Centrale Maths 1 PSI 2025

PSI
4 heures

Calculatrice autorisée

2025

Mathématiques 1

Conditionnement d'une matrice et applications
Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel non nul, et on rappelle que 
Mn (R) désigne l'ensemble des matrices
carrées à n lignes et n colonnes. On note Dn (R) le sous-espace vectoriel de Mn 
(R) des matrices diagonales.
On rappelle que l'on désigne par M  la transposée d'une matrice M .
Pour alléger les notations, on identifiera les vecteurs de Rn aux matrices 
colonnes de Mn,1 (R).
On désignera par B = (E1 ,E2 , . . . ,En ) la base canonique de Rn .
v
uX
u n 2
n
n
On munit R de la norme ·, en posant pour tout x = (x1 , . . . ,xn )  R , x = t
xi qui est la norme euclidienne
i=1

associée au produit scalaire canonique ·,· de Rn où par définition, pour tout X 
et Y de Rn , X,Y  = X  Y .
Pour toute matrice M de Mn (R) on note  (M ) le réel défini par :

 (M ) =

max

||.

SpC (M )

On note par ailleurs Sn+ (R) l'ensemble des matrices symétriques positives de 
Mn (R) et par Sn++ (R) l'ensemble des
matrices symétriques définies positives de Mn (R).

Partie A ­ Construction d'une norme sur Mn (R)
On se propose dans cette partie de montrer que l'application N donnée sur Mn 
(R) par :
N : A 7- sup AX
X=1

est une norme sur Mn (R) et d'en étudier quelques propriétés.

I ­ Étude de l'application N
Dans toute cette partie, on considère A une matrice quelconque de Mn (R) dont 
on note L1 , L2 , . . ., Ln les n lignes
et C1 , C2 , . . .Cn les n colonnes, que l'on pourra identifier à des éléments 
de Rn .
Q1. Soit X  Rn tel que X = 1. En notant M = max Li , montrer que :
1in

AX  M n.
On pourra au préalable s'intéresser à la ie ligne de la matrice AX et utiliser 
l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour
les vecteurs de Rn .
Q2. En déduire que l'application N est bien définie, puis que :

AX0 
.
X0 =0 X0 

N (A) = sup

Q3. Montrer que l'application N ainsi définie est une norme sur Mn (R).
Q4. En est-il de même pour l'application S :

Mn (R) -
M
7-

R+
?
 (M )

Q5. Soit   Dn (R) dont on note 1 , . . ., n les termes diagonaux.
Vérifier que N () = max |i |.
1in

1/4

Q6. À l'aide de l'application X 7- AX, démontrer que :
Q7. Établir que :

N (A) = max AX.
X=1

X  Rn , AX  N (A) X.

Q8. Soit B une autre matrice quelconque de Mn (R). Montrer que :
N (AB)  N (A) N (B) .
Q9. Montrer que :

max Ci   N (A).

1in

Q10. Déterminer N (A) dans le cas où toutes les colonnes de A sont nulles, sauf 
la dernière.

0 0 0
En déduire N (A) dans le cas où A = 0 0 -1.
0 0 1

II ­ Cas des matrices orthogonales et symétriques
Dans cette partie, A désigne une matrice quelconque de Mn (R) et U une matrice 
orthogonale de Mn (R).
Q11. Déterminer N (U ).
Q12. Démontrer que N (U A) et N (A) sont égales.
Q13. En considérant X0  Rn où X0  = 1 tel que AX0  = N (A), démontrer que N (AU 
) = N (A).
Q14. On suppose de plus dans cette question uniquement que la matrice A est une 
matrice symétrique réelle de
Mn (R).
Montrer que : N (A) = (A).

2 1 1
Q15. Déterminer N (A) dans le cas où A = 1 2 1.
1 1 2

Partie B ­ Conditionnement d'une matrice pour la norme N
On définit sur GLn (R) l'application notée cond par :

cond :

GLn (R) -
A
7-

R

N (A) N A-1

I ­ Quelques résultats sur le conditionnement
Dans toute cette sous-partie, A désigne une matrice inversible de Mn (R) et U 
une matrice orthogonale de Mn (R).
Q16. Montrer que :

1  cond (A).

Q17. Quel lien a-t-on entre cond (A) et cond (A) pour   R ?
Q18. Démontrer que cond(U ) = 1.
Q19. Que dire de cond(U A), cond(AU ) et de cond(A) ?

II ­ Un exemple de minoration du conditionnement d'une matrice
On suppose dans cette partie uniquement que A = (ai,j ) 1in où :
1jn

Q20. On considère le vecteur X de Rn donné par :

X=

n
X
k=1

Montrer que AX = En .

Q21. Déduire de ce qui précède que N A-1  2n-1 .
Q22. Justifier AE2  > 2, pour en déduire que cond(A) > 2n .

