Centrale Maths 2 PSI 2003

Thème de l'épreuve Endomorphismes normaux réels
Principaux outils utilisés réduction, polynômes d'endomorphismes
Mots clefs endomorphisme normal

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 _oen_ e......___... _ __ m...:QËËEË ää... m.ËN oOEmQ:OE - OEËÈOEU mËQË©U Dans tout le problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On considère un espace euclidien E de dimension n. On note (xl y) le produit scalaire de deux vecteurs x et y et x I----> Hxll la norme associée. Pour u & L(E) , on note u* son adjoint, x,, son polynôme caractéristique et S p(u) l'ensemble de ses valeurs propres. On note n,, le générateur de l'idéal des polynômes annulateurs de u dont le coefficient de plus haut degré est égal à 1. n,, est appelé polynôme minimal de u. L'endomorphisme u de E est dit antisymétrique lorsque u* = --u. On note, S(E), A(E)' et O(E) les sous--ensembles de L(E) formés respectivement des endomorphismes symétriques, antisymétriques, orthogonaux. Si F est un sous-espace de E stable par u , on note u| F l'endomorphisme de F induit par u . On note 95 (E) l'ensemble des endomorphismes u de E tels que u* soit un polynôme en u et // E) l'ensemble des endomorphismes u de E qui commutent avec leur adjoint, donc: ÿ(E) : {ue L(E) / u*e lR[u]}, ./V(E) : {ue L(E) / (u*ou=uou*)}. Le but du problème est d'étudier et comparer les deux ensembles ÿ(E) et % E) On note %, (IR) l'ensemble des matrices carrées réelles de taille n et S,, ,A,, et O,, les sous- -ensembles de %,,( (IR) formés respectivement des matrices symétri-- ques, antisymétriques, orthogonales. Pour A & %,,(IR) , on note XA son polynôme caractéristique et 71: A son polynôme minimal, c'est-à--dire le polynôme minimal de l'endomorphisme de IR" canoni- quement associé à A . On note 'A la transposée de A. Deux matrices A et B sont dites orthogonalement semblables lorsqu'il existe Pe O,, telque B: P AP. On note @, l'ensemble des matrices A de %,,( IR() telles que A peut s' expri- mer comme un polynôme en A , donc . ÿ,, : {A & %,,(IR) / 1'A e IR[A]} , et de manière analogue : %, = {A & %,,(1'R) / 'AA = A'A} Les parties 1 et Il sont indépendantes. Partie I - Généralités sur ÿ(E) et fin I.A - I.A.1) Soient A et B les deux matrices d'un même endomorphisme de E rap- porté à deux bases orthonormales. Montrer que A et B sont orthogonalement semblables. LA 2) Soit u un endomorphisme de E et A sa matrice sur %, une base orthonormale de E. Établir un rapport entre l'appartenance de u à 95 E() (resp. % E et l'appartenance deA à fin (resp. // ). Dans la suite du problème, on pourra exploiter ce rapport pour répondre à cer-- taines questions. I.A.3) Montrer que ÿ(E)c //(E) et que flanc %. I.B - I.B.1) Vérifier que S(E) <: 9%") et A(E) c ÿ(E). , I.B.2) Quelles sont les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent à fin ? ' En déduire que si n 2 2 , on a ÿ(E) # L(E) . I.B.3) Soit u & L(E) admettant, sur une certaine base % deE , une matrice triangulaire supérieure. Montrer qu'il existe une base orthonormale Æ' de E , telle que les matrices de passage de % à Æ' et de Ê' à % soient trian- gulaires supérieures. Montrer que la matrice de u dans Æ' est triangulaire supérieure. En déduire les éléments u eÿ(E) qui sont trigonalisables. I.B.4) On suppose que u est un automorphisme de E ; montrer que u admet un polynôme annulateur P tel que P(O) #0. En