Centrale Maths 1 PSI 2010

Thème de l'épreuve La lettre C dans les mathématiques
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, équations fonctionnelles, équations différentielles non linéaires, paramétrisation et tracé de courbes
Mots clefs valeurs propres, équation fonctionnelle, Cauchy-Lipschitz, courbe, Green-Riemann

Corrigé

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- version du 18 fevrier 2010 10h20 Calculatrices autorisées MATHÉMATIQUES I 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M7 ( R ) Montrer que F est stable par c. I.C.1) Pourquoi 1 est-il valeur propre de ? Filière PSI I.E.5) A PPLICATION : sans calcul supplémentaire, déterminer les formes linéaires f sur R7 qui appartiennent à S . I.E.4) Pour f S , calculer la matrice jacobienne de f c2 en X = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ). Compléter le système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . . , 7 f ( X ) de f en un point X de R7 obtenu à la question précédente. I.E.1) Quelle structure possède l'ensemble S des fonctions f de classe C1 de R7 vers R telles que f c = f ? I.E.2) Montrer qu'une telle fonction vérifie f cn = f pour tout entier n > 1. I.E.3) Soit f S . Calculer la matrice jacobienne de f c en X = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ). En déduire un système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . . , 7 f ( X ) de f en un point X de R7 . Dans cette section, on se propose d'étudier les fonctions f de classe C1 de R7 vers R qui vérifient la condition f c = f , c'est-à-dire telles que f ( x3 + x4 , x2 + x5 , x1 , x1 , x1 , x2 + x5 , x3 + x4 ) = f ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) pour tout ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) R7 . Notation : si f est une fonction de classe C1 d'un ouvert U de R d (d > 1) vers R, on note, pour tout entier i tel que 1 6 i 6 d, i f la dérivée partielle de f par rapport à sa i-ème variable. Ainsi, la notation i f ( x1 , . . . , xd ) désigne la valeur de la dérivée partielle de f par rapport à sa i-ème variable évaluée au point ( x1 , . . . , xd ) U . I.E - Étude d'une équation fonctionnelle I.D.2) La matrice C est-elle diagonalisable sur C ? sur R ? Si oui, indiquer une matrice diagonale semblable à C. I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de C. On précisera l'ordre de multiplicité des valeurs propres. I.D - Étude du caractère diagonalisable de C La matrice est-elle diagonalisable dans M3 (R ) ? I.C.3) Calculer 2 . À partir des informations complémentaires obtenues par le calcul de la trace de 2 , déterminer le spectre de . I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de que est diagonalisable dans M3 (C ) ? Page 1/4 Dans cette question, on se propose de calculer le spectre de sans calculer son polynôme caractéristique. I.C - Détermination sans calcul du spectre de I.B.2) Montrer que ( f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de F, et calculer la matrice dans cette base de l'endomorphisme de F induit par c. I.B.1) On note F le sous-espace vectoriel de R7 engendré par les trois premiers vecteurs colonnes f 1 , f 2 et f 3 de C. I.B - Restriction de c Déterminer une base du noyau et une base de l'image de c, ainsi que le rang de c. I.A - Image et noyau de c On note f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 les vecteurs colonnes de la matrice C. On note (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 ) la base canonique de R7 , et c l'endomorphisme de R7 dont la matrice dans la base canonique est C. Selon l'usage, on identifie les matrices colonnes à 7 lignes à coefficients réels et les vecteurs de R7 . On considère la matrice à coefficients réels C 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 C= 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 Partie I - Étude d'un « C » matriciel Le problème porte sur des déclinaisons de la lettre « C » dans différents domaines des mathématiques. Les trois parties du problème sont largement indépendantes. