Centrale Maths 1 PSI 2017

Thème de l'épreuve Grandes déviations
Principaux outils utilisés probabilités, suites, séries
Mots clefs transformée de Laplace, théorème de Cramer, suites sur-additives

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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% q--l

(

---/ P5| o
EDNEUUHSEENTHHLE-SUPÊLEE 4heures Calculatrices autorisées N

Grandes déviations

Toutes les variables aléatoires mentionnées dans ce sujet sont supposées 
discrètes.

La partie I est composée de trois sous--parties mutuellement indépendantes A, 
B, C, toutes trois utilisées dans
la partie II.

Notations et rappels

Soient X une variable aléatoire discrète réelle et (X n)n>1 une suite de 
variables aléatoires réelles, mutuellement
indépendantes, définies sur un même espace probabilisê (Q, fl, P), suivant 
toutes la loi de X. On pose SO : 0
et, pour n dans N*,

k=1

Si Yest une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 1, on note E 
(Y) l'espérance de Y.

Si Yest une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 2, on note 
V(Y) la variance de Y.

Si Yest une variable aléatoire à valeurs dans [R+, on abrège « Yest d'eSpérance 
finie » en « E(Y) < +00 ».
Si T est un élément de W*, on dit que X vérifie (C,) si E (eTle) < +00.

On pourra utiliser la propriété suivante :

(L") pour Z et Yvariables aléatoires réelles telles que 0 < Y < Z, E(Z) < +00 
=> E(Y) < +00

Étant données deux variables aléatoires Yet Z définies sur (Q, /l , P), on dit 
que Yest presque surement égale à
Z lorsque P(Y : Z) : 1.

On admet le résultat suivant (lemme des coalitions) : soit (Yn)nEURN* une suite 
de variables aléatoires mutuellement
indépendantes. Soient A et B deux sous--ensembles de B\l* disjoints. Alors 
toute variable aléatoire fonction des
Y... n EUR A est indépendante de toute variable aléatoire fonction des Y... n 
EUR B.

I Premiers résultats

I.A + Une classe de variables aléatoires

I.A.1) Soient U et Vdeux variables aléatoires sur (Q, fl, P) possédant un 
moment d'ordre 2 et telles que V
n'est pas presque surement nulle. Montrer que E(U2)E(V2) -- E(UV)2 ; 0 et que 
E(U2)E(V2) -- E(UV)2 : 0
si et seulement s'il existe /\ EUR [R tel que ÀV + U est presque surement nulle.

I.A.2)

a) On suppose que X est bornée. Justifier que X vérifie (CT) pour tout 7' dans 
[R+*.

b) On suppose que X suit la loi géométrique de paramètre p EUR ]0, 1{

Vie EUR ... P(X : k) : p(l _p)kfl

Quels sont les réels t tels que E(etX ) < +00 '? Pour ces t, donner une 
expression simple de E(etX )
0) On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre À :

k
VkEUR N, P(X:k)= _.
» » -, Gay +eby

Déterminer les limites de 9k,t,a,b en +00 et --00. Montrer que cette fonction 
est bornée sur [R.
0) Montrer que E(|X|ketX) < +00.

2016-10--26 09:42:35 Page 1/4 (CC) BY-NC-SA

d) On reprend les notations de la question b). Soient k dans N, e et et deux 
réels tels que a < 0 < (1 < b. Montrer
qu'il existe Mk a b EUR d EUR R+ tel que pour tout t E {c, d] et pour tout y E 
[R : [0kfit)a7b(y)l < Mk a b C'd.

7771 111

I.A.4) Dans cette question, T est un élément de R+* et X vérifie (C,).

a) Montrer que l'ensemble des réels t tels que E(etx ) < +oo est un intervalle 
] contenant {--7', T].
Pour t dans ], on note | > n5> <

I.B.2) Si u et 1) sont deux nombres réels tels que u < E(X ) < 1), déterminer 
la limite de la suite ("n)new
définie par

VnEURN*, 7T =P(nu0 une suite réelle telle que : V(m, n) EUR N2, um+n ; um + un.
u

On suppose que l'ensemble {--", n E N*} est majoré et on note 5 sa borne 
supérieure.
n

I.C.1) Soient m, (1 et 7" des éléments de N. On pose n : mq + 7". Comparer les 
deux nombres réels un et
qu... + u,. et montrer que un -- ns } q(u... -- ms) + ur -- rs.

