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Notations et objectifs du problème
Dans tout ce problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension d 2 1 .
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de E est noté (u|v) , la norme du
vecteur u est notée llull .
L'espace des endomorphismes de E est noté L(E) . Le composé de deux éléments
f et g de L(E ) est noté indifféremment fg ou f o g et l'identité I E .
L'adjoint de
f est noté f * ; on rappelle qu'il est caractérisé par la propriété suivante :
V(u,v)eE', (f(u)lv) = (ulf*(v)).
Si f est un élément de L(E ) , Tr( f ) désigne la trace de f. Le composé de p
exem-
plaires de f est noté f" (avec, par convention, f 0 : IE ). Si F est un sous
espace
de E stable par f , l'endomorphisme induit par f sur F est noté f F .
On notera S (E ) l'ensemble des endomorphismes symétriques (ou autoadjoints)
de E et S+(E ) le sous ensemble de S(E) constitué des endomorphismes symé-
triques dont les valeurs propres sont positives.
On rappelle que, si t |---> x(t) est une application de IR dans E et
(e) = (e,, ez» ed) une base de E , par rapport à laquelle les coordonnées de
x(t)
sont x,(t), x2(t), ,xd(t). °
"v'tE IR,x(t)= 2 x ,,(t)e
i=l
alors x est de classe Ck sur IR, si et seulement si, pour tout entier 1 E {l,
2. d...}
l'application t +--> x ,(t) est une application de classe Ck de IR dans IR.
Soit f un élément de L(E) et x0 un élément de E. On considère l'équation
dx=
ÿ(f.xo) dÎ f(x)
x(0) : 560
dont l'inconnue x est la fonction t1--a x(t) de classe C1 de IR dans E.
On rappelle que, pour tout x() de E , il existe une unique solution de 95 ( f ,
x0) .
On l'appelle f -trajectoire de x0 .
Afin d'alléger la rédaction, on conviendra que toute propriété géométrique d'une
trajectoire x concerne en réalité l'ensemble x(IR) : {x(t)|t EUR IR} ; par
exemple, on
dira que la trajectoire x est un cercle si x(IR) est un cercle.
On désigne par B(E) l'ensemble des f, éléments de L(E) , tels que toutes les
f -- trajectoires sont bornées, c'est-à--dire sont telles que, quel que soit le
choix de
x() , il existe un réel M >. 0 , dépendant de x() , pour lequel on a :
Vt EUR IR , "x(t)" : M ,
si x désigne la f -- trajectoire de x0.
De même, on note SP(E ) l'ensemble des f, éléments de L(E) , tels que toutes '
les f -- trajectoires sont sphériques, c'est-à-dire sont telles que, quel que
soit le
choix de x0 , il existe un élément y E E et un réel r 2 0 , dépendants de x0 ,
pour
lesquels on a :
VtE]Ra "x(t)--Y" : l',
si x désigne la f -- trajectoire de x0.
L'objectif du problème est de caractériser les ensembles B(E) et SP(E ) .
Partie I - Étude de trajectoires
LA - Soit F un sous-espace de E , stable par f. Montrer que si _x0 E F , la f
-- tra-
jectoire de x0 est contenue dans F.
LB - Soit f un_élément de L(E) , x0 un vecteur propre de f associé à la valeur
propre A et x la f -- trajectoire de "50° Exprimer x(t) en fonction de x() , )»
, t.
I.C - Soit f un élément de L(E ) , x0 un élément de Ker f 2 n'appartenant pas
à Ker f et x la f -- trajectoire de x() . Exprimer x(t) en fonction de x0 , f
(x0) , t et
préciser la nature géométrique de cette trajectoire.
LD - Soit f un élément de L(E ) , x0 un élément de E -- {O} . On suppose qu'il
existe un réel 4: n'appartenant pas à xl et un réel k strictement positif tels
que
(f2--2kcosqæf+kzlE)(xo) : 0,
On note t v-->x(t) la f-- trajectoire de x0.
I.D.l) Montrer que la famille (xD, f (xo)) est libre et justifier l'existence de
deux applications u et v de IR dans E , telles que
VtEIR,x(t) = u(t)xo+v(t)f(xo).
I. D. 2) Montrer que u et v sont de classe CZ. Former une équation différen--
tielle linéaire du second ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par
u. En _
déduire l'expression de u.
I.D.3) Montrer que x est bornée si et seulement si cosô : 0 . Dans ce cas,
décrire géométriquement la f -- trajectoire x. À quelles conditions cette
trajec-
toire est-elle un cercle. '7
I. E- Soit k un réel strictement positif, f un élément de L(E), g: f2 +k ZIE et
x0 un élément de Ker g. On désigne par G la famille
: {xO' f(x0)a g(x0)a gf(x0)} '
I.E.1) Montrer que F : vect(G) est stable par f.
I.E.2) Montrer que G est libre si et seulement si g(x0) == 0.
I.E.3) On suppose que g(x0) :O. Montrer que la f-- trajectoire de x0 peut
s'écrire sous la forme :
rx(t) = u(t)xo + v(t)f(xo) + w(t)g(xo) + h(t)gf(xo).
Déterminer u(t) , u(t), puis w(t) , puis h(t). Montrer que cette trajectoire
n'est
pas bornée.
Partie II - Étude des endomofphismes à trajectoires bornées
Dans les questions II.A à II.D incluses, f désigne un endomorphisme de E tel
que toutes les f -- trajectoires sont bornées : f & B(E ) .
II.A - Soit h une Valeur propre réelle de f . Montrer que )» = O.
II.B - Montrer que Ker f : Ker f 2 et E : Im f @ Ker f .