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2010 - version du 18 fevrier 2010 10h20 Calculatrices autorisées MATHÉMATIQUES I 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M7 ( R ) Montrer que F est stable par c. I.C.1) Pourquoi 1 est-il valeur propre de ? Filière PSI I.E.5) A PPLICATION : sans calcul supplémentaire, déterminer les formes linéaires f sur R7 qui appartiennent à S . I.E.4) Pour f S , calculer la matrice jacobienne de f c2 en X = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ). Compléter le système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . . , 7 f ( X ) de f en un point X de R7 obtenu à la question précédente. I.E.1) Quelle structure possède l'ensemble S des fonctions f de classe C1 de R7 vers R telles que f c = f ? I.E.2) Montrer qu'une telle fonction vérifie f cn = f pour tout entier n > 1. I.E.3) Soit f S . Calculer la matrice jacobienne de f c en X = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ). En déduire un système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . . , 7 f ( X ) de f en un point X de R7 . Dans cette section, on se propose d'étudier les fonctions f de classe C1 de R7 vers R qui vérifient la condition f c = f , c'est-à-dire telles que f ( x3 + x4 , x2 + x5 , x1 , x1 , x1 , x2 + x5 , x3 + x4 ) = f ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) pour tout ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) R7 . Notation : si f est une fonction de classe C1 d'un ouvert U de R d (d > 1) vers R, on note, pour tout entier i tel que 1 6 i 6 d, i f la dérivée partielle de f par rapport à sa i-ème variable. Ainsi, la notation i f ( x1 , . . . , xd ) désigne la valeur de la dérivée partielle de f par rapport à sa i-ème variable évaluée au point ( x1 , . . . , xd ) U . I.E - Étude d'une équation fonctionnelle I.D.2) La matrice C est-elle diagonalisable sur C ? sur R ? Si oui, indiquer une matrice diagonale semblable à C. I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de C. On précisera l'ordre de multiplicité des valeurs propres. I.D - Étude du caractère diagonalisable de C La matrice est-elle diagonalisable dans M3 (R ) ? I.C.3) Calculer 2 . À partir des informations complémentaires obtenues par le calcul de la trace de 2 , déterminer le spectre de . I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de que est diagonalisable dans M3 (C ) ? Page 1/4 Dans cette question, on se propose de calculer le spectre de sans calculer son polynôme caractéristique. I.C - Détermination sans calcul du spectre de I.B.2) Montrer que ( f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de F, et calculer la matrice dans cette base de l'endomorphisme de F induit par c. I.B.1) On note F le sous-espace vectoriel de R7 engendré par les trois premiers vecteurs colonnes f 1 , f 2 et f 3 de C. I.B - Restriction de c Déterminer une base du noyau et une base de l'image de c, ainsi que le rang de c. I.A - Image et noyau de c On note f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 les vecteurs colonnes de la matrice C. On note (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 ) la base canonique de R7 , et c l'endomorphisme de R7 dont la matrice dans la base canonique est C. Selon l'usage, on identifie les matrices colonnes à 7 lignes à coefficients réels et les vecteurs de R7 . On considère la matrice à coefficients réels C 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 C= 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 Partie I - Étude d'un « C » matriciel Le problème porte sur des déclinaisons de la lettre « C » dans différents domaines des mathématiques. Les trois parties du problème sont largement indépendantes. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2010 - version du 18 fevrier 2010 10h20 Calculatrices autorisées MATHÉMATIQUES I 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M7 ( R ) Montrer que F est stable par c. I.C.1) Pourquoi 1 est-il valeur propre de ? Filière PSI I.E.5) A PPLICATION : sans calcul supplémentaire, déterminer les formes linéaires f sur R7 qui appartiennent à S . I.E.4) Pour f S , calculer la matrice jacobienne de f c2 en X = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ). Compléter le système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . . , 7 f ( X ) de f en un point X de R7 obtenu à la question précédente. I.E.1) Quelle structure possède l'ensemble S des fonctions f de classe C1 de R7 vers R telles que f c = f ? I.E.2) Montrer qu'une telle fonction