Centrale Maths 1 PSI 2009

Thème de l'épreuve Jeu de bonneteau sur les séries semi-convergentes
Principaux outils utilisés suites numériques, séries numériques
Mots clefs série harmonique, constante d'Euler, somme télescopique, semi-convergence, convergence absolue, convergente commutative

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- version du 2 mars 2009 15h2 MATHÉMATIQUES I La liste contenant l'unique élément a est notée [a]. Le couple (a, b) sera représenté par la liste [a, b]. Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste L on invoque : L := [op(L), x] La liste contenant l'unique élément a est notée . Le couple (a, b) sera représenté par la liste . Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste L on invoque : PSI n=1 us(n) = x. 20 30 n 40 50 60 70 Que constate-t-on pour la suite (Sn )nN ? Expliquer le principe de l'algorithme. - 1.2 - 1 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 0 10 · p0 = q0 = 0, S0 = 0 · pour tout n N, si Sn > x alors : qn+1 = 1 + qn , pn+1 = pn , sn+1 = 2qn+1 - 1 sinon : qn+1 = qn , pn+1 = 1 + pn , sn+1 = 2pn+1 Dans les deux cas : Sn+1 = Sn + usn+1 On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme algorithmique. I.A.1) Écrire une fonction st qui prend en argument x et l'entier n et qui renvoie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère) [s1 , s2 , . . . , sn ]. I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu'elle retourne le dessin simultané de la liste des points de coordonnées (n, Sn )n670 et de la droite horizontale d'ordonnée x (on ne demande pas d'écrire cette nouvelle fonction), on obtient pour x = -1, n = 70 le dessin suivant : I.A - On définit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels (pn )n>0 , (qn )n>0 et (sn )n>1 et une suite (Sn )n>0 de réels de la manière suivante : construire une bijection s de N dans N telle que (-1)n et on se propose de n Partie I - Réorganisation des termes d'une série semi-convergente Filière On se donne un réel x. On note, pour n N , un = Page 1/3 L'objectif du problème est d'étudier, en particulier à l'aide de méthodes algorithmiques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites et des séries et de caractériser simplement les suites qui vérifient (P1 ) ou (P2 ). Les parties I et II sont indépendantes. Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la position correcte des indices. On dira qu'une suite (an )nN à valeurs réelles vérifie la propriété (P2 ) si pour toute suite réelle (un )nN , la convergence de la série un entraîne celle de la série an un . On dira qu'une suite (an )nN à valeurs complexes vérifie la propriété (P1 ) si pour toute suite complexe (un )nN bornée, la série an un converge. On dira qu'une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans converger absolument. · · · Et pour Mathematica : · · · On rappelle les points suivants de Maple : On rappelle le résultat suivant : Toute partie X non vide de N possède un plus petit élément noté min X. trs trsés Définitions et notations Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2009 - version du 2 mars 2009 15h2 MATHÉMATIQUES I La liste contenant l'unique élément a est notée [a]. Le couple (a, b) sera représenté par la liste [a, b]. Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste L on invoque : L := [op(L), x] La liste contenant l'unique élément a est notée . Le couple (a, b) sera représenté par la liste . Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste L on invoque : PSI n=1 us(n) = x. 20 30 n 40 50 60 70 Que constate-t-on pour la suite (Sn )nN ? Expliquer le principe de l'algorithme. - 1.2 - 1 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 0 10 · p0 = q0 = 0, S0 = 0 · pour tout n N, si Sn > x alors : qn+1 = 1 + qn , pn+1 = pn , sn+1 = 2qn+1 - 1 sinon : qn+1 = qn , pn+1 = 1 + pn , sn+1 = 2pn+1 Dans les deux cas : Sn+1 = Sn + usn+1 On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme algorithmique. I.A.1) Écrire une fonction st qui prend en argument x et l'entier n et qui renvoie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère) [s1 , s2 , . . . , sn ]. I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu'elle retourne le dessin simultané de la liste des points de coordonnées (n, Sn )n670 et de la droite horizontale d'ordonnée x (on ne demande pas d'écrire cette nouvelle fonction), on obtient pour x = -1, n = 70 le dessin suivant : I.A - On définit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels (pn )n>0 , (qn )n>0 et (sn )n>1 et une suite (Sn )n>0 de réels de la manière suivante : construire une bijection s de N dans N telle que (-1)n et on se propose de n Partie I - Réorganisation des termes d'une série semi-convergente Filière On se donne un réel x. On note, pour n N , un = Page 1/3 L'objectif du problème est d'étudier, en particulier à l'aide de méthodes algorithmiques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites et des séries et de caractériser simplement les suites qui vérifient (P1 ) ou (P2 ). Les parties I et II sont indépendantes. Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la position correcte des indices. On dira qu'une suite (an )nN à valeurs réelles vérifie la propriété (P2 ) si pour toute suite réelle (un )nN , la convergence de la série un entraîne celle de la série an un . On dira qu'une suite (an )nN à valeurs complexes vérifie la propriété (P1 ) si pour toute suite complexe (un )nN bornée, la série an un converge. On dira qu'une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans converger absolument. · · · Et pour Mathematica : · · · On rappelle les points suivants de Maple : On rappelle le résultat suivant : Toute partie X non vide de N possède un plus petit élément noté min X. trs trsés Définitions et notations Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2009 - version du 2 mars 2009 15h2 MATHÉMATIQUES I La liste contenant l'unique élément a est notée [a]. Le couple (a, b) sera représenté par la liste [a, b]. Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste L on invoque : L := [op(L), x] La liste contenant l'unique élément a est notée . Le couple (a, b) sera représenté par la liste . Pour ajouter l'élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste L on invoque : PSI n=1 us(n) = x. 20 30 n 40 50 60 70 Que constate-t-on pour la suite (Sn )nN ? Expliquer le principe de l'algorithme. - 1.2 - 1 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 0 10 · p0 = q0 = 0, S0 = 0 · pour tout n N, si Sn > x alors : qn+1 = 1 + qn , pn+1 = pn , sn+1 = 2qn+1 - 1 sinon : qn+1 = qn , pn+1 = 1 + pn , sn+1 = 2pn+1 Dans les deux cas : Sn+1 = Sn + usn+1 On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme algorithmique. I.A.1) Écrire une fonction st qui prend en argument x et l'entier n et qui renvoie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère) [s1 , s2 , . . . , sn ]. I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu'elle retourne le dessin simultané de la liste des points de coordonnées (n, Sn )n670 et de la droite horizontale d'ordonnée x (on ne demande pas d'écrire cette nouvelle fonction), on obtient pour x = -1, n = 70 le dessin suivant : I.A - On définit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels (pn )n>0 , (qn )n>0 et (sn )n>1 et une suite (Sn )n>0 de réels de la manière suivante : construire une bijection s de N dans N telle que (-1)n et on se propose de n Partie I - Réorganisation des termes d'une série semi-convergente Filière On se donne un réel x. On note, pour n N , un = Page 1/3 L'objectif du problème est d'étudier, en particulier à l'aide de méthodes algorithmiques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites et des séries et de caractériser simplement les suites qui vérifient (P1 ) ou (P2 ). Les parties I et II sont indépendantes. Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la position correcte des indices. On dira qu'une suite (an )nN à valeurs réelles vérifie la propriété (P2 ) si pour toute suite réelle (un )nN , la convergence de la série un entraîne celle de la série an un . On dira qu'une suite (an )nN à valeurs complexes vérifie la propriété (P1 ) si pour toute suite complexe (un )nN bornée, la série an un converge. On dira qu'une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans converger absolument. · · · Et pour Mathematica : · · · On rappelle les points suivants de Maple : On rappelle le résultat suivant : Toute partie X non vide de N possède un plus petit élément noté min X. trs trsés Définitions et notations Épreuve : Concours Centrale - Supélec 2009 et Sn = Sn0 - k=n0 n-1 1 · 2qn0 + 2k - 2n0 + 1 I.E I.E.1) 1 = ln n + + o(1) quand n +. k k=1 n Démontrer l'existence d'une constante > 0 telle que : Démontrer que, pour tout entier n > 0, on a : |Sn+1 - x| 6 |Sn - x| ou |Sn+1 - x| 6 |us(n+1) | I.D.2) En déduire que pour tout naturel N, il existe un entier n > N tel que |Sn+1 - x| 6 |us(n+1) | I.D.3) Justifier l'existence d'un entier n0 tel que pour n > n0 , pn > 1 et qn > 1. I.D.4) Soit n > n0 . On note vn = max |Sn - x|, |u2pn+1 |, |u2qn+1 -1 | . Démontrer que (vn )n>n0 est décroissante. En déduire qu'elle converge vers 0. I.D.5) Démontrer que (Sn ) converge vers x et conclure. I.D I.D.1) En déduire une contradiction. b) Déduire du raisonnement précédent que la suite (pn )nN diverge vers +. I.C.3) Justifier rapidemment que (qn ) tend vers +. I.C.4) Déduire de ce qui précède que s est une bijection de N sur lui-même. Sn > x Donner un développement analogue pour q n 1 1 - 2k 2k - 1 · k=1 k=1 pn N-1 n=0 n=0 II.C - Soit (an )nN une suite de nombres complexes telle que la série |an | diverge. Construire une suite (un )nN de nombres complexes de module 1 telle que la série an un diverge. Caractériser les suites complexes (an )nN vérifiant (P1 ). En déduire que la suite (an )nN vérifie (P2 ). an un = (an - an+1 )Un + a N UN . N II.B - Soit (an )nN une suite réelle telle que la série |an+1 - an | converge. II.B.1) Prouver que la suite (an )nN possède une limite. II.B.2) Soit (un )nN une suite réelle telle que la série un converge. On note Un = u0 + u1 + · · · + un . Prouver, pour tout entier naturel N, la relation : II.A - Montrer qu'une suite complexe (an )nN telle que la série an converge absolument vérifie (P1 ). Partie II - Suites vérifiant (P1 ) et (P2 ) b) En déduire que : pn 1 - ln 2 + o(1). Sn = ln 2 n - pn c) En déduire un équivalent simple de pn et de qn . d) Déterminer la limite de : |us(1) | + |us(2) | + · · · + |us(n) | quand n +. |u1 | + |u2 | + · · · + |un | Sn = Filière PSI 1 en fonction de . 2k -1 k=1 n I.E.3) a) Justifier, pour tout naturel n tel que pn > 1 et qn > 1, l'égalité : I.E.2) Page 2/3 I.C I.C.1) Démontrer qu'une suite d'entiers convergente est constante à partir d'un certain rang. I.C.2) On se propose de démontrer que la suite (pn )nN croît vers +. a) On suppose dans un premier temps que cette suite est majorée. Utiliser le I.C.1) pour démontrer qu'il existe un entier n0 tel que pour n > n0 , I.B - On pose dorénavant, pour tout n N, s(n) = sn . Prouver, pour n > 1, les propriétés suivantes : {s(1), s(2), . . . , s(n)} = {2, 4, . . . , 2pn } {1, 3, . . . , 2qn - 1} pn + qn = n Sn = us(1) + · · · + us(n) En déduire que s est injective. MATHÉMATIQUES I et Sn = Sn0 - k=n0 n-1 1 · 2qn0 + 2k - 2n0 + 1 I.E I.E.1) 1 = ln n + + o(1) quand n +. k k=1 n Démontrer l'existence d'une constante > 0 telle que : Démontrer que, pour tout entier n > 0, on a : |Sn+1 - x| 6 |Sn - x| ou |Sn+1 - x| 6 |us(n+1) | I.D.2) En déduire que pour tout naturel N, il existe un entier n > N tel que |Sn+1 - x| 6 |us(n+1) | I.D.3) Justifier l'existence d'un entier n0 tel que pour n > n0 , pn > 1 et qn > 1. I.D.4) Soit n > n0 . On note vn = max |Sn - x|, |u2pn+1 |, |u2qn+1 -1 | . Démontrer que (vn )n>n0 est décroissante. En déduire qu'elle converge vers 0. I.D.5) Démontrer que (Sn ) converge vers x et conclure. I.D I.D.1) En déduire une contradiction. b) Déduire du raisonnement précédent que la suite (pn )nN diverge vers +. I.C.3) Justifier rapidemment que (qn ) tend vers +. I.C.4) Déduire de ce qui