I.C.2) On fixe m dans N* et 5 dans IR". En utilisant la division euclidienne de 
n par m, montrer qu'il existe
un entier N tel que pour tout n > N,

uTIL

un
2m

Î

--EUR

I.C.3) Montrer lim u--" = s.

n-->oo n

II Le théorème des grandes déviations

Soit a un nombre réel.

II.A + Emposant des grandes déviations

II.A.1) Montrer P(X ; a) = () <=> Vn EUR D\l*, P(Sn
II.A.2) Soient m et n dans Ù\l.

-- S

77L

2na) : 0.

a) Montrer que Sm+n et Sn ont même loi.

b) Soit () un nombre réel. Montrer P(Sm+n } (n + m)b) ; P(S

TL

; nb) P(S

'm

) mb).

On suppose dans toute la suite du problème P(X ; a) > 0.

1 P S ;
II.A.3) Montrer que la suite (1...

TLOE
>>) est bien définie et admet une limite "ya négative ou nulle
'n
7121

vérifiant

Vn G N*, P(S

" ; na) < e"'ya

Dans toute la suite du problème, on suppose que X vérifie (C,) pour un certain 
T > 0 et n'est pas presque
surement constante. On suppose également que a est strictement supérieur a E (X 
)

2016-10--26 09:42:35 Page 2/4 @@ BY--NC-SA

On se propose d'établir que % < 0 (ce qui montre que la suite (P(Sn ) na))n>l 
converge géométriquement
vers 0) puis de déterminer «ya.

II.B * Majorati0n des grandes déviations
L'intervalle ] et la fonction  = >". P na> < "...""

I --> [E
t +--> ln( 0 et a > E(X ) ; puis, pour @ vérifiant ces conditions, calculer %-

i. X suit la loi de Bernoulli B(p) avec 0 < p < 1.
ii. X suit la loi de Poisson ?(À) avec À > 0.

11.0 f Le théorème de Cramer

On suppose ici que la borne inférieure na de la fonction X sur I 0 [R+ est 
atteinte en un point a intérieur à 1 fi IR+.

' t
Soient t un nombre réel intérieur à I et tel que t > a, b un nombre réel tel 
que b > îX ((t)) .
X
II.C.1)
tr
(1) Calculer Z EÎetx) P(X : a:).

meX(Q)
On admet alors (quitte a modifier (Q, A, P))
-- qu'il existe une variable aléatoire X ' sur (Q, A) telle que X '(Q) : X (Q) 
et dont la loi de probabilité est
donnée par

VOEGX(Q), P(X/=æ)= EUR P(X:oe)

-- qu'il existe une suite (Xâ)nEURN* de variables aléatoires mutuellement 
indépendantes définies sur (Q,/l, P)
suivant toutes la même loi que X '.
b ) Montrer

E(X') : îîäâ, E(X') > @

II.C.2) On admet que, si n dans W et si f est une application de X(Q)" dans R+, 
on a

etSn
E(Î(Xî, ...,XÂ)) : M

 U?
71
On pourra introduire l'application f : 1 Si na < OE- < nb
(ml, ..,xn) l--> i=1 Z
0 sinon

b ) En utilisant les questions I.B.2, H.B.2c et le a) ci--dessus, montrer 
finalement que na : "ya.

2016-10--26 09:42:35 Page 3/4 @c BY--NC-SA

II.C.3) Dans cette question on pourra utiliser les résultats du H.B.2d.
a) Soit & dans ]0,1/2{. Pour 71 dans D\l*, on pose

An={ke{0,...,n}, \k_%!2an}, Un: 2 (2)

Déterminer la limite de la suite (U;/") >1.
n/

b) Soit A dans Üï+*, & dans P... +oo{. Pour 71 dans M, on pose

T = z: "...
" k!
kEURN
k>an

Déterminer la limite de la suite (Tâ/n) >1.
n/

oooFINooo

2016-10--26 09:42:35 Page 4/4 @°) BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PSI 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sélim Cornet (ENS Paris-Saclay) ; il a été relu par
Bertrand Wiel (professeur agrégé) et Céline Chevalier (enseignant-chercheur à 
l'université).

