Centrale Maths 2 PSI 2004

Thème de l'épreuve Caractérisation des systèmes différentiels linéaires dont toutes les trajectoires sont bornées ou sphériques
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires, espaces vectoriels, réduction d'endomorphismes, polynômes d'endomorphismes

Corrigé

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 Oo:noSoe Om:ä$ - OEËmOEn 83 9359 z>ËËËo:OE __ ..........% _uoe_ Notations et objectifs du problème Dans tout ce problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension d 2 1 . Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de E est noté (u|v) , la norme du vecteur u est notée llull . L'espace des endomorphismes de E est noté L(E) . Le composé de deux éléments f et g de L(E ) est noté indifféremment fg ou f o g et l'identité I E . L'adjoint de f est noté f * ; on rappelle qu'il est caractérisé par la propriété suivante : V(u,v)eE', (f(u)lv) = (ulf*(v)). Si f est un élément de L(E ) , Tr( f ) désigne la trace de f. Le composé de p exem- plaires de f est noté f" (avec, par convention, f 0 : IE ). Si F est un sous espace de E stable par f , l'endomorphisme induit par f sur F est noté f F . On notera S (E ) l'ensemble des endomorphismes symétriques (ou autoadjoints) de E et S+(E ) le sous ensemble de S(E) constitué des endomorphismes symé- triques dont les valeurs propres sont positives. On rappelle que, si t |---> x(t) est une application de IR dans E et (e) = (e,, ez» ed) une base de E , par rapport à laquelle les coordonnées de x(t) sont x,(t), x2(t), ,xd(t). ° "v'tE IR,x(t)= 2 x ,,(t)e i=l alors x est de classe Ck sur IR, si et seulement si, pour tout entier 1 E {l, 2. d...} l'application t +--> x ,(t) est une application de classe Ck de IR dans IR. Soit f un élément de L(E) et x0 un élément de E. On considère l'équation dx= ÿ(f.xo) dÎ f(x) x(0) : 560 dont l'inconnue x est la fonction t1--a x(t) de classe C1 de IR dans E. On rappelle que, pour tout x() de E , il existe une unique solution de 95 ( f , x0) . On l'appelle f -trajectoire de x0 . Afin d'alléger la rédaction, on conviendra que toute propriété géométrique d'une trajectoire x concerne en réalité l'ensemble x(IR) : {x(t)|t EUR IR} ; par exemple, on dira que la trajectoire x est un cercle si x(IR) est un cercle. On désigne par B(E) l'ensemble des f, éléments de L(E) , tels que toutes les f -- trajectoires sont bornées, c'est-à--dire sont telles que, quel que soit le choix de x() , il existe un réel M >. 0 , dépendant de x() , pour lequel on a : Vt EUR IR , "x(t)" : M , si x désigne la f -- trajectoire de x0. De même, on note SP(E ) l'ensemble des f, éléments de L(E) , tels que toutes ' les f -- trajectoires sont sphériques, c'est-à-dire sont telles que, quel que soit le choix de x0 , il existe un élément y E E et un réel r 2 0 , dépendants de x0 , pour lesquels on a : VtE]Ra "x(t)--Y" : l', si x désigne la f -- trajectoire de x0. L'objectif du problème est de caractériser les ensembles B(E) et SP(E ) . Partie I - Étude de trajectoires LA - Soit F un sous-espace de E , stable par f. Montrer que si _x0 E F , la f -- tra- jectoire de x0 est contenue dans F. LB - Soit f un_élément de L(E) , x0 un vecteur propre de f associé à la valeur propre A et x la f -- trajectoire de "50° Exprimer x(t) en fonction de x() , )» , t. I.C - Soit f un élément de L(E ) , x0 un élément de Ker f 2 n'appartenant pas à Ker f et x la f -- trajectoire de x() . Exprimer x(t) en fonction de x0 , f (x0) , t et préciser la nature géométrique de cette trajectoire. LD - Soit f un élément de L(E ) , x0 un élément de E -- {O} . On suppose qu'il existe un réel 4: n'appartenant pas à xl et un réel k strictement positif tels que (f2--2kcosqæf+kzlE)(xo) : 0, On note t v-->x(t) la f-- trajectoire de x0. I.D.l) Montrer que la famille (xD, f (xo)) est libre et justifier l'existence de deux applications u et v de IR dans E , telles que VtEIR,x(t) = u(t)xo+v(t)f(xo). I. D. 2) Montrer que u et v sont de classe CZ. Former une équation différen-- tielle linéaire du second ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par u. En _ déduire l'expression de u. I.D.3) Montrer que x est bornée si et seulement si cosô : 0 . Dans ce cas, décrire géométriquement