Centrale Maths 1 PSI 2014

Thème de l'épreuve Polynômes de Tchebychev de seconde espèce
Principaux outils utilisés nombres complexes, factorisation de polynômes, relations de récurrence linéaire, développement en série entière, fonctions de carré intégrable, produit scalaire, endomorphismes symétriques
Mots clefs polynômes orthogonaux

Corrigé

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Mathématiques 1 <|' _5 PSI @ 4 heures Calculatrices autorisées N Notations -- On note Lac} la partie entière du réel m. -- On se place dans le plan euclidien [R2 muni de son repère orthonormé canonique 58, d'origine 0. Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes ; les parties II et III utilisent les notations R(2) et Vn(z) introduites dans la première partie. I Première partie I.A -- Soit 2 un nombre complexe, de partie réelle :L' et de partie imaginaire y, tels que (:s, y) EUR IR_ >< {0}. On note Z+IZI Re(Z) + lZl) 9(z) = 2arctan # et R(z) = :L' + 302 + y2 2( I.A.1) Justifier que 9 et R sont bien définies. I.A.2) Lorsque 2 vaut successivement z1 = 4, z2 = 2i et 23 = 1 -- i\/Ë, calculer R(z), 9(2) et (R(2))2. I.A.3) Vérifier que 9(2) EUR ]--7r,7r[ et que R(z) EUR !? = {Z EUR @, Re(Z) > O}. I.A.4) Représenter sur une figure le cercle C' de centre O et de rayon |z| et les points M d'affixe z et B d'affixe -- |z|. En considérant des angles bien choisis, montrer que 9(2) = Arg(Z) = 2Arg (2 + IZI) où Arg(2) désigne la détermination principale de l'argument du nombre complexe z. I.A.5) Déterminer [R(z)]2, 9 o R(2) et |z|1/2 e"9(z)/2 en fonction de z, R(z) et 9(z). I.A.6) Résoudre à l'aide de R l'équation Z 2 = z, d'inconnue Z EUR 03. I.A.7) En déduire que R est une bijection de C \ IR_ dans .'7'. Préciser sa bijection réciproque. Dans la suite du problème, on prolonge R à C en posant R(m) = i«/ |æ| si ac EUR IR_. LB -- Soient a et b deux nombres complexes tels que (a, b) = (0,0). On dit qu'une suite complexe U = (un)neN vérifie la relation de récurrence (Ea,b) si l'on a Vn EUR N, un+2 = 2aun+l + bun I.B.1) On suppose que a2 + b = 0. On note d = R(a2 + b). On appelle W la suite W = ((a. + d)n)nEURlN et W' la suite W' = ((a. -- d)")neN. Montrer que U vérifie Ea,b si et seulement si U EUR Vect(W, W'). Déterminer U vérifiant Ea,b et les conditions initiales 110 = 0 et ul = 1, en fonction de d , W et W'. I.B.2) On suppose que a2 + b = 0 et a = 0. On note W et W' les suites W = (a")nGIN et W' = (n a") Montrer que U vérifie Ea,b si et seulement si U EUR Vect(W, W'). Déterminer U vérifiant Ea,b et les conditions initiales 110 = 0 et ul = 1, en fonction de a, W et W'. nEURN' Dans la suite du problème, on note: . U(a, b) = (U,,(a,b))flEURlN . V,,(z) = Un+1(z, --1) pour tous 2 EUR EUR et n EUR [N. l'unique suite vérifiant Ea,b et les conditions initiales Uo(a, b) = 0 et Ul (a, b) = 1 ; I.B.3) Expliciter V1(z), I/2(z) et V3(z) et déterminer leurs racines dans C. I.B.4) Montrer que, pour tous 2: EUR @ et n EUR IN, on a lW/2l 71 --j _ _ Vn(Z) = 2 ( j ) (22)"_2' (--1)' (1-1) j=O On pourra procéder par récurrence. II Deuxième partie Soit 2: EUR @. On note CZ (respectivement (ZZ) 'ensemble des points du plan d'affixe complexe Z tels que l 12 (Z -- 22)l : 1 (respectivement lZ (Z -- 22)l < 1). II .A -- Dans cette question on suppose que 2: est un réel noté &. On se place dans le repère orthonormé ÿEUR' de centre O' d'affixe &, déduit de 38 par translation. II.A.1) Montrer qu'une équation de la courbe Ca en « coordonnées polaires (p, 9) » dans le repère ÿEUR' est (,02 + a2)2 -- 4a2p2 cos2 9 = 1 II.A.2) Simplifier