Centrale Maths 1 PSI 2023

Thème de l'épreuve Caractérisation de certains endomorphismes de ℳn(ℝ)
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, calcul matriciel, réduction
Mots clefs diagonalisation, rang, trace, polynôme caractéristique, changement de bases

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Mathématiques 1
PSI

4 heures Calculatrice autorisée

2023

Notations et rappels

Dans tout le problème, n est un entier naturel non nul. On identifie un vecteur 
de R" et la matrice colonne à n
lignes formée de ses coordonnées dans la base canonique de R". L'élément nul de 
R" est noté Op.

L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels est noté M,,(R) 
et l'ensemble des matrices inver-
sibles d'ordre n est noté GL,,(R). On désigne par 1, la matrice identité 
d'ordre n et par 0,, la matrice nulle
d'ordre n.

Pour toute matrice M de M, (R), on appelle image de M, notée Im M l'image de 
l'endomorphisme de R'
canoniquement associé à M et on appelle noyau de M, noté ker M, le noyau de cet 
endomorphisme.

Pour toute matrice M de M,,(R), on note M sa transposée, det(M) son 
déterminant, rg(M) son rang, tr(M)
sa trace, X1, Son polynôme caractéristique et SPe (M) l'ensemble de ses valeurs 
propres complexes. On rappelle
que M et MT ont le même rang et le même déterminant.

On note 7 la transposition dans M, (R), c'est-à-dire l'application qui à toute 
matrice M associe MT.

Si B -- (e,,....,e,) et 8° -- (e,...,e") sont deux bases de R° et si f est un 
endomorphisme de R", on note
Mz,#(f) la matrice dont, pour tout entier j EUR [1,n], la j-ième colonne est 
formée des coordonnées du vecteur
f(e;) dans la base 87.

Lorsque 8 -- 7, on simplifie la notation M; 4(f) en MZ(f) qui désigne la 
matrice, dans la base 3, de
l''endomorphisme f. On définit la suite des puissances de f en posant

0 = Idpn,
VEEN,  fétl=foft.

p p

Si II = Sa X* est un polynôme de R[XT, on rappelle que I(f) = ÿ az f.
k=0 k=0

Lorsque M,,..., M, désignent des matrices carrées d'ordres respectifs n,,..,n,, 
on note diag(MW,,...., M,) la

matrice carrée d'ordre n, +. + n4, diagonale par blocs, égale à

M, O0 ... O0
0 M, :
: 0
0 ... O0 M,

On dit qu'un endomorphisme & de M,,(R)

-- conserve le rang si VM EUR M, (R), rg(®(M)) = rg(M):

-- conserve le déterminant si VM EUR M, {(R), det(&(M)) = det(M) :

-- conserve la trace si VM EUR M, {(R), tr(£(M)) = tr(M) ;

-- conserve le polynôme caractéristique si VM EUR M, (R), X&(m) = Xm:

L'objectif du problème est de caractériser les endomorphismes réalisant l'une 
de ces propriétés.

I Résultats préliminaires

TA --- On suppose que EUR, F et G sont trois bases de R" et que f et g sont 
deux endomorphismes de R?.
Q 1. Question de cours. Démontrer que

Me s(9 o f) = My 9(9) Me y (F).
Q 2. En déduire qu'il existe deux matrices P et Q appartenant à GL,,(R) telles 
que

My,g(f) = PMe(f)Q.

I.B - On suppose que M est une matrice de M,,(R).

Q 3. Soit À EUR EUR une valeur propre de M et X un vecteur propre associé. 
Montrer que, pour tout entier
naturel &, MF X = XËX.

M056/2023-03-09 10:03:27 Page 1/5 [(@Ghsey-\c-sA
Q 4.

En déduire que, si II EUR RÎX] est un polynôme annulateur de M, alors toute 
valeur propre complexe

de M est une racine dans C de IL.

II Étude de quelques endomorphismes de M, (R)

IT. À --

Multiplication à gauche par une matrice donnée

L'ensemble des endomorphismes de M,,(R) est noté £L(M, (R)).
Pour toute matrice À EUR M, (R), on note l'4 l'application

Q 5.
Q 6.
Q 7.

v MUR) + MR)
ACT M = AM

Vérifier que, pour toute matrice À EUR M, (R), l', appartient à LM, (R)).
Démontrer que, si À appartient à GL,,(R), alors l', conserve le rang.

Démontrer que l'application

est linéaire et injective.