la f -- trajectoire x. À quelles conditions cette trajec- toire est-elle un cercle. '7 I. E- Soit k un réel strictement positif, f un élément de L(E), g: f2 +k ZIE et x0 un élément de Ker g. On désigne par G la famille : {xO' f(x0)a g(x0)a gf(x0)} ' I.E.1) Montrer que F : vect(G) est stable par f. I.E.2) Montrer que G est libre si et seulement si g(x0) == 0. I.E.3) On suppose que g(x0) :O. Montrer que la f-- trajectoire de x0 peut s'écrire sous la forme : rx(t) = u(t)xo + v(t)f(xo) + w(t)g(xo) + h(t)gf(xo). Déterminer u(t) , u(t), puis w(t) , puis h(t). Montrer que cette trajectoire n'est pas bornée. Partie II - Étude des endomofphismes à trajectoires bornées Dans les questions II.A à II.D incluses, f désigne un endomorphisme de E tel que toutes les f -- trajectoires sont bornées : f & B(E ) . II.A - Soit h une Valeur propre réelle de f . Montrer que )» = O. II.B - Montrer que Ker f : Ker f 2 et E : Im f @ Ker f . II.C - Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels, qui annule f . Démontrer qu'il existe un polynôme unitaire à coefficient réel qui est de degré minimal parmi les polynômes non nuls de IR[X ] annulant f . Dans toute la suite de la section II. C, ce polynôme est noté P. II. C. 1) Soit Q (Q EUR IR[X ]) un diviseur non constant de P. Montrer que Q( f ) ne peut être inversible. II.C.2) On suppose que P admet une racine réelle k . Montrer que X = O et, en s'aidant de la question II.B, que l'ordre de multiplicité de cette racine dans P est égal à 1 . II.C.3) Que dire de f si P est scindé sur IR ? II.C.4) On suppose que P possède une racine complexe )» non réelle. On écrit À sous forme trigonométrique : X : ke" , avec k et 4) réels, k > 0 et @ n'appar-- tenant pas à acl. Démontrer qu'il existe un vecteur x0 : 0 tel que : ( f 2 -- 2k(coscb)f + k21E)(xo) : 0 .En déduire la valeur de cosd> . Qu'en conclure sur les racines non réelles de P ? II.C.5) Soit k > 0 , montrer que Ker(f2 + kZIE)2 : Ker(f2 + kZIE) . II.C.6) On suppose f == 0 ; démontrer qu' il existe un entier 3 z 1 et des réels a ], a2, ..., as strictement positifs et distincts tels que P soit de l'une ou l'autre des deux formes suivantes : 8 8 P = H(X'...Ï) ou XH(X2+aÎ). i = 1 i = 1 HD - Prouver que f vérifie les deux propriétés suivantes : i) L'endomorphîsme f 2 est diagonalisable et ses valeurs propres sont des réels négatifs ou nuls. ii) rgf : rgf2. . . 2 . I \ Prouver que les d1mens1ons des sous-espaces propres de f assoc1es a ses valeurs propres strictement négatives sont paires. ILE - Réciproquement soit f un élément de L(E ) , non nul et vérifiant les deux propriétés i) et ii) de la question II.D). Établir l'existence d'un entier 3 stricte- ment positif, de s sous-espaces E 1, E2, ..., Es tous non réduits à {O} , de dimen-- sions paires et stables par f et de s réels al,a2, ...,as , strictement positifs et distincts, tels que: ' S Ker f® @Ei : E (1) i=1 ViE{l, ...,s}, VxEE,,f2(x) = --aÿx (2) Étudier la f -- trajectoire d'un vecteur appartenant à l'un des Ei et en conclure que f E B(E ) . Partie III - Étude des endomorphismes à trajectoires sphériques HLA - III.A.1) Soit f un élément de L(E) . Prouver l'équivalence des deux propriétés suivantes : a) f*+f=0 b) Vu EE, (u|f(u)) : 0. Un endomorphisme vérifiant l'une de ces deux propriétés est appelé endomor-- phisme antisymétrique de E . L'ensemble de ces endomorphismes est noté A(E ) . III.A.2) Soit f un élémentde A(E) et x une f-- trajectoire associée ; calculer la dérivée de la fonction t1--> llx(t)ll2 .» Montrer que A(E ) C SP(E ) . III.B - Soit f un élément de SP(E) et F un sous--espace de E stable par F. Montrer que f F est élément de SP(F) . III.C - Montrer que SP(E ) C B(E ) . III.D - Dans cette section III.D, E est de dimension 2 et f est un élément non nul de SP(E). III.D.1) Démontrer que f 2 est une homothétie de rapport strictement négatif. III. D. 2) Soit x0 un élément de E-- {O} et a le centre d'un cercle contenant la f -- trajectoire de x0. Justifier que a peut s'écrire sous la forme ax0 + Bf(xo) et prouver que (x0| f (xo)) _ O. III.D.3) Prouver que A(E)-- _ SP(E). III.E - Dans cette section III.E, E est un espace vectoriel orienté de dimension 3. Soit ou un élément de E -- {O} et