Centrale Maths 1 PSI 2018

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cum:nuns EENTHHLE--SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Autour des matrices de Toeplitz

Dans tout le problème, [K désigne le corps [R ou C, n un entier naturel 
supérieur ou égal à 2, [Un l'ensemble
des racines n--ièmes de l'unité. Si a et b sont deux entiers relatifs tels que 
a < b, [[a,b]] désigne l'ensemble {a,a + 1, ...,b -- l,b}. [K[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans [K. L'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans [K est noté M,,(IK). Si (tÿ,,+1,...,t0,...,tnÿl) EUR [K2n*1, on note T(tÿn+l, ...,t0, ...,tnÿ2,tnÿl) la matrice t0 tl f2 tn+1 L1 750 t, 5 L L -. -. : T(t+n+lv"'7t07'"7tn+27tn+1) : --2 ._'1 tl t2 . . tél 150 t, t+n+1 tÿ2 Ll 750 Une telle matrice est appelée matrice de Toeplitz d'ordre n. On nomme Toepfl([K) l'ensemble des matrices de Toeplitz d'ordre n à coefficients dans [K : Toepn(u<) = {M e M,,(IK) | E(tÿn+1,...,t0, ...,t,,ÿ,) e u<2"*1, M = T(tÿn+1,...,t0, ...,tnÎ2,tnÿl)} Une matrice N de M,,(D<) est dite nilpotente s'il existe p EUR D\l* tel que N ? = 0. On admettra qu'une telle matrice vérifie N " = 0. Pour toute matrice M de M,,([K), on note XM son polynôme caractéristique défini par x M(X ) : det(X I,1 -- M). Si P : ao + a1X + + (zpo (p E [N) est un polynôme de [K[X], P(M) désigne la matrice P(M) : aol" + a1M + + apMp Le but de ce problème est l'étude de certaines propriétés des matrices de Toeplitz. La partie I traite de généralités sur les matrices de Toeplitz et de quelques exemples. La partie Il, indépendante de la partie I, étudie un type particulier de matrices de Toeplitz -- les matrices circulantes -- en s'intéressant à leur structure et a leur diagonalisabifité. Enfin, la partie III, indépendante des précédentes, aborde l'étude des matrices cycliques et les relie aux matrices de Toeplitz. I Généralités et quelques exemples I.A -- Généralités Q 1. Montrer que Toepfi(C) est un sous--espace vectoriel de M,,(C). En donner une base et en préciser la dimension. Q 2. Montrer que si deux matrices A et B commutent (AB : BA) et si P et Q sont deux polynômes de C[X], alors P(A) et Q(B) commutent. I.B -- Cas de la dimension 2 Soit A : (É 2) une matrice de Toeplitz de taille 2 >< 2, où (a, b, c) sont des complexes. Q 3. Donner le polynôme caractéristique de A. Q 4. Discuter, en fonction des valeurs de (a, b, c), de la diagonalisabilité de A. Réduction d'une matrice sous forme de Toeplitz Q 5. Soit M : (î 2) une matrice de M2(C). Montrer que M est semblable a une matrice de type (% g) ou de type ((C; l)' où oz, ,6 et y sont des complexes avec oz # ,8. Q 6. En déduire que toute matrice de M2(C) est semblable à une matrice de Toeplitz. I.C' -- Un autre cas particulier : les matrices tridiagonales Une matrice tridiagonale est une matrice de Toeplitz de la forme T(O, ...,0,t11,t0,t1,0, ...,0), Le. une matrice de la forme a b (0) An(a, b, c) = c b (0) c et où (a, b, c) sont des complexes. On fixe (a, b, 0) trois nombres complexes tels que bc # 0. On se propose de chercher les éléments propres de An (a, b, c). 551 Soit A E C une valeur propre de An(a, b, c) et X = ( $ ) E C" un vecteur propre associé. as TL Q 7. Montrer que si l'on pose 950 = 0 et 3:n+1 : 0, alors (ssl, ..., oen) sont les termes de rang variant de 1 a n d'une suite (%.)ng vérifiant 330 = O, a:n+1 : 0 et Vk:EIN, boek+2+(a--À)xk+l+cxk=0 Q 8. Rappeler l'expression du terme général de la suite (æk)kEURN en fonction des solutions de l'équation boe2+(a--À)æ+c=0 (1.1) Q 9. À l'aide des conditions imposées à 500 et fin +1, montrer que (1.1) admet deux solutions distinctes T1 et T2- Q 10. Montrer que 73 et 73 sont non nuls et que r1/r2 appartient a (Un +1. Q 11. En utilisant l'équation (1.1) satisfaite par rl et @, déterminer 7373 et T1 + 73. En déduire qu'il existe un entier EUR EUR [[1, n]] et un nombre complexe p vérifiant p2 : bc tels que EUR7T À=a+2pcos(n+1) '" êk Q 12. En déduire qu'il existe oz E C tel que, pour tout 143 dans [[O,n + 1]], 33k = 2iaî--k sin ( +71). 71 Q 13. Conclure que An(a, b, c) est diagonalisable et donner ses valeurs propres. II Matrices circulantes Une matrice circulante est une matrice de Toeplitz T(tÿn +1, ...,t0, ...,tn12,tnÿl), pour laquelle V]{ÎEUR[[1,'ÏL-1Ïl, tk=tfn+k Elle est donc de la forme t(] tl ZÎnf2 tnf1 Z("nil t() tnf2 T(tlvt27 '7t07t17 "7tnf27tn--1)= tnf2 5 tl tl tnf2 2Înf1 t(] 0 l 0 0 0 0 '. È On pose Mn: ; 0 et wn=e2"/". () l 1 0 0 Q 14. Calculer Mâ, ..., Mg. Montrer que M" est inversible et donner un polynôme annulateur de Mn. Q 15. Justifier que Mn est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres (exprimées a l'aide de Lun) et donner une base de vecteurs propres de M". Q 16. On pose (I)" : (w£lpfl'(q*1>)lgpngn EUR Mn(C). Justifier que (I)" est 
inversible et donner sans calcul la
valeur de la matrice ©;1MnOEn.