précède que s est une bijection de N sur lui-même. Sn > x Donner un développement analogue pour q n 1 1 - 2k 2k - 1 · k=1 k=1 pn N-1 n=0 n=0 II.C - Soit (an )nN une suite de nombres complexes telle que la série |an | diverge. Construire une suite (un )nN de nombres complexes de module 1 telle que la série an un diverge. Caractériser les suites complexes (an )nN vérifiant (P1 ). En déduire que la suite (an )nN vérifie (P2 ). an un = (an - an+1 )Un + a N UN . N II.B - Soit (an )nN une suite réelle telle que la série |an+1 - an | converge. II.B.1) Prouver que la suite (an )nN possède une limite. II.B.2) Soit (un )nN une suite réelle telle que la série un converge. On note Un = u0 + u1 + · · · + un . Prouver, pour tout entier naturel N, la relation : II.A - Montrer qu'une suite complexe (an )nN telle que la série an converge absolument vérifie (P1 ). Partie II - Suites vérifiant (P1 ) et (P2 ) b) En déduire que : pn 1 - ln 2 + o(1). Sn = ln 2 n - pn c) En déduire un équivalent simple de pn et de qn . d) Déterminer la limite de : |us(1) | + |us(2) | + · · · + |us(n) | quand n +. |u1 | + |u2 | + · · · + |un | Sn = Filière PSI 1 en fonction de . 2k -1 k=1 n I.E.3) a) Justifier, pour tout naturel n tel que pn > 1 et qn > 1, l'égalité : I.E.2) Page 2/3 I.C I.C.1) Démontrer qu'une suite d'entiers convergente est constante à partir d'un certain rang. I.C.2) On se propose de démontrer que la suite (pn )nN croît vers +. a) On suppose dans un premier temps que cette suite est majorée. Utiliser le I.C.1) pour démontrer qu'il existe un entier n0 tel que pour n > n0 , I.B - On pose dorénavant, pour tout n N, s(n) = sn . Prouver, pour n > 1, les propriétés suivantes : {s(1), s(2), . . . , s(n)} = {2, 4, . . . , 2pn } {1, 3, . . . , 2qn - 1} pn + qn = n Sn = us(1) + · · · + us(n) En déduire que s est injective. MATHÉMATIQUES I ©:Ê ....Ë .: .: âÊ .....È :Ë .Ê .: .: .a.â ... ...ËËBË A©©©©HVËNÆËH Æu E...ËoeH oefiEoexoe Ëm .: W :: 25 E... « oeËBGoe oeoe...u ©:Ëoe 993 2 ...oeoe : Æo Ï:= $.... ... . . . :... E _H..., :Ë= ©: 9h: 2 oeuBoeEoefioe--Z :oe . ::: .3 .. . ..:: .1 EUR: @: ....Ë & ....ÉË :.... . ... oe:ËBË E...... 3 : È...ËoeH Ëoe:ËoeË Goe ©:oeä... ËOE Hoe...$@fi :ofi...Ëo... oe:5 oeËÛOE ? H + : . ... H :: ...Z ... => ... oe5OE oeoe0...Ë5oe :o ËoeSoeËoeoe :oB...oe5© oefioe...... oeGoeD Ê.D.E .AH.oe.HHH :oB...oe5© E B...... oefiSoexoe.... Ëo...... ...: 3 SH: ËEEËËD @ .oem:oe>% :: :..... N oeEw... E 25 3 © oeË> ©:3 Zw:A:.....V 35... E 25 Ë>SOÈ .::.... :::... ËËuËu _HËwqwoe oeoeu oeH oeGoeD 3 © A «Ëoa Ë|:&+H H ::Îoe :: A : \ 2 ... :....EEH H+:= . © H @: ... ËQ oe:oefiGoe.fi oeËoeoeoe...0Ü ËoeEoeËËoe Zw:î5 8.5... 95 ÆEË© 32... GPS...... 3563... am .îË5ËOEH ËQ ËGGOÆOE OEËOQ :S T:: + H H ::... ... 25 3... Z A : ËBGoe :: 388 = ... 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Prouver la convergence de la II.E - Soit (an )nN une suite de réels quelconques telle que, pour toute suite ( n )nN de réels tendant vers 0, la série n an converge. Page 3/3 1 · n+1 a) Écrire une fonction r qui prend en argument l'entier n et qui retourne : · en Maple, la liste [0, n0 ], [1, n1 ], . . . , [q, nq ] · en Mathematica la liste {0, n0 }, {1, n1 }, . . . , {q, nq } où q est le plus grand des entiers k tel que nk 6 n. Par exemple l'appel de indexer(10000) retourne : [0, 0], [1, 1], [2, 2], [3, 51] resp. {0, 0}, {1, 1}, {2, 2}, {3, 51} c) Déterminer n1 ,n2 et n3 pour l'exemple de la question III.B.1). k+ b) En déduire que la série |an | converge. Ank Que peut-on penser de l'exécution de la fonction r ? puis que : en déduire que : b) Dans le cas général, calculer pnk , nk . II.D.1) a) Prouver que la série n |an | converge. b) Soit k > 3 un indice tel que nk - 2 > nk-1 . Prouver l'inégalité : 1 k - 1 6 Ank -1 6 k - 1 + k-1 En déduire que nk+1 - 2 > nk . 