Centrale Maths 1 PSI 2011

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EDNEDlIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Le but de ce problème est d7établir partie Vune identité relative à la fonction 
Gamma, due a Euler, puis d7en
présenter partie VI une application a la distribution de Bolzmann dans un gaz 
de particules.

I La fonction Gamma
On définit la fonction F d7Euler, pour tout réel x > 0, par :

+oo
Î(æ) =/ efttæfl dt
0

fttæfl

I.A * Montrer que la fonction t % EUR est intégrable sur l0, +ool si, et 
seulement si, x > 0.

I.B * Justifier que la fonction F est de classe C1 et strictement positive sur 
l0, +ool.

I. C' * Exprimer Î(æ + 1) en fonction de x et de Î(æ).

I.D * Calculer Î(n) pour tout entier naturel 71, n 2 1.

II Formule de Stirling

Pour tout entier k 2 2, on pose :

k
uk=lnk--/ lntdt
k

_1

II.A * À l7aide de deux intégrations par parties, montrer que :
1 1 k (t--k+l)(kft)
= -- l k * l k * 1 f -- _ dt
II.B * Pour tout entier k 2 2, on note :

11%:

1 k (tfk+l)(kft)
/H_dt

5 t2

Justifier la convergence de la série E wk.
k>2
En déduire qu7il existe un nombre réel @ tel que :

lnnl=nlnn--n+älnn+a+vn

+oo
où Un: E wk.

k:n+1
II. C' * En utilisant encore une intégration par parties, montrer que :
1 k dt < 1 /k dt w _ _ _ _ _ k 12 ,... 752 \ 6 ,... 153 II.D * En déduire que l l Un 7 _ \ 12n 12n2 puis que : l l l lnn!-nlnn n } îlnn } a } OE } O<Ë) Dans la suite on admettra que a = %ln(27r) et on pourra utiliser la formule de Stirling : l l l l lnn!=nlnn--n+älnn+äln(2w)+--+O <--) 12n n2 19 avril 2011 15:44 Page 1/4 GC) BY--NC-SA III L'identité d'Euler Dans cette partie, nous allons établir Fidentité d7Euler suivante : n!noe V 0 F = i. _ III.I On désigne par (fn)n>1 la suite de fonctions définies sur ]0, +oo{ par :

t 71
<1-- --) L'OEil si t EUR}0, nf TL fn(t) : 0 sit2n et on définit pour tout réel x > 0 les suites (I,, ($))n21 et (J,, ($))n20 par :

1,,(æ)=/Ûn <1=%)ntældt J,,(æ) = /01(1 = t)"t"1 dt III.A * Montrer que pour tout entier n, n 2 1, la fonction fn est continue et intégrable sur ]0, +oo{. III.B * Montrer que, pour tout x > O,
"En?OO I,,(æ) = Î(æ)
III. C' * Montrer que, pour tout entier n, n 2 O,
W > 0, J,...(æ) = "î1Jn(æ 1)
III.B * En déduire que, pour tout x > O,
W) = "'

III.E * Établir Fidentité d7Euler (III.1).

IV Une intégrale à paramètre

Dans toute la suite, on définit une fonction h sur R par

hZR%R
u%>u--{u]--I/2

où la notation {u} désigne la partie entière de u.

I V.A * Dessiner soigneusement le graphe de Papplication h sur Fintervalle 
{--1, I].

I V.B * Montrer que la fonction H définie sur R par :

est continue, de classe C1 par morceaux et périodique de période 1.

I V.C * À Faide d7une intégration par parties, justifier, pour x > 0, la 
convergence de Pintégrale suivante :

+00 Il
/ (u) du
0 u + x

h
I V.D * Dappiication u %> ÎL) est--elle intégrable sur R+ ?

u m
IV.E * Soit 
 0 par :

+oo
h(U)
= d
@(OE) / ,, + , u

En reprenant Fintégration par parties de la question IV.C, démontrer que 
Papplication 4,0 est de classe C1 sur

Rï et que pour tout x > 0,
+00
11
oe/<æ> = = / & du
0 (

19 avril 2011 15:44 Page 2/4 @°_

V Une autre identité due à Euler

Nous allons maintenant établir une autre formule importante due a Euler, 
valable pour tout x > 0 :

lnÎ(æ+l)=<æ+â)lnææ+lnÆ / +oo h(u )du æ+u où h est l7application définie à la partie IV. On fixe donc x > 0 et pour tout entier naturel n, on définit E, (x) par :

F 1 nlnoe+1
"($) _ "<(æ+1)(æ+2)...(æ+n+i)) V.A * Montrer que pour tout entier naturel i : lntdt=ln(æ+z)-- --du æ+i i U+æ V.B * En déduire que : n+1 h Fn(æ) : G,,(æ) -- / (u) du 0 u+æ où 3 l GMæ)=lnnl--l--(æ+l)lnn-- æ+n+î ln(æ+n+l)+n+l+ æ+ä lnæ V.C = V.C.l) En utilisant la formule de Stirling, montrer que : l lim Gn(æ) = <æ--l-- --) lnæ--æ--l--an27r n-->+oo 2

V.C.2) En déduire que :

inr(æ+1)=<æ+â)lnææ+lnx/Ï / +OOh(u du u+Îï V.D * Montrer que pour tout réel æ strictement positif, F/(æ+1)_lnæ+L+/+oe(hîu))2 d r(æ+1) 2æ " VI Distribution de Bolzmann VI .A * Soient 81, 82, 83, 84 quatre nombres réels strictement positifs deux a deux distincts et deux nombres réels strictement positifs E et N . Soit 9 la partie, supposée non vide, formée des quadruplets x = (xl, 112, æ3, &) de Rî vérifiant : $1+$2+1'3+1'4=N EUR11'1 + EUR21'2 + EUR31'3 + EUR41'4 : E VI.A.1) Soit f une fonction de classe C1 sur Rî. Montrer que f admet un maximum sur Q. On note alors a = (al, (12, (13, (14) EUR 9 un point en lequel ce maximum est atteint. VI.A.2) Montrer que si (æ1,æ2, 1'3, &) EUR 9 alors æ3 et æ4 peuvent s7écrire sous la forme æ3=uæ1+væ2+w æ4 = du + 1/æ2 + u/ où l7on donnera explicitement u, 1], M, U' en fonction de 81, 82, 83, 84. VI.A.3) En supposant qu7aucun des nombres a1, (12, (13, (14 n7est nul, déduire que Ôf Ôf , Ôf Ôl'1