Centrale Maths 2 PSI 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Éric Ricard (agrégé de mathématiques) ; il a été relu
par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).
Ce sujet a pour thème général l'approximation des fonctions C 1 à l'aide de
polynômes, soit par la méthode des splines cubiques, soit par celle de
Lagrange-Sylvester.
· Dans la première partie, on s'intéresse à la résolution de systèmes linéaires
tridiagonaux. Elle repose essentiellement sur des calculs du cours de
Mathématiques Supérieures qui doivent être maîtrisés. Seule la dernière
question est un
peu plus théorique.
· La seconde partie est beaucoup plus algébrique et introduit la méthode des
splines cubiques. On montre qu'elle revient à résoudre l'un des systèmes de la
première partie. Les raisonnements mis en jeu mêlent algèbre linéaire et analyse
des fonctions réelles (recollement essentiellement). La dernière question
compare cette technique d'approximation avec celle de Lagrange-Sylvester. Cette
partie est conceptuellement la plus compliquée.
· La troisième partie, indépendante des deux autres, présente une structure
euclidienne sur Rn [X], admettant les polynômes interpolateurs de Lagrange comme
base orthonormée. On y fait quelques calculs de projections avant d'étudier un
endomorphisme diagonal dans cette base. Cette partie est globalement assez
simple car proche des cours sur les polynômes de Lagrange et l'algèbre
euclidienne.
Ce sujet est assez long et propose des calculs peu agréables. Les parties I et
III
sont abordables par la majorité des candidats. La seconde est plus délicate,
mais
traite des splines cubiques, sujet très à la mode ces dernières années qui
mérite donc
d'être regardé.
Indications
Partie I
1
I.A.2.c Introduire f (x) = 4 - . Montrer que
x
x I = [2 - 3, 2 + 3]
f (x) > x
et que f laisse I stable. En déduire que la suite (un )nN est croissante et
converge.
I.B.1 Développer Cn par rapport à la première ligne, puis par rapport à la
première
colonne, pour trouver une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 satisfaite
par la suite (cn )nN .
Faire de même avec Bn , pour exprimer bn en fonction de cn et cn-1 , puis
recommencer avec An .
I.B.4.a Montrer que Ker (M - Id ) = {0}. Pour cela, prendre x = (xk ) dans
Ker (M - Id ) et montrer que x est le vecteur nul, en considérant |xi | tel
que |xi | = max |xk | ainsi que l'égalité provenant de la ie ligne du système
(M - Id )x = 0.
Partie II
II.A Construire par récurrence la fonction g sur [0, xk ]. Remarquer au
préalable
que pour a et b réels, étant donné quatre réels (pi ), il existe un unique
polynôme P de degré au plus 3 tel que
P(a) = p1
P (a) = p2
P (a) = p3
et
P(3) (b) = p4
Faire attention au recollement des fonctions.
II.B.1.a Procéder comme dans la question précédente en remarquant cette fois que
pour a et b deux réels distincts, étant donné quatre réels (pi ), il existe un
unique polynôme P de degré au plus 3 tel que
P(a) = p1
P(b) = p2
P (a) = p3
et
P (b) = p4
II.B.2 Penser au fait que g doit être C 1 et écrire les conditions de
recollement aux
points xk .
II.B.4 Considérer l'application
T: S - Rn+3
g 7- ((g(xi ))06i6n , g (0), g (1))
Montrer que T est un isomorphisme. Pour la surjectivité, on peut montrer
que l'extension de T aux fonctions de classe C 1 est surjective.
II.C.1 Montrer que l'application T ci-dessus définie sur Rn+2 [x] est un
isomorphisme. Pour l'injectivité, utiliser le théorème de Rolle pour produire n
+ 2
zéros pour chaque élément du noyau.
Partie III
III.A.2 Les Li sont les polynômes de Lagrange : regarder leurs racines.
III.A.3 Montrer que H admet une base de la forme (ci Li - Ln )06i6n-1 et
exprimer
l'orthogonalité de N dans cette nouvelle base.
Penser au théorème de Pythagore afin de trouver une formule pour la distance
à H.
III.B.2 Montrer que Li divise (Li ) et en déduire qu'ils sont proportionnels.
III.B.4 Écrire les produits scalaires dans la base (Li ).
I.
Matrices tridiagonales
I.A.1 La méthode du pivot de Gauss consiste à effectuer des opérations
élémentaires
sur les lignes d'un système linéaire (ajouter à une ligne une combinaison
linéaire des
autres car on ne peut échanger les lignes) pour aboutir à un système
triangulaire.
Notons (S2 ) sous forme matricielle. On commence par choisir le 2 en première
position
comme pivot ; l'étoile indique le pivot choisi.
2 1
0
1
2 1 0 1
1
2 - L1
1
1 4 1 2 L2 L
- 2 0 7
1
-
+
1
2
2
2
0 1 2 3
0 1
2
3
L3 L3 - 72 L2
-
7
L3
L2 L2 - 12
-
7
L3 12
L3
-
1
0
0
7
2
1
0
12
7
1
0
0
0
7
2
0
0
12
7
2
1
0
0
0
7
2
0
0
1
L2 27 L2
-
L1 L1 -L2
d'où
0
2
1
2
2 0
0 1
0 0
0
0
1
1
- 1 + 2
2
1
2
1 - 2 + 3
7
7
1
-
7
1 +
12
1
1 -
7
7
7
2 - 3
6
12
2
2 + 3
7
1
7
7
7
1 + 2 - 3
12
6
12
1
1
7
1 - 2 + 3
12
6
12
-
7
1
1
1 - 2 + 3
6
3
6
1
1
1
- 1 + 2 - 3
6
3
6
1
1
7
1 - 2 + 3
12
6
12
7
1
1
x1 =
1 - 2 + 3
12
6
12
1
1
1
x2 = - 1 + 2 - 3
6
3
6
x = 1 - 1 + 7
3
1
2
3
12
6
12
I.A.2.a On généralise la méthode de la question précédente en utilisant les
termes
de la diagonale de haut en bas pour supprimer les 1 sous la diagonale. On
aboutit