déduire que u"1 peut s'écrire comme un polynôme en u . En déduire que O(E) c ÿ(E) . I.C - I.C.l) Montrer que si A EUR fin et A ;: 0 , alors il existe un unique polynôme réel que l'on note P A , tel que degré (P A) < degré(nA) et P A(A) : Si A est la matrice nulle, on convient que P A est le polynôme nul. Énoncer le résultat correspondant pour u e ÿ(E) . I.C.2) Déterminer les matrices A de fin pour lesquelles P A est un polynôme constant. I.C.3) Déterminer les matrices A de 95" pour lesquelles P A est du premier - degré. On rappelle que toute matrice carrée s'écrit comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. I.C.4) Soient A et B deux matrices orthogonalement semblables. Montrer que si A & ÿn alors B EUR 95,1 et PA : PB. I.D - Décrire les éléments A de 952 et calculer les P A correspondants. I.E - Soit A O A: 1 aveCA16ÿnl,Azeÿnz. 0 A2 I.E.1) On suppose que 7tA1 et nA2 sont premiers entre eux. Montrer l'exis- tence de deux polynômes U et V tels que : PAI--(PAl--PAZ)U 11:A1 : PA2+(PAl--PAZ)V1£AZ. Calculer Am pour m entier positif quelconque, puis P(A) pour * P : PAI--(PAl--PAZ)U7:AI. En déduire que A & ?... +n2. I.E.2) Expliciter nA en fonction de % A1 et nA2. Comment trouver P A connaissant 1t A1 , nA2 , et le polynôme P défini par : P=PA--(PA--PA)U7ÏA ? v 1 1 2 l I.F-Soit 100 0 A: 010 0 _ 0004 0010 Vérifier que A e ÿ4 et calculer P A avec la méthode précédente. Partie II - Étude de /V(E) et % II.A - Montrer que si u & ,Â/(E) et P & IR[X ] , alors P(u) & .Â/(E) . II.B - Soient u e ÆE) et x e E. Montrer que llu(x)ll2 : Hu*(x)H2. En déduire que u et u* ont le même noyau. II.C - Soit m un entier, m > 0. On suppose donné un endomorphisme f antisy- métrique inversible de l'espace IR'" muni de son produit scalaire canonique. II.C.1) Comparer les déterminants de f et f * . En déduire que m est pair. II.C.2) On considère les applications n et g définies sur mm par n(x) : "xl!2 et g(x) : ||f(x)ll2 et l'application 2 q : U : E'" \{0} n--a IR définie par q(x) : "f(x)2" . llxll Montrer que n et g sont de classe C1 sur mm et que leurs différentielles en x fixé sont les formes linéaires h |--> 2(x|h) et h +-> 2(f(x)|f(h)) . Montrer que l'application q est de classe C1 sur [Km \{0} et déterminer sa dif- férentielle en x , en calculant dq(x)(h) au moyen de produits scalaires et de nor-- mes. On note S : {xe U/llxll : 1}. Montrer que l'ensemble des valeurs prises par q sur 8 coïncide avec l'ensemble des valeurs prises par q sur U . Montrerque la fonction q admet un maximum sur 1Rm \{O} et que ce maximumest atteint en un point x0 e S . Montrer que, pour tout h , on a (f (x0)| f (h)) : "f(x0)"2 (x0|@) . En déduire que H : Vect(x0, f (xo)) est un plan stable par f. Donner une base orthonormale de II et exprimer la matrice de f |H relative à cette base. II.C.3) Montrer qu'il existe une base orthonormale % de IR"z telle que : *cl 0 0 , 0 12 ... S 0 _b_ . m %Æ(f)= . ._ ._ 0 avec "Ci: ' et bi=t0 pourz= 1,...,--. . . . bi () 2 0 . 0 Tm ? II.D - Soit u e fiE) et E1 c_E un sous-espace stable par u et u* . On note E2 le supplémentaire orthogonal de E1 . II.D.1) Montrer que E2 est stable par u et u* . II.D.2) Montrer que (u|E * : u*|E . II.D.3) Montrer que si, en outre, u & ./V(E) , alors u|E & //(E1) et u|E & //(E2) . l \ 2 Jusqu'à la fin de la partie II, u désigne un élément de .