Centrale Maths 2 PSI 2002

Thme de l'preuve Interpolation de fonctions par des splines cubiques et par des polynmes de Lagrange
Principaux outils utiliss systmes linaires tridiagonaux, suites dfinies par rcurrence, recollement de fonctions C2, espaces vectoriels, algbre euclidienne, orthogonalit, polynmes de Lagrange
Mots clefs interpolation par splines cubiques, interpolation, matrices tridiagonales

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Maths 2 PSI 2002 -- Corrig Ce corrig est propos par ric Ricard (agrg de mathmatiques) ; il a t relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Jean Starynkvitch (ENS Cachan). Ce sujet a pour thme gnral l'approximation des fonctions C 1  l'aide de polynmes, soit par la mthode des splines cubiques, soit par celle de Lagrange-Sylvester.  Dans la premire partie, on s'intresse  la rsolution de systmes linaires tridiagonaux. Elle repose essentiellement sur des calculs du cours de Mathmatiques Suprieures qui doivent tre matriss. Seule la dernire question est un peu plus thorique.  La seconde partie est beaucoup plus algbrique et introduit la mthode des splines cubiques. On montre qu'elle revient  rsoudre l'un des systmes de la premire partie. Les raisonnements mis en jeu mlent algbre linaire et analyse des fonctions relles (recollement essentiellement). La dernire question compare cette technique d'approximation avec celle de Lagrange-Sylvester. Cette partie est conceptuellement la plus complique.  La troisime partie, indpendante des deux autres, prsente une structure euclidienne sur Rn [X], admettant les polynmes interpolateurs de Lagrange comme base orthonorme. On y fait quelques calculs de projections avant d'tudier un endomorphisme diagonal dans cette base. Cette partie est globalement assez simple car proche des cours sur les polynmes de Lagrange et l'algbre euclidienne. Ce sujet est assez long et propose des calculs peu agrables. Les parties I et III sont abordables par la majorit des candidats. La seconde est plus dlicate, mais traite des splines cubiques, sujet trs  la mode ces dernires annes qui mrite donc d'tre regard. Indications Partie I 1 I.A.2.c Introduire f (x) = 4 - . Montrer que x x I = [2 - 3, 2 + 3] f (x) > x et que f laisse I stable. En dduire que la suite (un )nN est croissante et converge. I.B.1 Dvelopper Cn par rapport  la premire ligne, puis par rapport  la premire colonne, pour trouver une relation de rcurrence linaire d'ordre 2 satisfaite par la suite (cn )nN . Faire de mme avec Bn , pour exprimer bn en fonction de cn et cn-1 , puis recommencer avec An . I.B.4.a Montrer que Ker (M - Id ) = {0}. Pour cela, prendre x = (xk ) dans Ker (M - Id ) et montrer que x est le vecteur nul, en considrant |xi | tel que |xi | = max |xk | ainsi que l'galit provenant de la ie ligne du systme (M - Id )x = 0. Partie II II.A Construire par rcurrence la fonction g sur [0, xk ]. Remarquer au pralable que pour a et b rels, tant donn quatre rels (pi ), il existe un unique polynme P de degr au plus 3 tel que P(a) = p1 P (a) = p2 P (a) = p3 et P(3) (b) = p4 Faire attention au recollement des fonctions. II.B.1.a Procder comme dans la question prcdente en remarquant cette fois que pour a et b deux rels distincts, tant donn quatre rels (pi ), il existe un unique polynme P de degr au plus 3 tel que P(a) = p1 P(b) = p2 P (a) = p3 et P (b) = p4 II.B.2 Penser au fait que g doit tre C 1 et crire les conditions de recollement aux points xk . II.B.4 Considrer l'application T: S - Rn+3 g 7- ((g(xi ))06i6n , g (0), g (1)) Montrer que T est un isomorphisme. Pour la surjectivit, on peut montrer que l'extension de T aux fonctions de classe C 1 est surjective. II.C.1 Montrer que l'application T ci-dessus dfinie sur Rn+2 [x] est un isomorphisme. Pour l'injectivit, utiliser le thorme de Rolle pour produire n + 2 zros pour chaque lment du noyau. Partie III III.A.2 Les Li sont les polynmes de Lagrange : regarder leurs racines. III.A.3 Montrer que H admet une base de la forme (ci Li - Ln )06i6n-1 et exprimer l'orthogonalit de N dans cette nouvelle base. Penser au thorme de Pythagore afin de trouver une formule pour la distance  H. III.B.2 Montrer que Li divise (Li ) et en dduire qu'ils sont proportionnels. III.B.4 crire les produits scalaires dans la base (Li ). I. Matrices tridiagonales I.A.1 La mthode du pivot de Gauss consiste  effectuer des oprations lmentaires sur les lignes d'un systme linaire (ajouter  une ligne une combinaison linaire des autres car on ne peut changer les lignes) pour aboutir  un systme triangulaire. Notons (S2 ) sous forme matricielle. On commence par choisir le 2 en premire position comme pivot ; l'toile indique le pivot choisi. 2 1 0 1 2 1 0 1 1 2 - L1 1 1 4 1 2 L2 L - 2 0 7 1 - + 1 2 2 2 0 1 2 3 0 1 2 3 L3 L3 - 72 L2 - 7 L3 L2 L2 - 12 - 7 L3 12 L3 - 1 0 0 7 2 1 0 12 7 1 0 0 0 7 2 0 0 12 7 2 1 0 0 0 7 2 0 0 1 L2 27 L2 - L1 L1 -L2 d'o 0 2 1 2 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 - 1 + 2 2 1 2 1 - 2 + 3 7 7 1 - 7 1 + 12 1 1 - 7 7 7 2 - 3 6 12 2 2 + 3 7 1 7 7 7 1 + 2 - 3 12 6 12 1 1 7 1 - 2 + 3 12 6 12 - 7 1 1 1 - 2 + 3 6 3 6 1 1 1 - 1 + 2 - 3 6 3 6 1 1 7 1 - 2 + 3 12 6 12 7 1 1 x1 = 1 - 2 + 3 12 6 12 1 1 1 x2 = - 1 + 2 - 3 6 3 6 x = 1 - 1 + 7 3 1 2 3 12 6 12 I.A.2.a On gnralise la mthode de la question prcdente en utilisant les termes de la diagonale de haut en bas pour supprimer les 1 sous la diagonale. On aboutit