Centrale Maths 1 PSI 2015

Thème de l'épreuve Modélisation de l'évolution d'une population par un processus de Galton-Watson
Principaux outils utilisés variables aléatoires à valeurs dans N, suites et séries numériques
Mots clefs processus de Galton-Watson, lemme de Cesaro, formule de Wald, probabilité d'extinction

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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î, % Mathématiques 1 LD % FI ( --/ PS| O EUNEHUHSEENTHHLE-SUPËLEE 4heures Calculatrices autorisées N Dans ce problème, nous étudions le processus de Galton--Watson qui permet entre autres de modéliser le déve- loppement d'une population. Ce processus est par exemple utilisé en biologie ou en physique nucléaire. Dans tout le problème, on se place dans un espace probabilisé (Q, ./l, P). Si X est une variable aléatoire entière et positive sur cet espace, on notera G X, série entière de rayon de convergence au moins 1, la fonction génératrice de X. On rappelle que la fonction génératrice de X est la somme de la série entière : Vt e [--1, 1] GX(t) = E(tX) = ÎP(X = n)t" n=O La fonction génératrice d'une variable aléatoire caractérise sa loi. Plus précisément, si X est une variable aléatoire +00 à valeurs dans N et si (an) est une suite de réels positifs tels que, pour tout t EUR [O, 1[, G X (t) = Eafit", alors, n=O pour tout n EUR N, an = P(X = 71). On admettra le théorème suivant (lemme de Cesaro) : si (an)nEURN est une suite de nombres réels convergente vers l et si on pose, pour 71 EUR N*, b,, : Ë(a1 + + an), alors la suite (bn)n>1 converge vers l. I Etude d'une suite récurrente On considère une fonction f de classe 82 sur [O, 1] à valeurs dans [0,1] telles que f ' et f" soient à valeurs positives. On suppose f(1) = 1, f'(O) < 1 et f"(1) > O. On considère de plus la suite récurrente (un)nEURN définie par 110 = O et, pour tout 71 EUR N, un+1 : f (un) On pose m = f'(1). I.A -- I.A.1) Montrer que la suite (un)neN est croissante, puis qu'elle est convergente. On note 1 sa limite. I.A.2) Montrer que l'équation f (a:) = x admet une plus petite solution. Dans toute la suite, on la notera xf. I.A.3) Montrer que l : oef. I.B -- On suppose m > 1. Montrer que xf EUR [O, 1[. LG -- On suppose maintenant m < 1. Montrer que oef : 1 et que pour tout n EUR N, un = 1. I.D -- Dans cette question, on suppose m = 1. 1 1 " 1 I.D.1) On pose, pour n EUR N, en : 1 -- un. Montrer que lim ( -- --) = f ( ). n-->+oo 8n+1 en 2 2 I.D.2) En déduire que, quand n tend vers l'infini, 1 -- un N f"(1) . 71 On pourra utiliser le lemme de Cesaro admis en préambule. I.E -- On suppose maintenant m < 1 et on pose encore, pour 71 EUR N, en = 1 -- un. I.E.1) Montrer que la série de terme général en est absolument convergente et en déduire la convergence de --(n+1) celle de terme général ln <...) . m""en I.E.2) En déduire qu'il existe 0 > 0 tel que, quand n tend vers l'infini, 1 -- un ... cm". Il Formule de Wald Soient (Xn)nEURN* une suite de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, de même loi à valeurs dans N, et T une variable aléatoire à valeurs dans N indépendante des précédentes. (T, Xn)nEURlN* est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes. On note G X la fonction génératrice commune a toutes les Xn. Pour n EUR N et w EUR Q, on pose Sn(w) : ZXk(w) et SO(w) : 0, puis, S(w) : ST(...)