vérifie f cn = f pour tout entier n > 1. I.E.3) Soit f S . Calculer la matrice jacobienne de f c en X = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ). En déduire un système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . . , 7 f ( X ) de f en un point X de R7 . Dans cette section, on se propose d'étudier les fonctions f de classe C1 de R7 vers R qui vérifient la condition f c = f , c'est-à-dire telles que f ( x3 + x4 , x2 + x5 , x1 , x1 , x1 , x2 + x5 , x3 + x4 ) = f ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) pour tout ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) R7 . Notation : si f est une fonction de classe C1 d'un ouvert U de R d (d > 1) vers R, on note, pour tout entier i tel que 1 6 i 6 d, i f la dérivée partielle de f par rapport à sa i-ème variable. Ainsi, la notation i f ( x1 , . . . , xd ) désigne la valeur de la dérivée partielle de f par rapport à sa i-ème variable évaluée au point ( x1 , . . . , xd ) U . I.E - Étude d'une équation fonctionnelle I.D.2) La matrice C est-elle diagonalisable sur C ? sur R ? Si oui, indiquer une matrice diagonale semblable à C. I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de C. On précisera l'ordre de multiplicité des valeurs propres. I.D - Étude du caractère diagonalisable de C La matrice est-elle diagonalisable dans M3 (R ) ? I.C.3) Calculer 2 . À partir des informations complémentaires obtenues par le calcul de la trace de 2 , déterminer le spectre de . I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de que est diagonalisable dans M3 (C ) ? Page 1/4 Dans cette question, on se propose de calculer le spectre de sans calculer son polynôme caractéristique. I.C - Détermination sans calcul du spectre de I.B.2) Montrer que ( f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de F, et calculer la matrice dans cette base de l'endomorphisme de F induit par c. I.B.1) On note F le sous-espace vectoriel de R7 engendré par les trois premiers vecteurs colonnes f 1 , f 2 et f 3 de C. I.B - Restriction de c Déterminer une base du noyau et une base de l'image de c, ainsi que le rang de c. I.A - Image et noyau de c On note f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 les vecteurs colonnes de la matrice C. On note (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 ) la base canonique de R7 , et c l'endomorphisme de R7 dont la matrice dans la base canonique est C. Selon l'usage, on identifie les matrices colonnes à 7 lignes à coefficients réels et les vecteurs de R7 . On considère la matrice à coefficients réels C 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 C= 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 Partie I - Étude d'un « C » matriciel Le problème porte sur des déclinaisons de la lettre « C » dans différents domaines des mathématiques. Les trois parties du problème sont largement indépendantes. Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2010 ( E) Déduire des questions précédentes les solutions maximales de ( E). Préciser les propriétés topologiques suivantes de C . et reproduire sommairement la courbe sur la copie. Quelle lettre cette courbe évoquet-elle ? III.B.3) À partir de l'expression de (t), calculer tan (t). III.B.4) 7 a) Représenter la fonction t 7 arctan(2 tan t) sur la partie de l'intervalle , 4 4 sur laquelle cette fonction est définie. Dans cette question, on va chercher une paramétrisation complexe de C , de la forme 7 z: , C, t 7 (t)ei (t) , 4 4 7 où et sont deux fonctions continues de vers R, la fonction étant à , 4 4 valeurs strictement positives. 7 . , III.B.1) Calculer (t) pour tout t 4 4 III.B.2) Représenter sur la calculatrice l'arc paramétré 7 G : , C, t 7 (t)eit , 4 4 III.B - Paramétrisation complexe de C On rappelle que C a été définie dans la partie II comme l'image de l'application 7 , R2 , t 7 (cos t, 2 sin t). : 4 4 d) Un compact ? e) Une partie convexe ? b) Un fermé ? c) Une partie bornée ? a) Est-ce un ouvert de R2 ? III.A.2) Filière PSI Partie III - Des courbes pour la lettre « C » III.A - Topologie de C III.A.1) Représenter C . Page 2/4 II.D.1) Montrer que la solution m déterminée à la question III.B.3) est développable en série entière au voisinage de 0. Calculer ce développement et préciser son rayon de