Â/(E) . ILE - Soient x & IR et x e E ;montrer que llu(x) --kxll2 : llu*(x) -- 7wcll2 . En déduire que u et u* ont les mêmes sous-espaces propres et que ceux--ci sont en somme directe orthogonale. Si X est une valeur propre de u , on note Eu(k) le sous--espace propre associé. Soit F le supplémentaire orthogonal du sous-espace : @ Eu(7b) , où la somme porte sur l'ensemble des valeurs propres de u . % Montrer que F est stable par u et u* . En considérant la restriction de u à F , montrer que la dimension de F ne peut être impaire. On notera dimF : 2 p . II.F - On suppose que p est non nul. Soit v e //(F) . On pose v+v* v--v* eta= . 2 2 II.F.1) Justifier que le polynôme caraCtéristique de s est scindé.On le note : S: k xs(X) = H (k,--X)". i=1 II.F.2) Montrer que soa : aos etsov : vos. Montrer qu'il existe une base orthonormale Æ' de F telle que la matrice de U dans % ' soit diagonale par blocs : _ M1 0 () %Æ'(U) : 0 M2 : °. °. 0 o () Mk avec, pour i = 1, k , Mi de la forme Ài1n_ + Ai où Ai est antisymétrique. ILES) On suppose en outre que 0 n'admet aucune valeur propre réelle. Mon- trer que les Ai sont inversibles. II.G - Montrer qu'il existe une base orthonormale 93 de E telle que : D O 0 0 Il . . ai --bi %Æ(u) : _ _ _ avec D matr1ce d1agonale, ri : et bi:t0 : '. '. O bi ai 0 0 TP pouri :_ 1, p. II.H - Donner une caractérisation des matrices A & /Vn . II.I - Préciser la matrice obtenue dans II.G quand u e O(E) . Partie III - Relation entre fin et JV,, HLA - Soit P e IR[X ] . III.A.1) Soit M1 0 0 0 M2 0 . , . A = une matrice reelle diagonale par blocs. Z '. 0 0 () Mk Montrer que P(A) : tA si et seulement P(Mi) : tMi , pour i = 1, k. III.A.2) Donner les expressions de P A , XA et "A pour une matrice A = {a "b} où b$0. b a Montrer que P(A) : tA si et seulement si P(a + ib) : a --ib et P(a --iô) : a + ib . Dans les questions qui suivent, on fixe A 5 ///n . D'après 11H, A est orthogona--' lement semblable à une matrice B telle que celle représentée dans II.G. III.A.3) Montrer que P(A) : tA si etseulement si : PO») : X pour toute valeur propre réelle %. de A P(z) : 2 pour toute racine complexe non réelle 2 de XA ' III.A.4) Montrer qu'il existe P & C[X ] , de degré minimal, vérifiant les condi- tions ci-dessus (sur P(A) et P(z)) et que ce polynôme est, en fait, à coefficients réels. En déduire que %, : ÿ,, . III.B - Montrer que le polynôme P trouvé dans III.A.4 est, en fait, P A . Retrouver, avec la méthode précédente, le polynôme P A de la question I.F. III.C - Dans cette question, on suppose n 2 3 et on note C(oc0, ou,, un _ 1) e %,,(IR) la matrice circulante % a1a2 ocn_1 ocn_1 % °'1 . C(oc0, oc1, ...,an_1) : 5 oc2 et J : C(O, 1,0, ...,O). % oc0 eq eq oc2 ocn_1 % III.C.1) Montrer que J eÿn . En déduire que toute matrice circulante appartient à fin . III.C.2) À toute matrice circulante non nulle A : C(oc0, un _ 1) , on associe les polynômes n 1 nl P(X)= Eai'x etQ(X)--oco+ 201an i=0 i=l Donner l'expression de 11: J . Comparer Q et le reste de la division euclidienne de P A 0 P par TC J . En déduire les étapes d'une méthode de calcul de P A. Détailler le calcul pour A : C(l, 1,0) . III.--D Soit P(X) = a0+a X+a 2X' avec a2$0. Montrer qu 'il existe un2 entier n > 3 et une matrice A 6 fin telle que P: P A si et seulement si (al-- 1)2 --4aOar,2 e [O, 4[. Indication. montrer que, si n et A existent, XA admet au moins une racine réelle et exactement deux racines complexes, conjuguées l'une de l'autre. ooo FIN ooo

