Centrale Maths 2 PSI 2001

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Centrale Maths 2 PSI 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Chevalier (ENS Ulm) ; il a été relu par Yohann
Genzmer (ENS Cachan) et Olivier Bertrand (ENS Lyon).

Cette épreuve propose différentes décompositions pour certaines classes de 
matrices. Elle comporte quatre parties de longueur et de difficultés inégales.
· La première partie montre dans quelles conditions une matrice possède une
décomposition comme produit d'une matrice triangulaire inférieure (avec des 1
sur la diagonale) et d'une matrice triangulaire supérieure, soit une 
décomposition LU (Lower-Upper en anglais). Elle présente ensuite une méthode 
assez
complexe pour déterminer L et U à partir de déterminants extraits de la matrice 
d'origine. Le sujet propose alors d'implémenter cette méthode dans un
langage de programmation au choix et de l'appliquer dans un cas particulier.
Malgré son intérêt théorique intrinsèque, cette méthode a été fortement 
critiquée par les candidats pour sa difficulté et le fait qu'elle soit si peu 
intuitive.
De plus, dans les faits, les décompositions LU sont utilisées (notamment) pour
simplifier la résolution de systèmes linéaires du type AX = Y où A est une
matrice carrée de grande taille et X et Y des vecteurs colonnes. Ce qui signifie
que la décomposition LU a un réel intérêt et est utilisée dans des algorithmes.
Proposer de la mettre en oeuvre en calculant de multiples déterminants, alors
que le calcul de déterminant est une opération algorithmiquement très coûteuse
en temps de calcul, est peu réaliste, d'autant qu'il existe une façon simple de
trouver L et U à partir de A par récurrence.
· La deuxième partie, plus courte, propose de montrer que l'on peut décomposer
une matrice symétrique définie positive en M = t BB où B est une matrice
triangulaire supérieure. Il s'agit de la décomposition de Cholesky, comme le
rappelle le sujet. La méthode proposée s'appuie sur la partie précédente et en
constitue une première application intéressante.
· La troisième partie présente la décomposition A = QR avec A une matrice
carrée quelconque, Q une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire
supérieure. La méthode proposée utilise une composition de symétries 
orthogonales (matrices de Householder) et permet de retrouver le procédé 
d'orthonormalisation de Schmidt sous une forme originale.
· La quatrième partie, après des préliminaires sur les normes de matrices, 
utilise
les résultats des parties précédentes pour étudier une suite de matrices et sa
convergence. Cette partie, plus originale que les autres, est aussi la plus 
difficile.
Le problème dans son ensemble a été considéré comme l'un des plus longs et
surtout des plus ardus des concours de cette année. Cependant, comme il présente
en même temps des méthodes classiques et des applications pratiques, il mérite 
sans
aucun doute qu'on lui consacre du temps, en exceptant peut-être les questions de
calcul de déterminants à la fin de la première partie.

Indications

Partie I
I.A.1 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton pour montrer que toutes les 
puissances de A sont triangulaires.
I.B.4 La question I.B.3 montre comment on peut réduire à zéro la dernière ligne
sous la diagonale de A. Appliquer la même idée à HA, et ainsi de suite pour
réduire à zéro les lignes une par une, en pensant à raisonner par blocs.
I.C.2.c Calculer les déterminants des Ak par blocs pour trouver une expression 
possible.
I.C.2.d Calculer le bloc (PA)j comme produit de (PL)j et de Uj , puis passer aux
déterminants.
I.C.2.e Même méthode qu'à la question précédente en remplaçant A par t A.
I.E.1.b Passer de l'équation LUX = AX = Y au système UX = V et LV = Y.
I.E.2 Chercher des matrices 2 × 2 non inversibles.

Partie II
II.A.1 Montrer que tous les déterminants extraits principaux sont non nuls en 
utilisant la caractérisation introduite à la question II.A.
II.B.2 Se ramener à une décomposition LU et utiliser le résultat d'unicité de la
question I.B.1.

Partie III
III.B.1 Raisonner par récurrence ; chaque matrice H annule une colonne sous la 
diagonale de A.
III.B.3 Supposer l'existence de deux décompositions et en déduire une matrice à 
la
fois triangulaire et orthogonale.
III.C Il s'agit du procédé d'orthonormalisation de Schmidt.

