Centrale Maths 1 PSI 2017

Centrale Maths 1 PSI 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sélim Cornet (ENS Paris-Saclay) ; il a été relu par
Bertrand Wiel (professeur agrégé) et Céline Chevalier (enseignant-chercheur à 
l'université).

L'objectif de ce problème est de démontrer que lors de la répétition 
d'expériences
aléatoires indépendantes, la probabilité que la moyenne des résultats obtenus 
soit
« éloignée » de l'espérance décroît à vitesse exponentielle lorsque le nombre 
de répétitions de l'expérience augmente. Ce type de résultat porte le nom de 
théorème de
grande déviations.
· Dans la première partie, constituée de trois sous-parties indépendantes, on 
démontre des résultats préliminaires. On y introduit d'abord la transformée de
Laplace d'une variable aléatoire et on établit quelques-unes de ses propriétés.
On prouve ensuite une variante de la loi des grands nombres, avant de démontrer 
un résultat d'analyse appelé le lemme sur-additif.
· Le but de la seconde partie est de démontrer un théorème dû à Harald Cramér.
On montre la décroissance géométrique de la suite des probabilités précédemment 
mentionnée, et on met en oeuvre une méthode permettant de déterminer
la vitesse de décroissance. Le résultat obtenu est finalement appliqué au calcul
de limites de suites numériques.
Ce sujet est d'une difficulté raisonnable et bien guidé. Il requiert toutefois 
une
bonne maîtrise du cours et des techniques classiques de probabilités ; 
plusieurs questions font également appel à des raisonnements d'analyse. Au sein 
de chaque partie,
les questions sont de difficulté progressive : les premières sont des questions 
de cours
ou qui ne nécessitent qu'un argument simple, tandis que celles situées en fin 
de chaque
partie sont plus techniques et demandent de faire preuve de recul pour choisir 
les résultats à appliquer.

Indications
Partie I
I.A.1 Poser P() = E((V + U)2 ) pour   R et étudier le signe de P().
I.A.2.b Donner une expression de E(etX ) et reconnaître une série géométrique.
I.A.3.a Distinguer deux cas selon le signe de X.
I.A.3.b Appliquer un théorème de croissances comparées. À l'aide des limites 
obtenues, montrer que la fonction est bornée en dehors d'un certain segment, 
puis
qu'elle est bornée sur ce segment.
I.A.4.c Mettre en oeuvre les théorèmes de continuité et de dérivabilité de la 
somme
d'une série de fonctions.
I.A.4.e Étudier le signe de la dérivée de X . On pourra appliquer l'inégalité 
de la
question I.A.1 à deux variables aléatoires bien choisies.
I.B.2 Utiliser le résultat de la question précédente pour un choix judicieux de 
.
I.C.2 Minorer un /n par la somme de um /m et d'un terme de limite nulle. On 
pourra
utiliser en particulier l'encadrement du reste donné par le théorème de la
division euclidienne.
I.C.3 Utiliser les définitions de la limite et de la borne supérieure.
Partie II
II.A.2.b Commencer par montrer que les variables aléatoires Sm+n - Sm et Sm sont
indépendantes.
II.A.3 Faire le lien avec la partie I.C.
II.B.1 Appliquer l'inégalité de Markov pour obtenir la seconde inégalité.
II.B.2.a Distinguer deux cas, selon si X > a ou non.
II.B.2.b Écrire le développement limité de  à l'ordre 1 en 0.
II.B.2.d Remarquer que, dans les deux cas, la borne inférieure est atteinte à 
l'intérieur
de I  R+ , et donc en un point critique.
II.C.1.b Prouver la seconde inégalité à l'aide de la croissance de la fonction 
X .
II.C.2.b Montrer d'abord a 6 a + t|b - a|, puis montrer que le terme t|b - a| 
peut
être rendu arbitrairement petit par un choix judicieux de t et b.
II.C.3 Utiliser le théorème de Cramér démontré à la question précédente.

