Centrale Maths 1 PSI 2022

Mathématiques 1
PSI

4 heures Calculatrice autorisée

2022

Notations et rappels

Pour n et p deux entiers naturels non nuls, on désigne par M 52 (R) l'ensemble 
des matrices à n lignes et p
colonnes à coefficients dans R et V,,, l'ensemble des matrices à n lignes et p 
colonnes à coefficients dans {--1,1}.
Si M est une matrice de M, ,(R), on note M sa transposée.

Une matrice M de M,.(R) est antisymétrique si MT = -M.

On désigne par M,(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients 
réels, Z, la matrice identité
d'ordre n et 0,, la matrice nulle d'ordre n.

Si M E M,{(R), on note tr(M) sa trace.
On note SL, (R) le sous-ensemble de M,,(R) formé des matrices inversibles.
On définit la suite des puissances de M par

M°=I,
VEN, Mt =MME

Une matrice M EUR M,,(R) est dite nilpotente s'il existe un entier naturel k > 
1 tel que MF --0,.
On note W,, le sous-ensemble de M,,(R) formé des matrices nilpotentes.

Si U est une partie d'un espace vectoriel E, on note Vect(U) le sous-espace 
vectoriel de E engendré par U.
Toutes les variables aléatoires considérées dans les parties IT, IIT et IV sont 
définies sur un même espace proba-
bilisé discret (Q,.4, P).

Étant donné une variable aléatoire réelle Z, on note, sous réserve d'existence, 
E(Z) son espérance et V(Z) sa
variance.

On pourra utiliser, sans démonstration, le résultat suivant, connu sous le nom 
de lemme des coalitions :

Si X,,.,X, sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes, 
alors, pour tout
entier naturel & EUR [1, N -- 1], toute fonction f de R° dans R et toute 
fonction g de de RV--F dans
R, les variables aléatoires f(X:,...,X,) et g(X4,,1...., Xn) sont indépendantes.

Dans la partie III, l'espace vectoriel M, ,(R) est muni de sa structure 
euclidienne canonique. Son produit
scalaire est noté (:|:).

On note ch la fonction cosinus hyperbolique.

Objectifs du problème et articulations entre les différentes parties

Ce problème porte sur l'étude de certains sous-ensembles de M,,(R) et de M, 
,(R), où n est un entier naturel
non nul.

Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de l'ensemble W,,. Dans les 
parties IT et IIT, on s'intéresse à
des variables aléatoires réelles et matricielles à coefficients dans {--1,1}. 
Dans la partie IV, on établit, à l'aide
d'outils d'analyse et de probabilités, l'existence d'une famille de vecteurs 
unitaires de W,, ,(R) vérifiant certaines
propriétés de nature euclidienne.

Les quatre parties du problème sont largement indépendantes les unes des 
autres. Cependant, le résultat de la
question 9 est utilisé dans la sous-partie IL.C, ceux des questions 14 et 16 
sont utilisés dans la sous-partie IT.D
et celui de la question 19 dans la partie IV.

I Partie I
I.A --- Quelques résultats préliminaires
Q 1. Démontrer que l'application
M,(R) -- R
M BB  tr(M)

est une forme linéaire et que

V(A,B)e(M,(R)),  tr(AB) = tr(BA).

M060/2022-02-01 19:17:35 Page 1/5 CIEL
Q 2. Montrer que l'application

(M,(R)) -- R
(AB) + tr(A'B)

est un produit scalaire sur M, (R).
Q 3. En déduire que si À est une matrice de M,,(R) vérifiant A! A = O0 alors À 
= 0.

I.B -- Quelques propriétés de N,,

Q 4. Montrer que, si À EUR M, (R) est nilpotente, alors 0 est une valeur propre 
de À et que c'est la seule
valeur propre complexe de À.

Q 5. Déterminer la trace et le déterminant d'une matrice nilpotente de M,,(R).
Q 6. Montrer que, si M EUR M, (R) est nilpotente, alors M* est nilpotente.

Q 7. On suppose que M et N sont deux matrices nilpotentes qui commutent. 
Montrer que MN et M +N
sont nilpotentes.

Q 8. On suppose que M, N et M + N sont nilpotentes. En calculant (M + N)° -- M° 
-- N°, montrer que
tr(MN) = 0.

