Centrale Maths 1 PSI 2009

Thème de l'épreuve Jeu de bonneteau sur les séries semi-convergentes
Principaux outils utilisés suites numériques, séries numériques
Mots clefs série harmonique, constante d'Euler, somme télescopique, semi-convergence, convergence absolue, convergente commutative

Corrigé

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- version du 2 mars 2009 15h2

MATHÉMATIQUES I

La liste contenant l'unique élément a est notée [a].
Le couple (a, b) sera représenté par la liste [a, b].
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : L := [op(L), x]

La liste contenant l'unique élément a est notée .
Le couple (a, b) sera représenté par la liste .
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : 

PSI

n=1

 us(n) = x.

20

30

n
40

50

60

70

Que constate-t-on pour la suite (Sn )nN ? Expliquer le principe de l'algorithme.

- 1.2

- 1

- 0.8

- 0.6

- 0.4

- 0.2

0

10

· p0 = q0 = 0, S0 = 0
· pour tout n  N, si Sn > x alors :
qn+1 = 1 + qn , pn+1 = pn , sn+1 = 2qn+1 - 1
sinon : qn+1 = qn , pn+1 = 1 + pn , sn+1 = 2pn+1
Dans les deux cas : Sn+1 = Sn + usn+1
On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme 
algorithmique.
I.A.1) Écrire une fonction st qui prend en argument x et l'entier n et qui 
renvoie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère) [s1 , s2 , . . . , 
sn ].
I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu'elle retourne le 
dessin
simultané de la liste des points de coordonnées (n, Sn )n670 et de la droite 
horizontale d'ordonnée x (on ne demande pas d'écrire cette nouvelle fonction), 
on obtient
pour x = -1, n = 70 le dessin suivant :

I.A - On définit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels 
(pn )n>0 ,
(qn )n>0 et (sn )n>1 et une suite (Sn )n>0 de réels de la manière suivante :

construire une bijection s de N dans N telle que

(-1)n
et on se propose de
n

Partie I - Réorganisation des termes d'une série
semi-convergente

Filière

On se donne un réel x. On note, pour n  N , un =

Page 1/3

L'objectif du problème est d'étudier, en particulier à l'aide de méthodes 
algorithmiques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites 
et des séries
et de caractériser simplement les suites qui vérifient (P1 ) ou (P2 ).
Les parties I et II sont indépendantes.
Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la 
position
correcte des indices.

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs réelles vérifie la propriété (P2 ) si 
pour
toute suite réelle (un )nN , la convergence de la série  un entraîne celle de 
la série
 an un .

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs complexes vérifie la propriété (P1 ) si 
pour
toute suite complexe (un )nN bornée, la série  an un converge.

On dira qu'une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans
converger absolument.

·
·
·

Et pour Mathematica :

·
·
·

On rappelle les points suivants de Maple :

On rappelle le résultat suivant : Toute partie X non vide de N possède un plus 
petit
élément noté min X.

trs trsés
Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 2 mars 2009 15h2

MATHÉMATIQUES I

La liste contenant l'unique élément a est notée [a].
Le couple (a, b) sera représenté par la liste [a, b].
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : L := [op(L), x]

La liste contenant l'unique élément a est notée .
Le couple (a, b) sera représenté par la liste .
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : 

PSI

n=1

 us(n) = x.

20

30

n
40

50

60

70

Que constate-t-on pour la suite (Sn )nN ? Expliquer le principe de l'algorithme.

