Centrale Maths 2 PSI 2001

Thme de l'preuve tude de trois mthodes de dcomposition de matrices et d'applications
Principaux outils utiliss matrices, polynmes caractristiques, dterminants, espaces vectoriels euclidiens, isomtries, symtries orthogonales, convergence d'une suite de matrices, programmation

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(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Maths 2 PSI 2001 -- Corrig Ce corrig est propos par Benot Chevalier (ENS Ulm) ; il a t relu par Yohann Genzmer (ENS Cachan) et Olivier Bertrand (ENS Lyon). Cette preuve propose diffrentes dcompositions pour certaines classes de matrices. Elle comporte quatre parties de longueur et de difficults ingales.  La premire partie montre dans quelles conditions une matrice possde une dcomposition comme produit d'une matrice triangulaire infrieure (avec des 1 sur la diagonale) et d'une matrice triangulaire suprieure, soit une dcomposition LU (Lower-Upper en anglais). Elle prsente ensuite une mthode assez complexe pour dterminer L et U  partir de dterminants extraits de la matrice d'origine. Le sujet propose alors d'implmenter cette mthode dans un langage de programmation au choix et de l'appliquer dans un cas particulier. Malgr son intrt thorique intrinsque, cette mthode a t fortement critique par les candidats pour sa difficult et le fait qu'elle soit si peu intuitive. De plus, dans les faits, les dcompositions LU sont utilises (notamment) pour simplifier la rsolution de systmes linaires du type AX = Y o A est une matrice carre de grande taille et X et Y des vecteurs colonnes. Ce qui signifie que la dcomposition LU a un rel intrt et est utilise dans des algorithmes. Proposer de la mettre en oeuvre en calculant de multiples dterminants, alors que le calcul de dterminant est une opration algorithmiquement trs coteuse en temps de calcul, est peu raliste, d'autant qu'il existe une faon simple de trouver L et U  partir de A par rcurrence.  La deuxime partie, plus courte, propose de montrer que l'on peut dcomposer une matrice symtrique dfinie positive en M = t BB o B est une matrice triangulaire suprieure. Il s'agit de la dcomposition de Cholesky, comme le rappelle le sujet. La mthode propose s'appuie sur la partie prcdente et en constitue une premire application intressante.  La troisime partie prsente la dcomposition A = QR avec A une matrice carre quelconque, Q une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire suprieure. La mthode propose utilise une composition de symtries orthogonales (matrices de Householder) et permet de retrouver le procd d'orthonormalisation de Schmidt sous une forme originale.  La quatrime partie, aprs des prliminaires sur les normes de matrices, utilise les rsultats des parties prcdentes pour tudier une suite de matrices et sa convergence. Cette partie, plus originale que les autres, est aussi la plus difficile. Le problme dans son ensemble a t considr comme l'un des plus longs et surtout des plus ardus des concours de cette anne. Cependant, comme il prsente en mme temps des mthodes classiques et des applications pratiques, il mrite sans aucun doute qu'on lui consacre du temps, en exceptant peut-tre les questions de calcul de dterminants  la fin de la premire partie. Indications Partie I I.A.1 Utiliser le thorme de Cayley-Hamilton pour montrer que toutes les puissances de A sont triangulaires. I.B.4 La question I.B.3 montre comment on peut rduire  zro la dernire ligne sous la diagonale de A. Appliquer la mme ide  HA, et ainsi de suite pour rduire  zro les lignes une par une, en pensant  raisonner par blocs. I.C.2.c Calculer les dterminants des Ak par blocs pour trouver une expression possible. I.C.2.d Calculer le bloc (PA)j comme produit de (PL)j et de Uj , puis passer aux dterminants. I.C.2.e Mme mthode qu' la question prcdente en remplaant A par t A. I.E.1.b