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 Centrale Maths 2 PSI -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérôme Malick (ENS Cachan) ; il a été relu par Sébastien Gadat (ENS Cachan) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Ce problème est consacré à l'étude de propriétés d'endomorphismes particuliers d'un espace euclidien, que l'on appelle « endomorphismes normaux ». Cette étude permet de manipuler tous les thèmes importants de l'algèbre linéaire et bilinéaire : réduction des endomorphismes, polynômes d'endomorphismes, endomorphismes symétriques, etc. Résoudre ce problème permet de faire le point sur toutes ces notions. Notamment, on y rencontre : · des méthodes importantes : évoquons une récurrence sur la dimension de l'espace, ou l'utilisation de la partie symétrique d'un endomorphisme ; · des résultats tellement classiques qu'ils sont souvent considérés comme faisant partie du cours : citons l'écriture de u-1 comme un polynôme en u (inversible), ou le fait que le polynôme minimal d'une matrice diagonale par blocs est le produit des polynômes minimaux des blocs diagonaux, quand ils sont premiers entre eux deux à deux. L'un des intérêts de ce problème réside dans ce qu'il offre de réutilisable. Le sujet est long, mais l'énoncé est bien contruit : on est bien guidé à travers les trois parties, qui de plus sont quasiment indépendantes. La première est consacrée à l'étude des endomorphismes u dont l'adjoint s'écrit comme un polynôme en u. La deuxième traite des endomorphismes normaux réels, l'objectif étant d'aboutir à un théorème de réduction. Enfin, la troisième partie montre l'identité entre ces deux ensembles. Ajoutons que plusieurs méthodes pour calculer le polynôme qui permet d'exprimer u en fonction de u sont développées au cours du sujet. Indications Partie I I.B.2 Une matrice à la fois triangulaire supérieure et inférieure est diagonale. I.B.3 Penser à l'orthonormalisation de Gram-Schmidt. I.C.1 Faire la division euclidienne par A . I.D Chercher d'abord les PA admissibles. I.E.1 Le bon réflexe est d'utiliser l'égalité de Bézout. I.C.1 Commencer par montrer que A = A1 A2 , en utilisant un corollaire du lemme de Gauss. Partie II II.C.2 Ne pas oublier que f est antisymétrique. Utiliser la non-dégénérescence du produit scalaire. II.C.3 Raisonner par récurrence sur la dimension. II.E Le polynôme u est de degré égal à la dimension de F. F II.F.2 Les espaces propres de s sont stables par a. II.G Utiliser les questions II.C.3, II.D.2, II.E, II.F.2 et II.F.3. Partie III III.A.4 Penser à l'existence et à l'unicité du polynôme interpolateur de Lagrange. III.C.1 On peut utiliser la question III.A.4. t III.C.2 Constater simplement que A = Q(J). I. Généralités sur P(E) et Pn Notation. Comme le suggère l'énoncé, on adoptera dans ce corrigé la notation suivante : si B est une base de E, la matrice d'un endomorphisme u de E dans la base B sera notée MB (u). I.A.1 Les matrices A et B représentent le même endomorphisme dans deux bases de E ­ appelons-les respectivement B et B . Notons P la matrice de passage de B à B, on a alors A = P-1 BP Or, les deux bases sont orthonormales, donc P est une matrice orthogonale. Ainsi, A et B sont orthogonalement semblables. I.A.2 La base B est orthonormale ; on peut donc écrire que t MB (u ) = MB (u) (1) Il est important que B