cette équation lorsque & = 1. Étudier et tracer l'allure de la courbe Cl. II .B -- On suppose a nouveau 2: complexe quelconque. II.B.1) Justifier que QZ est une partie bornée du plan. Est--elle ouverte ? fermée ? compacte ? II.B.2) Justifier que l'origine O est un point intérieur a 522. II. C -- On reprend dans cette question la notation R introduite dans la première partie a la question I.A. II.C.1) Soit 2: EUR @ tel que z2 # 1. On note 7": lR(z2 --1)l, s= lz+R(zZ--1)l, t= lz:--R(z2 --1)l, h=max(s,t) hn+1 Prouver que, pour tout 71 EUR IN, an(z)l < ?" +OED II.C.2) Que dire du rayon de convergence de la série entière Z l--> z Vn(z) Z "' ? n-O On note gZ sa somme. II.C.3) Lorsque cela a un sens, calculer (1 -- 2zZ + ZZ) gz(Z). 1 II.C.4) Déterminer l'ensemble de définition DZ de la fonction Z l--> _. 1 -- 2.2:Z + Z2 II.C.5) Montrer qu'il existe un disque ouvert non vide A de centre 0 inclus dans QZ tel que 1 +OED +oe> vz A, _: V Z": (ZP2--ZP) . ; ...) ; ... > II.C.6) En déduire que la fonction de la variable réelle a: +OED GZ : oe H Z(oep (22: --oe)p) p=O admet un développement limité a tout ordre en 0. On le note Gz(oe) : Zak æk+o(oen) oe -->0 k=O Déterminer les coefficients ak pour k EUR IN. II.C.7 ) Retrouver alors la relation (1.1). 2013-09-27 18:18:59 Page 2/3 OE=C BY-NC-SA III Troisième partie On note : . oz un réel tel que oz > --1/2; E le [IQ--espace vectoriel des fonctions de classe 6700 sur [--1, 1] et a valeurs réelles ; . . Fn le sous--espace vectoriel de E des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal a n, où n EUR IN ; . 9001 l'application qui, a toute fonction y de E, associe la fonction %(y) = t H (1 -- t') y"(t) -- (204 + 1)ty'(t) . Sa l'application de E >< E dans IR définie par Sa(f,g) = / f(t)g(t) (1 --t2)0'_% dt --1 III.A -- III.A.1) Vérifier que Sa est un produit scalaire sur E. III.A.2) Justifier que g0a est un endomorphisme de E. Est--il injectif ? III.A.3) Montrer que V(f,g) EURE27 Sa(%(f)aÿl =Sa(f7fioæ(g)) 1 On pourra calculer la dérivée de t H (1 -- t2)0'+ î f'(t). III.B -- Soit n EUR IN. III.B.1) Justifier que g0a induit sur En un endomorphisme et que cet endomorphisme induit (encore noté gag) est diagonalisable. III.B.2) Montrer qu'il existe une base de Fn constituée de vecteurs propres de 9001 de degrés deux a deux distincts. III.B.3) Vérifier que deux vecteurs propres de g0a de degrés distincts sont associés à des valeurs propres dis-- tinctes. On pourra s'intéresser au coefficient dominant d'un polynôme judicieux. III.B.4) Justifier que deux vecteurs propres de 9004 de degrés distincts sont orthogonaux. III.B.5) Montrer que tout vecteur propre de 9004 de degré supérieur ou égal à 1 s'annule au moins une fois dans l'intervalle ]--1, 1[. 111.0 -- Dans cette partie, on suppose oz : 1. On note ll-|l la norme associée a 81. III.C.1) Justifier que, pour tout k EUR IN, il existe un unique polynôme vecteur propre de g01 de degré k, de norme 1 et de coefficient dominant positif. On le note Tk. III.C.2) Soit t E ]0, 71[. Montrer que la fonction 1 H: H ' $ 1 -- 255 cos(t) +a:2 est développable en série entière sur ]--1, 1[. III.C.3) En déduire que sin((n + 1)t) Vn EUR IN, Vt EUR ]0,7r[, Vn(cost) : . t sm III.C.4) En dérivant deux fois la fonction 15 H (sin t) Vn(cos t) -- sin((n + 1)t), montrer que pour tout n EUR IN, Vn est vecteur propre de Sol. III.C.5) En déduire que, pour tout n EUR IN, Vn et T n sont proportionnels. Expliciter le coefficient de proportion-- nalité. III.C.6) Pour n EUR IN*, déterminer les racines de Tn. oooFlNooo 2013-09-27 18:18:59 Page 3/3 lËC BY-NC-SA

