Centrale Maths 1 PSI 2019

Thème de l'épreuve Analyse combinatoire de différents modèles d'urne
Principaux outils utilisés Séries entières, probabilités, dénombrement
Mots clefs Polya, Flajolet, Urne

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 Centrale Maths 1 PSI 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (professeur en CPGE) ; il a été relu par Christophe Fiszka (professeur en CPGE) et Céline Chevalier (enseignantchercheur à l'université). Cette épreuve a pour thème les modèles d'urne de Pólya. Introduite en 1923 puis rapidement généralisée, la problématique consiste à étudier l'évolution du contenu d'une urne contenant des boules blanches ou noires. À chaque instant, une boule est tirée au hasard. On ajoute alors au contenu de l'urne une certaine quantité de boules, celle-ci dépendant uniquement de la couleur de la boule piochée. Le sujet se focalise sur une méthode d'analyse développée par le chercheur français Philippe Flajolet au milieu des années 2000. · La première partie introduit un certain nombre de résultats préliminaires. Elle utilise les séries entières et les équations différentielles. · La deuxième partie propose l'étude d'un premier exemple simple d'urne. Elle porte uniquement sur le cours de probabilités. Son objectif est d'obtenir à l'aide de relations de récurrence, dans un cas relativement simple, la loi de la variable aléatoire Xn donnant le nombre de boules blanches dans l'urne après n tirages. · La troisième partie concerne le coeur de la méthode du professeur Flajolet. S'attaquant au modèle généralisé d'urne de Pólya dit équilibré, elle a pour objectif d'établir une équation aux dérivées partielles satisfaite par une fonction H de 3 variables introduite en milieu de partie. Cette fonction H est essentielle à l'étude du modèle puisqu'elle permet, par de simples dérivations partielles et développements en série entière, de retrouver la loi de la variable aléatoire Xn . · La quatrième partie utilise les outils précédents pour l'étude du modèle historique introduit par Pólya en 1923 (avant donc ses généralisations). · La cinquième partie commence par l'étude d'un second modèle introduit par Friedman en 1945, avant d'appliquer les résultats obtenus à des problématiques de dénombrement de permutations. Cette épreuve permet donc de manipuler une bonne partie du programme d'analyse de prépa (séries entières, fonctions de plusieurs variables, théorèmes de dérivations terme à terme) et du programme de probabilités. La difficulté se veut résolument progressive avec deux premières parties sans grandes difficultés techniques. Il s'agit d'une épreuve originale donnant un aperçu très accessible d'un véritable travail de recherche publié par un chercheur français renommé. Indications Partie I 1 Exprimer f en fonction de f . 2 Montrer que les fonctions g : x 7- problème de Cauchy. + P Ln () n=0 xn et f sont solutions d'un même n! 4 Remarquer que (1 - x)-(+) = (1 - x)- (1 - x)- . 6 Pour construire Rn+1 à partir de Rn , on pourra dériver l'égalité par rapport à x, puis multiplier par x. Partie II 7 Déterminer toutes les évolutions possibles de l'urne pendant 3 tirages. On pourra utiliser une représentation sous la forme d'un arbre. 8 Utiliser le système complet d'évènements ((Xn-1 = p))pN . 9 Utiliser le résultat de la question précédente dans l'expression de gn , puis séparer les sommes et réindexer. 10 Démontrer le résultat par récurrence sur n. 11 On pourra reconnaître une loi uniforme. 12 Procéder comme à la question 7 en énumérant toutes les évolutions possibles du contenu total de l'urne. Partie III 14 Remarquer que le nombre de boules dans l'urne après n tirages est indépendant de la nature des tirages. 15 À l'aide de la question 14, remarquer que toutes les issues sont équiprobables. 16 La première égalité est une conséquence de la question 15. Pour la seconde, utiliser la relation entre E(Xn ) et la dérivée de gn . 17 Calculer le membre de droite de l'égalité puis utiliser une partition judicieuse de l'ensemble n+1 . 