2/4

 1
2
ai,j =

0

(-1)n-k 2n-k Ek .

si
i=j
si
j =i+1 .
sinon

Partie C ­ Conditionnement pour une matrice réelle inversible
Q23. Soit S une matrice de Sn+ (R).
On considère C = (V1 , . . . ,Vn ) une base diagonalisante orthonormée de Rn où 
pour tout i  {1, . . . ,n}, Vi est un
vecteur propre associé à la valeur propre notée i et où l'on suppose que 1  . . 
.  n sont les valeurs propres
de S comptées avec leur ordre de multiplicité.
Montrer que : N (S) = max |SX,X|.
X=1

Q24. Soit A  Mn (R) non nulle.

Démontrer que la matrice A A appartient à Sn+ (R) pour établir que N A A = N 
(A)2 .
p
Q25. Déduire de ce qui précède que pour A  Mn (R) non nulle : N (A) =  (A A).
Q26. On suppose dans cette question que A est une matrice Mn (R) inversible.
En remarquant que A A = A-1 AA A, démontrer que les matrices AA et A A ont 
exactement les mêmes
valeurs propres.
Q27. Soit A  Mn (R) inversible. On note µm et µM respectivement la plus petite 
et la plus grande des valeurs
propres de la matrice AT A et où l'on suppose que l'on a 0 < µm  µM . r µM Montrer que : cond (A) = . µm Q28. Exprimer cond (A) lorsque A appartient à Sn++ (R) à l'aide des valeurs propres de A en remarquant que A A = A2 . Partie D ­ Calcul explicite de conditionnement Dans toute cette partie, on désigne par T la matrice de Mn (R) donnée par : 2 -1 T = (0) -1 .. . .. .. .. . . . -1 (0) . -1 2 Le but de cette partie est de déterminer la valeur de cond(T ) en commençant par déterminer les éléments propres de la matrice T . Q29. Montrer que les valeurs propres de T sont réelles. Q30. Soit k  N tel que k  (n + 1)Z. On considère le vecteur Uk de Rn donné par : k 2k (n - 1)k nk , sin , . . . , sin , sin . Uk = sin n+1 n+1 n+1 n+1 Montrer que Uk est un vecteur propre de T et préciser la valeur propre associée. Q31. En déduire l'ensemble des valeurs propres de T . Q32. Déterminer alors la valeur de cond(T ). Partie E ­ Inégalité de Kantorovich Dans toute cette partie, A désigne une matrice de Sn++ (R) et on désigne par 1 , . . . ,n l'ensemble de ses valeurs propres où l'on suppose que 0 < 1  2  . . .  n et comptées avec leur ordre de multiplicité, et on désigne par C = (V1 , . . . ,Vn ) une base orthonormée de Rn formée de vecteurs propres de A. On se propose d'établir le résultat suivant, appelée inégalité de Kantorovich : (K) : n 4 X  R , X  AX,X A -1 1 X,X 4 3/4 1 p + cond(A) !2 p cond(A) 4 X . I ­ Une première démonstration On désigne par P le polynôme de R[X] donné par P = X 2 - (1 + n ) X + 1 n . Q33. Exprimer cond(A) à l'aide des valeurs propres de A. Q34. On admet que l'application (·,·)A : Rn × R n (X,Y ) - 7- R est un produit scalaire sur Rn . AX,Y 4 À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que : X  Rn , X  AX,X A-1 X,X . Q35. Montrer que : k  {1, . . . ,n} , P (k )  0. Q36. Déterminer les valeurs propres de la matrice B = A-1 P (A) et en déduire que BX,X  0 pour tout X  Rn . Q37. Pour X  Rn fixé, on désigne par f la fonction polynôme de degré 2 définie par : f: R - R 2 7- AX,X 2 - (1 + n ) X  + 1 n A-1 X,X Vérifier que f (1) = BX,X, montrer que f (0)f (1)  0, puis établir que : () : 2 4 (1 + n ) X - 4 AX,X A-1 X,X 1 n  0. Q38. Déduire de ce qui précéde l'inégalité de Kantorovich. II ­ Une deuxième démonstration On admet que, pour établir la relation (K), il suffit de la vérifier pour un vecteur X de norme 1. Dans toute cette partie, X = (x1 , . . . ,xn ) désigne donc un vecteur de Rn de norme 1 dont les coordonnées sont données dans la base C. On considère alors un espace probabilisé (,A,P), et on définit la variable aléatoire Z par : Z () = {1 , . . . ,n } et : i  {1, . . . ,n} , P ([Z = i ]) = x2i Q39. Justifier que l'on définit bien une loi de probabilité pour Z. Q40. Justifier que Z et 1 admettent une espérance, puis les exprimer en fonction de AX,X et de A-1 X,X . Z Q42. En déduire alors que : 1 1 + n - Z . Z 1 n 2 2 1 1 1 + n (1 + n ) E (Z) E - E (Z) - + . Z 1 n 2 41 n Q43. Déduire de ce qui précède la seconde partie de l'inégalité de Kantorovich. Fin 4/4 M073 - 28 avril 2025 - 14:51:20 c b e a Q41. En remarquant que la variable aléatoire (Z - 1 ) (Z - n ) est négative, établir l'inégalité suivante :