- 1.2

- 1

- 0.8

- 0.6

- 0.4

- 0.2

0

10

· p0 = q0 = 0, S0 = 0
· pour tout n  N, si Sn > x alors :
qn+1 = 1 + qn , pn+1 = pn , sn+1 = 2qn+1 - 1
sinon : qn+1 = qn , pn+1 = 1 + pn , sn+1 = 2pn+1
Dans les deux cas : Sn+1 = Sn + usn+1
On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme 
algorithmique.
I.A.1) Écrire une fonction st qui prend en argument x et l'entier n et qui 
renvoie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère) [s1 , s2 , . . . , 
sn ].
I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu'elle retourne le 
dessin
simultané de la liste des points de coordonnées (n, Sn )n670 et de la droite 
horizontale d'ordonnée x (on ne demande pas d'écrire cette nouvelle fonction), 
on obtient
pour x = -1, n = 70 le dessin suivant :

I.A - On définit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels 
(pn )n>0 ,
(qn )n>0 et (sn )n>1 et une suite (Sn )n>0 de réels de la manière suivante :

construire une bijection s de N dans N telle que

(-1)n
et on se propose de
n

Partie I - Réorganisation des termes d'une série
semi-convergente

Filière

On se donne un réel x. On note, pour n  N , un =

Page 1/3

L'objectif du problème est d'étudier, en particulier à l'aide de méthodes 
algorithmiques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites 
et des séries
et de caractériser simplement les suites qui vérifient (P1 ) ou (P2 ).
Les parties I et II sont indépendantes.
Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la 
position
correcte des indices.

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs réelles vérifie la propriété (P2 ) si 
pour
toute suite réelle (un )nN , la convergence de la série  un entraîne celle de 
la série
 an un .

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs complexes vérifie la propriété (P1 ) si 
pour
toute suite complexe (un )nN bornée, la série  an un converge.

On dira qu'une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans
converger absolument.

·
·
·

Et pour Mathematica :

·
·
·

On rappelle les points suivants de Maple :

On rappelle le résultat suivant : Toute partie X non vide de N possède un plus 
petit
élément noté min X.

trs trsés
Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 2 mars 2009 15h2

MATHÉMATIQUES I

La liste contenant l'unique élément a est notée [a].
Le couple (a, b) sera représenté par la liste [a, b].
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : L := [op(L), x]

La liste contenant l'unique élément a est notée .
Le couple (a, b) sera représenté par la liste .
Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
L on invoque : 

PSI

n=1

 us(n) = x.

20

30

n
40

50

60

70

Que constate-t-on pour la suite (Sn )nN ? Expliquer le principe de l'algorithme.

- 1.2

- 1

- 0.8

- 0.6

- 0.4

- 0.2

0

10

· p0 = q0 = 0, S0 = 0
· pour tout n  N, si Sn > x alors :
qn+1 = 1 + qn , pn+1 = pn , sn+1 = 2qn+1 - 1
sinon : qn+1 = qn , pn+1 = 1 + pn , sn+1 = 2pn+1
Dans les deux cas : Sn+1 = Sn + usn+1
On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme 
algorithmique.
I.A.1) Écrire une fonction st qui prend en argument x et l'entier n et qui 
renvoie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère) [s1 , s2 , . . . , 
sn ].
I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu'elle retourne le 
dessin
simultané de la liste des points de coordonnées (n, Sn )n670 et de la droite 
horizontale d'ordonnée x (on ne demande pas d'écrire cette nouvelle fonction), 
on obtient
pour x = -1, n = 70 le dessin suivant :

I.A - On définit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels 
(pn )n>0 ,
(qn )n>0 et (sn )n>1 et une suite (Sn )n>0 de réels de la manière suivante :

construire une bijection s de N dans N telle que

(-1)n
et on se propose de
n

Partie I - Réorganisation des termes d'une série
semi-convergente

Filière

On se donne un réel x. On note, pour n  N , un =

Page 1/3

L'objectif du problème est d'étudier, en particulier à l'aide de méthodes 
algorithmiques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites 
et des séries
et de caractériser simplement les suites qui vérifient (P1 ) ou (P2 ).
Les parties I et II sont indépendantes.
Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la 
position
correcte des indices.

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs réelles vérifie la propriété (P2 ) si 
pour
toute suite réelle (un )nN , la convergence de la série  un entraîne celle de 
la série
 an un .

On dira qu'une suite (an )nN à valeurs complexes vérifie la propriété (P1 ) si 
pour
toute suite complexe (un )nN bornée, la série  an un converge.

On dira qu'une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans
converger absolument.