L'objectif de ce problème est de démontrer que lors de la répétition 
d'expériences
aléatoires indépendantes, la probabilité que la moyenne des résultats obtenus 
soit
« éloignée » de l'espérance décroît à vitesse exponentielle lorsque le nombre 
de répétitions de l'expérience augmente. Ce type de résultat porte le nom de 
théorème de
grande déviations.
· Dans la première partie, constituée de trois sous-parties indépendantes, on 
démontre des résultats préliminaires. On y introduit d'abord la transformée de
Laplace d'une variable aléatoire et on établit quelques-unes de ses propriétés.
On prouve ensuite une variante de la loi des grands nombres, avant de démontrer 
un résultat d'analyse appelé le lemme sur-additif.
· Le but de la seconde partie est de démontrer un théorème dû à Harald Cramér.
On montre la décroissance géométrique de la suite des probabilités précédemment 
mentionnée, et on met en oeuvre une méthode permettant de déterminer
la vitesse de décroissance. Le résultat obtenu est finalement appliqué au calcul
de limites de suites numériques.
Ce sujet est d'une difficulté raisonnable et bien guidé. Il requiert toutefois 
une
bonne maîtrise du cours et des techniques classiques de probabilités ; 
plusieurs questions font également appel à des raisonnements d'analyse. Au sein 
de chaque partie,
les questions sont de difficulté progressive : les premières sont des questions 
de cours
ou qui ne nécessitent qu'un argument simple, tandis que celles situées en fin 
de chaque
partie sont plus techniques et demandent de faire preuve de recul pour choisir 
les résultats à appliquer.

Indications
Partie I
I.A.1 Poser P() = E((V + U)2 ) pour   R et étudier le signe de P().
I.A.2.b Donner une expression de E(etX ) et reconnaître une série géométrique.
I.A.3.a Distinguer deux cas selon le signe de X.
I.A.3.b Appliquer un théorème de croissances comparées. À l'aide des limites 
obtenues, montrer que la fonction est bornée en dehors d'un certain segment, 
puis
qu'elle est bornée sur ce segment.
I.A.4.c Mettre en oeuvre les théorèmes de continuité et de dérivabilité de la 
somme
d'une série de fonctions.
I.A.4.e Étudier le signe de la dérivée de X . On pourra appliquer l'inégalité 
de la
question I.A.1 à deux variables aléatoires bien choisies.
I.B.2 Utiliser le résultat de la question précédente pour un choix judicieux de 
.
I.C.2 Minorer un /n par la somme de um /m et d'un terme de limite nulle. On 
pourra
utiliser en particulier l'encadrement du reste donné par le théorème de la
division euclidienne.
I.C.3 Utiliser les définitions de la limite et de la borne supérieure.
Partie II
II.A.2.b Commencer par montrer que les variables aléatoires Sm+n - Sm et Sm sont
indépendantes.
II.A.3 Faire le lien avec la partie I.C.
II.B.1 Appliquer l'inégalité de Markov pour obtenir la seconde inégalité.
II.B.2.a Distinguer deux cas, selon si X > a ou non.
II.B.2.b Écrire le développement limité de  à l'ordre 1 en 0.
II.B.2.d Remarquer que, dans les deux cas, la borne inférieure est atteinte à 
l'intérieur
de I  R+ , et donc en un point critique.
II.C.1.b Prouver la seconde inégalité à l'aide de la croissance de la fonction 
X .
II.C.2.b Montrer d'abord a 6 a + t|b - a|, puis montrer que le terme t|b - a| 
peut
être rendu arbitrairement petit par un choix judicieux de t et b.
II.C.3 Utiliser le théorème de Cramér démontré à la question précédente.

I. Premiers résultats
I.A.1 Posons, pour   R,
P() = E((V + U)2 ) = 2 E(V2 ) + 2E(UV) + E(U2 )
avec E(V2 ) > 0 puisque V n'est pas presque sûrement nulle. Ce trinôme de degré 
2
étant à valeurs positives, son discriminant est négatif ou nul ; or, celui-ci 
est donné
par  = 4E(UV)2 - 4E(U2 )E(V2 ). Ainsi,
E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 > 0
De plus,
E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 = 0   = 0
   R

P() = 0

   R

E((V + U)2 ) = 0

E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 = 0    R

V + U = 0 p.s.

