Centrale Maths 2 PSI 2000

Thème de l'épreuve Caractérisation des polygones convexes de ℝ2 à l'aide de familles de droites π-rationnelles
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, géométrie affine, géométrie euclidienne

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MA THÉMA TIQUES Il Filière PSI

MATHÉMATIQUES ||

Le but du problème est d'établir certains résultats sur les polytopes de IR" 
(voir
définition plus loin) notamment lorsque n = 2 .

° Dans le problème on considère àla fois la structure vectorielle et la 
structure
affine de IR" ; ainsi les éléments de IR" pourront être considérés soit comme
des vecteurs, soit comme des points, ce qui permettra d'utiliser les notations
classiques résultant de ce double point de vue :

--> --> -->
AB : B--A ; O = 0 (origine); OM : M--O : M,etc...

° L'espace ]R" est muni de sa structure euclidienne canonique. Il est orienté 
(si
nécessaire) par la base canonique, considérée comme base orthonormale
directe. Ainsi, le produit scalaire s'écrit :

n
(U|V) = 2 u,u,,si U = (u1,...,un) et V = (v,, ...,vn).

i=1
n
2
"U" = Eu, ;
i=1

la longueur du segment [A, B] est, par définition, la distance euclidienne entre
A et B , c'est-à--dire "Æ" .

La norme de U est notée

° On rappelle qu'une application affine de IR" dans lui-même est une applica-
tion f , telle qu'il existe A & IR" et cp & fÏ(IR") pour lesquels,

VM e IR", f(M) = f(A) +  .

Dans ce cas, (p est appelée la partie linéaire de f .
Définitions

° Combinaison affine, combinaison convexe : soient M1> Mp p points
de IR" , À1, ..., À p réels de somme égale à 1 , on appelle combinaison affine

Concours Centrale-Supé/ec 2000 1/8

MATHÉMATIQUES // Filière PSI

Fil'ère PSI

des points Mi(Ài) le point M : À1Ml + +ÀpMp barycentre des points M,-
affectés des coefficients À, , ce qui se traduit vectoriellement par la relation

-->

p
_)
i = 1
Lorsque les À,-- sont tous positifs (Vi,À,- 2 O) , on parle de combinaison 
convexe.

° Ensemble convexe : soit C un sous--ensemble non vide de points de IR" . On
dit que C est convexe s'il est stable par combinaison convexe. Cela signifie
que pour tout p de IN*, pour tout p-- uplet (M 1, ..., M I,) de points de C et
pour tout p-- uplet (À], Àp) de réels positifs, de somme égale à 1 on a

p
2 À,Mi & C .
i = 1
° Polytope : on appelle polytope l'ensemble des combinaisons convexes d'une

partie finie {M1,...,Mp} de IR" (p entier le). Cet ensemble, noté
conv(Ml, Mp) , est défini par

p p
conv(Ml, ...,Mp) : {Me IR"| EI(À1,...,Àp) EUR lRÎ, E Ài=1 et M: E ÀiMi}
i = 1 i = 1
Par exemple conv(Ml, M2) est le segment [M1, M2] .
0 en dimension 2, on parle de polygone convexe,
. en dimension 3, on parle de polyèdre convexe.

° Point extrémal: soit C un sous-ensemble convexe de IR" , on dit qu'un
point A e C est extrémal si C\{A} est encore convexe.

Partie I - Quelques propriétés des polytopes

I.A -

I.A.1) Montrer que tout seg1nent de IR est convexe.

I.A.2) Montrer que tout demi-plan fermé ou ouvert F de IR2 est convexe. On
rappelle qu'un demi-plan fermé, respectivement ouvert, de IR2 peut être défini
de la façon suivante :

2 --)
E|Ue IR\{O} ,3ae1R,(Me F@(OM| U)M(t) : (t, t2,...,tn).

p 7

° Préciser la courbe obtenue lorsque n = 2.

° Soit P le polytope, ensemble des combinaisons convexes des points
M(tl),...,M(tp), où t1,..., tp sont p réels distincts. Montrer que les points
extrémaux de P sont les points M(t1),..., M(tp) .