convergence. II.D.2) En déduire les développements en série entière de toutes les solutions maximales de ( E) ; préciser les rayons de convergence de ces séries entières. II.D - Développement en série entière d'une solution II.C.4) II.C.2) Expliquer comment, et éventuellement dans quelle mesure, ce théorème s'applique à ( E). II.C.3) Les solutions maximales données par ce théorème sont-elles des solutions maximales de ( E) ? II.C - Le théorème de Cauchy-Lipschitz - Solutions maximales II.C.1) Rappeler l'énoncé du théorème d'existence et d'unicité des solutions maximales d'une équation différentielle scalaire non linéaire soumise aux conditions de Cauchy. II.B.3) Est-ce une solution maximale ? Sinon, déterminer une solution maximale m dont le graphe inclut celui de g. II.B.2) Vérifier que la restriction de g au plus grand intervalle ouvert inclus dans est une solution de ( E). II.B - Le « C » solution On g la fonction d'une variable réelle à valeurs réelles dont le graphe est hnote i , . 4 II.B.1) Déterminer l'ensemble de définition de g, ainsi qu'une expression de g. Montrer que si f est une solution de ( E) sur un intervalle J, et si a est un réel non x nul, alors la fonction h définie par h( x ) = a f est aussi une solution de ( E) sur a un intervalle que l'on précisera. II.A - Transformation de solutions y( x )y ( x ) = -4x. Dans toute la suite du problème, on note C l'image dans R2 de l'application 7 : , R2 , t 7 (cos t, 2 sin t). 4 4 Dans cette partie, on étudie l'équation différentielle Partie II - Équation différentielle pour la lettre « C » MATHÉMATIQUES I ( E) Déduire des questions précédentes les solutions maximales de ( E). Préciser les propriétés topologiques suivantes de C . et reproduire sommairement la courbe sur la copie. Quelle lettre cette courbe évoquet-elle ? III.B.3) À partir de l'expression de (t), calculer tan (t). III.B.4) 7 a) Représenter la fonction t 7 arctan(2 tan t) sur la partie de l'intervalle , 4 4 sur laquelle cette fonction est définie. Dans cette question, on va chercher une paramétrisation complexe de C , de la forme 7 z: , C, t 7 (t)ei (t) , 4 4 7 où et sont deux fonctions continues de vers R, la fonction étant à , 4 4 valeurs strictement positives. 7 . , III.B.1) Calculer (t) pour tout t 4 4 III.B.2) Représenter sur la calculatrice l'arc paramétré 7 G : , C, t 7 (t)eit , 4 4 III.B - Paramétrisation complexe de C On rappelle que C a été définie dans la partie II comme l'image de l'application 7 , R2 , t 7 (cos t, 2 sin t). : 4 4 d) Un compact ? e) Une partie convexe ? b) Un fermé ? c) Une partie bornée ? a) Est-ce un ouvert de R2 ? III.A.2) Filière PSI Partie III - Des courbes pour la lettre « C » III.A - Topologie de C III.A.1) Représenter C . Page 2/4 II.D.1) Montrer que la solution m déterminée à la question III.B.3) est développable en série entière au voisinage de 0. Calculer ce développement et préciser son rayon de convergence. II.D.2) En déduire les développements en série entière de toutes les solutions maximales de ( E) ; préciser les rayons de convergence de ces séries entières. II.D - Développement en série entière d'une solution II.C.4) II.C.2) Expliquer comment, et éventuellement dans quelle mesure, ce théorème s'applique à ( E). II.C.3) Les solutions maximales données par ce théorème sont-elles des solutions maximales de ( E) ? II.C - Le théorème de Cauchy-Lipschitz - Solutions maximales II.C.1) Rappeler l'énoncé du théorème d'existence et d'unicité des solutions maximales d'une équation différentielle scalaire non linéaire soumise aux conditions de Cauchy. II.B.3) Est-ce une solution maximale ? Sinon, déterminer une solution maximale m dont le graphe inclut celui de g. II.B.2) Vérifier que la restriction de g au plus grand intervalle ouvert inclus dans est une solution de ( E). II.B - Le « C » solution On g la fonction d'une variable réelle à valeurs réelles dont le graphe est hnote i , . 4 II.B.1) Déterminer l'ensemble de définition de g, ainsi qu'une expression de g. Montrer que si f est une solution de ( E) sur un intervalle J, et si a est un réel non x nul, alors la fonction h définie par h( x ) = a f est aussi une solution de ( E) sur a un intervalle que l'on précisera. II.A - Transformation de solutions y( x )y ( x ) = -4x. Dans toute la suite du problème, on note C l'image dans R2 de l'application 7 : , R2 , t 7 (cos t, 2 sin t). 