Centrale Maths 2 PSI 2000

Thème de l'épreuve Caractérisation des polygones convexes de R2 à l'aide de familles de droites π-rationnelles
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, géométrie affine, géométrie euclidienne

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                       

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
  

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


MA THÉMA TIQUES Il Filière PSI MATHÉMATIQUES || Le but du problème est d'établir certains résultats sur les polytopes de IR" (voir définition plus loin) notamment lorsque n = 2 . ° Dans le problème on considère àla fois la structure vectorielle et la structure affine de IR" ; ainsi les éléments de IR" pourront être considérés soit comme des vecteurs, soit comme des points, ce qui permettra d'utiliser les notations classiques résultant de ce double point de vue : --> --> --> AB : B--A ; O = 0 (origine); OM : M--O : M,etc... ° L'espace ]R" est muni de sa structure euclidienne canonique. Il est orienté (si nécessaire) par la base canonique, considérée comme base orthonormale directe. Ainsi, le produit scalaire s'écrit : n (U|V) = 2 u,u,,si U = (u1,...,un) et V = (v,, ...,vn). i=1 n 2 "U" = Eu, ; i=1 la longueur du segment [A, B] est, par définition, la distance euclidienne entre A et B , c'est-à--dire "Æ" . La norme de U est notée ° On rappelle qu'une application affine de IR" dans lui-même est une applica- tion f , telle qu'il existe A & IR" et cp & fÏ(IR") pour lesquels, VM e IR", f(M) = f(A) +  . Dans ce cas, (p est appelée la partie linéaire de f . Définitions ° Combinaison affine, combinaison convexe : soient M1> Mp p points de IR" , À1, ..., À p réels de somme égale à 1 , on appelle combinaison affine Concours Centrale-Supé/ec 2000 1/8 MATHÉMATIQUES // Filière PSI Fil'ère PSI des points Mi(Ài) le point M : À1Ml + +ÀpMp barycentre des points M,- affectés des coefficients À, , ce qui se traduit vectoriellement par la relation --> p _) i = 1 Lorsque les À,-- sont tous positifs (Vi,À,- 2 O) , on parle de combinaison convexe. ° Ensemble convexe : soit C un sous--ensemble non vide de points de IR" . On dit que C est convexe s'il est stable par combinaison convexe. Cela signifie que pour tout p de IN*, pour tout p-- uplet (M 1, ..., M I,) de points de C et pour tout p-- uplet (À], Àp) de réels positifs, de somme égale à 1 on a p 2 À,Mi & C . i = 1 ° Polytope : on appelle polytope l'ensemble des combinaisons convexes d'une partie finie {M1,...,Mp} de IR" (p entier le). Cet ensemble, noté conv(Ml, Mp) , est défini par p p conv(Ml, ...,Mp) : {Me IR"| EI(À1,...,Àp) EUR lRÎ, E Ài=1 et M: E ÀiMi} i = 1 i = 1 Par exemple conv(Ml, M2) est le segment [M1, M2] . 0 en dimension 2, on parle de polygone convexe, . en dimension 3, on parle de polyèdre convexe. ° Point extrémal: soit C un sous-ensemble convexe de IR" , on dit qu'un point A e C est extrémal si C\{A} est encore convexe. Partie I - Quelques propriétés des polytopes I.A - I.A.1) Montrer que tout seg1nent de IR est convexe. I.A.2) Montrer que tout demi-plan fermé ou ouvert F de IR2 est convexe. On rappelle qu'un demi-plan fermé, respectivement ouvert, de IR2 peut être défini de la façon suivante : 2 --) E|Ue IR\{O} ,3ae1R,(Me F@(OM| U)M(t) : (t, t2,...,tn). p 7 ° Préciser la courbe obtenue lorsque n = 2. ° Soit P le polytope, ensemble des combinaisons convexes des points M(tl),...,M(tp), où t1,..., tp sont p réels distincts. Montrer que les points extrémaux de P sont les points M(t1),..., M(tp) . Indication : on pourra prendre pour chaque point M (ti) le vecteur . , n _) 2 Ui : (2ti, --1, O, O) , et pour dem1--espace ferme Fi : {Me IR |(OM|U,) Sti }. Partie II - Représentation complexe des endomorphismes de IR2 On assimile le plan vectoriel euclidien IR2 au corps 43 des nombres complexes en identifiant tout couple (x, y) & IR2 au nombre complexe z = x + iy . II.A - II.A.1) Soit f : z r--> f (2) une application de 03 vers 03. Montrer que les asser- tions suivantes sont équivalentes : ° f est IR-- linéaire, ° il existe des complexes oc et [3 tels que Vz & C, f (2) = ocz + 55. II.A.2) On considère une application IR-- linéaire de C vers C définie par f (2) : ocz + 62 . Montrer que det f : lool2 -- |[3l2 et en déduire une condition néces- saire et suffisante pour que f soit un automorphisme. II.A.3) Exemple : donner l'écriture complexe de la réflexion vectorielle (Le. la symétrie vectorielle orthogonale) f de IR2 dans IR2, d'axe la droite Concours Centrale-Supé/ec 2000 4/8 MATHÉMATIQUES II Filière PSI vgctorielle ô(9) d'angle polaire Ge [O,n[, c'est-à--dire de vecteur directeur U(9) : (cos6,sin6) . II.B - II.B.1) Soit p un entier p 2 3 . Montrer que le sous-ensemble H : {(zl,...,zp)e Cp 21+ +zp : O} de Cp est un hyperplan vectoriel. II.B.2) Soit w l'endomorphisme de Cp défini par 111 : (21,22,....,Zp)l-->(22,....,2p,21). On pose, pour tout k entier de [O,p-- 1] , Qk : (1, (ok, oe2k,..., oe(p_l)k) , avec (» = e p . ° Calculer wp . En déduire que q; est un automorphisme diagonalisable. ° Calculer w(Qk) . Que dire du résultat obtenu ? II.B.3) En déduire une base de l'hyperplan H . II.C - On suppose, au cours de cette question, que le vecteur V =(a1,...,ap)e cp appartient à l'hyperplan H , autrement dit que a1 + + a = 0 . p II.C.1) Justifier l'existence et l'unicité de (À], ...,Àp_1)e Cp _1 tel que p--1 V = E À.ka . k: 1 p 1 1 p 1 II.C.2) Montrer que À1 : 1--9 2 w "a, et que Àp_1 : ; z m" ar. r =1 r =1 II.C.3) On suppose que, |À1| : |Àp_1| ce qui signifie que (395 [O, 2n[),Àp_1 = ei9}tl. On pose: Vre [1,p1n1N, ocr = sin|î(r--I)ÊE--Q] . p 2 Montrer que: p p 2 our : 0 etque 2 O°rar : O. r=1 r=1 Concours Centrale-Supélec 2000 5/8 MATHÉMATIQUES // Filière PSI Partie III -- Étude des familles n-- rationnelles de droites vectorielles Toutes les droites considérées dans cette partie sont des droites vectorielles de IR2 On rappelle que, pour tout élément 9 de IR , on note ô(9) la droite vectorielle d'angle polaire 9 e [O, n[ du plan vectoriel IR2. Soit p un entier p 21. Une famille J: (d,... ,d p) 2de droites, est dite n-- rationnelle s'il existe un automorphisme f de IR2 tel que {d1,...,dp} = {f(ô('%D\ ke [O, p-11}. III.A - Exemples de familles de droites n-- rationnelles. III.A.1) Montrer qu'une famille (011) réduite à une droite ainsi qu'une famille (dl, dz) constituée de deux droites distinctes sont 71:-- rationnelles. III.A.2) Montrer qu'une famille (d1,d2,d3) constituée de trois droites deux à deux distinctes est elle aussi n-- rationnelle. III.B - Existence de familles de droites non n-- rationnelles. Soit ?: (d 1, d2, d3, d4) une famille constituée de quatre droites deux à deux distinctes. III.B.1) Pour tout j EUR [1,4] on note UJ. un vecteur directeur de la droite dj. Montrer que le rapport % : det(U1,U3) - det(U2,U4) det(U1,U4 )-det(U2,U3 ) ne dépend pas du choix des vecteurs directeurs UJ.. Il est recommandé, pourC la suite du problème, de les choisir unitaires en les écrivant U -- _j,(cose sin9 ). j J rapport sera noté 9? (/ ) III.B.2) Soit f un automorphisme de 1R2. On pose : f(% = (f(d1), f(d2), f(d3), f(d4)) . Montrer que 9Y(f(%) =.9ËÜÏ). III.C - III.C.I) Justifier l'existence, pour tout k & IN , d'un polynôme Tk à coefficients dans 1 tel que V6EUR IR, cos(k6)= Tk(cose). III. C. 2) Soit p un entier, p > 4. On considère une famille @_ -- (dl, d2, d3, d4) de quatre droites deux à deux distinctes extraites d'une famille n-- rationnelle ./ de p droites. Montrer l'existence d'une fraction rationnelle G à coefficients dans Concours Centrale--Supélec 2000 6/8 MATHÉMATIQUES // Filière PSI le corps @ des nombres rationnels, c'est-à-dire appartenant à ®(X ) , telle que l'on ait ÆQ)-- - G(cosp). III.C.3) On admet l'existence de nombres réels n'appartenant pas à l'ensemble 8 : U{G(cos --) qZ4 q Montrer que, pour tout entier p 2 4 ,il existe des familles non n-- rationnelles de p droites. GEQ(X)}- Partie IV - Identification par des rayons d'un polygone convexe. Dans toute cette partie on se placze dans IRZ. Soient @ un polygone convexe de IR2 et 9 un réel de [ O, 7t[. Pour tout réel x, on note A9 x'e la droite affine de vecteur directeur d'affixe e 6passant par le point d'affixe xie'e .On rappelle (cf. I. E. 4. que l'intersection A6,xñ mÿ , lorsqu'elle est non vide, est un segment. On note /(Ae'xñÿ ) sa longueur, que l'on prend nulle lorsque cette intersection est vide. On définit ensuite l'application Le, 93 : xe lRl-->/(Ae,xfiÿ)e IR. On considère deux polygones convexes @ et Q' de IR2. 0 Soit ô(9) une droite vectorielle fixée, où Be[ O, 7t[. .? et ÿ' sont dits ô(6)-- identifiables si les applications Le 9, et L9 93, sont égales. 0 Soit ?: (ô(91),..., ô(9p)) une famille de p droites vectorielles, avec p 2 1 . @ et ÿ' sont dits %identifiables si pour tout ie [1, p] les polygones @ et ÿ' sont ô(6i)-- identifiables, c'est-à-dire si (Vze [l,p]), LG.-,?" = LG.-,ÿ'" L'objectif de la partie IV - est de montrer qu'une famille convenablement choisie de quatre droites vectorielles suffit pour savoir si deux polygones convexes sont distincts. IV.A - IV.A.1) Trouver l'équation polaire de la droite A9,x . IV.A.2) Illustrer par un dessin la définition de la fonction Le ÿ, . Concours Centrale-Supélec 2000 7/8 MATHÉMATIQUES II Filière PSI IV.B - Le but de cette question est de montrer que si 97 est une famille de droi-- tes vectorielles permettant de savoir si deux polygones convexes ? et ÿ' sont distincts alors ? n'est pas n-- rationnelle. IV.B.1) Montrer que si f est une bijection affine de m2 de partie linéaire (p , et si .? et ÿ' sont des polygones convexes ô(9)-- identifiables, alors les polygones convexes f ( 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Maths 2 PSI 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Brice Goglin (ENS Lyon) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm), Gilles Radenne (ENS Ulm) et Sébastien Desreux (ENS Ulm). L'épreuve se compose de quatre parties. Les trois premières sont indépendantes, tandis que la dernière utilise certains résultats des précédentes. ­ On s'intéresse tout d'abord aux propriétés des polytopes (qui sont en fait des polygones convexes), dont on étudie tout particulièrement les points extrémaux. ­ Ensuite, on se place dans C pour représenter des automorphismes, les réflexions, puis un hyperplan particulier. ­ Dans la troisième partie, on étudie des familles de droites -rationnelles et on précise notamment un rapport caractéristique de quatre droites extraites d'une telle famille. ­ Enfin, on s'intéresse à l'identification des polytopes de R2 en utilisant les résultats des trois parties précédentes. Cette épreuve très longue est parfois assez calculatoire. Mais elle ne requiert que quelques connaissances en algèbre (essentiellement linéaire) et en topologie. Indications I.C.1 Faire apparaître i dans la décomposition d'un point dans une base de vecteurs simples. I.C.2 Supposer qu'un segment n'est pas inclus dans le polygone pour en déduire le placement incorrect de ses extrémités. I.E.1 Montrer que T est fermé et borné. I.E.4 Montrer que l'intersection est convexe, fermée, bornée et incluse dans une droite. I.F.1 Si un segment n'est pas dans le polygone privé de M1 , ce segment contient M1 . Une des extrémités du segment ne vérifie alors pas la relation définissant le demi-plan. I.F.2 Pour qu'une moyenne soit égale à a, il faut qu'une des valeurs que l'on moyenne vaille au moins a. II.C.2 Remarquer que les k forment une base orthogonale de Cn . III.A.1 Dans le cas de deux droites, choisir une base «proche» des droites , puis déterminer son image pour que l'automorphisme convienne. III.A.2 Utiliser une application linéaire qui à - i et - u associe