Centrale Maths 2 PSI 2004

 

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Notations et objectifs du problème

Dans tout ce problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension d 2 1 .
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de E est noté (u|v) , la norme du
vecteur u est notée llull .

L'espace des endomorphismes de E est noté L(E) . Le composé de deux éléments
f et g de L(E ) est noté indifféremment fg ou f o g et l'identité I E . 
L'adjoint de
f est noté f * ; on rappelle qu'il est caractérisé par la propriété suivante :

V(u,v)eE', (f(u)lv) = (ulf*(v)).

Si f est un élément de L(E ) , Tr( f ) désigne la trace de f. Le composé de p 
exem-
plaires de f est noté f" (avec, par convention, f 0 : IE ). Si F est un sous 
espace
de E stable par f , l'endomorphisme induit par f sur F est noté f F .

On notera S (E ) l'ensemble des endomorphismes symétriques (ou autoadjoints)
de E et S+(E ) le sous ensemble de S(E) constitué des endomorphismes symé-
triques dont les valeurs propres sont positives.

On rappelle que, si t |---> x(t) est une application de IR dans E et

(e) = (e,, ez» ed) une base de E , par rapport à laquelle les coordonnées de 
x(t)
sont x,(t), x2(t), ,xd(t). °

"v'tE IR,x(t)= 2 x ,,(t)e

i=l

alors x est de classe Ck sur IR, si et seulement si, pour tout entier 1 E {l, 
2. d...}
l'application t +--> x ,(t) est une application de classe Ck de IR dans IR.

Soit f un élément de L(E) et x0 un élément de E. On considère l'équation

dx=
ÿ(f.xo) dÎ f(x)

x(0) : 560

dont l'inconnue x est la fonction t1--a x(t) de classe C1 de IR dans E.

On rappelle que, pour tout x() de E , il existe une unique solution de 95 ( f , 
x0) .
On l'appelle f -trajectoire de x0 .

Afin d'alléger la rédaction, on conviendra que toute propriété géométrique d'une
trajectoire x concerne en réalité l'ensemble x(IR) : {x(t)|t EUR IR} ; par 
exemple, on
dira que la trajectoire x est un cercle si x(IR) est un cercle.

On désigne par B(E) l'ensemble des f, éléments de L(E) , tels que toutes les
f -- trajectoires sont bornées, c'est-à--dire sont telles que, quel que soit le 
choix de
x() , il existe un réel M >. 0 , dépendant de x() , pour lequel on a :

Vt EUR IR , "x(t)" : M ,
si x désigne la f -- trajectoire de x0.

De même, on note SP(E ) l'ensemble des f, éléments de L(E) , tels que toutes '
les f -- trajectoires sont sphériques, c'est-à-dire sont telles que, quel que 
soit le
choix de x0 , il existe un élément y E E et un réel r 2 0 , dépendants de x0 , 
pour

lesquels on a :
VtE]Ra "x(t)--Y" : l',

si x désigne la f -- trajectoire de x0.
L'objectif du problème est de caractériser les ensembles B(E) et SP(E ) .

Partie I - Étude de trajectoires
LA - Soit F un sous-espace de E , stable par f. Montrer que si _x0 E F , la f 
-- tra-

jectoire de x0 est contenue dans F.

LB - Soit f un_élément de L(E) , x0 un vecteur propre de f associé à la valeur
propre A et x la f -- trajectoire de "50° Exprimer x(t) en fonction de x() , )» 
, t.

I.C - Soit f un élément de L(E ) , x0 un élément de Ker f 2 n'appartenant pas
à Ker f et x la f -- trajectoire de x() . Exprimer x(t) en fonction de x0 , f 
(x0) , t et
préciser la nature géométrique de cette trajectoire.

LD - Soit f un élément de L(E ) , x0 un élément de E -- {O} . On suppose qu'il
existe un réel 4: n'appartenant pas à xl et un réel k strictement positif tels 
que

(f2--2kcosqæf+kzlE)(xo) : 0,

On note t v-->x(t) la f-- trajectoire de x0.