18 Majorer grossièrement la quantité Pn (u, v) xn /n!. 19 Remarquer que la fonction x 7- H(x, u, v) est la somme d'une série entière. 20 Appliquer le théorème de dérivation des séries de fonctions. 21 Utiliser la question 17 et les dérivations terme à terme justifiées dans les questions précédentes. Partie IV 22 Utiliser les développements en série entière de la question 2. 23 Passer par un argument de série entière comme à la question 19. 24 Utiliser le théorème de dérivation des séries de fonctions comme à la question 20. On pourra utiliser la question 4 pour obtenir une majoration simple. 25 À l'aide de l'équation aux dérivées partielles et des « conditions initiales », démontrer que les suites (Pn )nN vérifient la même relation de récurrence et la même condition initiale. 26 Utiliser l'unicité des coefficients d'une fonction polynomiale et les questions 14, 16 et 25. 27 Calculer pour tout entier p les quantités Lp (1) et Lp (2). 28 Utiliser les questions 16 et 20 (et non pas 19) puis l'unicité des coefficients d'une série entière. Partie V n P 29 Utiliser la question 6 en notant Rn = ak Xk . k=0 30 Majorer grossièrement (1 - t) par 1 sur ] 0 ; 1 [ puis factoriser par tn+1 avant d'utiliser un argument de continuité d'une série entière en 0. n+1 31 Couper la somme au rang n à l'aide de la question précédente, puis développer le terme (1 - t)n+1 à l'aide du binôme de Newton. 32 Utiliser l'unicité du développement limité en comparant l'expression donnée par la définition de gn avec celle de la question précédente. 33 Distinguer deux cas suivant que l'insertion se fait au milieu d'une montée ou au contraire d'une descente. 34 On doit retrouver des coefficients identiques, à un décalage d'indice près. 35 Remarquer le nombre de montées d'une permutation est compris entre 0 et n - 1, puis déterminer les cas d'égalité. 36 Ne pas oublier qu'on ne tient pas compte du premier tirage ! 37 Reconstruire les étapes de construction de la suite en « remontant le temps », ce qui revient à enlever successivement le plus grand élément de la suite. 38 Regarder comment évolue le nombre de montées/descentes de la suite en construction en fonction de la couleur de la boule tirée. 39 Exprimer An,m en fonction de Card (n ) et P(Xn = m + 1) à l'aide du résultat de la question précédente et sans oublier que toutes les issues sont équiprobables dans le modèle d'urne. I Résultats préliminaires 1 Par définition, pour tout x < 1 f (x) = exp (- ln(1 - x)) ce qui prouve que La fonction f est définie sur D = ] - ; 1 [ Si est un entier négatif, la fonction f est polynomiale donc définie sur R. Cette expression montre également que f est de classe C 1 par composition. De plus, f (x) x < 1 f (x) = (1 - x)--1 = 1-x d'où l'on déduit aussitôt que (1 - x)f (x) - f (x) = 0 x ] - ; 1 [ 2 Le théorème de Cauchy pour une équation différentielle scalaire linéaire du premier ordre s'énonce ainsi : Soient a et b deux applications continues sur un intervalle I de R, et soient t0 I et y0 R. Alors, l'équation différentielle y = ay + b admet une unique solution y définie sur I et telle que y(t0 ) = y0 . La fonction f est solution du problème de Cauchy ( y (x) = y(x) 1-x y(0) = 1 Pour en déduire l'égalité demandée, il suffit donc de montrer que g : x 7- + P Ln () n=0 xn n! est également solution de ce problème de Cauchy. Commençons déjà par montrer que la fonction g est bien définie sur ] -1 ; 1 [. Si est un entier négatif, alors Ln () est nul pour n > donc f est bien définie (c'est même une application polynomiale). Sinon, Ln () ne s'annule jamais et pour tout x > 0, si l'on pose un = Ln () xn /n!, alors on a un+1 |Ln+1 ()| n! | + n| = |x| = |x| ----- |x| un |Ln ()| (n + 1)! n + 1 n+ La règle de d'Alembert assure que la série de terme générale un converge si |x| < 1 et diverge si |x| > 1, donc la série entière de terme général Ln () xn /n! a un rayon de convergence égal à 1 et sa somme g est définie sur ] -1 ; 1 [. Par propriété des séries entières, on peut donc dériver terme à terme sur cet intervalle et obtenir pour tout x tel que |x| < 1 g (x) = + P Ln () n=1 + P n xn-1 xn = Ln+1 () n! n! n=0