(W)- k=1 2015-0224 10:23:51 Page 1/4 [_ II.A -- On souhaite démontrer l'égalité G S : GT 0 G X. II.A.1) Montrer que, si X et Y sont deux variables aléatoires a valeur dans N indépendantes, alors G X +Y : G xGy. II. A. 2) En admettant que, pour tout [EUR EUR N, Sk est indépendante de Xk+1, prouver que, pour tout k EUR N, Gs= (Gx)k . II.A.3) En admettant que, pour tout 71 EUR N, T et S,, sont indépendantes, montrer que VtEUR[O,1[,VKGN t)=(=ÎPT k)( )((Gxt) )+â(k=zK+P( (T= k)P (S,, =n)t") k0 II.A.4) Pour K EUR N et t EUR [O, 1[, on pose RK = 2 ( î: P(T : k)P(Sk = n)t"). n=0 k=K+1 1 00 Montrer que 0 < RK < -- î: P(T = k). II.A.5) Conclure. II.B -- En déduire que, si T et les X,, sont d'espérance finie, alors S aussi et E(S) : E(T)E(Xfl. II. C -- Lors d'une ponte, un insecte pond un nombre aléatoire d'oeufs suivant la loi de Poisson de paramètre À > 0. Ensuite, la probabilité qu'un oeuf donné devienne un nouvel insecte est & EUR ]0,1[. II.C.1) Rappeler la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre À. II.C.2) En utilisant la relation de composition ci-dessus, déterminer la loi du nombre d'insectes issus de la ponte. III Processus de Galton--Watson +oo Soit 11 une loi de probabilité caractérisée par la suite (pk)keN de nombre réels entre 0 et 1 telle que Zpk = 1. k=0 Dire qu'une variable aléatoire X sur (Q,.Â,P) suit la loi # signifie que X(Q) C N et, pour tout k EUR N, P(X : k) = On suppose que po + 191 < 1 (ce qui signifie qu'il existe au moins un entier k supérieur ou égal à 2 tel que Pk # 0)-- On étudie un individu qui a un certain nombre de fils. Ces fils ont également chacun (indépendamment les uns des autres) un certain nombre de fils et ainsi de suite. Afin de modéliser la situation, on se donne des variables aléatoires (X...,)...fiûewa indépendantes qui suivent toutes la loi ,a, on pose YO la variable certaine égale à 1 et, pournEURNetwEURQ, Yn+1(w) : 0 Si Yn ((U) = 0 Yn(w) Yn+1(w) : Xn,i (CU) Si Yn (CU) # 0 i=1 Yn représente le nombre d'individus a la génération n. S'il n'y a pas d'individu a la génération n, il n'y en a pas plus a la génération suivante et sinon, le nombre de fils du ième élément de la génération n est égal à X,... On dit qu'il y a extinction lorsqu'il existe un entier n tel que Y = O. TL On note f la fonction génératrice de la loi ,a (et donc de chacune des variables X,...) et, pour 71 EUR N, «,on la fonction génératrice de la variable aléatoire Y,,. On a donc en particulier, pour t EUR [O, 1], % (t) = t. On suppose que toute variable aléatoire suivant la loi ,a possède une espérance égale à m et une variance. III.A -- Probabilité d'eoetinction III.A.1) Montrer que, pour tout 71 EUR N, 'Pn+1 : 'Pn 0 f. III.A.2) Exprimer, pour 71 EUR N, l'espérance de Y,, en fonction de m et de n. III.A.3) (1) Vérifier que la probabilité d'extinction est égale à la limite de la suite (0. b Vérifier qu'on peut appliquer les résultats de la partie I a la suite cp 0 . n n20 III. A. 4) Si m< 1, montrer que la probabilité d'extinction est égale a 1. 2015-0224 10:23:51 Page 2/4 [_ On définit alors le temps T d'extinction par : T(w) : min{n EUR N | Y,,(w) = 0} s'il existe n EUR N tel que Y,,(w) : 0 w EUR Q . T(w) = --1 s1non On admettra que T est une variable aléatoire. III.B -- Cas sous-critique 771 < 1 On suppose dans cette question que m < 1. III.B.1) Vérifier que T admet une espérance. III.B.2) 0) Montrer que, pour tout entier n, P(Y,, > 1) < m". +oo b) Montrer que E(T) = ZP(T > n). n=O c ) En déduire une majoration de E(T). III.C -- Étude de la lignée Dans cette question, on suppose m < 1. n +oo On note, pour n EUR N*, Z,, : 1+ZY, et Z: 1+ZY,,. i=1 n=1 On admettra que Z est une variable aléatoire définie sur U {Yk : O}. keN III.C.1) Montrer que Z est définie sur un ensemble de probabilité 1. III.C.2) 0) Montrer que, pour tout k EUR N, (P(Z,, < k))nEURN* b) En déduire que, pour tout k EUR N, (P(Zn = k)) c) Montrer que, pour tout 3 EUR [O, 1[, tout 71 EUR N* et K EUR N, est une suite convergente. Déterminer sa