Q 17. Soit A une matrice circulante. Donner un polynôme P E C[X] tel que A : 
P(Mn).

Q 18. Réciproquement, si P E C[X], montrer, à l'aide d'une division euclidienne 
de Ppar un polynôme bien
choisi, que P(Mn) est une matrice circulante.

Q 19. Montrer que l'ensemble des matrices circulantes est un sous--espace 
vectoriel de Toepfl (C), stable par
produit et par transposition.

Q 20. Montrer que toute matrice circulante est diagonalisable. Préciser ses 
valeurs propres et une base de
vecteurs propres.

III Étude des matrices cycliques

III.A -- Endomorphismes et matrices cycliques

Pour toute matrice M de M,,(C), on note f M l'endomorphisme de @" canoniquement 
associé à M.
Q 21. Montrer que si M est dans M,,(C), alors les propositions suivantes sont 
équivalentes :

i. il existe % dans C" tel que (oe0,fM(xo), ..., 1'Ç[1(x0)) est une base de C" ;

ii. M est semblable à la matrice C(a0, ..., a,,ÿ1) définie par

0 0 () ao
1 5 al

C(a0,...,anÿl)= 0 $ '
È 0 :
0 0 1 @

où (a... ..., a,,ÿ1) sont des nombres complexes.
On dit alors que f M est un endomorphisme cyclique, que M est une matrice 
cyclique et que 330 est un vecteur
cyclique de f M.

III.A.1) Soit M dans M,,(C). On suppose que fM est diagonalisable. On note 
(Al,...,/\n) ses valeurs
propres (non nécessairement distinctes) et (el, ..., en) une base de vecteurs 
associée à ces valeurs propres. Soit
TL

u : u,e, un vecteur de @" où (ul, ..,un) sont n nombres complexes.

z'=1
Q 22. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur (ul, ..., un, 
À1, ..., À,,) pour que (u, fM(u), ..., Ï[1(u))
soit une base de C".

Q 23. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'un 
endomorphisme diagonalisable soit cy--

clique. Caractériser alors ses vecteurs cycliques.
III.A.2) Soit ((L... ..., anÿl) E C". On s'intéresse aux éléments propres de la 
matrice C(a... ..., ann)-
Q 24. Soit /\ un nombre complexe. En discutant dans C" du système C(a... ..., 
anÿl)X : /\X , montrer que A

est une valeur propre de C(a... ..., anÿl) si et seulement si A est racine d'un 
polynôme de C[X] a préciser.

Q 25. Si A est racine de ce polynôme, déterminer le sous--espace propre de 
C(a... ..., anÿl) associé à la valeur
propre À et préciser sa dimension.

Q 26. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice 
cyclique soit diagonalisable.
III.A.3) Commutant d'un endomorphisme cyclique

Soient M une matrice cyclique et 330 un vecteur cyclique de f M. On cherche a 
montrer que l'ensemble

EUR(fM) = {9 EUR Æ(Cn) | fM°g=gofM}

est l'ensemble des polynômes en fM.