Dans la suite de cette sous-partie IL.A, À est un élément fixé de M, (R).

Q 8.
Q 9.

Q 10.

lisable.
Q 11.
Q 12.

IL.B --

Démontrer que Vk EN, Lux = (T'4)f.
En déduire que, pour tout polynôme II de R[X|, ca) = (T1).

À l'aide du résultat précédent, démontrer que À est diagonalisable si et 
seulement si E A est diagona-

Démontrer que x, est un polynôme annulateur de [", et que Xr, est un polynôme 
annulateur de À.
En déduire que Sp, (T1) = Sp.(À).

Multiplication à gauche et à droîte par des matrices inversibles avec ou sans 
transposition
préalable

Pour toutes matrices P et Q appartenant à GL,,(R), on considère les applications

5. (MUR) + M, (R)
PQ M = PMQ
pl MnR) + MR)
PGl M + PM'Q

On admet que ®, Q et VW} Q sont des endomorphismes de W,,(R).

On pose

Q 13.

II.B.1)
Q 14.

proques.

Q 15.
Q 16.

minant.

Q 17.
II.B.2)

Q 18.
Q 19.

2 2
Li ={br0l(P.Q)E(GL(R)} et £= {vo l(P.Q)E (GL,(R)) }.
Démontrer que Z, U £, est stable par composition, c'est-à-dire que
V(O,9')e(£, UZ,), G00"E ZL, U £Ls.

Soient P et Q deux matrices de GL,,(R).

Montrer que ®PQ et VhQ sont des automorphismes de M,(R) et préciser leurs 
applications réci-

Montrer que ®, Q et Vp Q conservent le rang.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur Pet Q pour que ®,, et V0 
conservent le déter-

Montrer que ®h p 1 et Vh P 1 conservent le polynôme caractéristique.

Dans cette section, on prend n > 2.
Montrer que J EUR LL, et T EUR £:.

En déduire que les ensembles Z, et Z;, sont disjoints.

M056/2023-03-09 10:03:27 Page 2/5 (cc) BY-NC-SA
IIT Endomorphismes de rang donné
On suppose que f est un endomorphisme de R"?. Son noyau est noté ker(f).

IIT.A -- On suppose dans cette sous-partie que f est un isomorphisme. On se 
donne une base B = (e,,..,e,)
de R". On note 8' la base

B' -- (fe), f(e,)).
Q 20. Déterminer Mz #(f).

IIT.B -- On suppose dans cette sous-partie que f n'est pas l'endomorphisme nul 
et que ker(f) Æ {Opn }.
Soit B, une base de ker(f), que l'on complète (à gauche) en une base B = 
(e,,...,e,,B,) de R".

Q 21. Montrer que la famille (f(e1). us f(ex)) est libre.

