Centrale Maths 1 PSI 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sélim Cornet (ENS Paris-Saclay) ; il a été relu par Bertrand Wiel (professeur agrégé) et Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l'université). L'objectif de ce problème est de démontrer que lors de la répétition d'expériences aléatoires indépendantes, la probabilité que la moyenne des résultats obtenus soit « éloignée » de l'espérance décroît à vitesse exponentielle lorsque le nombre de répétitions de l'expérience augmente. Ce type de résultat porte le nom de théorème de grande déviations. · Dans la première partie, constituée de trois sous-parties indépendantes, on démontre des résultats préliminaires. On y introduit d'abord la transformée de Laplace d'une variable aléatoire et on établit quelques-unes de ses propriétés. On prouve ensuite une variante de la loi des grands nombres, avant de démontrer un résultat d'analyse appelé le lemme sur-additif. · Le but de la seconde partie est de démontrer un théorème dû à Harald Cramér. On montre la décroissance géométrique de la suite des probabilités précédemment mentionnée, et on met en oeuvre une méthode permettant de déterminer la vitesse de décroissance. Le résultat obtenu est finalement appliqué au calcul de limites de suites numériques. Ce sujet est d'une difficulté raisonnable et bien guidé. Il requiert toutefois une bonne maîtrise du cours et des techniques classiques de probabilités ; plusieurs questions font également appel à des raisonnements d'analyse. Au sein de chaque partie, les questions sont de difficulté progressive : les premières sont des questions de cours ou qui ne nécessitent qu'un argument simple, tandis que celles situées en fin de chaque partie sont plus techniques et demandent de faire preuve de recul pour choisir les résultats à appliquer. Indications Partie I I.A.1 Poser P() = E((V + U)2 ) pour R et étudier le signe de P(). I.A.2.b Donner une expression de E(etX ) et reconnaître une série géométrique. I.A.3.a Distinguer deux cas selon le signe de X. I.A.3.b Appliquer un théorème de croissances comparées. À l'aide des limites obtenues, montrer que la fonction est bornée en dehors d'un certain segment, puis qu'elle est bornée sur ce segment. I.A.4.c Mettre en oeuvre les théorèmes de continuité et de dérivabilité de la somme d'une série de fonctions. I.A.4.e Étudier le signe de la dérivée de X . On pourra appliquer l'inégalité de la question I.A.1 à deux variables aléatoires bien choisies. I.B.2 Utiliser le résultat de la question précédente pour un choix judicieux de . I.C.2 Minorer un /n par la somme de um /m et d'un terme de limite nulle. On pourra utiliser en particulier l'encadrement du reste donné par le théorème de la division euclidienne. I.C.3 Utiliser les définitions de la limite et de la borne supérieure. Partie II II.A.2.b Commencer par montrer que les variables aléatoires Sm+n - Sm et Sm sont indépendantes. II.A.3 Faire le lien avec la partie I.C. II.B.1 Appliquer l'inégalité de Markov pour obtenir la seconde inégalité. II.B.2.a Distinguer deux cas, selon si X > a ou non. II.B.2.b Écrire le développement limité de à l'ordre 1 en 0. II.B.2.d Remarquer que, dans les deux cas, la borne inférieure est atteinte à l'intérieur de I R+ , et donc en un point critique. II.C.1.b Prouver la seconde inégalité à l'aide de la croissance de la fonction X . II.C.2.b Montrer d'abord a 6 a + t|b - a|, puis montrer que le terme t|b - a| peut être rendu arbitrairement petit par un choix judicieux de t et b. II.C.3 Utiliser le théorème de Cramér démontré à la question précédente. I. Premiers résultats I.A.1 Posons, pour R, P() = E((V + U)2 ) = 2 E(V2 ) + 2E(UV) + E(U2 ) avec E(V2 ) > 0 puisque V n'est pas presque sûrement nulle. Ce trinôme de degré 2 étant à valeurs positives, son discriminant est négatif ou nul ; or, celui-ci est donné par = 4E(UV)2 - 4E(U2 )E(V2 ). Ainsi, E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 > 0 De plus, E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 = 0 = 0 R P() = 0 R E((V + U)2 ) = 0 E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 = 0 R V + U = 0 p.s. la dernière équivalence provenant du fait qu'une variable aléatoire positive d'espérance nulle est presque sûrement nulle. Il y a égalité si, et seulement si, il existe R tel que la variable aléatoire V + U soit presque sûrement nulle. Il s'agissait ici d'une question de cours : on a redémontré l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les variables aléatoires. I.A.2.a La variable aléatoire X étant bornée, on peut se donner M > 0 tel que pour tout , |X()| 6 M. Soit R+ . Par croissance de la fonction exponentielle, pour tout , 0 6 e |X()| 6 e M , soit e |X| 6 e M . Or cette dernière quantité est constante, d'où E(e M ) = e M < + Appliquons alors la propriété (P) : E(e |X|) < +, autrement dit, La variable aléatoire X vérifie (C ) pour tout R+ . I.A.2.b Soit t R. Si la variable aléatoire X suit une loi géométrique de paramètre p ] 0 ; 1 [, le théorème de transfert donne E(etX ) = + X etk p(1 - p)k-1 = pet k=1 + X (et (1 - p))k-1 k=1 Déterminons les réels t tels que cette série soit convergente. C'est une série géométrique, de raison et (1-p) > 0. Celle-ci converge donc si, et seulement si, et (1-p) < 1, autrement dit si t < - ln(1 - p). Dans ce cas-là, calculons la somme de la série en effectuant le changement d'indice k k - 1 : E(etX ) = pet + X k=0 (et (1 - p))k = pet 1 - (1 - p)et Ainsi, E(etX ) < + pour t ] - ; - ln(1 - p) [ et alors E(etX ) = pet . 1 - (1 - p)et I.A.2.c Si X suit une loi de Poisson de paramètre > 0, t R E(etX ) = + X + etk e- k=0 X (et )k k = e- = exp((et - 1)) k! k! k=0 la série étant convergente pour tout t R puisque c'est une série exponentielle. E(etX ) < + pour tout t R et alors E(etX ) = exp((et - 1)). I.A.3.a Soient t [ a ; b ] , . Par croissance et positivité de l'exponentielle : · Si X() 6 0, on a etX() 6 eaX() 6 eaX() + ebX() . · De même, si X() > 0, il s'ensuit que etX() 6 ebX() 6 eaX() + ebX() . En résumé, Pour tout t [ a ; b ], etX 6 eaX + ebX . La propriété (P) donne alors Pour tout t [ a ; b ], E(etX ) < +. Par conséquent, l'ensemble {t R | E(etX ) < +} est un intervalle. I.A.3.b. Écrivons, pour tout y R, y k ety y k e(t-a)y = eay + eby 1 + e(b-a)y Lorsque y tend vers -, le numérateur tend vers 0 par croissances comparées (car t - a > 0) et le dénominateur tend vers 1 (car b - a > 0). On en déduit k,t,a,b (y) = k,t,a,b (y) ----- 0 y- De même, pour tout y R, y k e(t-b)y e(a-b)y + 1 avec t - b < 0 et a - b < 0. Lorsque y tend vers +, le numérateur tend vers 0, le dénominateur vers 1, d'où k,t,a,b (y) = k,t,a,b (y) ----- 0 y+ D'après ce qui précède, il existe R et R tels que pour tout y < et pour tout y > , |k,t,a,b (y)| 6 1. Par ailleurs, la fonction k,t,a,b est définie et continue sur R comme somme, produit et quotient de fonctions usuelles continues sur R, et car son dénominateur ne s'annule pas sur R. Elle est par conséquent aussi bornée sur le segment [ ; ]. La fonction k,t,a,b est bornée sur R. I.A.3.c La fonction k,t,a,b étant bornée, il existe M > 0 tel que pour tout y R, |k,t,a,b (y)| 6 M. Il s'ensuit que Xk etX 6M eaX + ebX soit encore |X|k etX 6 M(eaX + ebX ) Or la variable aléatoire de droite est d'espérance finie par hypothèse. Comme |X|k etX est positive, la propriété (P) entraîne 