des vecteurs directeurs 3 des deux premières droites. Etudier ensuite, en utilisant la linéarité, l'image qui doit diriger la troisième droite. de - u 2 3 III.B.2 Faire apparaître le déterminant de f dans chacun des déterminants du rapport étudié. III.C.1 On peut raisonner par récurrence. III.C.2 Représenter les vecteurs directeurs unitaires avec des fonctions trigonométriques, puis utiliser des relations classiques pour simplifier l'expression du rapport étudié. III.C.3 Prendre trois droites simples, puis choisir la quatrième pour obtenir le rapport recherché. IV.B.2 Utiliser la question II.A.3 . IV.B.3 Utiliser des directions orthogonales à celles utilisées pour faire des réflexions. IV.B.4 Utiliser la question IV.B.2 . IV.C Supposer les polygones différents, puis utiliser la propriété donnée par l'énoncé, et enfin la question III.C.2 pour obtenir une contradiction. Partie I Quelques propriétés des polytopes I.A.1 Considérons un segment [x, y] de R et deux points u et v dans ce segment. Une combinaison convexe de ces deux points s'écrit : > 0 µ>0 t = u + µv avec +µ=1 soit t = u + (1 - )v ( Or donc ( [ 0 ; 1 ] avec 0661 x6u6y x6v6y x 6 u 6 y (1 - )x 6 (1 - )v 6 (1 - )y En additionnant les deux lignes du système, on obtient x 6 t 6 y, et par suite t [x, y]. Conclusion : Tout segment de R est convexe. I.A.2 Une erreur s'est glissée dans l'énoncé : la caractérisation des demi-plans fermés fait bien sûr intervenir une inégalité large. M La caractérisation proposée par l'énoncé est intuitive, contrairement aux apparences. Une droite quelconque, notons-la D, partage le plan en deux demi-plans, qui sont fermés ou ouverts suivant qu'ils contiennent ou non la droite D. U A P2 O P1 D - Si U est un vecteur normal à D (on pose V = -U), et si a = (OA | U) et - b = (OA | V), alors les deux demi-plans fermés définis par D, notons-les P1 et P2 , sont caractérisés par -- M P1 (OM | U) 6 a M P2 -- (OM | V) 6 b Montrons qu'un demi-plan de R2 est convexe. Considérons un demi-plan ouvert F caractérisé par la relation -- M F (OM | U) < a Soient X et Y deux points de F et [0, 1]. Comme et 1- sont tous deux positifs, on a, par linéarité du produit scalaire : - - ( OX | U) < a et ((1 - ) OY | U) < (1 - )a En sommant ces deux inégalités et en notant Z la combinaison convexe X+(1-)Y, on obtient : - (OZ | U) < a Conclusion : Le demi-plan ouvert est convexe. Comme on peut appliquer la même méthode avec des inégalités larges, Le demi-plan fermé est convexe. I.A.3 Soient A un ensemble non-vide d'indices et une famille (C )A de convexes de Rn , d'intersection C non vide. Pour montrer que C est convexe, considérons n points x1 , . . . , xn de C (c'est possible car C n'est pas vide). Soit z une combinaison convexe de ces points ; les xi étant dans l'intersection des C , ils appartiennent à chaque C . Or ces derniers sont convexes, donc la combinaison convexe z appartient à chacun d'entre eux, et par suite elle appartient à leur intersection C, qui est donc stable par combinaison convexe. L'intersection d'une famille de convexes est convexe. Ce résultat est valable pour une intersection quelconque, y compris si la famille (C ) n'est pas dénombrable. I.B Soit C un sous-ensemble non-vide vérifiant M, N C par récurrence que la propriété P(p) : [M, N] C. Montrons C est stable par combinaison convexe de p éléments. est vraie pour tout p > 2. ­ P(2) est vraie, puisque toute combinaison convexe de deux éléments M et N appartient au segment [M, N] (d'après la question I.A.1), qui est inclus dans C par hypothèse. ­ P(p) = P(p + 1) : supposons P(p) vraie (p > 2) et montrons P(p + 1). p+1 P Soit M = i Mi une combinaison convexe à p + 1 éléments de points Mi C. i=1 Si l'un des i est nul, on a fini ; sinon, posons µi = i , p P j 16i6p j=1 Par construction, convexe N = p P p P µi = 1. D'après l'hypothèse de récurrence, la combinaison i=1 µi Mi est dans C. On a i=1