I.D.l) Montrer que la famille (xD, f (xo)) est libre et justifier l'existence de
deux applications u et v de IR dans E , telles que

VtEIR,x(t) = u(t)xo+v(t)f(xo).

I. D. 2) Montrer que u et v sont de classe CZ. Former une équation différen--

tielle linéaire du second ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par 
u. En _
déduire l'expression de u.

I.D.3) Montrer que x est bornée si et seulement si cosô : 0 . Dans ce cas,

décrire géométriquement la f -- trajectoire x. À quelles conditions cette 
trajec-
toire est-elle un cercle. '7

I. E- Soit k un réel strictement positif, f un élément de L(E), g: f2 +k ZIE et
x0 un élément de Ker g. On désigne par G la famille

: {xO' f(x0)a g(x0)a gf(x0)} '

I.E.1) Montrer que F : vect(G) est stable par f.
I.E.2) Montrer que G est libre si et seulement si g(x0) == 0.

I.E.3) On suppose que g(x0) :O. Montrer que la f-- trajectoire de x0 peut
s'écrire sous la forme :

rx(t) = u(t)xo + v(t)f(xo) + w(t)g(xo) + h(t)gf(xo).

Déterminer u(t) , u(t), puis w(t) , puis h(t). Montrer que cette trajectoire 
n'est
pas bornée.

Partie II - Étude des endomofphismes à trajectoires bornées

Dans les questions II.A à II.D incluses, f désigne un endomorphisme de E tel
que toutes les f -- trajectoires sont bornées : f & B(E ) .

II.A - Soit h une Valeur propre réelle de f . Montrer que )» = O.
II.B - Montrer que Ker f : Ker f 2 et E : Im f @ Ker f .

II.C - Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels,
qui annule f . Démontrer qu'il existe un polynôme unitaire à coefficient réel 
qui
est de degré minimal parmi les polynômes non nuls de IR[X ] annulant f .

Dans toute la suite de la section II. C, ce polynôme est noté P.

II. C. 1) Soit Q (Q EUR IR[X ]) un diviseur non constant de P. Montrer que Q( f 
)
ne peut être inversible.

II.C.2) On suppose que P admet une racine réelle k . Montrer que X = O et, en
s'aidant de la question II.B, que l'ordre de multiplicité de cette racine dans P
est égal à 1 .

II.C.3) Que dire de f si P est scindé sur IR ?

II.C.4) On suppose que P possède une racine complexe )» non réelle. On écrit
À sous forme trigonométrique : X : ke" , avec k et 4) réels, k > 0 et @ 
n'appar--
tenant pas à acl. Démontrer qu'il existe un vecteur x0 : 0 tel que :

( f 2 -- 2k(coscb)f + k21E)(xo) : 0 .En déduire la valeur de cosd> . Qu'en 
conclure sur
les racines non réelles de P ?

II.C.5) Soit k > 0 , montrer que Ker(f2 + kZIE)2 : Ker(f2 + kZIE) .

II.C.6) On suppose f == 0 ; démontrer qu' il existe un entier 3 z 1 et des réels
a ], a2, ..., as strictement positifs et distincts tels que P soit de l'une ou 
l'autre des
deux formes suivantes :

8 8
P = H(X'...Ï) ou XH(X2+aÎ).
i = 1 i = 1
HD - Prouver que f vérifie les deux propriétés suivantes :

i) L'endomorphîsme f 2 est diagonalisable et ses valeurs propres sont des réels
négatifs ou nuls.

ii) rgf : rgf2.

. . 2 . I \
Prouver que les d1mens1ons des sous-espaces propres de f assoc1es a ses
valeurs propres strictement négatives sont paires.

