Centrale Maths 1 PSI 2012

Thème de l'épreuve Autour de la transformation de Laplace
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, intégrales semi-convergentes, convergence normale et uniforme, produit scalaire complexe
Mots clefs Laplace, intégrale semi-convergente

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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PSI 4 heures Calculatrices autorisées 2012 Mathématiques 1 - Dans le problème désigne toujours une application continue de R+ dans R+ , croissante et non majorée. - Dans le problème, f désigne toujours une application continue de R+ dans R. - On note E l'ensemble des réels x pour lesquels l'application t Ô f (t)e-(t)x est intégrable sur R+ . Ú + - On note E l'ensemble des réels x pour lesquels l'intégrale f (t)e-(t)x dt converge. 0 On se propose ci-après d'étudier la transformation f Ô Lf définie en I.A, d'en établir quelques propriétés, d'examiner certains exemples et d'utiliser la transformation L pour l'étude d'un opérateur. I Préliminaires, définition de la transformation L I.A ­ Quelle inclusion existe-t-il entre les ensembles E et E ? Désormais, pour x E , on notera Ú + Lf (x) = f (t)e-(t)x dt 0 I.B ­ Montrer que si E n'est pas vide, alors E est un intervalle non majoré de R. I.C ­ Montrer que si E n'est pas vide, alors Lf est continue sur E. II Exemples dans le cas de f positive II.A ­ Comparer E et E dans le cas où f est positive. II.B ­ Dans les trois cas suivants, déterminer E. II.B.1) f (t) = (t), avec supposée de classe C 1 . II.B.2) f (t) = et(t) . II.B.3) f (t) = II.C ­ Dans cette question, on étudie le cas (t) = t2 et f (t) = II.C.1) Déterminer E. Que vaut Lf (0) ? II.C.2) Prouver que Lf est dérivable. e-t(t) . 1 + t2 1 pour tout t R+ . 1 + t2 A Montrer l'existence d'une constante A > 0 telle que pour tout x > 0, on ait Lf (x) - (Lf ) (x) = . x -x II.C.4) On note g(x) = e Lf (x) pour x > 0. Ú x -t e dt. Montrer que pour tout x > 0, on a g(x) = - A 2 t 0 Ú + -t2 dt. II.C.5) En déduire la valeur de l'intégrale e II.C.3) 0 III Étude d'un premier exemple t t - 1 + pour tout t R+ . -1 2 III.A ­ Montrer que f se prolonge par continuité en 0. On note encore f le prolongement obtenu. III.B ­ Déterminer E. Dans cette partie, (t) = t pour tout t R+ et f (t) = III.C ­ et À l'aide d'un développement en série, montrer que pour tout x > 0, on a 1 1 Ø 1 - + 2x2 x n=1 (n + x)2 + Lf (x) = III.D ­ Est-ce que Lf (x) - 2 avril 2012 17:10 1 1 + admet une limite finie en 0+ ? 2 2x x Page 1/3 IV Généralités dans le cas typique Dans cette partie, (t) = t pour tout t R+ . IV.A ­ Montrer que si E n'est pas vide et si est sa borne inférieure (on convient que = - si E = R), alors Lf est de classe C sur ], +[ et exprimer ses dérivées successives à l'aide d'une intégrale. IV.B ­ Dans le cas particulier où f (t) = e-at tn pour tout t R+ , avec n N et a R, expliciter E, E et calculer Lf (x) pour x E . IV.C ­ Comportement en l'infini On suppose ici que E n'est pas vide et que f admet au voisinage de 0 le développement limité d'ordre n N suivant : n Ø ak k f (t) = t + O(tn+1 ) k! k=0 IV.C.1) suivant : Montrer que pour tout > 0, on a, lorsque x tend vers +, le développement asymptotique Ú 0 IV.C.2) A f (t) - n Ø ak k=0 k! t k B e-tx dt = O(x-n-2 ) En déduire que lorsque x tend vers l'infini, on a le développement asymptotique : Lf (x) = n Ø ak + O(x-n-2 ) xk+1 k=0 IV.D ­ Comportement en 0 On suppose ici que f admet une limite finie l en +. IV.D.1) Montrer que E contient R+ . IV.D.2) Montrer que xLf (x) tend vers l en 0+ . V Étude d'un deuxième exemple Dans cette partie, (t) = t pour tout t R+ et f (t) = en 0. V.A ­ Montrer que E ne contient pas 0. V.B ­ Montrer que E =]0, +[. V.C ­ Montrer que E contient 0. V.D ­ Calculer (Lf ) (x) pour x E. V.E ­ En déduire (Lf )(x) pour x E. Ú sin t pour tout t R+ , f étant prolongée par continuité t (n+1) On note pour n N et x > 0, fn (x) = n Ø Montrer que fn converge uniformément sur [0, +[. V.F ­ sin t -xt e dt. t n>0 V.G ­ Que vaut Lf (0) ? VI Injectivité dans le cas typique Dans cette partie, (t) = t pour tout t R+ . VI.A ­ Soit g une application continue de [0, 1] dans R. On suppose que pour tout n N, on a Ú 1 tn g(t) dt = 0 0 VI.A.1) Que dire de Ú 1 P (t)g(t) dt pour P R[X] ? 