Q 9. Démontrer qu'une matrice M de M,(R) est nilpotente si et seulement si 
det(M) = tr(M) = 0.

Q 10. Montrer que la seule matrice réelle nilpotente et symétrique est la 
matrice nulle.

Q 11. Soit À une matrice antisymétrique réelle et nilpotente. Montrer que A! A 
= 0,,, puis que À = 0...

Q 12. On suppose n > 3. Donner un exemple de matrice de M, (R) de trace nulle 
et de déterminant nul,
mais non nilpotente.

IT Matrices aléatoires à coefficients dans {--1,1}

IT. À -- Quelques résultats algébriques

Soit (E,,..,E,,) la base canonique de WM,, ,(R). On note V -- dE.

k=1
Q 13. Pour ie {[1,n], exprimer Æ; en fonction de V et de V --2F;. En déduire 
que M,, ,(R) = Vect(", :).
(L'ensemble V,,, a été défini dans les notations présentées au début du 
problème.)

Soient C1,...,C,, n matrices colonnes de M, :(R), avec C; non nulle.

Q 14.  Démontrer que, si la famille (C,,...,C,,) est liée, alors il existe un 
unique j EUR [1,n -- 1] tel que

(C:,...,0;) est libre
C'iy1 EUR Vect(C:,....,C)

J J

Soit dE [1,n], (U;,...,U,) une famille libre de M, ,(R) et H = 
Vect(U;,.....,U;).

Q 15.  Démontrer qu'il existe des entiers 2,,...,2, vérifiant 1 < 2, <: < 3, < n tels que l'application H + Mia (R) Li Vis R Ty To, soit bijective. On pourra s'intéresser au rang de la matrice de M,, ;(R) dont les colonnes sont U,,..., U}. Q 16. Soit W un sous-espace vectoriel de W,, ,(R) de dimension d. Démontrer que card(W NV, 1) < 2% II.B --- Une loi de probabilité On dit qu'une variable réelle X suit la loi À si X(Q)=1{-1,1},  P(X = -1) = P(X = 1) = Q 17. Si X suit la loi À, préciser la loi de la variable aléatoire & +1). Q 18. Calculer l'espérance et la variance d'une variable suivant la loi Æ. M060/2022-02-01 19:17:35 Page 2/5 (cc) BY-NC-SA Q 19. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes, suivant chacune la loi À. Déterminer la loi de leur produit XY. IT.C -- Un premier procédé de génération de matrices aléatoires à coefficients dans {--1,1} Jusqu'à la fin de la partie II, n est un entier naturel non nul et m,; (1 < 1,3 < n) sont n' variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes suivant toutes la loi À. La variable aléatoire matricielle M, = (m est alors à valeurs dans V,, .. On pose 7,, = tr(M,,) et 0, = det(M,,). Q 20. Calculer l'espérance et la variance de la variable 7... iji P(C;,1 EUR Vect(C,.....,C)).

J J

S.
Il
+=

Q 30. Justifier que, pour tout j EUR [1,n -- 1],

P(C,1 EUR Vect(C,,.....,C;)) = > P(C,,1 EUR Vect(u,,.....,u;)) P((C =w)N-N(C;, 
= v,)).

J
(U1,..,0;)EVY, à

M060/2022-02-01 19:17:35 Page 3/5 (cc) BY-NC-SA
Q 31. En déduire que, pour tout j EUR [l1,n --1],

P(C 11 EUR Vect(C,.....,0,)) < 277. Q 32. En déduire que I 9n--1° P(M EUR SL, (R)) >

III Un autre procédé de construction de matrices aléatoires à coef-
ficients dans {--1,1}

Soit p EUR [0,1]. On définit une suite (A,) de matrices aléatoires d'ordre n à 
coefficients dans {--1,1} selon le
procédé suivant :

-- on note À, la matrice réelle d'ordre n dont tous les coefficients sont égaux 
à 1 :

-- pour tout entier naturel k, on construit la matrice A,,, à partir de la 
matrice À, en conservant chaque
coefficient de À, égal à --1 et en changeant en --1 avec la probabilité p 
chaque coefficient de A} égal à 1.
Chaque coefficient égal à 1 a donc la probabilité q = 1 -- p de ne pas être 
modifié :