Passer de l'quation LUX = AX = Y au systme UX = V et LV = Y. I.E.2 Chercher des matrices 2  2 non inversibles. Partie II II.A.1 Montrer que tous les dterminants extraits principaux sont non nuls en utilisant la caractrisation introduite  la question II.A. II.B.2 Se ramener  une dcomposition LU et utiliser le rsultat d'unicit de la question I.B.1. Partie III III.B.1 Raisonner par rcurrence ; chaque matrice H annule une colonne sous la diagonale de A. III.B.3 Supposer l'existence de deux dcompositions et en dduire une matrice  la fois triangulaire et orthogonale. III.C Il s'agit du procd d'orthonormalisation de Schmidt. Partie IV IV.E  diffrentes occasions, utiliser le fait que des fonctions polynomiales, des ingalits larges, des identits, passent  la limite d'une suite convergente et que si l'on a le rsultat pour tous les termes d'une suite  partir d'un certain rang, on l'obtient immdiatement pour la limite de cette suite. IV.F Cette question est l'une des plus difficiles de l'preuve. Les deux faons dont on demande d'exprimer Ak sont Ak = Q1    Qk Rk    R1 et e kR e k RDk U Ak = QQ  partir de l, il faut identifier ces deux dcompositions QR pour montrer en utilisant le passage  la limite que Q1    Qk tend vers Q et que Rk    R1 U-1 D-k R-1 tend vers In , lorsque k tend vers l'infini. L'tape suivante consiste  montrer que Ak U-1 D-k converge et que Ak converge vers RDR-1 . Partie I I.A.1 Soit A une matrice triangulaire inversible ; pour fixer les ides, supposonsla triangulaire suprieure et nous verrons in fine comment rcuprer les matrices triangulaires infrieures. n P Soit P(X) = ai Xi le polynme caractristique de A. On sait que a0 = P(0) = i=0 det(A) 6= 0 par hypothse. On sait aussi que P(A) = 0n d'aprs le thorme de Cayley-Hamilton. n n P P Puisque P(A) = 0 = ai Ai = a0 In + A ai Ai-1 i=0 on a A 1 -a0 i=1 n P i=1 ai Ai-1 = In On a donc exprim l'inverse de A comme une combinaison linaire de puissances de A. Il reste  prouver que le produit de deux matrices triangulaires suprieures est une matrice triangulaire suprieure. Si les coefficients des deux matrices sont nots n P ai,j et bi,j , les coefficients du produit sont les ci,j = ai,k bk,j ; mais ai,k = 0 ds k=1 que k < i et bk,j = 0 ds que j < k. Si j < i, le produit ai,k bk,j est donc nul pour tout k [[ 1 ; n ]] : j < i ci,j = 0 Par consquent, si A est triangulaire suprieure, alors toute puissance de A est triangulaire suprieure et toute combinaison linaire de puissances de A est triangulaire suprieure. Le cas d'une matrice triangulaire infrieure se dduit du prcdent grce  la t t t relation (AB) = B A. En conclusion, l'inverse d'une matrice triangulaire suprieure inversible est triangulaire suprieure. L'inverse d'une matrice triangulaire infrieure inversible est triangulaire infrieure. I.A.2 On montre que (Ln , ) est un groupe et, plus prcisment, un sous-groupe de (GLn , ).  L'identit appartient  Ln ,  Il faut aussi tablir que Ln est stable par produit et par passage  l'inverse, mais ces deux proprits ont t vrifies  la question prcdente pour les matrices triangulaires infrieures. Pour vrifier que ces oprations stabilisent Ln , il suffit  prsent de vrifier que le produit et l'inverse prservent la proprit d'avoir des 1 sur la diagonale.  Pour le produit, on reprend le calcul ci-dessus et, si i = j, le seul terme non nul de la somme qui dfinit ci,i apparat pour i = k, donc ci,i = ai,i bi,i = 1  1 = 1.  Pour l'inverse, on considre le fait que si A et B sont inverses l'une de l'autre, alors AB = In et on se ramne au cas du produit : on sait que les ai,i sont tous gaux  1 par hypothse, et on veut montrer que les bi,i le sont aussi. Mais les coefficients diagonaux de In valant 1, on se retrouve, au vu du calcul prcdent, avec n quations 1 = ai,i bi,i = 1  bi,i d'o l'on dduit immdiatement que tous les termes diagonaux de B sont gaux  1, donc que B Ln .