4 4 Dans cette partie, on étudie l'équation différentielle Partie II - Équation différentielle pour la lettre « C » MATHÉMATIQUES I MATHÉMATIQUES I b) Modifier cette fonction pour déterminer la fonction continue cherchée. On vérifiera le résultat en représentant à l'aide de la calculatrice la courbe paramétrée z. III.B.5) Indiquer une suite d'instructions Maple ou Mathematica permettant d'obtenir ce tracé. III.C - Une famille de courbes paramétrées pour la lettre « C » Dans cette question, on va construire une famille de courbes déduites de celle de la question V.A, mais donnant un aspect visuel différent de la lettre « C ». Dans ce qui suit, la notation E( x ) désignera la partie entière du réel x. On définit les applications : 2n 7 3 , E ·:N × R, (n, t) 7 + 4 4 4 2n 3 7 2n R, (n, t) 7 cos2 , t- · : N × 4 4 3 t- 4 . 4 III.C.1) Étudier rapidement et , puis représenter sur un même graphique les deux fonctions t 7 (10, t) et t 7 (10, t). 7 2 1 III.C.2) Représenter la fonction : , . t- R, t 7 sin 4 4 4 3 4 III.C.3) On définit la fonction : w : N × 7 , C, (n, t) 7 (t) (1 + (t) (n, t)) ei ((n,t)) . 4 4 On a représenté ci-contre cette courbe, lorsque n = 40. Mais la courbe a été mélangée avec d'autres courbes représentant la lettre « C ». Identifier lequel des quatre graphiques représente la fonction t 7 w(40, t), et expliquer pourquoi. III.C.4) Écrire une séquence d'inst créer la séquence des 100 premières III.D - Calcul d'aire Dans cette question, on se propose d nant tous les points w(n, t) lorsque n est délimité par deux arcs paramétré p z : I C, t 7 (t)ei (t) = p 1 v : I C, t 7 1 + 3 sin2 t 1 + 4 Page 3/4 MATHÉMATIQUES I b) Modifier cette fonction pour déterminer la fonction continue cherchée. On vérifiera le résultat en représentant à l'aide de la calculatrice la courbe paramétrée z. III.B.5) Indiquer une suite d'instructions Maple ou Mathematica permettant d'obtenir ce tracé. III.C - Une famille de courbes paramétrées pour la lettre « C » Dans cette question, on va construire une famille de courbes déduites de celle de la question V.A, mais donnant un aspect visuel différent de la lettre « C ». Dans ce qui suit, la notation E( x ) désignera la partie entière du réel x. On définit les applications : 2n 7 3 , E ·:N × R, (n, t) 7 + 4 4 4 2n 3 7 2n R, (n, t) 7 cos2 , t- · : N × 4 4 3 t- 4 . 4 III.C.1) Étudier rapidement et , puis représenter sur un même graphique les deux fonctions t 7 (10, t) et t 7 (10, t). 7 2 1 III.C.2) Représenter la fonction : , . t- R, t 7 sin 4 4 4 3 4 III.C.3) On définit la fonction : w : N × 7 , C, (n, t) 7 (t) (1 + (t) (n, t)) ei ((n,t)) . 4 4 On a représenté ci-contre cette courbe, lorsque n = 40. Mais la courbe a été mélangée avec d'autres courbes représentant la lettre « C ». Identifier lequel des quatre graphiques représente la fonction t 7 w(40, t), et expliquer pourquoi. III.C.4) Écrire une séquence d'inst créer la séquence des 100 premières III.D - Calcul d'aire Dans cette question, on se propose d nant tous les points w(n, t) lorsque n est délimité par deux arcs paramétré p z : I C, t 7 (t)ei (t) = p 1 v : I C, t 7 1 + 3 sin2 t 1 + 4 Page 3/4 · · · FIN · · · Page 4/4 III.D.1) Rappeler l'énoncé du théorème de Green-Riemann. Expliquer comment ce théorème se traduit dans le cas d'un calcul d'aire. III.D.2) Rappeler la formule donnant le produit scalaire de deux nombres complexes. En déduire l'expression du produit scalaire hu v(t), v (t)i, lorsque u et v sont les applications u : C C, z 7 iz et v : t 7 (t)eiµ(t) , où et µ sont deux fonctions définies sur un intervalle J de R, à valeurs réelles et de classe C1 . 1 III.D.3) Si d(t) = arctan(2 tan(t)), simplifier (1 + 3 sin2 t)d (t). 2 III.D.4) Déduire des questions précédentes une expression de A sous la forme d'une intégrale. Simplifier cette intégrale grâce à l'identité obtenue en III.D.3). Calculer enfin A . Pour calculer cette aire, on va utiliser la formule de Green-Riemann. Le bord du domaine étant donné par un arc paramétré complexe de la forme v : t 7 (t)eiµ(t) , on va d'abord traduire ce théorème dans le cas particulier des domaines donnés sous cette forme. MATHÉMATIQUES I Filière PSI