limite. nEURN* converge vers P(Z = k). SK le,(8) --Gz(8)l < 2 IP(Zn = k) --P(Z = k)l + 1_S k=O d ) En déduire que la suite de fonctions (G Zn) converge simplement vers G 2 sur [O, 1]. III.C.3) a ) Exprimer G Z1 en fonction de f. b) On admet que, pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 2 et pour tout 3 EUR [O, 1], G Z... (3) = 3 f (G z,,_, (s)). En déduire que, pour tout 3 EUR [O, 1[, Gz(s) : sf(Gz(s)). c) Montrer que Z est d'espérance finie si et seulement si m < 1. Calculer l'espérance lorsque c'est le cas. IV Un exemple 1 On suppose dans cette partie que, pour tout [EUR EUR N, pk = @. I V.A -- Exprimer, pour t EUR [O, 1], f (t) et calculer m. IV.B -- Vérifier que, pour tout t EUR [O, 1[, (p,, (t) = 1. 1 On peut donc poser, (1 t) = --. "(  n. La variable T admet-elle une espérance ? IV.G -- Exprimer, pour 3 EUR [O, 1[, Gz(s) en fonction de s. En déduire la loi de Z. 2015-0224 10:23:51 Page 3/4 [_ V Cas surcritique On suppose dans cette partie m > 1. On étudie un problème légèrement différent : k étant un entier strictement positif fixé, on suppose qu'il y a k individus à la génération 0 ; ensuite tout se passe comme précédemment. On note Wn le nombre d'individus à la nième génération et on définit un la probabilité que la suite (Wn)nelN* prenne la valeur k pour la première fois au rang n : un = P ((m = k) 0 ("film % k>)) i=1 Pour n et ?" entiers naturels non nuls, on définit de même uÿ') comme la probabilité pour que la suite (Wn)neN* prenne la valeur k pour la rième fois au rang n. V.A -- Vérifier que les séries Zuns" et Euÿ's" convergent quand 3 EUR [--1,1]. n21 n21 +OED +OEl On peut donc définir, pour 3 EUR [--1,1], U(s) : Zuns" et U,,(s) : Zuÿ's". n=1 n=1 V.B -- V.B.1) Montrer que P(W1 > R) > O. V.B.2) Montrer que la probabilité que la suite (Wn)nEURlN* ne prenne pas la valeur k est non nulle ; on note u cette probabilité. On pourra étudier séparément les cas po : 0 et po > O. V.C -- V.C.1) Soit n E N* et 7° un entier naturel supérieur ou égal à 2. Montrer la relation n--1 US") = 2 Mug--21) i=1 V.C.2) En déduire que, pour tout entier ?" strictement positif, UT : UT (UT désigne U >< U >< >< U 7" fois). V.D -- V.D.1) Montrer que la probabilité que la suite (Wn)neN* prenne la valeur k une infinité de fois est nulle. V.D.2) Montrer qu'il en est de même pour la suite (Yn)nEURlN*' V.E -- Soit (An)nEURlN une suite d'évènements tous de probabilité 1. Montrer que P (U A_n) = O. Qu'en déduit-on pour P (n An) ? nEURN nEURN V.F -- Soit oz la probabilité qu'il y ait extinction et fl la probabilité que la suite (Yu) diverge vers l'infini. Montrer que a + fl : 1. oooFlNooo 2015-0224 10:23:51 Page 4/4 [_

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 Centrale Maths 1 PSI 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Matthias Moreno (ENS Lyon) et Benjamin Monmege (Enseignantchercheur à l'université). Le problème a pour objet le processus de Galton-Watson, qui modélise le développement d'une population. C'est un processus très célèbre car il fut le premier à quantifier la probabilité d'extinction d'une population. · La première partie établit des résultats préliminaires qui portent uniquement sur les suites et séries de réels. Mis à part les premières questions, qui ont pu dérouter certains candidats par leur originalité, cette partie est tout à fait classique et sans grande difficulté. · La deuxième partie définit les variables aléatoires S0 = 0 et n > 1 Sn = n P Xk k=1 où (Xn )nN est une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N qui ont la même loi que X. À l'aide des fonctions génératrices, on démontre la formule de Wald : E(ST ) = E(T)E(X), valable lorsque X et le temps