Centrale Maths 1 PSI 2017

Thème de l'épreuve Grandes déviations
Principaux outils utilisés probabilités, suites, séries
Mots clefs transformée de Laplace, théorème de Cramer, suites sur-additives

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


î, '» Mathématiques 1 l' % q--l ( ---/ P5| o EDNEUUHSEENTHHLE-SUPÊLEE 4heures Calculatrices autorisées N Grandes déviations Toutes les variables aléatoires mentionnées dans ce sujet sont supposées discrètes. La partie I est composée de trois sous--parties mutuellement indépendantes A, B, C, toutes trois utilisées dans la partie II. Notations et rappels Soient X une variable aléatoire discrète réelle et (X n)n>1 une suite de variables aléatoires réelles, mutuellement indépendantes, définies sur un même espace probabilisê (Q, fl, P), suivant toutes la loi de X. On pose SO : 0 et, pour n dans N*, k=1 Si Yest une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 1, on note E (Y) l'espérance de Y. Si Yest une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 2, on note V(Y) la variance de Y. Si Yest une variable aléatoire à valeurs dans [R+, on abrège « Yest d'eSpérance finie » en « E(Y) < +00 ». Si T est un élément de W*, on dit que X vérifie (C,) si E (eTle) < +00. On pourra utiliser la propriété suivante : (L") pour Z et Yvariables aléatoires réelles telles que 0 < Y < Z, E(Z) < +00 => E(Y) < +00 Étant données deux variables aléatoires Yet Z définies sur (Q, /l , P), on dit que Yest presque surement égale à Z lorsque P(Y : Z) : 1. On admet le résultat suivant (lemme des coalitions) : soit (Yn)nEURN* une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes. Soient A et B deux sous--ensembles de B\l* disjoints. Alors toute variable aléatoire fonction des Y... n EUR A est indépendante de toute variable aléatoire fonction des Y... n EUR B. I Premiers résultats I.A + Une classe de variables aléatoires I.A.1) Soient U et Vdeux variables aléatoires sur (Q, fl, P) possédant un moment d'ordre 2 et telles que V n'est pas presque surement nulle. Montrer que E(U2)E(V2) -- E(UV)2 ; 0 et que E(U2)E(V2) -- E(UV)2 : 0 si et seulement s'il existe /\ EUR [R tel que ÀV + U est presque surement nulle. I.A.2) a) On suppose que X est bornée. Justifier que X vérifie (CT) pour tout 7' dans [R+*. b) On suppose que X suit la loi géométrique de paramètre p EUR ]0, 1{ Vie EUR ... P(X : k) : p(l _p)kfl Quels sont les réels t tels que E(etX ) < +00 '? Pour ces t, donner une expression simple de E(etX ) 0) On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre À : k VkEUR N, P(X:k)= _. » » -, Gay +eby Déterminer les limites de 9k,t,a,b en +00 et --00. Montrer que cette fonction est bornée sur [R. 0) Montrer que E(|X|ketX) < +00. 2016-10--26 09:42:35 Page 1/4 (CC) BY-NC-SA d) On reprend les notations de la question b). Soient k dans N, e et et deux réels tels que a < 0 < (1 < b. Montrer qu'il existe Mk a b EUR d EUR R+ tel que pour tout t E {c, d] et pour tout y E [R : [0kfit)a7b(y)l < Mk a b C'd. 7771 111 I.A.4) Dans cette question, T est un élément de R+* et X vérifie (C,). a) Montrer que l'ensemble des réels t tels que E(etx ) < +oo est un intervalle ] contenant {--7', T]. Pour t dans ], on note | > n5> < I.B.2) Si u et 1) sont deux nombres réels tels que u < E(X ) < 1), déterminer la limite de la suite ("n)new définie par VnEURN*, 7T =P(nu0 une suite réelle telle que : V(m, n) EUR N2, um+n ; um + un. u On suppose que l'ensemble {--", n E N*} est majoré et on note 5 