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 Centrale Maths 1 PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Aurélie Lagoutte (ENS Cachan) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA). La première épreuve du concours Centrale PSI de cette année marque une profonde rupture avec tout ce qui a pu être proposé les années précédentes. L'objectif semble être de vérifier que le candidat maîtrise les bases de chaque chapitre du programme. Ces derniers sont ainsi presque tous passés en revue mais de manière très superficielle. La seule connaissance « pointue » demandée, à la fin de la dernière partie, est la formule de Green-Riemann. Le sujet tourne autour de la lettre « C » et des différentes façons de la représenter à l'aide d'objets mathématiques. Il comporte trois parties complètement indépendantes. · La première partie propose l'étude d'une matrice C de M7 (R) à coefficients dans {0, 1} dont les coefficients égaux à 1 dessinent un « C ». On étudie le spectre de cette matrice, puis une équation fonctionnelle qui donne lieu à quelques calculs de dérivées partielles. · La deuxième partie est consacrée à l'étude d'une équation différentielle non résolue en y dont le graphe des solutions a la forme d'un « C ». Malheureusement, les équations non résolues soulèvent de nombreux problèmes techniques et celle-ci ne déroge pas à la règle. Certaines questions sont ainsi délicates à rédiger malgré la simplicité de l'équation. · La dernière partie a pour objectif de représenter la lettre « C » dans R2 par une courbe paramétrée issue du graphe d'une ellipse dont on a réduit le domaine de définition. Après des questions topologiques de base, on passe des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires. La suite permet d'obtenir un graphe plus esthétique à l'aide cette fois d'une famille de courbes. Ces questions demandent essentiellement de montrer que l'on maîtrise bien sa calculatrice graphique car de nombreux graphes sont exigés, ainsi que la syntaxe pour tracer des courbes en Maple. La fin du problème demande une application non triviale de la formule de Green-Riemann. Il était sans doute très difficile pour un élève brillant de se démarquer du reste des candidats sur cette épreuve, dont la vocation était vraisemblablement de trier le milieu plutôt que la tête du classement d'entrée de l'école. Indications Partie I I.A Exhiber une base de l'image puis appliquer le théorème du rang. I.B.1 Exprimer (f1 ), (f2 ), (f3 ) en fonction de f1 , f2 , f3 . I.B.2 Utiliser les calculs de la question précédente. I.C.1 Exhiber un vecteur propre associé à la valeur propre 1. I.C.2 Donner un exemple de matrices respectivement diagonalisable et non diagonalisable ayant même trace. I.C.3 Résoudre le système non linéaire obtenu par le calcul des traces de et 2 , dont les inconnues sont les valeurs propres de . I.D.1 Utiliser le fait que le spectre de est inclus dans le spectre de C, ainsi que le résultat de la question I.A sur le noyau de c. I.E.2 Démontrer le résultat par récurrence sur n. I.E.3 Expliciter f (c(X)) puis dériver composante par composante pour obtenir la jacobienne de f c. I.E.4 Procéder de même que la question précédente. Ne pas être surpris de n'obtenir aucune information supplémentaire. I.E.5 Raisonner par analyse-synthèse en utilisant les maigres informations obtenues à la question I.E.3 et refaire un calcul pour la synthèse. Partie II II.B.1 Poser x = cos t pour t [ /4 ; ] puis exprimer 2 sin t en fonction de x. II.C.3 Justifier qu'une solution maximale de (E) ne peut pas s'annuler sur son domaine de définition. II.C.4 Introduire la fonction z = y 2 /2. Partie III III.A.2 Montrer par l'absurde que C n'est pas un ouvert de R2 en prenant une boule centrée en (-1, 0). Utiliser une propriété de continuité pour justifier son caractère compact. Enfin, montrer que C n'est pas convexe en exhibant deux points de C dont le milieu n'appartient pas à C . III.B.4.b Définir la fonction par morceaux en rajoutant à d des constantes sur chaque intervalle où elle est continue pour « raccorder » les morceaux. III.C.3 Remarquer que la fonction t 7- ((n, t)) est constante par morceaux. III.D.2 Exprimer u v(t) et v (t) en fonction de , µ et leurs