Q 27. Soit P E C[X]. Montrer que P(fM) EUR EUR(fM).
Q 28. Soit g E EUR(fM). Montrer qu'il existe (do, ..., anÿl) E C" tels que g = 
%]an + a1fM+ + anÿl x;l.

On pourra utiliser la base (oeo,fM(sco), ..., Ï/Î1(OEO)) et exprimer g(oe0) 
dans cette base.
Q 29. Oonclure.
() 0 0
1 0 =
III.A.4) Soit N = 0 '
0 0 1 0
Q 30. Donner les valeurs propres de N et les sous--espaces propres associés. 
Est--elle diagonalisable '?

Q 31. La matrice N est--elle cyclique '?

Q 32. Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec N est l'ensemble 
des matrices de Toeplitz
triangulaires inférieures.

III.B -- Quelques résultats de calcul matriciel dans M,,(lR)

Dans toute la suite du problème, les matrices considérées sont & coejficients 
réels.

Si A : (aij)lgi,jgn est une matrice d'ordre n et k est un entier dans [[--n + 
1, n -- l]], on dit que le coefficient a,]--
de A est un coefficient diagonal d'ordre [0 si j --i = If.

On note A(k) = (aîÏ')1g,-7jgn la matrice définie par V(i,j) EUR [[l,n]]2, (1

(k) _ {aÜ Slj--i=lEUR

" _ 0 sinon

Tous les coefficients de cette matrice sont nuls sauf ses coefficients 
diagonaux d'ordre 10 qui sont égaux aux
coefficients diagonaux d'ordre [0 de A.

123 100 020 000
Ainsi,siA= 450,A<°>= 050,A...= 006,A...= 400.
789 009 000 080

On note Dk la matrice de M,,(lR) dont tous les coefficients sont nuls sauf les 
coefficients diagonaux d'ordre 10
qui valent 1. Pour tout entier relatif k, on définit l'espace vectoriel Ak par

et Ak : {0} sinon. Ainsi, A0 est l'ensemble des matrices diagonales, Al 
l'ensemble des matrices dont tous les
coefficients sont nuls sauf éventuellement les coefficients diagonaux d'ordre 
1, Ail l'ensemble des matrices dont
tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement les coefficients diagonaux 
d'ordre --1.

n+1
Pour tout k dans Z, on note H k l'espace vectoriel @ A,.
i=k

Q 33. Montrer que si i et j sont dans [[--n +1,71 --1]], si A EUR A, et B EUR 
Aj, alors AB EUR A,+j.
Q 34. En déduire que si A EUR H,- et B EUR Hj, alors AB EUR Hi+j

III.B.1)

Q 35. Soit C' une matrice nilpotente. Montrer que I,, + C' est inversible et que

(In + C)*1 : In -- C + CZ + + (_1)n+1Cnf1

On suppose que 10 2 0 et que C' est une matrice de Ak+1. On pose P = I,, + C.
n--l
Q 36. Monter que Pest inversible et que P*1 EUR @ Ap(k+l)'
p=0
On considère l'endomorphisme 
 P*1MP.

Q 37. Soient i EUR |ÏO, k]] et M EUR A,. Montrer qu'il existe M' dans Hk+1 tel 
que  = A(k> + NC -- ON

III.C -- L'opérateur de Sylvester
On définit les opérateurs

. M.OE)+fl@lb @, ÿ »MJ®--+MgOE>

"" X|-->NX--XN ZX|-->'NX--X'N

Q 40. Montrer que le noyau de 5 est l'ensemble des matrices de Toeplitz réelles 
triangulaires inférieures.
On admet que le noyau de 5* est l'ensemble des matrices de Toeplitz réelles 
triangulaires supérieures.

Q 41. Montrer que 5(Ak+1) C Ak et 5*(Ak) C Ak+1-

On munit M,,(lR) de son produit scalaire usuel défini par: V(M1,JV[2) EUR 
M,,(lR), (M1,M2> : tr('MlM2).
On note 5k+1 la restriction de 5 à Ak+1 et 52 la restriction de 5* a Ak.