·
·
·

Et pour Mathematica :

·
·
·

On rappelle les points suivants de Maple :

On rappelle le résultat suivant : Toute partie X non vide de N possède un plus 
petit
élément noté min X.

trs trsés
Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

et

Sn = Sn0 -

k=n0

n-1

1
·
2qn0 + 2k - 2n0 + 1

I.E I.E.1)

1
= ln n +  + o(1) quand n  +.
k
k=1

n

Démontrer l'existence d'une constante  > 0 telle que :

Démontrer que, pour tout entier n > 0, on a :
|Sn+1 - x| 6 |Sn - x| ou |Sn+1 - x| 6 |us(n+1) |
I.D.2) En déduire que pour tout naturel N, il existe un entier n > N tel que
|Sn+1 - x| 6 |us(n+1) |
I.D.3) Justifier l'existence d'un entier n0 tel que pour n > n0 , pn > 1 et qn 
> 1.

I.D.4) Soit n > n0 . On note vn = max |Sn - x|, |u2pn+1 |, |u2qn+1 -1 | .
Démontrer que (vn )n>n0 est décroissante. En déduire qu'elle converge vers 0.
I.D.5) Démontrer que (Sn ) converge vers x et conclure.

I.D I.D.1)

En déduire une contradiction.
b) Déduire du raisonnement précédent que la suite (pn )nN diverge vers +.
I.C.3) Justifier rapidemment que (qn ) tend vers +.
I.C.4) Déduire de ce qui précède que s est une bijection de N sur lui-même.

Sn > x

Donner un développement analogue pour

q

n
1
1
-
 2k  2k - 1 ·
k=1
k=1

pn

N-1

n=0

n=0

II.C - Soit (an )nN une suite de nombres complexes telle que la série  |an | 
diverge.
Construire une suite (un )nN de nombres complexes de module 1 telle que la série
 an un diverge. Caractériser les suites complexes (an )nN vérifiant (P1 ).

En déduire que la suite (an )nN vérifie (P2 ).

 an un =  (an - an+1 )Un + a N UN .

N

II.B - Soit (an )nN une suite réelle telle que la série  |an+1 - an | converge.
II.B.1) Prouver que la suite (an )nN possède une limite.
II.B.2) Soit (un )nN une suite réelle telle que la série  un converge.
On note Un = u0 + u1 + · · · + un . Prouver, pour tout entier naturel N, la 
relation :

II.A - Montrer qu'une suite complexe (an )nN telle que la série  an converge 
absolument vérifie (P1 ).

Partie II - Suites vérifiant (P1 ) et (P2 )

b) En déduire que :

pn
1
- ln 2 + o(1).
Sn = ln
2
n - pn
c) En déduire un équivalent simple de pn et de qn .
d) Déterminer la limite de :
|us(1) | + |us(2) | + · · · + |us(n) |
quand n  +.
|u1 | + |u2 | + · · · + |un |

Sn =

Filière PSI

1
en fonction de .
2k
-1
k=1

n

I.E.3)
a) Justifier, pour tout naturel n tel que pn > 1 et qn > 1, l'égalité :

I.E.2)

Page 2/3

I.C I.C.1) Démontrer qu'une suite d'entiers convergente est constante à partir 
d'un
certain rang.
I.C.2) On se propose de démontrer que la suite (pn )nN croît vers +.
a) On suppose dans un premier temps que cette suite est majorée.
Utiliser le I.C.1) pour démontrer qu'il existe un entier n0 tel que pour n > n0 
,

I.B - On pose dorénavant, pour tout n  N, s(n) = sn .
Prouver, pour n > 1, les propriétés suivantes :
{s(1), s(2), . . . , s(n)} = {2, 4, . . . , 2pn }  {1, 3, . . . , 2qn - 1}
pn + qn = n
Sn = us(1) + · · · + us(n)
En déduire que s est injective.