dérivées. Développer ensuite le produit scalaire, et simplifier. III.D.4 Appliquer Green-Riemann à l'aide de la forme différentielle = y dx- xdy. I. Étude d'un « C » matriciel I.A Il est clair que la famille des vecteurs colonnes de C est engendrée par f1 , f2 et f3 , qui forment tout aussi clairement une famille libre de R7 . On en déduit donc qu'il s'agit d'une base de Im c lequel est ainsi de dimension 3. Le théorème du rang assure alors que Ker c est de dimension 4. Mais puisque f6 et f7 sont nuls, tandis que f2 = f5 et f3 = f4 , les vecteurs t t (0, 1, 0, 0, -1, 0, 0) t (0, 0, 1, -1, 0, 0, 0) t (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1) c'est-à-dire e6 , e7 , e5 - e2 et enfin e3 - e4 sont des éléments de ce noyau. Puisque ces vecteurs forment clairement une famille libre de R7 , on peut conclure L'endomorphisme c est de rang 3. Son image est engendrée par les trois vecteurs f1 , f2 et f3 et son noyau admet (e2 - e5 , e3 - e4 , e6 , e7 ) pour base. I.B.1 Montrons que les images des vecteurs f1 , f2 et f3 par c appartiennent à F. Un calcul montre que c(f1 ) = c(e3 ) + c(e4 ) + c(e5 ) = f2 + 2f3 puis c(f2 ) = c(e2 ) + c(e6 ) = f2 et c(f3 ) = c(e1 ) + c(e7 ) = f1 Puisque f1 , f2 et f3 sont par définition des éléments de F, Le sous-espace vectoriel F est stable par c. I.B.2 Le fait que la famille (f1 , f2 , f3 ) est une base de F a déjà été justifié à la question I.A. De plus, les calculs de c(f1 ), c(f2 ) et c(f3 ) effectués à la question précédente montrent que 0 0 1 = 1 1 0 2 0 0 I.C.1 On a obtenu à la question I.B.1 que c(f2 ) = (f2 ) = f2 . Cette égalité prouve que f2 est vecteur propre de associé à la valeur propre 1. Ainsi, Le réel 1 est valeur propre de . Pour trouver un vecteur propre X associé à une valeur propre , la technique par défaut consiste à résoudre le système linéaire X = X. Toutefois, on peut trouver des couples de valeurs propres/vecteurs propres sans calculs dans certains cas particuliers : · si le i-ième vecteur colonne de la matrice n'a pour coordonnée non nulle que celle située sur la diagonale de la matrice, ce dernier est une valeur propre et un vecteur propre associé est ei . · si la somme des coefficients sur chaque ligne est constante, la valeur de cette somme est valeur propre et t (1, 1, . . . , 1) est un vecteur propre associé. À noter que lorsque la somme des coefficients sur les colonnes est constante, la valeur de cette somme est à nouveau valeur propre (il suffit d'appliquer la remarque ci-dessus à la transposée de la matrice). Toutefois, le vecteur propre dépend cette fois de la matrice et n'est pas aussi simple à trouver que t (1, 1, . . . , 1). I.C.2 On obtient de manière immédiate que Tr = 1. Cela ne permet toutefois pas de conclure. En effet, en posant 1 0 0 1 1 0 1 = 0 1 0 et 2 = 0 1 0 0 0 -1 0 0 -1 on obtient deux matrices de M3 (C), de trace 1, admettant 1 comme valeur propre. Cependant, 1 est diagonalisable (car diagonale), tandis que 2 ne l'est pas : 1 est racine double de son polynôme caractéristique, mais le sous espace propre associé est de dimension 1. Par conséquent, Le seul calcul de sa trace ne permet pas de s'assurer que est diagonalisable dans M3 (C). I.C.3 Le calcul de 2 donne 2 2 = 1 0 0 0 1 1 0 2 Par conséquent Tr (2 ) = 5 Notons {1, 2 , 3 } le spectre complexe de c. L'égalité précédente amène au système ( 2 + 3 + 1 = 1 d'où 2 2 + 3 2 + 1 = 5 ( 2 = -3 23 2 = 4 Quitte à permuter les valeurs de 2 et 3 , on obtient ( 2 = 2 3 = - 2 et de ce fait Le spectre de est 1, 2, - 2 . L'endomorphisme a donc trois valeurs propres réelles distinctes, ce qui signifie que est diagonalisable dans M3 (R). On aurait pu retrouver ces valeurs par le calcul du polynôme caractéristique de . Toutefois, l'énoncé précise clairement dans le titre de cette sous-partie que l'on doit déterminer le spectre sans calculs. Le rapport du jury souligne à juste titre qu'il faut se laisser guider par l'énoncé. I.D.1 L'endomorphisme est un endomorphisme induit par c sur un sous-espace vectoriel stable donc son spectre est inclus celui de c. Les sous-espaces propres dans de c associés aux trois valeurs propres 1, 2, et - 2 de sont alors tous de dimension au moins 1 et les multiplicités de ces trois valeurs sont au moins égales à 1.