la dernière équivalence provenant du fait qu'une variable aléatoire positive 
d'espérance nulle est presque sûrement nulle.
Il y a égalité si, et seulement si, il existe   R tel que la
variable aléatoire V + U soit presque sûrement nulle.
Il s'agissait ici d'une question de cours : on a redémontré l'inégalité de
Cauchy-Schwarz pour les variables aléatoires.
I.A.2.a La variable aléatoire X étant bornée, on peut se donner M > 0 tel que 
pour
tout   , |X()| 6 M. Soit   R+ . Par croissance de la fonction exponentielle,
pour tout   , 0 6 e |X()| 6 e M , soit e |X| 6 e M . Or cette dernière quantité 
est
constante, d'où
E(e M ) = e M < +
Appliquons alors la propriété (P) : E(e |X|) < +, autrement dit,
La variable aléatoire X vérifie (C ) pour tout   R+ .
I.A.2.b Soit t  R. Si la variable aléatoire X suit une loi géométrique de 
paramètre
p  ] 0 ; 1 [, le théorème de transfert donne
E(etX ) =

+
X

etk p(1 - p)k-1 = pet

k=1

+
X

(et (1 - p))k-1

k=1

Déterminons les réels t tels que cette série soit convergente. C'est une série 
géométrique, de raison et (1-p) > 0. Celle-ci converge donc si, et seulement 
si, et (1-p) < 1,
autrement dit si t < - ln(1 - p). Dans ce cas-là, calculons la somme de la 
série en
effectuant le changement d'indice k  k - 1 :
E(etX ) = pet

+
X
k=0

(et (1 - p))k =

pet
1 - (1 - p)et

Ainsi,
E(etX ) < + pour t  ] - ; - ln(1 - p) [ et alors E(etX ) =

pet
.
1 - (1 - p)et

I.A.2.c Si X suit une loi de Poisson de paramètre  > 0,
t  R

E(etX ) =

+
X

+

etk e-

k=0

X (et )k
k
= e-
= exp((et - 1))
k!
k!
k=0

la série étant convergente pour tout t  R puisque c'est une série exponentielle.
E(etX ) < + pour tout t  R et alors E(etX ) = exp((et - 1)).
I.A.3.a Soient t  [ a ; b ] ,   . Par croissance et positivité de 
l'exponentielle :
· Si X() 6 0, on a etX() 6 eaX() 6 eaX() + ebX() .
· De même, si X() > 0, il s'ensuit que etX() 6 ebX() 6 eaX() + ebX() .
En résumé,

Pour tout t  [ a ; b ], etX 6 eaX + ebX .

La propriété (P) donne alors
Pour tout t  [ a ; b ], E(etX ) < +. Par conséquent,
l'ensemble {t  R | E(etX ) < +} est un intervalle.
I.A.3.b. Écrivons, pour tout y  R,
y k ety
y k e(t-a)y
=
eay + eby
1 + e(b-a)y
Lorsque y tend vers -, le numérateur tend vers 0 par croissances comparées
(car t - a > 0) et le dénominateur tend vers 1 (car b - a > 0). On en déduit
k,t,a,b (y) =

k,t,a,b (y) ----- 0
y-

De même, pour tout y  R,
y k e(t-b)y
e(a-b)y + 1
avec t - b < 0 et a - b < 0. Lorsque y tend vers +, le numérateur tend vers 0, 
le
dénominateur vers 1, d'où
k,t,a,b (y) =

k,t,a,b (y) ----- 0
y+

D'après ce qui précède, il existe   R et   R tels que pour tout y <  et pour
tout y > , |k,t,a,b (y)| 6 1. Par ailleurs, la fonction k,t,a,b est définie et 
continue
sur R comme somme, produit et quotient de fonctions usuelles continues sur R, 
et car
son dénominateur ne s'annule pas sur R. Elle est par conséquent aussi bornée 
sur le
segment [  ;  ].
La fonction k,t,a,b est bornée sur R.
I.A.3.c La fonction k,t,a,b étant bornée, il existe M > 0 tel que pour tout y  
R,
|k,t,a,b (y)| 6 M. Il s'ensuit que
Xk etX
6M
eaX + ebX

soit encore

|X|k etX 6 M(eaX + ebX )

Or la variable aléatoire de droite est d'espérance finie par hypothèse. Comme 
|X|k etX
est positive, la propriété (P) entraîne