Q 22.  Justifier que k < n. On complète la famille (f(e;),....., f(e,)) en une base B° = (f(e;),...., f(ey), fr: f,) de R. Q 23. Déterminer My #(f). ITIT.C -- Dans toute la suite du problème, pour tout entier entier naturel r EUR [0,n], on note Jhr = diag(1,,0, ,) DT en convenant que J,,, = 1, et Jon = 0. Soit M un élément de M,,(R) de rang r. Q 24. Montrer qu'il existe deux matrices P et Q de GL,,(R) telles que M = PQ nr). IIT.D -- On suppose dans cette sous-partie que n = 2 et que À et B sont deux éléments de M,(R) de rang 1. On suppose que Im À et Im B sont distinctes. Q 25. Montrer qu'il existe deux matrices P, et Q, de GL;(R) telles que a=r;( 1) et B=r,(? 3): où à et 5 sont des réels, non tous deux nuls. IV Endomorphismes de M,(R) conservant le rang Dans toute cette partie, on suppose que n = 2. On désigne par B., = (B,,B;, B:, B,) la base canonique de M,(R), avec 1 0 0 I 0 0 0 0 (oo) 8) #-(00) « #-(53) AG Q 26.  Expliciter la matrice de la transposition 7 dans la base canonique de M,(R). Cette matrice de M,(R) sera notée T.. Q 27. Justifier sans calcul que T est diagonalisable Q 28. Préciser les valeurs propres et les sous-espaces propres de 7. On se donne deux éléments P et Q de GL,(R), p=(? 4) et o=(" 1) Q 29. Montrer que la matrice, dans la base 3,,, de l'endomorphisme ®, ,, est de la forme au bU cU  dU où U est un élément de M,(R) à déterminer. M056/2023-03-09 10:03:27 Page 3/5 (cc) BY-NC-SA On suppose dans la suite de cette partie que ® est un endomorphisme de M,(R) conservant le rang. IV.B -- Q 30. Montrer que ® est un automorphisme de M,(R). Q 31. Déterminer les rangs de ®(B,), ®(B,), ®(B, + B;). En déduire l'existence de deux matrices P, et Q; de GL,(R), telles que : 1 0 0 O0 Pr ©, ° P(B:) -- (6 :) et Pr ©, ° P(B;) -- e 4) où a et B sont des réels tels que (a, 5) Æ (0,0). On adopte alors les notations suivantes : ® =, © °®, M°=Mz (). Pour tout j EUR {1,2,3,4}, B° -- d'(B;) et C; = (a;,b;,c;, di) désigne la j-ième colonne de la matrice M. Q 32. Déterminer C, et C4. Q 33.  Démontrer que Vi EUR {1,2,3,4}, a;d, -- b,c; = 0. Q 34. En considérant le rang des matrices B° + B; et B° + B;, démontrer que d; = d3 = 0. On déduit des deux questions précédentes que boco = 03C3 = 0. IV.C - On suppose dans cette sous-partie que EUR = 0. Q 35. En étudiant det(WM"), démontrer que les nombres b,, c:, d, sont tous trois non nuls. Q 36. En utilisant les résultats de la question précédente et en considérant les rangs des matrices B, + B, B;, + B° et B° + B; + B, + B°, démontrer que 1 a 0 0 0 db, 0 0 M 0 0 EUR EUR 0 0 0 d, avec C4 = QoC» et dy = Dos. Q 37. En déduire que ® appartient à £.. IV.D -- On suppose à présent que © Æ 0. Q 38.  Démontrer que la matrice, dans la base B,., de l'endomorphisme ®&' °T de M, (R) est égale à Ca ? 1 a; &@) 0 0 bd, 0 0 O0 C3 Co GC 0 0 0 d, Q 39.  Démontrer que EUR; = 0. Q 40. En déduire que ® appartient à £o. On a ainsi démontré, pour n = 2, qu'un endomorphisme de M,,(R) conserve le rang si et seulement s'il appartient à £, U Lo. On admet que ce résultat est encore valable lorsque n est un entier strictement supérieur à 2. V Endomorphisme de M,,(R) conservant le déterminant ou le poly- nôme caractéristique V.A --- On suppose dans cette sous-partie que n = 2 et que ® est un endomorphisme de M,(R) conservant le déterminant. On considère une matrice À non nulle de M,(R) vérifiant P(A) = 0. Q 41. Montrer que À est de rang 1. La partie IT assure l'existence de deux éléments P et Q de GL,(R) tels que A -- PJ 10Q. On pose alors N = P(L, -- J, 1)Q. Q 42. En calculant de deux manières différentes det(A + N), aboutir à une absurdité et conclure que ® est un automorphisme de M,(R). M056/2023-03-09 10:03:27 Page 4/5 (cc) BY-NC-SA Q 43. En discutant selon les valeurs possibles du rang, démontrer que ® conserve le rang. On a ainsi démontré que tout endomorphisme de M,(R) qui conserve le déterminant conserve le rang. On admet que ce résultat s'étend au cas où n est un entier naturel non nul quelconque. Q 44.  Caractériser les endomorphismes de WM,,(R) qui conservent le déterminant. V.B -- On revient au cas général où n est un entier naturel non nul. V.B.1) Propriétés de la trace Q 45.  Démontrer que l'application M,(R) -- RK M H tr(M) est une forme linéaire vérifiant V(A,B)e(M,(R)),  t(AB) = tr(BA). Q 46. Montrer que l'application (M,(R)) -- R ( & J È --| S est un produit scalaire sur M, (R). Q 47. En déduire que, si une matrice À de M, (R) vérifie VMEM,(R),  tr(AM)=0. alors À = 0. V.B.2) Application à la caractérisation des endomorphismes de M,,(R) conservant le polynôme caractéristique Q 48.  Démontrer qu'un endomorphisme de M, (R) qui conserve le polynôme caractéristique conserve égale- ment le déterminant et la trace. Q 49.  Caractériser les endomorphismes de M,,(R) qui conservent le polynôme caractéristique. eeoeFrINeee M056/2023-03-09 10:03:27 Page 5/5 (cc) BY-NC-SA