II.C - Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels,
qui annule f . Démontrer qu'il existe un polynôme unitaire à coefficient réel
qui
est de degré minimal parmi les polynômes non nuls de IR[X ] annulant f .
Dans toute la suite de la section II. C, ce polynôme est noté P.
II. C. 1) Soit Q (Q EUR IR[X ]) un diviseur non constant de P. Montrer que Q( f
)
ne peut être inversible.
II.C.2) On suppose que P admet une racine réelle k . Montrer que X = O et, en
s'aidant de la question II.B, que l'ordre de multiplicité de cette racine dans P
est égal à 1 .
II.C.3) Que dire de f si P est scindé sur IR ?
II.C.4) On suppose que P possède une racine complexe )» non réelle. On écrit
À sous forme trigonométrique : X : ke" , avec k et 4) réels, k > 0 et @
n'appar--
tenant pas à acl. Démontrer qu'il existe un vecteur x0 : 0 tel que :
( f 2 -- 2k(coscb)f + k21E)(xo) : 0 .En déduire la valeur de cosd> . Qu'en
conclure sur
les racines non réelles de P ?
II.C.5) Soit k > 0 , montrer que Ker(f2 + kZIE)2 : Ker(f2 + kZIE) .
II.C.6) On suppose f == 0 ; démontrer qu' il existe un entier 3 z 1 et des réels
a ], a2, ..., as strictement positifs et distincts tels que P soit de l'une ou
l'autre des
deux formes suivantes :
8 8
P = H(X'...Ï) ou XH(X2+aÎ).
i = 1 i = 1
HD - Prouver que f vérifie les deux propriétés suivantes :
i) L'endomorphîsme f 2 est diagonalisable et ses valeurs propres sont des réels
négatifs ou nuls.
ii) rgf : rgf2.
. . 2 . I \
Prouver que les d1mens1ons des sous-espaces propres de f assoc1es a ses
valeurs propres strictement négatives sont paires.
ILE - Réciproquement soit f un élément de L(E ) , non nul et vérifiant les deux
propriétés i) et ii) de la question II.D). Établir l'existence d'un entier 3
stricte-
ment positif, de s sous-espaces E 1, E2, ..., Es tous non réduits à {O} , de
dimen--
sions paires et stables par f et de s réels al,a2, ...,as , strictement
positifs et
distincts, tels que:
' S
Ker f® @Ei : E (1)
i=1
ViE{l, ...,s}, VxEE,,f2(x) = --aÿx (2)
Étudier la f -- trajectoire d'un vecteur appartenant à l'un des Ei et en
conclure
que f E B(E ) .
Partie III - Étude des endomorphismes à trajectoires
sphériques
HLA -
III.A.1) Soit f un élément de L(E) . Prouver l'équivalence des deux propriétés
suivantes :
a) f*+f=0
b) Vu EE, (u|f(u)) : 0.
Un endomorphisme vérifiant l'une de ces deux propriétés est appelé endomor--
phisme antisymétrique de E . L'ensemble de ces endomorphismes est noté A(E ) .
III.A.2) Soit f un élémentde A(E) et x une f-- trajectoire associée ; calculer
la dérivée de la fonction t1--> llx(t)ll2 .» Montrer que A(E ) C SP(E ) .
III.B - Soit f un élément de SP(E) et F un sous--espace de E stable par F.
Montrer que f F est élément de SP(F) .
III.C - Montrer que SP(E ) C B(E ) .
III.D - Dans cette section III.D, E est de dimension 2 et f est un élément non
nul de SP(E).
III.D.1) Démontrer que f 2 est une homothétie de rapport strictement négatif.
III. D. 2) Soit x0 un élément de E-- {O} et a le centre d'un cercle contenant la
f -- trajectoire de x0. Justifier que a peut s'écrire sous la forme ax0 +
Bf(xo) et
prouver que (x0| f (xo)) _ O.
III.D.3) Prouver que A(E)-- _ SP(E).
III.E - Dans cette section III.E, E est un espace vectoriel orienté de
dimension 3.
Soit ou un élément de E -- {O} et u un vecteur de E orthogonal à 0). On définit
l'endomorphisme xp de E par xp : u 1--> (» A u + (u|oe)v .
III.E.1) Montrer que 111 est antisymétrique si et seulement si v = O.
III.E.2) Montrer que si 0 est non nul, il) appartient à SP(E).
On pourra commencer par prouver que pour tout xo de E , si x désigne la
f -- trajectoire de xO , (x|oe) est constant et l'on cherchera le centre de la
sphère sous la forme a(oe + m A v) , où a est une constante à déterminer.
On se propose de prouver que tout endomorphisme f élément de SP(E) , non nul
est de la même forme que 11).
III. E. 3) Soit f un élément de SP(E ) {O}. Établir que f2 n 'admet qu' une
seule
valeur propre strictement négative, notée --u2 et que Im f= Ker( f + M I E)
III.E.4) En déduire l'existence d'une base orthonormée de E où la matrice de
f est de la forme
--u
0
o
O'ÇO
CCG"
et conclure.
III.F - On suppose, dans cette question, que f, élément de SP(E), vérifie
f 2 : --u21E où M > 0 . À l'aide des résultats des questions III.B et III.B,
montrer
que f est antisymétrique.
III.G -- Démontrer que, dans le cas général, SP(E ) est constitué des endomor--
phismes f E L(E) qui vérifient les deux propriétés suivantes :
i) E : Ker f®lmf.
ii) L'endomorphisnie induit par f sur Im f est antisymétrique.
Ces deux conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en
fonction de x0 élément de E , le centre d'une sphère qui contient la f --
trajectoire
de x0 .
ooo FIN ooo 