I. Premiers résultats
I.A.1 Posons, pour   R,
P() = E((V + U)2 ) = 2 E(V2 ) + 2E(UV) + E(U2 )
avec E(V2 ) > 0 puisque V n'est pas presque sûrement nulle. Ce trinôme de degré 
2
étant à valeurs positives, son discriminant est négatif ou nul ; or, celui-ci 
est donné
par  = 4E(UV)2 - 4E(U2 )E(V2 ). Ainsi,
E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 > 0
De plus,
E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 = 0   = 0
   R

P() = 0

   R

E((V + U)2 ) = 0

E(U2 )E(V2 ) - E(UV)2 = 0    R

V + U = 0 p.s.

la dernière équivalence provenant du fait qu'une variable aléatoire positive 
d'espérance nulle est presque sûrement nulle.
Il y a égalité si, et seulement si, il existe   R tel que la
variable aléatoire V + U soit presque sûrement nulle.
Il s'agissait ici d'une question de cours : on a redémontré l'inégalité de
Cauchy-Schwarz pour les variables aléatoires.
I.A.2.a La variable aléatoire X étant bornée, on peut se donner M > 0 tel que 
pour
tout   , |X()| 6 M. Soit   R+ . Par croissance de la fonction exponentielle,
pour tout   , 0 6 e |X()| 6 e M , soit e |X| 6 e M . Or cette dernière quantité 
est
constante, d'où
E(e M ) = e M < +
Appliquons alors la propriété (P) : E(e |X|) < +, autrement dit,
La variable aléatoire X vérifie (C ) pour tout   R+ .
I.A.2.b Soit t  R. Si la variable aléatoire X suit une loi géométrique de 
paramètre
p  ] 0 ; 1 [, le théorème de transfert donne
E(etX ) =

+
X

etk p(1 - p)k-1 = pet

k=1

+
X

(et (1 - p))k-1

k=1

Déterminons les réels t tels que cette série soit convergente. C'est une série 
géométrique, de raison et (1-p) > 0. Celle-ci converge donc si, et seulement 
si, et (1-p) < 1,
autrement dit si t < - ln(1 - p). Dans ce cas-là, calculons la somme de la 
série en
effectuant le changement d'indice k  k - 1 :
E(etX ) = pet

+
X
k=0

(et (1 - p))k =

pet
1 - (1 - p)et

Ainsi,
E(etX ) < + pour t  ] - ; - ln(1 - p) [ et alors E(etX ) =

pet
.
1 - (1 - p)et

I.A.2.c Si X suit une loi de Poisson de paramètre  > 0,
t  R

E(etX ) =

+
X

+

etk e-

k=0

X (et )k
k
= e-
= exp((et - 1))
k!
k!
k=0

la série étant convergente pour tout t  R puisque c'est une série exponentielle.
E(etX ) < + pour tout t  R et alors E(etX ) = exp((et - 1)).
I.A.3.a Soient t  [ a ; b ] ,   . Par croissance et positivité de 
l'exponentielle :
· Si X() 6 0, on a etX() 6 eaX() 6 eaX() + ebX() .
· De même, si X() > 0, il s'ensuit que etX() 6 ebX() 6 eaX() + ebX() .
En résumé,

Pour tout t  [ a ; b ], etX 6 eaX + ebX .

La propriété (P) donne alors
Pour tout t  [ a ; b ], E(etX ) < +. Par conséquent,
l'ensemble {t  R | E(etX ) < +} est un intervalle.
I.A.3.b. Écrivons, pour tout y  R,
y k ety
y k e(t-a)y
=
eay + eby
1 + e(b-a)y
Lorsque y tend vers -, le numérateur tend vers 0 par croissances comparées
(car t - a > 0) et le dénominateur tend vers 1 (car b - a > 0). On en déduit
k,t,a,b (y) =

k,t,a,b (y) ----- 0
y-

De même, pour tout y  R,
y k e(t-b)y
e(a-b)y + 1
avec t - b < 0 et a - b < 0. Lorsque y tend vers +, le numérateur tend vers 0, 
le
dénominateur vers 1, d'où
k,t,a,b (y) =

k,t,a,b (y) ----- 0
y+

D'après ce qui précède, il existe   R et   R tels que pour tout y <  et pour
tout y > , |k,t,a,b (y)| 6 1. Par ailleurs, la fonction k,t,a,b est définie et 
continue
sur R comme somme, produit et quotient de fonctions usuelles continues sur R, 
et car
son dénominateur ne s'annule pas sur R. Elle est par conséquent aussi bornée 
sur le
segment [  ;  ].
La fonction k,t,a,b est bornée sur R.
I.A.3.c La fonction k,t,a,b étant bornée, il existe M > 0 tel que pour tout y  
R,
|k,t,a,b (y)| 6 M. Il s'ensuit que
Xk etX
6M
eaX + ebX

soit encore

|X|k etX 6 M(eaX + ebX )

Or la variable aléatoire de droite est d'espérance finie par hypothèse. Comme 
|X|k etX
est positive, la propriété (P) entraîne