Indication : on pourra prendre pour chaque point M (ti) le vecteur

. , n _) 2
Ui : (2ti, --1, O, O) , et pour dem1--espace ferme Fi : {Me IR |(OM|U,) Sti }.

Partie II - Représentation complexe des endomorphismes de IR2

On assimile le plan vectoriel euclidien IR2 au corps 43 des nombres complexes
en identifiant tout couple (x, y) & IR2 au nombre complexe z = x + iy .

II.A -

II.A.1) Soit f : z r--> f (2) une application de 03 vers 03. Montrer que les 
asser-
tions suivantes sont équivalentes :

° f est IR-- linéaire,
° il existe des complexes oc et [3 tels que Vz & C, f (2) = ocz + 55.

II.A.2) On considère une application IR-- linéaire de C vers C définie par
f (2) : ocz + 62 . Montrer que det f : lool2 -- |[3l2 et en déduire une 
condition néces-
saire et suffisante pour que f soit un automorphisme.

II.A.3) Exemple : donner l'écriture complexe de la réflexion vectorielle (Le. la
symétrie vectorielle orthogonale) f de IR2 dans IR2, d'axe la droite

Concours Centrale-Supé/ec 2000 4/8

MATHÉMATIQUES II Filière PSI

vgctorielle ô(9) d'angle polaire Ge [O,n[, c'est-à--dire de vecteur directeur
U(9) : (cos6,sin6) .

II.B -

II.B.1) Soit p un entier p 2 3 . Montrer que le sous-ensemble
H : {(zl,...,zp)e Cp 21+ +zp : O}

de Cp est un hyperplan vectoriel.
II.B.2) Soit w l'endomorphisme de Cp défini par
111 : (21,22,....,Zp)l-->(22,....,2p,21).

On pose, pour tout k entier de [O,p-- 1] , Qk : (1, (ok, oe2k,..., oe(p_l)k) , 
avec

(» = e p .
° Calculer wp . En déduire que q; est un automorphisme diagonalisable.
° Calculer w(Qk) . Que dire du résultat obtenu ?

II.B.3) En déduire une base de l'hyperplan H .
II.C - On suppose, au cours de cette question, que le vecteur
V =(a1,...,ap)e cp

appartient à l'hyperplan H , autrement dit que a1 + + a = 0 .

p
II.C.1) Justifier l'existence et l'unicité de (À], ...,Àp_1)e Cp _1 tel que
p--1
V = E À.ka .
k: 1 p 1 1 p 1
II.C.2) Montrer que À1 : 1--9 2 w "a, et que Àp_1 : ; z m" ar.
r =1 r =1

II.C.3) On suppose que, |À1| : |Àp_1| ce qui signifie que
(395 [O, 2n[),Àp_1 = ei9}tl.

On pose:
Vre [1,p1n1N, ocr = sin|î(r--I)ÊE--Q] .
p 2
Montrer que:
p p
2 our : 0 etque 2 O°rar : O.
r=1 r=1

Concours Centrale-Supélec 2000 5/8

MATHÉMATIQUES // Filière PSI

Partie III -- Étude des familles n-- rationnelles de droites vectorielles

Toutes les droites considérées dans cette partie sont des droites vectorielles 
de IR2

On rappelle que, pour tout élément 9 de IR , on note ô(9) la droite vectorielle
d'angle polaire 9 e [O, n[ du plan vectoriel IR2. Soit p un entier p 21. Une
famille J: (d,... ,d p) 2de droites, est dite n-- rationnelle s'il existe
un automorphisme f de IR2 tel que

{d1,...,dp} = {f(ô('%D\ ke [O, p-11}.

III.A - Exemples de familles de droites n-- rationnelles.

III.A.1) Montrer qu'une famille (011) réduite à une droite ainsi qu'une famille
(dl, dz) constituée de deux droites distinctes sont 71:-- rationnelles.

III.A.2) Montrer qu'une famille (d1,d2,d3) constituée de trois droites deux à
deux distinctes est elle aussi n-- rationnelle.
III.B - Existence de familles de droites non n-- rationnelles.