d'arrêt T, à valeurs dans N, sont d'espérance finie. Cette partie se conclut par l'exemple concret d'une ponte d'insectes. · La troisième partie s'intéresse à un processus de Galton-Watson, c'est-à-dire une famille (Yn )nN de variables aléatoires définies par Y0 = 1 et si Yn = 0 0 Pn Yn+1 = Y Xn,i sinon i=1 où les variables aléatoires (Xn,i )n,iN×N sont indépendantes et de même loi. Les variables Yn représentent le nombre d'individus à la génération n, et les variables Xn,i le nombre de fils (d'espérance m). On montre que la probabilité d'extinction est égale à 1 lorsque m 6 1, avant d'étudier la lignée en déterminant l'espérance du nombre total d'individus. · La quatrième partie étudie le cas particulier où les Xi,n suivent une loi géométrique de paramètre 1/2. Les questions portent uniquement sur des calculs ; elles peuvent être abordées sans avoir entièrement résolu la troisième partie. · Enfin, la cinquième partie est dans le prolongement de la troisième, en proposant l'étude de la lignée dans le cas, appelé sur-critique, où m > 1. Dans ce cas, soit la population s'éteint, soit le nombre d'individus à chaque génération diverge vers l'infini. C'est la partie la plus difficile du problème. C'est un très beau sujet sur les probabilités, qui étaient au programme pour la première fois, mêlant théorie et applications. Intéressant, ambitieux, il a cependant dû déstabiliser nombre de candidats en raison de sa difficulté technique et des nombreuses notations qu'il introduit. Il est parfait pour travailler ou réviser tout le programme de probabilités. Indications Partie I I.A.3 Montrer que 6 xf puis utiliser la minimalité de xf . I.B Trouver une autre solution de l'équation f (x) = x en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires. I.C Pour la deuxième partie de la question, montrer que f est strictement croissante sur un voisinage de 1. I.D.1 Appliquer la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 à f . I.E.1 Exploiter la règle de d'Alembert ainsi que le calcul de la question I.D.1 . Partie II II.A.3 La suite (T = k)kN forme un système complet d'événements, ce qui permet d'appliquer la formule des probabilités totales. II.B Si Y est une variable aléatoire, alors Y est d'espérance finie si, et seulement si, GY est dérivable en 1 et dans ce cas, E(Y) = GY (1). II.C.1 Si Y suit une loi de Poisson de paramètre > 0 alors, pour tout k N, P(Y = k) = e - k /k! . Partie III III.A.2 Utiliser la question II.B . III.A.3.a L'extinction est l'union des événements (Yn = 0) pour n N. III.A.3.b Montrer tout d'abord que, pour tout n > 0, un = f n (0) où f n est la composée n fois de f , puis que f vérifie les hypothèses de la partie I. III.B.1 L'événement (T = n) est inclus dans l'événement (Yn-1 6= 0). III.C.2.a Prouver que la suite d'événements ((Zn 6 k))nN est décroissante, puis utiliser le théorème de continuité décroissante. III.C.2.c Découper la somme dans la valeur absolue en deux, utiliser l'inégalité triangulaire, puis majorer s par 1 dans la première somme, et la différence des probabilités par 1 dans la deuxième. III.C.2.d Commencer par fixer K pour majorer le deuxième terme de l'inégalité de la question précédente. Faire ensuite tendre n vers l'infini. III.C.3.a Appliquer la question II.A.1 . III.C.3.c Prouver l'existence de E(Z) = GZ (1) grâce au théorème de dérivation par limite de la dérivée. Partie IV IV.E Développer n en série entière afin de reconnaître les valeurs P(Yn = k) pour tout entier k. Pour cela, effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. IV.F Utiliser l'égalité, valable pour n N , (T > n) = (Yn > 1). IV.G Résoudre l'équation donnée par la question III.C.3.b . Développer