit scalaire canonique et de son repère orthonormal

canonique. On procédera à desidentifications analogues dans les] ques--
tions suivantes.

a) "Démontrer que %" 0 P1 est la réunion de deux coniques "& et "fig.
Déterminer 'Ë1 fi fig.

b) Représenter par un dessin %. 0 P1 et .5" FTP1 dans le plan P1.

a: m
IV.C - Soit P2 l'ensemble des matrices de la forme //12 (33, y) = <% 75). Soit 0 y ' (u, 0) EUR lR2 ; on ne demande pas de vérifier que la relation du III.A.1 implique .//lg(æ, y) EUR % ñP2 <=) 562312 +2(oe2+y2 -- 1) =0 Étudier et représenter par un dessin % 0 P2 et 5" 0 P2 dans léplan P2 (on pourra discuter et résoudre l'équation par rapport à la variable y). IV.D - Exemple d'intersection de %" avec un sous--espace de dimension 3 On désigne par 82 l'espace vectoriel des'matrices symétriques réelles d'ordre 2.-- IV.D.1) Démontrer qu'une matrice M EUR 82 appartient à % si, et seulement si, elle admet une valeur propre égale à. +1 ou a --1. On admet qu'une base orth0normale de 82 est @ : (M1, M2, M3), avec M1=_Ë(â31),M.=È(çg),m=%@ï) IV. D. 2) En écrivant une matrice de 82 sous la forme xM1 + yM2 + ZM3, décrire» l'ensemble Ca des matrices de 82 admettant le réel donné a comme valeur propre. En déduire une description de % fi Sg. IV...D 3) Soit 9 E R et N:: P(9)M(oe, y,z z)P(9)"l; démontrer que c'est une matrice de la forme M (u v, w) et exprimer (u, v, 7.0) en fonction de (a:, y,z 2.) In-- terpréter certains des résultats de la question IV. D. 2. lV.D.4) Représenterpar un dessin %" n 82 et 5" fi SZ. oooFINooo