ILE - Réciproquement soit f un élément de L(E ) , non nul et vérifiant les deux
propriétés i) et ii) de la question II.D). Établir l'existence d'un entier 3 
stricte-
ment positif, de s sous-espaces E 1, E2, ..., Es tous non réduits à {O} , de 
dimen--
sions paires et stables par f et de s réels al,a2, ...,as , strictement 
positifs et
distincts, tels que:

' S

Ker f® @Ei : E (1)
i=1

ViE{l, ...,s}, VxEE,,f2(x) = --aÿx (2)

Étudier la f -- trajectoire d'un vecteur appartenant à l'un des Ei et en 
conclure
que f E B(E ) .

Partie III - Étude des endomorphismes à trajectoires
sphériques

HLA -

III.A.1) Soit f un élément de L(E) . Prouver l'équivalence des deux propriétés
suivantes :

a) f*+f=0
b) Vu EE, (u|f(u)) : 0.

Un endomorphisme vérifiant l'une de ces deux propriétés est appelé endomor--
phisme antisymétrique de E . L'ensemble de ces endomorphismes est noté A(E ) .

III.A.2) Soit f un élémentde A(E) et x une f-- trajectoire associée ; calculer
la dérivée de la fonction t1--> llx(t)ll2 .» Montrer que A(E ) C SP(E ) .

III.B - Soit f un élément de SP(E) et F un sous--espace de E stable par F.
Montrer que f F est élément de SP(F) .

III.C - Montrer que SP(E ) C B(E ) .
III.D - Dans cette section III.D, E est de dimension 2 et f est un élément non
nul de SP(E).

III.D.1) Démontrer que f 2 est une homothétie de rapport strictement négatif.

III. D. 2) Soit x0 un élément de E-- {O} et a le centre d'un cercle contenant la
f -- trajectoire de x0. Justifier que a peut s'écrire sous la forme ax0 + 
Bf(xo) et
prouver que (x0| f (xo)) _ O.

III.D.3) Prouver que A(E)-- _ SP(E).
III.E - Dans cette section III.E, E est un espace vectoriel orienté de
dimension 3.

Soit ou un élément de E -- {O} et u un vecteur de E orthogonal à 0). On définit
l'endomorphisme xp de E par xp : u 1--> (» A u + (u|oe)v .

III.E.1) Montrer que 111 est antisymétrique si et seulement si v = O.
III.E.2) Montrer que si 0 est non nul, il) appartient à SP(E).

On pourra commencer par prouver que pour tout xo de E , si x désigne la
f -- trajectoire de xO , (x|oe) est constant et l'on cherchera le centre de la
sphère sous la forme a(oe + m A v) , où a est une constante à déterminer.

On se propose de prouver que tout endomorphisme f élément de SP(E) , non nul
est de la même forme que 11).

III. E. 3) Soit f un élément de SP(E ) {O}. Établir que f2 n 'admet qu' une 
seule
valeur propre strictement négative, notée --u2 et que Im f= Ker( f + M I E)

III.E.4) En déduire l'existence d'une base orthonormée de E où la matrice de
f est de la forme

--u
0
o

O'ÇO
CCG"

et conclure.

III.F - On suppose, dans cette question, que f, élément de SP(E), vérifie

f 2 : --u21E où M > 0 . À l'aide des résultats des questions III.B et III.B, 
montrer
que f est antisymétrique.

III.G -- Démontrer que, dans le cas général, SP(E ) est constitué des endomor--
phismes f E L(E) qui vérifient les deux propriétés suivantes :

i) E : Ker f®lmf.

ii) L'endomorphisnie induit par f sur Im f est antisymétrique.