sa borne supérieure. n I.C.1) Soient m, (1 et 7" des éléments de N. On pose n : mq + 7". Comparer les deux nombres réels un et qu... + u,. et montrer que un -- ns } q(u... -- ms) + ur -- rs. I.C.2) On fixe m dans N* et 5 dans IR". En utilisant la division euclidienne de n par m, montrer qu'il existe un entier N tel que pour tout n > N, uTIL un 2m Î --EUR I.C.3) Montrer lim u--" = s. n-->oo n II Le théorème des grandes déviations Soit a un nombre réel. II.A + Emposant des grandes déviations II.A.1) Montrer P(X ; a) = () <=> Vn EUR D\l*, P(Sn II.A.2) Soient m et n dans Ù\l. -- S 77L 2na) : 0. a) Montrer que Sm+n et Sn ont même loi. b) Soit () un nombre réel. Montrer P(Sm+n } (n + m)b) ; P(S TL ; nb) P(S 'm ) mb). On suppose dans toute la suite du problème P(X ; a) > 0. 1 P S ; II.A.3) Montrer que la suite (1... TLOE >>) est bien définie et admet une limite "ya négative ou nulle 'n 7121 vérifiant Vn G N*, P(S " ; na) < e"'ya Dans toute la suite du problème, on suppose que X vérifie (C,) pour un certain T > 0 et n'est pas presque surement constante. On suppose également que a est strictement supérieur a E (X ) 2016-10--26 09:42:35 Page 2/4 @@ BY--NC-SA On se propose d'établir que % < 0 (ce qui montre que la suite (P(Sn ) na))n>l converge géométriquement vers 0) puis de déterminer «ya. II.B * Majorati0n des grandes déviations L'intervalle ] et la fonction  = >". P na> < "..."" I --> [E t +--> ln( 0 et a > E(X ) ; puis, pour @ vérifiant ces conditions, calculer %- i. X suit la loi de Bernoulli B(p) avec 0 < p < 1. ii. X suit la loi de Poisson ?(À) avec À > 0. 11.0 f Le théorème de Cramer On suppose ici que la borne inférieure na de la fonction X sur I 0 [R+ est atteinte en un point a intérieur à 1 fi IR+. ' t Soient t un nombre réel intérieur à I et tel que t > a, b un nombre réel tel que b > îX ((t)) . X II.C.1) tr (1) Calculer Z EÎetx) P(X : a:). meX(Q) On admet alors (quitte a modifier (Q, A, P)) -- qu'il existe une variable aléatoire X ' sur (Q, A) telle que X '(Q) : X (Q) et dont la loi de probabilité est donnée par VOEGX(Q), P(X/=æ)= EUR P(X:oe) -- qu'il existe une suite (Xâ)nEURN* de variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur (Q,/l, P) suivant toutes la même loi que X '. b ) Montrer E(X') : îîäâ, E(X') > @ II.C.2) On admet que, si n dans W et si f est une application de X(Q)" dans R+, on a etSn E(Î(Xî, ...,XÂ)) : M  U? 71 On pourra introduire l'application f : 1 Si na < OE- < nb (ml, ..,xn) l--> i=1 Z 0 sinon b ) En utilisant les questions I.B.2, H.B.2c et le a) ci--dessus, montrer finalement que na : "ya. 2016-10--26 09:42:35 Page 3/4 @c BY--NC-SA II.C.3) Dans cette question on pourra utiliser les résultats du H.B.2d. a) Soit & dans ]0,1/2{. Pour 71 dans D\l*, on pose An={ke{0,...,n}, \k_%!2an}, Un: 2 (2) Déterminer la limite de la suite (U;/") >1. n/ b) Soit A dans Üï+*, & dans P... +oo{. Pour 71 dans M, on pose T = z: "... " k! kEURN k>an Déterminer la limite de la suite (Tâ/n) >1. n/ oooFINooo 2016-10--26 09:42:35 Page 4/4 @°) BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Maths 1 PSI 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sélim Cornet (ENS Paris-Saclay) ; il a été relu par Bertrand Wiel (professeur agrégé) et Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l'université). L'objectif de ce problème est de démontrer que lors de la répétition d'expériences aléatoires indépendantes, la probabilité que la moyenne des résultats obtenus soit « éloignée » de