Q 42. Vérifier que pour tous X dans Ak+1 et Ydans Ak,  : (X, SËY>. En 
déduire que ker(52)
et lm(5 k +1) sont supplémentaires orthogonaux dans Ak, c'est--à--dire que

AfiamaWHmam

Q 43. Soient T une matrice triangulaire supérieure, A = N + T et k 2 0. Montrer 
que A est semblable à une
matrice L dont tous les coefficients diagonaux d'ordre k sont égaux et 
vérifiant Vi EUR [[--1,k -- 1]], L... = A....
Q 44. En déduire que toute matrice cyclique est semblable a une matrice de 
Toeplitz.

oooFlNooo

Centrale Maths 1 PSI 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Corentin Fierobe (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Angèle
Niclas (ENS Lyon) et Benoit Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet propose d'étudier les matrices cycliques et les matrices de Toeplitz, 
puis
les liens qui existent entre les deux. Les matrices cycliques, hors-programme, 
sont
souvent abordées pendant la prépa car elles possèdent des propriétés fortes en 
lien
avec la réduction. Les matrices de Toeplitz, moins connues, permettent des 
calculs
plus simples dans la résolution de systèmes linéaires. Elles interviennent 
également
dans certaines équations aux dérivées partielles. Un des axes du sujet consiste 
à
montrer que toute matrice cyclique réelle est semblable à une matrice de 
Toeplitz.
· La partie I établit des résultats qui seront utiles dans la suite, ainsi que 
des
résultats sur les matrices de Toeplitz : par exemple, que toute matrice de 
taille 2
sur C est semblable à une matrice de Toeplitz, que les matrices tridiagonales
(qui sont de Toeplitz) sont diagonalisables, ainsi que le calcul de leurs 
éléments
propres.
· La partie II aborde les matrices circulantes, qui font partie des matrices de 
Toeplitz. Elle étudie leur forme et cherche à montrer que toute matrice 
circulante
est diagonalisable et que l'on peut en calculer les éléments propres.
· La partie III, indépendante de la précédente, aborde les matrices cycliques
réelles (souvent appelées « matrices compagnons » par les étudiants).
 III.A étudie les relations entre cyclicité et diagonalisabilité, montre que
le commutant d'un endomorphisme cyclique f est réduit à l'algèbre qu'il
engendre C[f ], et introduit une matrice N importante pour la suite.
 III.B définit les coefficients diagonaux d'ordre k  Z d'une matrice A
(ce sont les coefficients ai,j de A tels que j - i = k), puis étudie les 
matrices dont tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement les 
coefficients
diagonaux d'ordre k.
 Enfin, III.C généralise une propriété de la partie I en prouvant que toute
matrice cyclique réelle est semblable à une matrice de Toeplitz.
Le sujet nécessite de bons réflexes en réduction des endomorphismes (réduction
des matrices en dimension 2, utilisation de critères classiques de 
diagonalisabilité en
terme de polynômes annulateurs, et de ceux moins classiques concernant la 
dimension
des sous-espaces propres). Les questions ne sont pas insurmontables et se 
résolvent
assez rapidement, exceptées les dernières qui sont plus ardues. La principale 
difficulté
du sujet réside dans sa longueur et dans le grand nombre de questions à 
traiter. Le
sujet est de périmètre restreint, se cantonnant au monde des matrices, avec 
très peu
d'utilisation des endomorphismes associés.

Indications
Partie I
1 Pour gagner du temps sur cette question : ne pas faire une démonstration à la
main (point par point, en revenant aux définitions) mais exhiber une application
linéaire.
2 Cette question nécessite deux récurrences.
5 On pourra se rappeler que toute matrice de Mn (C) est trigonalisable.
6 Partir d'une matrice de Toeplitz quelconque T(c, a, b) et essayer de 
déterminer
a, b et c pour obtenir une matrice qui se diagonalise en

 0
0 

- + -
Alors T
,
,
convient.
2
2
2
10 Utiliser x0 = xn+1 = 0 pour obtenir deux relations faisant intervenir r1 et 
r2 .
11 Factoriser le polynôme intervenant en (I.1). Essayer de calculer  - a à 
l'aide des
relations obtenues et de la question 10 pour définir .
12 Se rappeler l'expression des xk en fonction de r1 et r2 , et utiliser la 
question 10.
13 Étudier le nombre de valeurs propres obtenues grâce aux questions 
précédentes.
Partie II
14 Pour les puissances de Mn , deux façons de traiter le problème sont 
envisageables :
on pourra soit trouver une formule de récurrence et la prouver, soit raisonner
en terme d'endomorphisme dans une base adaptée.
15 Étudier le polynôme annulateur de la question 14. On pourra chercher des 
vecteurs
propres s'exprimant à l'aide de racines de l'unité (observer la question 16, 
qui peut
donner une idée de leur forme).
18 Le polynôme bien choisi pourra être le polynôme annulateur de la question 14.
20 Utiliser la matrice n de la question 16 pour diagonaliser les matrices 
circulantes.
Partie III
22 Calculer les itérées de fM appliquées en u dans la base de vecteurs propres, 
et chercher à quelle condition cela forme une famille libre.
24 Résultat classique, qui se prouve d'habitude en calculant par récurrence le 
polynôme caractéristique de la matrice. Mais ici, il suffit de trouver une 
relation entre
toutes les équations données par le système C(a0 , . . . , an-1 )X = X.
32 Remarquons ici deux manières de procéder : par calcul direct, ou bien en se 
servant
du résultat de la question 29.
37 Calculer (M) - M en remplaçant P et P-1 par leurs expressions en C.
38 Calculer (N) - N - NC + CN en remplaçant P et P-1 par leurs expressions
en fonction de C.
39 Se servir des deux questions précédentes pour exprimer B en fonction de A, 
C, N
et N et d'une certaine matrice T  Hk+1 .