Ces deux conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en
fonction de x0 élément de E , le centre d'une sphère qui contient la f -- 
trajectoire
de x0 .

ooo FIN ooo

Centrale Maths 2 PSI 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Gadat (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Céline
Chevalier (ENS Ulm) ; et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Ce très long sujet couvre plusieurs domaines du programme de deuxième année,
à savoir les équations différentielles linéaires et la réduction des 
endomorphismes
dans un espace euclidien. Le sujet montre en particulier le lien étroit qui 
existe entre
la dynamique d'un système différentiel linéaire et les propriétés de réduction 
que
possède l'application linéaire définissant le système.
La première partie étudie quelques propriétés des f -trajectoires dans des cas
simples, lorsque f possède soit des droites stables, soit des plans stables.
La deuxième partie s'intéresse plus précisément aux endomorphismes f qui 
assurent le caractère borné des toutes les f -trajectoires. On y démontre 
notamment
une propriété intéressante de réduction utilisant les notions du programme sur 
les
polynômes d'endomorphismes.
Enfin, la dernière partie est consacrée aux endomorphismes dont les f 
-trajectoires
sont contenues sur une sphère, et démontre alors qu'en réalité ces 
endomorphismes
sont précisément les endomorphismes antisymétriques.
La difficulté du sujet est relativement progressive et la plupart des questions 
demandent l'utilisation de résultats antérieurs. Il est donc quasiment 
impossible d'aller
« grapiller » des points en fin de sujet. À noter que la partie II constitue un 
bon sujet
de révision d'algèbre linéaire.

Indications
Partie I
I.A Décomposer la trajectoire x en une composante sur F et une sur son 
complémentaire. Utiliser alors l'unicité des trajectoires pour conclure.
I.C Démontrer que t 7 f (x(t)) est constante.
I.D.1 Raisonner par l'absurde pour démontrer que la famille est libre.
I.D.2 Utiliser le lien donné dans l'énoncé entre les équations différentielles 
sur la
trajectoire et l'équation différentielle sur ses coordonnées.
I.D.3 Écrire une équation cartésienne de la trajectoire en se ramenant à une 
base
orthonormée.
I.E.1 Remarquer que puisque g est un polynôme en f , il commute avec f .
I.E.3 Écrire à nouveau un système d'équations différentielles sur les 
coordonnées
u, v, w et h. Déterminer tout d'abord l'expression de u et v. Grâce à la 
méthode de variation de la constante, en déduire alors w et h.
Partie II
II.B Démontrer le résultat par double inclusion.
II.C.2 Raisonner par l'absurde en supposant que X2 divise P, trouver alors un 
polynôme annulateur de f de degré inférieur à celui de P.
II.C.3 Utiliser la question précédente.
II.C.4 Utiliser les questions II.C.1 et I.D.3.
II.C.5 Utiliser le résultat de la question I.E.
II.C.6 Pour démontrer que les ai sont distincts, raisonner par l'absurde comme 
à la
question II.C.2.
II.D Montrer que chacun des Ei peut être muni d'une base sous la forme
B = (e1 , f (e1 ), . . . ep , f (ep ))
II.E Résoudre explicitement sur chaque Ei les équations différentielles obtenues
et conclure.
Partie III
III.A.1 Pour la réciproque, étudier (f (u + v) | u + v).
III.D.1 Utiliser le résultat de la question II.D.
III.D.2 Les conclusions des questions I.D permettent de montrer la condition 
demandée.
III.D.3 Raisonner par double inclusion.
III.E.2 Après avoir trouvé le centre de la trajectoire, démontrer que la 
distance de x
au centre est constante.
III.E.3 Utiliser à nouveau le résultat de la question II.D.
III.E.4 Identifier  et v grâce à la matrice obtenue.
III.G Établir une condition pour que la norme kx(t) - ak2 soit constante.

I.

Étude de trajectoires

I.A Soit F un supplémentaire de F dans E et pF la projection de E sur F 
parallèlement à F. Tout élément x de E se décompose donc en
x = xF + xF

où xF = pF (x)