0 VI.A.2) En déduire que g est l'application nulle. Soient f fixée telle que E soit non vide, x E et a > 0. Ú t On pose h(t) = e-xu f (u) du pour tout t > 0. 0 Ú + VI.B.1) Montrer que Lf (x + a) = a e-at h(t) dt. VI.B ­ 0 2 avril 2012 17:10 Page 2/3 VI.B.2) On suppose que pour tout n N, on a Lf (x + na) = 0. 4 3 Ú 1 ln u du converge et qu'elle est nulle. Montrer que, pour tout n N, l'intégrale un h - a 0 VI.B.3) Qu'en déduit-on pour la fonction h ? VI.C ­ Montrer que l'application qui à f associe Lf est injective. VII Étude en la borne inférieure de E VII.A ­ Cas positif On suppose que f est positive et que E n'est ni vide ni égal à R. On note sa borne inférieure. VII.A.1) Montrer que si Lf est bornée sur E, alors E. VII.A.2) Si / E, que dire de Lf (x) quand x tend vers + ? VII.B ­ Dans cette question, f (t) = cos t et (t) = ln(1 + t). VII.B.1) Déterminer E. VII.B.2) Déterminer E . VII.B.3) Montrer que Lf admet une limite en , borne inférieure de E et la déterminer. VIII Une utilisation de la transformation L Dans cette partie, P désigne l'espace vectoriel des fonctions polynomiales à coefficients complexes et on utilise la transformation L appliquée à des éléments de P pour l'étude d'un opérateur U . VIII.A ­ Soient P et Q deux éléments de P. Ú + e-t P (t)Q(t) dt, où P est le polynôme dont les coefficients sont les conjugués de Montrer que l'intégrale 0 ceux de P , converge. VIII.B ­ On note pour tout couple (P, Q) P 2 , Ú + éP, Qê = e-t P (t)Q(t) dt 0 Vérifier que é., .ê définit un produit scalaire sur P. VIII.C ­ On note D l'endomorphisme de dérivation et U l'endomorphisme de P défini par U (P )(t) = et D(te-t P (t)) Vérifier que U est un endomorphisme de P. VIII.D ­ Montrer que pour tous P et Q de P, on a éU (P ), Qê = éP, U (Q)ê VIII.E ­ Montrer que U admet des valeurs propres dans C, qu'elles sont réelles et que deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. VIII.F ­ Soient une valeur propre de U et P un vecteur propre associé. VIII.F.1) Montrer que P est solution d'une équation différentielle linéaire simple que l'on précisera. VIII.F.2) Quel lien y a-t-il entre et le degré de P ? VIII.G ­ Description des éléments propres de U On considère sur [0, +[ l'équation différentielle (En ) : tP + (1 - t)P + nP = 0 avec n N et d'inconnue P P. VIII.G.1) En appliquant la transformation L avec (t) = t à (En ), montrer que si P est solution de (En ) sur [0, +[, alors son image Q par L est solution d'une équation différentielle (En ) d'ordre 1 sur ]1, +[. VIII.G.2) Résoudre l'équation (En ) sur ]1, +[ et en déduire les valeurs et vecteurs propres de l'endomorphisme U . VIII.G.3) Quel est le lien entre ce qui précède et les fonctions polynomiales définies pour n N par Pn (t) = et Dn (e-t tn ) ? · · · FIN · · · 2 avril 2012 17:10 Page 3/3

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 Centrale Maths 1 PSI 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (Professeur agrégé) ; il a été relu par Florence Monna (Doctorante en mathématiques) et Céline Chevalier (Enseignantchercheur à l'université). Ce problème traite de la transformée de Laplace Lf (et quelques fois de sa généralisation) d'une fonction f continue de R+ dans R, définie par Z + Lf : x 7- f (t) e -tx dt 0 Il est composé de 8 parties, largement indépendantes entre elles dès la deuxième. · La première partie propose d'étudier dans le cas général l'ensemble E (resp. E ) des réels x pour lesquels l'intégrale Lf (x) converge absolument (resp. simplement). La continuité de Lf sur E est établie. · La deuxième partie propose de nombreux exemples dans le cas où la fonction f est positive. L'objectif consiste à chaque fois à déterminer le domaine E de convergence absolue. La partie se termine par le calcul de l'intégrale de Gauss à l'aide d'une technique