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 Centrale Maths 1 PSI 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet en trois parties étudie plusieurs aspects d'une famille de polynômes (Vn ), appelés polynômes de Tchebychev de deuxième espèce. Cependant, les polynômes ne sont jamais nommés par leur nom officiel et leur introduction se fait par des méthodes très loin des définitions usuelles, pour ne pas dire complêtement tordues. · La première partie commence par établir une bijection réciproque R de la fonction z 7- z 2 . Bien entendu, cette application n'est pas injective dès lors que son domaine de définition est étendu à C tout entier. On se restreint donc au départ aux complexes de partie réelle strictement positive, et au plan complexe privé des réels négatifs à l'arrivée. Une fois cet outil construit, le complexe Vn (z) fait son apparition via une suite satisfaisant une récurrence linéaire d'ordre 2, et la partie s'achève par la preuve qu'il s'agit bien d'une quantité polynomiale (ce qui n'était pas franchement gagné). · La deuxième partie démarre par l'étude d'une courbe du plan assez classique, appelée lemniscate de Bernoulli (mais dont le nom est, pour des raisons obscures, une nouvelle fois soigneusement caché). On relie ensuite l'intérieur de cette courbe fermée et bornée avec le domaine de la série généP de convergence ratrice de la suite (Vn (z))nN définie par Vn (z) Zn . n>0 · La dernière partie est beaucoup plus classique puisqu'elle traite de polynômes orthogonaux pour un produit scalaire de la forme Z 1 (f, g) 7- f (t)g(t)(1 - t2 )-1/2 dt -1 On retrouve la famille (Vn )nN (à un coefficient de normalisation près) lorsque le paramètre est égal à 1. Pour conclure, il s'agit d'un thème assez classique, qui couvre une large partie des chapitres du programme de prépa, mais traité ici d'une façon inhabituelle. Indications Partie I I.A.4 I.A.5 I.A.7 I.B.1 I.B.3 Remarquer que le triangle OBM est isocèle en O. Utiliser les relations |z|2 = z z et 2Re(z) = z + z. Montrer que z 7 z 2 est la réciproque de R. L'ensemble des solutions de Ea,b est un C-espace vectoriel de dimension 2. Utiliser la relation de récurrence double satisfaite par (Vn ) pour calculer successivement V1 , V2 , V3 . Factoriser les polynômes en z obtenus pour calculer leurs racines. I.B.4 Procéder par récurrence double sur n N et distinguer selon la parité. Partie II i II.A.1 Poser Z = a + e puis calculer |Z(Z - 2a)|2 . II.B.1 Pour le caractère borné, procéder par l'absurde en prenant une suite Z = (Zn ) de points de z telle que lim |Z| = +. Pour le caractère fermé, considérer la suite de points Zn = z + R(z 2 + 1 - 1/n). II.C.1 Utiliser le résultat de I.B.1 avec a = z, b = -1 et d = R(z 2 - 1). P II.C.2 Comparer avec le rayon de convergence de hn+1 Zn . II.C.3 Développer en trois sommes, réindexer puis appliquer la relation de récurrence linéaire satisfaite par V. II.C.4 Factoriser le dénominateur à l'aide de R. II.C.5 Développer 1/(1 - q) en série entière avec q = Z(Z - 2z). II.C.6 Utiliser l'unicité du développement en série entière. II.C.7 Montrer que Gz (x) = Pn (x) + xn+1 (2z - x)n+1 Gz (x) où Pn est un polynôme de degré 2n et calculer le coefficient en xn de Pn . Pour cela, développer l'expression (2z - x)p avec la formule du binôme puis repérer les termes d'ordre n dans la somme double obtenue. Partie III III.A.1 III.A.2 III.A.3 III.B.1 III.B.4 III.B.5 III.C.1 III.C.2 III.C.5 Montrer que p : t 7 (1 - t2 )-1/2 est intégrable sur ] -1 ; 1 [. Remarquer que (1) = 0. Effectuer une