l'espérance décroît à vitesse exponentielle lorsque le nombre de répétitions de l'expérience augmente. Ce type de résultat porte le nom de théorème de grande déviations. · Dans la première partie, constituée de trois sous-parties indépendantes, on démontre des résultats préliminaires. On y introduit d'abord la transformée de Laplace d'une variable aléatoire et on établit quelques-unes de ses propriétés. On prouve ensuite une variante de la loi des grands nombres, avant de démontrer un résultat d'analyse appelé le lemme sur-additif. · Le but de la seconde partie est de démontrer un théorème dû à Harald Cramér. On montre la décroissance géométrique de la suite des probabilités précédemment mentionnée, et on met en oeuvre une méthode permettant de déterminer la vitesse de décroissance. Le résultat obtenu est finalement appliqué au calcul de limites de suites numériques. Ce sujet est d'une difficulté raisonnable et bien guidé. Il requiert toutefois une bonne maîtrise du cours et des techniques classiques de probabilités ; plusieurs questions font également appel à des raisonnements d'analyse. Au sein de chaque partie, les questions sont de difficulté progressive : les premières sont des questions de cours ou qui ne nécessitent qu'un argument simple, tandis que celles situées en fin de chaque partie sont plus techniques et demandent de faire preuve de recul pour choisir les résultats à appliquer. Indications Partie I I.A.1 Poser P() = E((V + U)2 ) pour R et étudier le signe de P(). I.A.2.b Donner une expression de E(etX ) et reconnaître une série géométrique. I.A.3.a Distinguer deux cas selon le signe de X. I.A.3.b Appliquer un théorème de croissances comparées. À l'aide des limites obtenues, montrer que la fonction est bornée en dehors d'un certain segment, puis qu'elle est bornée sur ce segment. I.A.4.c Mettre en oeuvre les théorèmes de continuité et de dérivabilité de la somme d'une série de fonctions. I.A.4.e Étudier le signe de la dérivée de X . On pourra appliquer l'inégalité de la question I.A.1 à deux variables aléatoires bien choisies. I.B.2 Utiliser le résultat de la question précédente pour un choix judicieux de . I.C.2 Minorer un /n par la somme de um /m et d'un terme de limite nulle. On pourra utiliser en particulier l'encadrement du reste donné par le théorème de la division euclidienne. I.C.3 Utiliser les définitions de la limite et de la borne supérieure. Partie II II.A.2.b Commencer par montrer que les variables aléatoires Sm+n - Sm et Sm sont indépendantes. II.A.3 Faire le lien avec la partie I.C. II.B.1 Appliquer l'inégalité de Markov pour obtenir la seconde inégalité. II.B.2.a Distinguer deux cas, selon si X > a ou non. II.B.2.b Écrire le développement limité de à l'ordre 1 en 0. II.B.2.d Remarquer que, dans les deux cas, la borne inférieure est atteinte à l'intérieur de I R+ , et donc en un point critique. II.C.1.b Prouver la seconde inégalité à l'aide de la croissance de la fonction X . II.C.2.b Montrer d'abord a 6 a + t|b - a|, puis montrer que le terme t|b - a| peut être rendu arbitrairement petit par un choix judicieux de t et b. II.C.3 Utiliser le théorème de Cramér démontré à la question précédente. I. Premiers résultats I.A.1 Posons, pour R, P() = E((V + U)2 ) = 2 E(V2 ) + 2E(UV) + E(U2 ) avec E(V2 ) > 0 puisque V n'est pas presque sûrement nulle. Ce trinôme de degré 2 étant à valeurs positives, son discriminant est négatif ou nul ; or, celui-ci est donné par = 4E(UV)2 - 