MATHÉMATIQUES I

et

Sn = Sn0 -

k=n0

n-1

1
·
2qn0 + 2k - 2n0 + 1

I.E I.E.1)

1
= ln n +  + o(1) quand n  +.
k
k=1

n

Démontrer l'existence d'une constante  > 0 telle que :

Démontrer que, pour tout entier n > 0, on a :
|Sn+1 - x| 6 |Sn - x| ou |Sn+1 - x| 6 |us(n+1) |
I.D.2) En déduire que pour tout naturel N, il existe un entier n > N tel que
|Sn+1 - x| 6 |us(n+1) |
I.D.3) Justifier l'existence d'un entier n0 tel que pour n > n0 , pn > 1 et qn 
> 1.

I.D.4) Soit n > n0 . On note vn = max |Sn - x|, |u2pn+1 |, |u2qn+1 -1 | .
Démontrer que (vn )n>n0 est décroissante. En déduire qu'elle converge vers 0.
I.D.5) Démontrer que (Sn ) converge vers x et conclure.

I.D I.D.1)

En déduire une contradiction.
b) Déduire du raisonnement précédent que la suite (pn )nN diverge vers +.
I.C.3) Justifier rapidemment que (qn ) tend vers +.
I.C.4) Déduire de ce qui précède que s est une bijection de N sur lui-même.

Sn > x

Donner un développement analogue pour

q

n
1
1
-
 2k  2k - 1 ·
k=1
k=1

pn

N-1

n=0

n=0

II.C - Soit (an )nN une suite de nombres complexes telle que la série  |an | 
diverge.
Construire une suite (un )nN de nombres complexes de module 1 telle que la série
 an un diverge. Caractériser les suites complexes (an )nN vérifiant (P1 ).

En déduire que la suite (an )nN vérifie (P2 ).

 an un =  (an - an+1 )Un + a N UN .

N

II.B - Soit (an )nN une suite réelle telle que la série  |an+1 - an | converge.
II.B.1) Prouver que la suite (an )nN possède une limite.
II.B.2) Soit (un )nN une suite réelle telle que la série  un converge.
On note Un = u0 + u1 + · · · + un . Prouver, pour tout entier naturel N, la 
relation :

II.A - Montrer qu'une suite complexe (an )nN telle que la série  an converge 
absolument vérifie (P1 ).

Partie II - Suites vérifiant (P1 ) et (P2 )

b) En déduire que :

pn
1
- ln 2 + o(1).
Sn = ln
2
n - pn
c) En déduire un équivalent simple de pn et de qn .
d) Déterminer la limite de :
|us(1) | + |us(2) | + · · · + |us(n) |
quand n  +.
|u1 | + |u2 | + · · · + |un |

Sn =

Filière PSI

1
en fonction de .
2k
-1
k=1

n

I.E.3)
a) Justifier, pour tout naturel n tel que pn > 1 et qn > 1, l'égalité :

I.E.2)

Page 2/3

I.C I.C.1) Démontrer qu'une suite d'entiers convergente est constante à partir 
d'un
certain rang.
I.C.2) On se propose de démontrer que la suite (pn )nN croît vers +.
a) On suppose dans un premier temps que cette suite est majorée.
Utiliser le I.C.1) pour démontrer qu'il existe un entier n0 tel que pour n > n0 
,

I.B - On pose dorénavant, pour tout n  N, s(n) = sn .
Prouver, pour n > 1, les propriétés suivantes :
{s(1), s(2), . . . , s(n)} = {2, 4, . . . , 2pn }  {1, 3, . . . , 2qn - 1}
pn + qn = n
Sn = us(1) + · · · + us(n)
En déduire que s est injective.

MATHÉMATIQUES I

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:ooe - D.:

k+

ln(ln nk )
·
ln 2
ln(ln n)
·
An 
n+
ln 2

II.F - Soit maintenant (an )nN une suite de réels telle que, pour toute suite 
(xn )nN ,

Prouver que la suite ( n )nN tend vers 0 et que la série   n an diverge.