intégration par parties sur l'intervalle ouvert ] -1 ; 1 [. Résoudre cette question ainsi que les deux suivantes en calculant l'image par de la base canonique de Fn et en observant que la matrice dans cette base est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux deux à deux distincts. Considérer P, Q associés à des valeurs propres distinctes et µ. À l'aide du résultat de la question III.A.3, établir S (P, Q) = µS (P, Q). Raisonner par l'absurde et calculer S (1, P). Remarquer que d'après les résultats des questions III.B.1, III.B.2 et III.B.3, les espaces propres de 1 sont des droites vectorielles. 1 1 eit e -i t Montrer que = - . 1 - 2x cos t + x2 2i sin t 1 - xe i t 1 - xe -i t Utiliser le changement de variable u = cos t pour calculer kVn k2 . I. Première partie I.A.1 Pour tout (x, y) R2 et pour z = x + iy on a p Re (z) + |z| = x + x2 + y 2 > x + |x| > 0 De plus, la première inégalité est stricte si p y 6= 0 et la deuxième inégalité est stricte si x > 0 ; en conséquence, Re (z) + |z| = x + x2 + y 2 est strictement positif pour tout couple (x, y) / R- × {0}. Puisque Arctan est définie sur R et que 7- 1/ est définie sur ] 0 ; + [, on en déduit que pour tout (x, y) R2 r [R- × {0}], les nombres ! y z + |z| p (z) = 2 Arctan et R(z) = p 2 2 2(Re (z) + |z|) x+ x +y sont bien définis, de sorte que Les fonctions et R sont définies sur C r R- . I.A.2 Pour z1 = 4, on a x1 = 4, y1 = 0. Par suite, |z1 | = 4 et (z1 ) = 2 Arctan 0 = 0 d'où R(z1 ) = 2, 8 R(z1 ) = = 2 16 et et (z1 ) = 0 R(z1 )2 = 4 Pour z2 = 2i, on a x2 = 0 et y2 = 2. Ainsi, |z2 | = 2, 2i + 2 (z2 ) = 2 Arctan 1 = R(z2 ) = =1+i 2 2 et d'où R(z2 )2 = (1 + i)2 = 2i R(z2 ) = 1 + i, (z2 ) = 2 et R(z2 )2 = 2i Pour z3 = 1 - i 3, on a x3 = 1 et y3 = - 3. Par conséquent, |z3 | = 2, -1 3-i 3 (z3 ) = 2 Arctan R(z3 ) = 3 6 ( 3 - i)2 et R(z3 )2 = =1-i 3 2 3-i d'où R(z3 ) = , (z3 ) = - et R(z3 )2 = 1 - i 3 3 2 On constate que R(zk )2 = zk pour k = 1, 2 et 3. Autrement dit, pour ces trois valeurs, R(zk ) est une racine carrée complexe de zk . I.A.3 Par définition, Arctan est à valeurs dans ] -/2 ; /2 [ donc (z) ] - ; [. De plus, Re (z + |z|) Re (z) + |z| Re R(z) = p = p 2(Re (z) + |z|) 2(Re (z) + |z|) Comme on l'a vu en répondant à la question I.A.1, Re (z) + |z| = x + et Re R(z) est bien strictement positif. En résumé, z C r R- (z) ] - ; [ et R(z) P p x2 + y 2 > 0 I.A.4 Notons O, A, B, M les points d'affixe respective 0, |z|, -|z|, z et C le cercle de centre O et de rayon |z|, comme représenté dans la figure suivante : C B M O H A \ et AOM \ interceptent le même arc du cercle C de centre O, Comme les angles ABM le théorème de l'angle au centre garantit que \ = 2 ABM \ = 2 arg zM - zB arg(z) = AOM zA - zB z + |z| puis = 2 arg = 2 arg(z + |z|) 2|z| Enfin, soit H le point d'affixe x = Re (z). Le point H est le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses donc le triangle HBM est rectangle en H et Im z y \ = tan HBM \ = HM = p tan ABM = HB |z| + Re (z) x + x2 + y 2 \ ] -/2 ; /2 [, si bien que la composition par l'arctangente donne Or ABM ! y (z) \ = Arctan tan ABM \ = Arctan p ABM = 2 2 2 x+ x +y Par suite, \ = arg(z) = 2 arg(z + |z|) = (z) 2 ABM I.A.5 Commençons par calculer R(z)2 . On a d'où puis (z + |z|)2 = z 2 + 2z|z| + |z|2 = z z + 2|z| + z = 2z |z| + Re (z) 2 2z |z| + Re (z) =z R(z) = 2 Re (z) + |z| z C r R- 2 R(z) = z Autrement dit, R(z) est une racine carrée de z. On a alors |R(z)|2 = |z| et par suite 1 |R(z)| = |z| 2 Le résultat de la question I.A.4 assure par ailleurs que z + |z| (z) arg R(z) = arg q = arg(z + |z|) = 2 2 Re (z) + |z|