Soit ?: (d 1, d2, d3, d4) une famille constituée de quatre droites deux à deux
distinctes.

III.B.1) Pour tout j EUR [1,4] on note UJ. un vecteur directeur de la droite dj.
Montrer que le rapport

% : det(U1,U3) - det(U2,U4)
det(U1,U4 )-det(U2,U3 )

ne dépend pas du choix des vecteurs directeurs UJ.. Il est recommandé, pourC la
suite du problème, de les choisir unitaires en les écrivant U -- _j,(cose sin9 
).

j J
rapport sera noté 9? (/ )

III.B.2) Soit f un automorphisme de 1R2. On pose :
f(% = (f(d1), f(d2), f(d3), f(d4)) .
Montrer que 9Y(f(%) =.9ËÜÏ).

III.C -

III.C.I) Justifier l'existence, pour tout k & IN , d'un polynôme Tk à 
coefficients
dans 1 tel que V6EUR IR, cos(k6)= Tk(cose).

III. C. 2) Soit p un entier, p > 4. On considère une famille @_ -- (dl, d2, d3, 
d4) de
quatre droites deux à deux distinctes extraites d'une famille n-- rationnelle ./
de p droites. Montrer l'existence d'une fraction rationnelle G à coefficients 
dans

Concours Centrale--Supélec 2000 6/8

MATHÉMATIQUES // Filière PSI

le corps @ des nombres rationnels, c'est-à-dire appartenant à ®(X ) , telle que
l'on ait

ÆQ)-- - G(cosp).

III.C.3) On admet l'existence de nombres réels n'appartenant pas à l'ensemble

8 : U{G(cos --)
qZ4 q

Montrer que, pour tout entier p 2 4 ,il existe des familles non n-- 
rationnelles de
p droites.

GEQ(X)}-

Partie IV - Identification par des rayons d'un polygone convexe.

Dans toute cette partie on se placze dans IRZ.

Soient @ un polygone convexe de IR2 et 9 un réel de [ O, 7t[. Pour tout réel x,
on note A9 x'e la droite affine de vecteur directeur d'affixe e 6passant par le 
point
d'affixe xie'e .On rappelle (cf. I. E. 4. que l'intersection A6,xñ mÿ , 
lorsqu'elle est
non vide, est un segment. On note /(Ae'xñÿ ) sa longueur, que l'on prend nulle
lorsque cette intersection est vide. On définit ensuite l'application

Le, 93 : xe lRl-->/(Ae,xfiÿ)e IR.

On considère deux polygones convexes @ et Q' de IR2.

0 Soit ô(9) une droite vectorielle fixée, où Be[ O, 7t[. .? et ÿ' sont dits
ô(6)-- identifiables si les applications Le 9, et L9 93, sont égales.

0 Soit ?: (ô(91),..., ô(9p)) une famille de p droites vectorielles, avec p 2 1 
. @
et ÿ' sont dits %identifiables si pour tout ie [1, p] les polygones @ et
ÿ' sont ô(6i)-- identifiables, c'est-à-dire si

(Vze [l,p]), LG.-,?" = LG.-,ÿ'"

L'objectif de la partie IV - est de montrer qu'une famille convenablement 
choisie
de quatre droites vectorielles suffit pour savoir si deux polygones convexes 
sont
distincts.

IV.A -
IV.A.1) Trouver l'équation polaire de la droite A9,x .
IV.A.2) Illustrer par un dessin la définition de la fonction Le ÿ, .

Concours Centrale-Supélec 2000 7/8

MATHÉMATIQUES II Filière PSI

IV.B - Le but de cette question est de montrer que si 97 est une famille de 
droi--
tes vectorielles permettant de savoir si deux polygones convexes ? et ÿ' sont
distincts alors ? n'est pas n-- rationnelle.

IV.B.1) Montrer que si f est une bijection affine de m2 de partie linéaire (p , 
et
si .? et ÿ' sont des polygones convexes ô(9)-- identifiables, alors les 
polygones
convexes f (