Partie IV
IV.E À différentes occasions, utiliser le fait que des fonctions polynomiales, 
des
inégalités larges, des identités, passent à la limite d'une suite convergente et
que si l'on a le résultat pour tous les termes d'une suite à partir d'un certain
rang, on l'obtient immédiatement pour la limite de cette suite.
IV.F Cette question est l'une des plus difficiles de l'épreuve. Les deux façons 
dont
on demande d'exprimer Ak sont
Ak = Q1 · · · Qk Rk · · · R1

et

e kR
e k RDk U
Ak = QQ

À partir de là, il faut identifier ces deux décompositions QR pour montrer en 
utilisant le passage à la limite que Q1 · · · Qk tend vers Q et que
Rk · · · R1 U-1 D-k R-1 tend vers In , lorsque k tend vers l'infini. L'étape 
suivante consiste à montrer que Ak U-1 D-k converge et que Ak converge vers
RDR-1 .

Partie I
I.A.1 Soit A une matrice triangulaire inversible ; pour fixer les idées, 
supposonsla triangulaire supérieure et nous verrons in fine comment récupérer 
les matrices
triangulaires inférieures.
n
P
Soit P(X) =
ai Xi le polynôme caractéristique de A. On sait que a0 = P(0) =
i=0

det(A) 6= 0 par hypothèse. On sait aussi que P(A) = 0n d'après le théorème de
Cayley-Hamilton.
 n

n
P
P
Puisque
P(A) = 0 =
ai Ai = a0 In + A
ai Ai-1
i=0

on a

A×

1
-a0

i=1

n
P

i=1

ai Ai-1

= In

On a donc exprimé l'inverse de A comme une combinaison linéaire de puissances
de A. Il reste à prouver que le produit de deux matrices triangulaires 
supérieures est
une matrice triangulaire supérieure. Si les coefficients des deux matrices sont 
notés
n
P
ai,j et bi,j , les coefficients du produit sont les ci,j =
ai,k bk,j ; mais ai,k = 0 dès
k=1

que k < i et bk,j = 0 dès que j < k. Si j < i, le produit ai,k bk,j est donc 
nul pour
tout k  [[ 1 ; n ]] :
j < i

ci,j = 0

Par conséquent, si A est triangulaire supérieure, alors toute puissance de A 
est triangulaire supérieure et toute combinaison linéaire de puissances de A 
est triangulaire
supérieure.
Le cas d'une matrice triangulaire inférieure se déduit du précédent grâce à la
t
t
t
relation (AB) = B A.
En conclusion, l'inverse d'une matrice triangulaire supérieure inversible est 
triangulaire supérieure. L'inverse d'une matrice triangulaire inférieure 
inversible est
triangulaire inférieure.
I.A.2 On montre que (Ln , ·) est un groupe et, plus précisément, un sous-groupe 
de
(GLn , ·).
· L'identité appartient à Ln ,
· Il faut aussi établir que Ln est stable par produit et par passage à 
l'inverse, mais
ces deux propriétés ont été vérifiées à la question précédente pour les matrices
triangulaires inférieures. Pour vérifier que ces opérations stabilisent Ln , il 
suffit
à présent de vérifier que le produit et l'inverse préservent la propriété 
d'avoir
des 1 sur la diagonale.
­ Pour le produit, on reprend le calcul ci-dessus et, si i = j, le seul terme 
non
nul de la somme qui définit ci,i apparaît pour i = k, donc ci,i = ai,i bi,i =
1 · 1 = 1.
­ Pour l'inverse, on considère le fait que si A et B sont inverses l'une de
l'autre, alors AB = In et on se ramène au cas du produit : on sait que les
ai,i sont tous égaux à 1 par hypothèse, et on veut montrer que les bi,i le
sont aussi. Mais les coefficients diagonaux de In valant 1, on se retrouve,
au vu du calcul précédent, avec n équations 1 = ai,i bi,i = 1 · bi,i d'où l'on
déduit immédiatement que tous les termes diagonaux de B sont égaux à 1,
donc que B  Ln .