soit orthonormale. Attention à l'erreur classique : l'égalité (1), vraie dans une base orthonormale, n'est pas vraie pas dans toute base ! Vérifions-le. Soit B = (e1 , . . . , en ) une base (quelconque) de E. Notons A = MB (u) et B = MB (u ) Introduisons S = (ei | ej )i,j la matrice du produit scalaire dans la base B . On écrit alors : (u (ei ) | ej ) = (ei | u(ej )) t t t Bei S ej = ei SA ej t t ei B S ej = ei SA ej t B S = SA On obtient donc B = SAS , qui devient (1) quand S est la matrice identité, c'est-à-dire quand B est orthonormale. t -1 Munis de (1), on peut facilement montrer que u appartient à N (E) (respectivement à P(E)) si et seulement si A = MB (u) appartient à Nn (respectivement à Pn ). Étudions le cas de N (E) et Nn : soit un endomorphisme u de P(E), on écrit MB (u u ) = MB (u u) ce qui revient à c'est-à-dire MB (u)MB (u ) = MB (u )MB (u) MB (u) = A Nn De même pour P(E) et Pn : soit un endomorphisme u de P(E) et un polynôme P tel que u = P(u), on écrit que t MB (u) = MB (u ) = MB (P(u)) = P MB (u) et on obtient ainsi que A Pn . Conclusion : Si B est orthonormale, alors u N (E) A = MB (u) Nn u P(E) A = MB (u) Pn (2) I.A.3 Il suffit de montrer que P(E) N (E), puisque l'on pourra en déduire, grâce à (2), que Pn Nn . Soit u un endomorphisme de E, alors, pour tout n N, on a un u = u un . Puis, en prenant des combinaisons linéaires des un , il vient P(u) u = u P(u), pour tout P R[X]. En poursuivant le raisonnement, on montre que P(u) Q(u) = Q(u) P(u) pour tout P et Q de R[X]. Ceci se résume par la propriété : deux polynômes en u commutent. Soit maintenant un endomorphisme u dans P(E), et soit P un polynôme tel que u = P(u). Comme P(u) et u commutent, u appartient à N (E). Finalement, P(E) N (E) I.B.1 Si u S(E), u est son propre adjoint : en posant P = X, on a u = P(u). De façon similaire, si u A(E), on a u = P(u) avec P = -X. On a bien S(E) P(E) et A(E) P(E) I.B.2 Montrons que les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent à Pn sont en fait les matrices diagonales. Considérons une matrice triangulaire supérieure t A Pn , et notons P un polynôme tel que A = P(A). On montre par une récurrence immédiate, que toutes les puissances itérées An sont aussi triangulaires supérieures puis, en prenant des combinaisons linéaires de ces An , qu'il en est de même de P(A). En outre, P(A) = tA est aussi triangulaire inférieure. Une matrice qui est à la fois t triangulaire supérieure et inférieure est diagonale : A est diagonale et donc A est diagonale. Attention, pour répondre entièrement à la question il faut aussi écrire que les matrices diagonales sont dans Pn . Réciproquement, une matrice diagonale est symétrique : c'est donc bien un élément de Pn , d'après la question I.B.1. Les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent à Pn sont exactement les matrices diagonales. Il reste à exhiber un endomorphisme de L(E) qui ne soit pas dans P(E). L'énoncé suggère d'utiliser les matrices triangulaires. Fixons donc B une base orthonormale quelconque de E (de dimension n > 2). Soit A une matrice triangulaire supérieure non diagonale ; elle n'appartient donc pas à Pn . Ainsi, d'après (2), l'endomorphisme u, dont A est la matrice (dans B), n'appartient pas à P(E). En conclusion, P(E) 6= L(E) I.B.3 On applique le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base B = (1 , . . . , n ). Le procédé assure