40 On pourra remarquer que le calcul du noyau a été fait dans le cas complexe à 
la
question 32.
41 Utiliser le résultat de la question 33 pour ne pas refaire des calculs.
42 S'inspirer du chapitre sur les adjoints d'endomorphismes sur un espace 
euclidien.
En particulier on a la formule Ker f  = Im f  pour f endomorphisme d'un
espace euclidien. On pourra également se servir des questions 34 et 36.
43 Décomposer A(k) dans k selon une décomposition dont la forme est proposée
à la question précédente. Utiliser ensuite le résultat de la question 39.
44 À l'aide d'une récurrence, trouver, pour une matrice cyclique donnée, une 
suite
de matrices semblables les unes aux autres, qui ressemblent de plus en plus à 
une
matrice de Toeplitz, c'est-à-dire dont le nombre de diagonales le long 
desquelles les
coefficients sont égaux croît. On pourra se servir des questions 33, 36 et 
surtout 43.

I. Généralités et quelques exemples
1 Considérons l'application T : C2n-1  Mn (C) définie par l'énoncé, qui associe
à un (2n - 1)-uplet (t-n+1 , . . . , tn-1 ), la matrice de Toeplitz T(t-n+1 , . 
. . , tn-1 ).
Par définition, Toepn (C) = Im T. Pour montrer que c'est un sous-espace 
vectoriel
de Mn (C), il suffit donc de prouver que T est une application linéaire.
Vérifions-le : si t = (t-n+1 , . . . , tn-1 )  C2n-1 et t = (t-n+1 , . . . , 
tn-1 )  C2n-1 ,
et si   C, alors
T(t + t ) = T(t-n+1 + t-n+1 , . . . , tn-1 + tn-1 )

t0 + t0
... tn-1 + tn-1

..
..
..
T(t + t ) = 

.
.
.
t-n+1 + t-n+1

...

t0 + t0

et en utilisant la définition de l'addition et de la multiplication par un 
scalaire dans
l'espace des matrices, on aboutit à

t0
· · · tn-1
t0
· · · tn-1

..  +   ..
.. 
..
..
T(t + t ) =  ...
 .
.
.
. 
. 
t-n+1

t0

···

t-n+1

···

t0

T(t + t ) = T(t-n+1 , . . . , tn-1 ) + T(t-n+1 , . . . , tn-1 )
ce qui conclut la preuve de la linéarité. Montrons ensuite que T est injective. 
En effet,
si (t-n+1 , . . . , tn-1 )  C2n-1 vérifie T(t-n+1 , . . . , tn-1 ) = 0 alors 
matriciellement

0 ··· 0
t0
· · · tn-1
 ..
.
..  =  .. . .
..
 .
. .. 
.
.  .
t-n+1

···

t0

0 ··· 0

et donc par définition des matrices de Toeplitz,
(i, j)  [[ 1 ; n ]]2

0 = [T(t-n+1 , . . . , tn-1 )]i,j = tj-i

soit (t-n+1 , . . . , tn-1 ) = (0, . . . , 0). On conclut alors que T réalise 
un isomorphisme
entre C2n-1 et son image, Toepn (C). En particulier,
dim Toepn (C) = dim C2n-1 = 2n - 1
et une base est donnée par l'image par T d'une base de C2n-1 , par exemple 
l'image
par T de la base canonique. Ainsi,
Toepn (C) est un sous-espace vectoriel de Mn (C) de dimension 2n - 1,
base est donnée par les matrices

..
 ..

.

(0) 
(0)
T(1, 0, . . . , 0) =  .
 , T(0, 1, 0, . . . , 0) = 0
0

1 0
1 0 ···
0 1 0 ···

··· 0 1 0
···

0
1

T(0, . . . , 0, 1, 0) = 
et T(0, . . . , 0, 1) = 
(0)
0

 (0)
..
.

dont une

,...,

0

1
0

.. 
.