Par linéarité de la dérivation et de pF , on a
 dx(t) 
dxF (t)
dp (x(t))
= F
= pF
dt
dt
dt
En utilisant l'équation différentielle vérifiée par x,
t  R

t  R
Mais

dxF (t)
= pF f (x(t))
dt

pF (f (x(t))) = pF (f (xF (t))) + pF (f (xF (t))

t  R

et par hypothèse, on sait que F est stable par f donc
t  R
soit encore

f (xF (t))  F
pF (f (xF (t))) = 0

t  R

On peut donc conclure que xF vérifie l'équation différentielle
dxF (t)
= pF (f (xF (t)))
dt
xF est solution d'une équation différentielle linéaire avec la condition 
initiale xF = 0.
Par unicité des solutions d'équations différentielles linéaires, en remarquant 
que la
trajectoire nulle est également solution, on peut conclure que
t  R

Par conséquent,

t  R

xF (t) = 0

t  R

x(t)  F

I.B Considérons la trajectoire t 7- et x0 . C'est bien une f -trajectoire de x0 
. Par
unicité de la solution de P(f, x0 ), on obtient :
t  R

x(t) = et x0

I.C Considérons F, le noyau de f 2 . F est bien stable par f puisque si f 2 (x) 
= 0,
alors f 2 (f (x)) = f (f 2 (x)) = 0. De plus, x0 est dans F, donc d'après la 
question I.A :
t  R

f 2 (x(t)) = 0

df (x(t))
= f (x (t)) = f 2 (x(t)) = 0
dt
La trajectoire t 7- f (x(t)) est donc constante, égale à f (x0 ).

Ainsi,

Par conséquent,
d'où

t  R

t  R
t  R

x (t) = f (x0 )
x(t) = x0 + f (x0 )t

La f -trajectoire est la droite passant par x0 , dirigée par f (x0 ).
I.D.1 Raisonnons par l'absurde en supposant que la famille (x0 , f (x0 )) est 
liée.
Comme x0 6= 0, on peut trouver un réel  tel que f (x0 ) = x0 . Cela signifie 
donc que
2 x0 - 2k(cos )x0 + k 2 x0 = 0
L'élément x0 étant non nul, cela signifie que  est solution de
X2 - 2k(cos )X + k 2 = 0
Le discriminant  de ce trinôme vaut
 = -4k 2 sin2 
qui est strictement négatif puisque  n'est pas dans Z. Par suite, une telle 
solution
ne peut exister.
La famille (x0 , f (x0 )) est libre.
En notant F = Vect (x0 , f (x0 )), montrons que F est stable par f . Il suffit 
de
démontrer que les images par f de x0 et f (x0 ) sont dans F. C'est immédiat 
pour x0 .
Pour f (x0 ), utilisons la relation :
(f 2 - 2k(cos )f + k 2 Id)(x0 ) = 0
Cela implique que f 2 (x0 ) = 2k(cos )f (x0 ) + k 2 x0 donc que f 2 (x0 )  F. 
Ainsi, F est
stable par f , et d'après la question I.A, on a
t  R

x(t)  F

On en déduit l'existence de deux fonctions u et v de R dans R telles que :
t  R

x(t) = u(t)x0 + v(t)f (x0 )

Mentionnons une petite erreur dans l'énoncé : les fonctions u et v ne sont pas
à valeurs dans E mais dans R.
I.D.2 On a vu que (x0 , f (x0 )) est une base de l'espace F précédent. On peut
dès lors compléter cette famille en une base de E. Ainsi, les fonctions u et v 
sont
les coordonnées de la trajectoire x dans l'espace F. De plus, la trajectoire 
est de
classe C  de R dans E. En utilisant le rappel de l'énoncé reliant la régularité 
d'une
trajectoire à la régularité de ses coordonnées dans une base quelconque, on peut
conclure que u et v ont la même régularité que x.
Les fonctions u et v sont de classe C 2 .
D'une part, par définition de u et v :
t  R

x (t) = u (t)x0 + v  (t)f (x0 )

(1)

D'autre part, en utilisant la linéarité de f :
t  R

x (t) = f (x(t)) = u(t)f (x0 ) + v(t)f 2 (x0 )

En développant l'expression de f 2 (x0 ) donnée par l'énoncé, on obtient :
f 2 (x0 ) = 2k(cos )f (x0 ) - k 2 x0

(2)