-- le processus s'arrête quand la matrice obtenue est égale à --AÀ,.
On suppose avoir utilisé l'instruction
import numpy as np, numpy.random as rd

pour charger les bibliothèques numpy et numpy.random. Voici quelques fonctions 
de ces bibliothèques qui peuvent
être utiles dans cette partie :

-- np.ones((n, n)) crée un tableau numpy de taille n X n dont tous les éléments 
valent 1 :

-- À.shape est un tuple qui contient les dimensions du tableau A :

-- À.size donne le nombre total d'éléments du tableau A :

-- À.sum() renvoie la somme de tous les éléments du tableau A :

-- rd.binomial(i, p) simule une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli 
de paramètre p.

Q 33. Écrire en Python une fonction modifie matrice(p, A) qui prend en argument 
une probabilité p et

un tableau numpy représentant une matrice À EUR V,,. Cette fonction modifie le 
tableau À selon le procédé
décrit ci-dessus.

Q 34. En utilisant la fonction précédente, écrire en Python une fonction 
nb_tours(p, n) qui prend en
argument une probabilité p et l'ordre n des matrices À, et renvoie le plus 
petit entier k tel que À, = --A,,, en
partant de la matrice À,.

Q 35. Ecrire en Python une fonction moyenne tours(p, n, nbe) qui prend en 
argument une probabilité p,
l'ordre n des matrices À, et un nombre entier nbe et qui renvoie la moyenne, 
sur nbe essais effectués, du nombre
d'étapes nécessaires pour passer de À, à --AÀ4,.

IV Vecteurs aléatoires unitaires

On suppose que n est un entier naturel supérieur ou égal à 1.

On désigne par 1 un sous-ensemble de N ayant au moins deux éléments et par u = 
(u,),-, une suite de vecteurs
unitaires de M, : (R).

Q 36.  Démontrer que le nombre réel
Cu) -- sup{|(u;|u,)}, (à, 3) È 1°, + j}

existe et appartient à l'intervalle [0,1].
Cu) s'appelle paramètre de cohérence de la suite (u;);er.

Q 37. Montrer que si C{u) = 0, alors l'ensemble {u,,i EUR T} est fini et donner 
un majorant de son cardinal.

2
On se propose de démontrer que, pour tout entier naturel N inférieur ou égal à 
exp (5) , il existe une famille u

de N vecteurs unitaires de M,, ;(R) vérifiant C(u) < EUR où EUR est un nombre réel de l'intervalle [0, 1}. On dit alors que u est une famille « presque orthogonale ». 2 Q 38.  Démontrer que, pour tout nombre réel t, ch(t) < exp (5) Soient X,,..., X,, Y,,..., Y, des variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi À (définie dans 0 ...X,) et Y = ro ...Y,,) à valeurs la sous-partie IL.B). On définit les vecteurs aléatoires, X -- dans M,, 1(R). nm M060/2022-02-01 19:17:35 Page 4/5 (cc) BY-NC-SA Q 39.  Démontrer que, pour tout nombre réel t, Eexp{#(x1Y})) = (ch (2). Q 40. En déduire que, pour pour tout nombre réel t, +2 E(exp(t{X|Y})) < exp Un) Soient o et À deux nombres réels strictement positifs et Z une variable aléatoire réelle telle que exp(t7Z) est d'espérance finie et vérifie o°t° Q 41. En appliquant l'inégalité de Markov à une variable aléatoire bien choisie, démontrer que o°t° VER,  P(Z>A À) < 2 ---- |. (213 À) < 2exp (25 ) Q 43. Avec les notations et les hypothèses de la question 39, démontrer que P(LAIP) > EUR) < 2exp (2) | N étant un entier naturel non nul, (Xicie Nicjen est une famille de n x N variables aléatoires réelles 14 » 1 mutuellement indépendantes de même loi À. Pour tout à EUR [1, N], on pose X* = --=(X, .... Xi). n Q 44.  Déduire des questions précédentes que ( U ixilee) ex Der (5). 1 4 ©", Démontrer que

c2

L) mixize) <1 1LIi