u un vecteur de E orthogonal à 0). On définit l'endomorphisme xp de E par xp : u 1--> (» A u + (u|oe)v . III.E.1) Montrer que 111 est antisymétrique si et seulement si v = O. III.E.2) Montrer que si 0 est non nul, il) appartient à SP(E). On pourra commencer par prouver que pour tout xo de E , si x désigne la f -- trajectoire de xO , (x|oe) est constant et l'on cherchera le centre de la sphère sous la forme a(oe + m A v) , où a est une constante à déterminer. On se propose de prouver que tout endomorphisme f élément de SP(E) , non nul est de la même forme que 11). III. E. 3) Soit f un élément de SP(E ) {O}. Établir que f2 n 'admet qu' une seule valeur propre strictement négative, notée --u2 et que Im f= Ker( f + M I E) III.E.4) En déduire l'existence d'une base orthonormée de E où la matrice de f est de la forme --u 0 o O'ÇO CCG" et conclure. III.F - On suppose, dans cette question, que f, élément de SP(E), vérifie f 2 : --u21E où M > 0 . À l'aide des résultats des questions III.B et III.B, montrer que f est antisymétrique. III.G -- Démontrer que, dans le cas général, SP(E ) est constitué des endomor-- phismes f E L(E) qui vérifient les deux propriétés suivantes : i) E : Ker f®lmf. ii) L'endomorphisnie induit par f sur Im f est antisymétrique. Ces deux conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en fonction de x0 élément de E , le centre d'une sphère qui contient la f -- trajectoire de x0 . ooo FIN ooo

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 Centrale Maths 2 PSI 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sébastien Gadat (ENS Cachan) ; il a été relu par Céline Chevalier (ENS Ulm) ; et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Ce très long sujet couvre plusieurs domaines du programme de deuxième année, à savoir les équations différentielles linéaires et la réduction des endomorphismes dans un espace euclidien. Le sujet montre en particulier le lien étroit qui existe entre la dynamique d'un système différentiel linéaire et les propriétés de réduction que possède l'application linéaire définissant le système. La première partie étudie quelques propriétés des f -trajectoires dans des cas simples, lorsque f possède soit des droites stables, soit des plans stables. La deuxième partie s'intéresse plus précisément aux endomorphismes f qui assurent le caractère borné des toutes les f -trajectoires. On y démontre notamment une propriété intéressante de réduction utilisant les notions du programme sur les polynômes d'endomorphismes. Enfin, la dernière partie est consacrée aux endomorphismes dont les f -trajectoires sont contenues sur une sphère, et démontre alors qu'en réalité ces endomorphismes sont précisément les endomorphismes antisymétriques. La difficulté du sujet est relativement progressive et la plupart des questions demandent l'utilisation de résultats antérieurs. Il est donc quasiment impossible d'aller « grapiller » des points en fin de sujet. À noter que la partie II constitue un bon sujet de révision d'algèbre linéaire. Indications Partie I I.A Décomposer la trajectoire x en une composante sur F et une sur son complémentaire. Utiliser alors l'unicité des trajectoires pour conclure. I.C Démontrer que t 7 f (x(t)) est constante. I.D.1 Raisonner par l'absurde pour démontrer que la famille est libre. I.D.2 Utiliser le lien donné dans l'énoncé entre les équations différentielles sur la trajectoire et l'équation différentielle sur ses coordonnées. I.D.3 Écrire une équation cartésienne de la trajectoire en se ramenant à une base orthonormée. I.E.1 Remarquer que puisque g est un polynôme en f , il commute avec f . I.E.3 Écrire à nouveau un système d'équations différentielles sur les coordonnées u, v, w et h. Déterminer tout d'abord l'expression de u et v. Grâce à la méthode de variation de la constante, en déduire alors w et h. Partie II II.B Démontrer le résultat par double inclusion. II.C.2 Raisonner par l'absurde en supposant que X2 divise P, trouver alors un polynôme annulateur de f de degré inférieur à celui de P. II.C.3 Utiliser la question précédente. II.C.4 Utiliser les questions II.C.1 et I.D.3. II.C.5 Utiliser le résultat de la question I.E. II.C.6 Pour démontrer que les