II.D.3)

Dans cette question seulement on suppose que : n  N, an =

II.F.3)
II.F.4)

· · · FIN · · ·

Prouver que la série  |an+1 - an | converge.
Caractériser les suites vérifiant (P2 ).

série   n (an+1 - an ).

la convergence de la série  xn entraîne la convergence de la série  an xn .
II.F.1) Prouver que la suite (an )nN est bornée.
II.F.2) Soit ( n )nN une suite réelle de limite nulle. Prouver la convergence 
de la

II.E - Soit (an )nN une suite de réels quelconques telle que, pour toute suite 
( n )nN
de réels tendant vers 0, la série   n an converge.

Page 3/3

1
·
n+1
a) Écrire une fonction r qui prend en argument l'entier n et qui retourne :

· en Maple, la liste [0, n0 ], [1, n1 ], . . . , [q, nq ]

· en Mathematica la liste {0, n0 }, {1, n1 }, . . . , {q, nq }
où q est le plus grand des entiers k tel que nk 6 n. Par exemple l'appel de 
indexer(10000)
retourne :

[0, 0], [1, 1], [2, 2], [3, 51]
resp. {0, 0}, {1, 1}, {2, 2}, {3, 51}

c) Déterminer n1 ,n2 et n3 pour l'exemple de la question III.B.1).

k+

b) En déduire que la série  |an | converge.

Ank

Que peut-on penser de l'exécution de la fonction r ?

puis que :

en déduire que :

b) Dans le cas général, calculer pnk ,  nk .

II.D.1)

a) Prouver que la série   n |an | converge.

b) Soit k > 3 un indice tel que nk - 2 > nk-1 . Prouver l'inégalité :
1
k - 1 6 Ank -1 6 k - 1 + k-1
En déduire que nk+1 - 2 > nk .
2
nk
c) Calculer explicitement la différence Ank+1 -1 - Ank -1 en fonction de k, nk 
et nk+1 .
En déduire, pour k > 3, l' inégalité :

nk+1 + 1
nk+1
1
1
·
ln
6 Ank+1 -1 - Ank -1 6 k ln
nk + 1
nk
2k
2
d) Déduire des deux questions précédentes, pour k > 3, l' inégalité :

nk+1
2
1
1
1
k
k
2 -
6 ln
62 +
- ln 1 +
+ ln 1 +
·
nk
nk
nk+1
nk+1
nk
e) En utilisant une série convenable, étudier la convergence de la suite de 
terme
général (ln nk - 2k ) ; puis prouver l'existence d'une constante C > 0 telle 
que :
 
nk  C exp 2k .

Filière PSI

Dans tous les cas : An = An-1 + an  n .
Dans cette question seulement on suppose que a0 = 1 et, pour tout n > 1,
9
an =
.
4(n + 1)
Déterminer les 6 premiers termes des suites (pn )nN , ( n )nN et (An )nN .
Ecrire une procédure exemple qui prend en argument l'entier n et retourne la 
liste :
· en Maple : [[0, p0 ,  0 , A0 ], [1, p1 ,  1 , A1 ], . . . , [n, pn ,  n , An 
]]

· en Mathematica : {0, p0 ,  0 , A0 }, {1, p1 ,  1 , A1 }, . . . , {n, pn ,  n 
, An }
II.D.2)
a) Démontrer que pour tout naturel N, il existe un entier n > N tel que :
pn = 1 + pn-1 (on pourra raisonner par l'absurde).
En déduire qu'on peut définir une suite (nk )kN strictement croissante d'entiers
par :
(
n0 = 0
.
nk+1 = min {n  N / n > nk et pn = 1 + pn-1 } pour k > 0

II.D - Soit (an )nN une suite de réels positifs telle que la série  an diverge. 
On
se propose de construire une suite ( n )nN tendant vers 0 telle que la série  
an  n
diverge. Pour cela on définit par récurrence trois suites (pn )nN , ( n )nN et 
(An )nN
comme suit :
· p0 = 0,  0 = 1, A0 = a0 .
(

pn = 1 + pn-1 et  n = n-1 si An-1 > pn-1
2
· Pour n > 1 :
pn = pn-1 et  n =  n-1
sinon

MATHÉMATIQUES I