ensuite la fonction GZ obtenue en série entière. Partie V V.A Montrer la convergence absolue des séries. V.B.1 Exprimer W1 en fonction des variables X0,i pour i {1, . . . , k}. V.B.2 Pour le cas p0 = 0, montrer tout d'abord que la population ne peut que croître. La considérer ensuite à la génération 1. Pour le cas p0 > 0, regarder ce qui se passe si les individus de la génération 0 n'ont pas de fils. V.C.1 Partitionner selon le rang où la valeur k est atteinte pour la première fois. V.C.2 Raisonner par récurrence et reconnaître un produit de Cauchy grâce au résultat de la question précédente. V.D.1 Définir les événements « la suite (Wn )nN prend la valeur k au moins r fois » pour tout r > 1, et les exprimer en fonction des événements apparus dans la question V.A . Utiliser ensuite les questions V.C.2 et V.B.2 pour calculer les probabilités. V.D.2 Utiliser la formule des probabilités totales pour ramener la suite (Yn )nN à la suite (Wn )nN une fois la valeur k prise à un certain rang. V.E C'est une application du théorème de continuité croissante. V.F S'inspirer des événements utilisés à la question V.D.2 et conclure grâce à la question précédente. I. Étude d'une suite récurrente I.A.1 Afin de prouver la croissance de la suite (un ), montrons, par récurrence sur n N, que, pour tout n N, la propriété P(n) : un 6 un+1 est vraie. · P(0) : par définition, u0 = 0 et, par hypothèse, f est à valeurs dans [ 0 ; 1 ], donc u1 = f (u0 ) [ 0 ; 1 ], d'où u0 6 u1 . · P(n) = P(n + 1) : on a un+2 = f (un+1 ) et un+1 = f (un ). D'après l'énoncé, f est positive, donc f est croissante. Par hypothèse de récurrence, un 6 un+1 donc un+1 = f (un ) 6 f (un+1 ) = un+2 en composant par f . · Conclusion : n > 0 un 6 un+1 Comme f est à valeurs dans [ 0 ; 1 ], la suite (un ) est également à valeurs dans [ 0 ; 1 ]. Elle est ainsi croissante et majorée, donc elle est convergente. Par suite, La suite (un ) est croissante et convergente. I.A.2 Notons E l'ensemble {x [ 0 ; 1 ] | f (x) = x}. Cet ensemble est non vide car il contient 1 et il est minoré par 0 ; il admet donc une borne inférieure. En outre, en posant g : x 7- f (x) - x l'application de [ 0 ; 1 ] dans R, g est continue et l'ensemble E est l'image réciproque par g de l'ensemble {0}, qui est fermé. On en déduit que E est fermé. Sa borne inférieure est donc son minimum. L'équation f (x) = x admet une plus petite solution. On aurait également pu résoudre cette question en raisonnant avec des suites. En effet, si l'on note la borne inférieure de E, alors il existe une suite (xn ) d'éléments de E qui converge vers . En outre, pour tout entier n, f (xn ) = xn et f est continue. En passant à la limite, on en déduit que f () = , puis que E : c'est donc bien un minimum. I.A.3 Pour tout n N, un+1 = f (un ). En outre, f est continue donc, en passant à la limite quand n tend vers l'infini, f () = . Le réel est ainsi solution de l'équation f (x) = x. Montrons à présent que 6 xf . Comme f est croissante sur [ 0 ; xf ], f ([ 0 ; xf ]) = [ f (0) ; f (xf ) ] = [ 0 ; xf ] En outre, u0 = 0 [ 0 ; xf ] donc, par récurrence immédiate, un [ 0 ; xf ] pour tout entier n. En passant une nouvelle fois à la limite, il vient 6 xf . Par minimalité de la solution xf de l'équation f (x) = x, on obtient = xf I.B Considérons la fonction dérivable g : x 7- f (x) - x définie dans la question I.A.2 . Pour tout x [ 0 ; 1 ], g (x) = f (x) - 1. D'après l'énoncé, g (1) > 0 et g(1) = 0, donc il existe x0 [ 0 ; 1 [ tel que g(x0 ) < 0. En outre, on a l'inégalité g(0) = f (0) = u1 > u0 = 0. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc x1 [ 0 ; x0 ] tel que g(x1 ) = 0. Comme xf 6 x1 , par minimalité de xf ,