classique de dérivation. · La troisième partie permet d'obtenir un développement asymptotique de Lf pour une fonction f particulière, prétexte à des calculs sur les séries entières. · La quatrième partie porte sur des propriétés générales de la transformée de Laplace : classe C , étude asymptotique en + et en 0. Elle nécessite un peu d'analyse fine et beaucoup de rigueur. · La cinquième partie embraye sur un nouvel exemple, avec à nouveau la détermination de E et E suivie de calcul intégral. Elle se négocie en roue libre, excepté une question portant sur la convergence uniforme d'une série de fonctions. · La sixième partie, autonome, montre l'injectivité de la transformation de Laplace L : f 7 Lf . · La septième partie, pas si facile, étudie Lf en la borne inférieure du domaine E de convergence absolue. Il apparaît toujours de gros théorèmes d'analyse et une dernière détermination d'un ensemble E de convergence. · La huitième partie présente une utilisation de la transformation L pour résoudre une équation différentielle, en vue de déterminer les éléments propres de l'opérateur U sur C[X] défini par d -t P C[X] t R U(P)(t) = e t t e P (t) dt Une dose d'algèbre est introduite via un produit scalaire complexe étudié en début de partie, très accessible. Les dernières questions nécessitent d'utiliser des résultats noyés dans le problème. Ce sujet semble avoir été conçu pour occuper l'étudiant coûte que coûte : les parties s'enchaînent sans ligne directrice et les exemples sont multipliés pour couvrir le plus de techniques et de gros théorèmes d'analyse possibles. En outre, l'étude de la semi-convergence des intégrales est surabondante alors qu'il ne s'agit pas d'un objectif du programme officiel. C'est pourquoi ce sujet sera plus utile en y piochant des parties pour réviser les écrits (voire pour préparer des planches d'oral !) qu'en l'abordant linéairement. Indications Partie I I.B Choisir un élément x0 dans E et montrer que l'intégrale Lf (x) converge absolument pour tout x > x0 par comparaison avec Lf (x0 ). Rappelons la définition d'un intervalle I de R : pour tous a, b et c dans I, a 6 b 6 c et a I et c I = bI I.C Vérifier scrupuleusement chacune des hypothèses du théorème de continuité sous le signe intégrale. Partie II II.B.1 Intégrer. Justifier que (A) ----- +. A+ II.B.2 Montrer que f (t) e -xt ---- + pour tout x R. t+ II.B.3 Comparer Lf (x) à une intégrale de Riemann pour tout x R. II.C.1 Pour déterminer E, il suffit de montrer que Lf (x) diverge pour x < 0 et que Lf (0) converge. II.C.2 Appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale en vérifiant l'hypothèse de domination sur tout segment inclus dans E. II.C.3 Écrire Lf (x) - (Lf ) (x) sous forme d'une intégrale où l'on effectue le changement de variable u = t x. II.C.4 Dériver g, reconnaître A/ x puis intégrer. II.C.5 Effectuer le changement de variable t = u2 dans l'intégrale de la question précédente. Partie III III.C Utiliser le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions après avoir trouvé un développement en série de la fonction intégrée dans Lf (x). P III.D Montrer que la série hn de fonctions, où hn : x 7 1/(n + x)2 est définie sur R+ pour tout n > 1, converge uniformément sur [ 0 ; 1 [. Partie IV IV.A Démontrer par récurrence sur n que Lf est de classe C n sur ] ; + [ pour tout n N en utilisant la formule de dérivation sous le signe intégrale. IV.C.1 Majorer la valeur absolue de l'intégrale en utilisant la définition de O(tn+1 ). IV.C.2 Il reste à dominer l'intégrale sur [ ; + [ de la même fonction qu'à la question précédente. Utiliser la majoration suivante avec y < x dans E : e -xt 6 e -(x-y) e -yt t [ ; + [ IV.D.2 Raisonner avec des : vérifier que Z + x Lf (x) - = f (t) - x e -xt dt 0 et découper l'intégrale obtenue de façon adaptée afin d'utiliser une majoration |f (t) - | 6 /2 découlant de la définition de la limite pour f . Partie V (n+1) |sin t| 2 dt > pour tout n N. t (n + 1) V.C Effectuer une intégration par parties. Z + V.E Calculer l'intégrale complexe