ai sont distincts, raisonner par l'absurde comme à la question II.C.2. II.D Montrer que chacun des Ei peut être muni d'une base sous la forme B = (e1 , f (e1 ), . . . ep , f (ep )) II.E Résoudre explicitement sur chaque Ei les équations différentielles obtenues et conclure. Partie III III.A.1 Pour la réciproque, étudier (f (u + v) | u + v). III.D.1 Utiliser le résultat de la question II.D. III.D.2 Les conclusions des questions I.D permettent de montrer la condition demandée. III.D.3 Raisonner par double inclusion. III.E.2 Après avoir trouvé le centre de la trajectoire, démontrer que la distance de x au centre est constante. III.E.3 Utiliser à nouveau le résultat de la question II.D. III.E.4 Identifier et v grâce à la matrice obtenue. III.G Établir une condition pour que la norme kx(t) - ak2 soit constante. I. Étude de trajectoires I.A Soit F un supplémentaire de F dans E et pF la projection de E sur F parallèlement à F. Tout élément x de E se décompose donc en x = xF + xF où xF = pF (x) Par linéarité de la dérivation et de pF , on a dx(t) dxF (t) dp (x(t)) = F = pF dt dt dt En utilisant l'équation différentielle vérifiée par x, t R t R Mais dxF (t) = pF f (x(t)) dt pF (f (x(t))) = pF (f (xF (t))) + pF (f (xF (t)) t R et par hypothèse, on sait que F est stable par f donc t R soit encore f (xF (t)) F pF (f (xF (t))) = 0 t R On peut donc conclure que xF vérifie l'équation différentielle dxF (t) = pF (f (xF (t))) dt xF est solution d'une équation différentielle linéaire avec la condition initiale xF = 0. Par unicité des solutions d'équations différentielles linéaires, en remarquant que la trajectoire nulle est également solution, on peut conclure que t R Par conséquent, t R xF (t) = 0 t R x(t) F I.B Considérons la trajectoire t 7- et x0 . C'est bien une f -trajectoire de x0 . Par unicité de la solution de P(f, x0 ), on obtient : t R x(t) = et x0 I.C Considérons F, le noyau de f 2 . F est bien stable par f puisque si f 2 (x) = 0, alors f 2 (f (x)) = f (f 2 (x)) = 0. De plus, x0 est dans F, donc d'après la question I.A : t R f 2 (x(t)) = 0 df (x(t)) = f (x (t)) = f 2 (x(t)) = 0 dt La trajectoire t 7- f (x(t)) est donc constante, égale à f (x0 ). Ainsi, Par conséquent, d'où t R t R t R x (t) = f (x0 ) x(t) = x0 + f (x0 )t La f -trajectoire est la droite passant par x0 , dirigée par f (x0 ). I.D.1 Raisonnons par l'absurde en supposant que la famille (x0 , f (x0 )) est liée. Comme x0 6= 0, on peut trouver un réel tel que f (x0 ) = x0 . Cela signifie donc que 2 x0 - 2k(cos )x0 + k 2 x0 = 0 L'élément x0 étant non nul, cela signifie que est solution de X2 - 2k(cos )X + k 2 = 0 Le discriminant de ce trinôme vaut = -4k 2 sin2 qui est strictement négatif puisque n'est pas dans Z. Par suite, une telle solution ne peut exister. La famille (x0 , f (x0 )) est libre. En notant F = Vect (x0 , f (x0 )), montrons que F est stable par f . Il suffit de démontrer que les images par f de x0 et f (x0 ) sont dans F. C'est immédiat pour x0 . Pour f (x0 ), utilisons la relation : (f 2 - 2k(cos )f + k 2 Id)(x0 ) = 0 Cela implique que f 2 (x0 ) = 2k(cos )f (x0 ) + k 2 x0 donc que f 2 (x0 ) F. Ainsi, F est stable par f , et d'après la question I.A, on a t R x(t) F On en déduit l'existence de deux fonctions u et v de R dans R telles que : t R x(t) = u(t)x0 + v(t)f (x0 ) Mentionnons une petite erreur dans l'énoncé : les fonctions u et v ne sont pas à valeurs dans E mais dans R. I.D.2 On a vu que (x0 , f (x0 )) est une base de l'espace F précédent. On peut dès lors compléter cette famille en une base de E. Ainsi, les fonctions u et v sont les coordonnées de la trajectoire x dans l'espace F. De plus, la trajectoire est de classe C de R dans E. En utilisant le rappel de l'énoncé reliant la régularité d'une trajectoire à la régularité de ses coordonnées dans une base quelconque, on peut conclure que u et v ont la même régularité que x. Les fonctions u et v sont de classe C 2 . D'une part, par définition de u et v : t R x (t) = u (t)x0 + v (t)f (x0 ) (1) D'autre part, en utilisant la linéarité de f : t R x (t) = f (x(t)) = u(t)f (x0 ) + v(t)f 2 (x0 ) En développant l'expression de f 2 (x0 ) donnée par l'énoncé, on obtient : f 2 (x0 ) = 2k(cos )f (x0 ) - k 2 x0 (2)