4E(U2 )E(V2 ). Ainsi, E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 > 0 De plus, E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 = 0 = 0 R P() = 0 R E((V + U)2 ) = 0 E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 = 0 R V + U = 0 p.s. la dernière équivalence provenant du fait qu'une variable aléatoire positive d'espérance nulle est presque sûrement nulle. Il y a égalité si, et seulement si, il existe R tel que la variable aléatoire V + U soit presque sûrement nulle. Il s'agissait ici d'une question de cours : on a redémontré l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les variables aléatoires. I.A.2.a La variable aléatoire X étant bornée, on peut se donner M > 0 tel que pour tout , |X()| 6 M. Soit R+ . Par croissance de la fonction exponentielle, pour tout , 0 6 e |X()| 6 e M , soit e |X| 6 e M . Or cette dernière quantité est constante, d'où E(e M ) = e M < + Appliquons alors la propriété (P) : E(e |X|) < +, autrement dit, La variable aléatoire X vérifie (C ) pour tout R+ . I.A.2.b Soit t R. Si la variable aléatoire X suit une loi géométrique de paramètre p ] 0 ; 1 [, le théorème de transfert donne E(etX ) = + X etk p(1 - p)k-1 = pet k=1 + X (et (1 - p))k-1 k=1 Déterminons les réels t tels que cette série soit convergente. C'est une série géométrique, de raison et (1-p) > 0. Celle-ci converge donc si, et seulement si, et (1-p) < 1, autrement dit si t < - ln(1 - p). Dans ce cas-là, calculons la somme de la série en effectuant le changement d'indice k k - 1 : E(etX ) = pet + X k=0 (et (1 - p))k = pet 1 - (1 - p)et Ainsi, E(etX ) < + pour t ] - ; - ln(1 - p) [ et alors E(etX ) = pet . 1 - (1 - p)et I.A.2.c Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0, t R E(etX ) = + X + etk e- k=0 X (et )k k = e- = exp((et - 1)) k! k! k=0 la série étant convergente pour tout t R puisque c'est une série exponentielle. E(etX ) < + pour tout t R et alors E(etX ) = exp((et - 1)). I.A.3.a Soient t [ a ; b ] , . Par croissance et positivité de l'exponentielle : · Si X() 6 0, on a etX() 6 eaX() 6 eaX() + ebX() . · De même, si X() > 0, il s'ensuit que etX() 6 ebX() 6 eaX() + ebX() . En résumé, Pour tout t [ a ; b ], etX 6 eaX + ebX . La propriété (P) donne alors Pour tout t [ a ; b ], E(etX ) < +. Par conséquent, l'ensemble {t R | E(etX ) < +} est un intervalle. I.A.3.b. Écrivons, pour tout y R, y k ety y k e(t-a)y = eay + eby 1 + e(b-a)y Lorsque y tend vers -, le numérateur tend vers 0 par croissances comparées (car t - a > 0) et le dénominateur tend vers 1 (car b - a > 0). On en déduit k,t,a,b (y) = k,t,a,b (y) ----- 0 y- De même, pour tout y R, y k e(t-b)y e(a-b)y + 1 avec t - b < 0 et a - b < 0. Lorsque y tend vers +, le numérateur tend vers 0, le dénominateur vers 1, d'où k,t,a,b (y) = k,t,a,b (y) ----- 0 y+ D'après ce qui précède, il existe R et R tels que pour tout y < et pour tout y > , |k,t,a,b (y)| 6 1. Par ailleurs, la fonction k,t,a,b est définie et continue sur R comme somme, produit et quotient de fonctions usuelles continues sur R, et car son dénominateur ne s'annule pas sur R. Elle est par conséquent aussi bornée sur le segment [ ; ]. La fonction k,t,a,b est bornée sur R. I.A.3.c La fonction k,t,a,b étant bornée, il existe M > 0 tel que pour tout y R, |k,t,a,b (y)| 6 M. Il s'ensuit que Xk etX 6M eaX + ebX soit encore |X|k etX 6 M(eaX + ebX ) Or la variable aléatoire de droite est d'espérance finie par hypothèse. Comme |X|k etX est positive, la propriété (P) entraîne