e i t e -xt dt. V.A Montrer que Z n 0 V.F Pour N > 1 et x > 0, considérer le reste Z + N P RN (x) = Lf (x) - fn (x) = n=0 de la série P (N+1) sin t -xt e dt t fn . Grâce à une intégration par parties, démontrer que Sup x[ 0 ;+ [ |RN (x)| ----- 0 N+ Partie VI VI.A.2 Penser au théorème de Weierstrass. VI.B.1 Intégrer par parties. VI.B.2 Effectuer le changement de variable t = -(ln u)/a dans l'intégrale de la question précédente. VI.B.3 La fonction u 7 h - (ln u)/2 joue le rôle de g dans la question VI.A. Partie VII VII.A.1 Utiliser la définition de l'intégrabilité : pour tout segment I R+ , Z x E f (t) e -xt dt 6 Lf (x) 6 Sup Lf (t) tE I VII.A.2 VII.B.1 VII.B.2 VII.B.3 puis utiliser le théorème de continuité sous le signe intégrale pour x . Remarquer que la fonction Lf est décroissante sur E. Raisonner comme à la question V.A pour l'intégrale Lf (1). Utiliser des intégrations par parties. Intégrer par parties et utiliser le théorème de convergence dominée pour calculer la limite de l'intégrale obtenue. Partie VIII VIII.B Rappelons qu'un produit scalaire complexe sur E diffère d'un produit scalaire réel par le fait qu'il est simplement semi-linéaire à gauche et qu'il est hermitien, c'est-à-dire que hQ,Pi = hP,Qi pour tout (P, Q) E2 . VIII.C Ne pas oublier de démontrer que U(P) est un élément de P pour tout P P. VIII.D L'égalité s'obtient grâce à deux intégrations par parties successives. VIII.G.1 En appliquant la transformation L à (En ), montrer l'équation 0 = -L(P ) (x) + L(P )(x) + L(P ) (x) + n L(P)(x) puis exprimer L(P ), L(P ) et leurs dérivées en fonction de Q = L(P) grâce à deux intégrations par parties successives de L(P). VIII.G.2 L'ensemble des solutions de (En ) forme une droite vectorielle engendrée par Qn : x 7 (x - 1)n /xn+1 . En développant (x - 1)n , reconnaître une expression du résultat de la question IV.B. VIII.G.3 Dériver n fois avec la formule de Leibniz. I. Préliminaires, définition de la transformation L I.A Par définition, la fonction t 7 f (t) e -(t)x est intégrable sur R+ si et seuleZ + ment si l'intégrale f (t) e -(t)x dt est convergente. Or une intégrale absolument 0 convergente est convergente. Ainsi, E E I.B Supposons que E soit non vide, c'est-à-dire qu'il contienne un élément, noté x0 . Pour tous x > x0 et t R+ , f (t) e -(t)x = |f (t)| e -(t)x 6 |f (t)| e -(t)x0 (1) car la fonction u 7 e -(t)u est décroissante sur R puisque (t) est positif pour tout t R. Comme x0 E, la fonction t 7 f (t) e -(t)x0 est intégrable sur R+ . D'après le théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives, on déduit de l'inégalité (1) que t 7 f (t) e -(t)x est intégrable sur R+ , donc x E pour tout x > x0 . Ainsi, l'intervalle [ x0 ; + [ est inclus dans E. Par conséquent, E est non majoré. Montrons que E est un intervalle de R. Soient x1 et x2 deux éléments de E tels que x1 6 x2 . D'après le raisonnement précédent, [ x1 ; + [ est inclus dans E, d'où x [ x1 ; x2 ] xE Puisque cette propriété est vérifiée pour tous x1 , x2 E, E est un intervalle de R. I.C Supposons E non vide. Vérifions les hypothèses du théorème de continuité sous le signe intégrale pour la fonction ( E × R+ - R : (x, t) 7- f (t) e -(t) x · La fonction est définie sur E × R+ avec E un intervalle de R (question I.B). · Pour tout t R+ , (·, t) est continue sur E (car exp est continue sur R). · Pour tout x E, (x, ·) est continue (donc continue par morceaux) sur R+ par produit et composée sur les fonctions continues (f et sont continues sur R+ d'après l'énoncé). · Pour tout x E, (x, ·) est intégrable sur R+ d'après la définition de E. · Soit [ x0 ; x1 ] un segment inclus dans E (non vide). Pour tous x [ x0 ; x1 ] et t > 0, l'inégalité (1) de la question I.B fournit une domination de (x, ·) par une fonction continue positive intégrable sur R+ . D'après le théorème de continuité sous le signe intégrale, la fonction Z + x 7- (x, t) dt = Lf (x) 0 est continue sur tout segment inclus dans E donc sur E tout entier. En conclusion, Si E est non vide, alors Lf est continue sur E.