2 nk c) Calculer explicitement la différence Ank+1 -1 - Ank -1 en fonction de k, nk et nk+1 . En déduire, pour k > 3, l' inégalité : nk+1 + 1 nk+1 1 1 · ln 6 Ank+1 -1 - Ank -1 6 k ln nk + 1 nk 2k 2 d) Déduire des deux questions précédentes, pour k > 3, l' inégalité : nk+1 2 1 1 1 k k 2 - 6 ln 62 + - ln 1 + + ln 1 + · nk nk nk+1 nk+1 nk e) En utilisant une série convenable, étudier la convergence de la suite de terme général (ln nk - 2k ) ; puis prouver l'existence d'une constante C > 0 telle que : nk C exp 2k . Filière PSI Dans tous les cas : An = An-1 + an n . Dans cette question seulement on suppose que a0 = 1 et, pour tout n > 1, 9 an = . 4(n + 1) Déterminer les 6 premiers termes des suites (pn )nN , ( n )nN et (An )nN . Ecrire une procédure exemple qui prend en argument l'entier n et retourne la liste : · en Maple : [[0, p0 , 0 , A0 ], [1, p1 , 1 , A1 ], . . . , [n, pn , n , An ]] · en Mathematica : {0, p0 , 0 , A0 }, {1, p1 , 1 , A1 }, . . . , {n, pn , n , An } II.D.2) a) Démontrer que pour tout naturel N, il existe un entier n > N tel que : pn = 1 + pn-1 (on pourra raisonner par l'absurde). En déduire qu'on peut définir une suite (nk )kN strictement croissante d'entiers par : ( n0 = 0 . nk+1 = min {n N / n > nk et pn = 1 + pn-1 } pour k > 0 II.D - Soit (an )nN une suite de réels positifs telle que la série an diverge. On se propose de construire une suite ( n )nN tendant vers 0 telle que la série an n diverge. Pour cela on définit par récurrence trois suites (pn )nN , ( n )nN et (An )nN comme suit : · p0 = 0, 0 = 1, A0 = a0 . ( pn = 1 + pn-1 et n = n-1 si An-1 > pn-1 2 · Pour n > 1 : pn = pn-1 et n = n-1 sinon MATHÉMATIQUES I

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 Centrale Maths 1 PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Ce sujet traite exclusivement de suites et de séries. Il ne demande pas beaucoup de connaissances, mais une certaine aisance dans les calculs est requise pour mener à bien la plupart des démonstrations. Trois questions algorithmiques complètent cet énoncé, séparé en deux parties indépendantes. · La première partie a pour objectif de montrer qu'à partir d'une série semiconvergente, on peut obtenir par permutation des termes une série dont la somme est égale à n'importe quel réel x. Le problème commence par présenter une méthode algorithmique pour construire de manière effective une telle permutation des termes, et il est demandé de la programmer, au choix, en Maple ou en Mathematica. Après avoir constaté graphiquement que la méthode fonctionne, on démontre mathématiquement le résultat dans la suite de la partie. · La deuxième partie cherche à caractériser deux types de suites (an ). On dit qu'elles vérifient (P1 ) si, pour toute suite complexe (un ) bornée, la série de terme général an un converge. Elles vérifient (P2 ) si, pour toute suite réelle (un ), la convergence de la série de terme général un entraîne celle de la série de terme général an un . On commence par caractériser les suites vérifiant (P1 ). Ensuite, P l'essentiel de cette partie est consacrée, pour une série an divergente, à la constructionP effective et algorithmique d'une suite (n ) de limite nulle telle que la série n an reste divergente. Les deux dernières questions utilisent ce résultat pour caractériser les suites vérifiant (P2 ). Ce problème illustre donc la différence entre la semi-convergence et la convergence absolue, en montrant qu'en cas de semi-convergence on peut obtenir n'importe quelle somme en modifiant l'ordre des termes, alors que pour une série absolument convergente, toutes les séries obtenues par permutation des termes convergent vers la même somme. Ce sujet est particulièrement déroutant et assez difficile avec plusieurs niveaux d'indices, beaucoup de notations et des références aux questions précédentes très fréquentes qui font parfois penser à un jeu de piste. En outre, il teste très peu les connaissances du programme, laissant la plus grande part à la virtuosité dans les calculs. Il peut être utilement employé pour s'entraîner à calculer sans se tromper. Indications Partie I I.A.1 Effectuer une boucle for sur n et tester à chaque étape si Sn > x pour construire en fonction du résultat pn , qn , sn et Sn . Stocker à chaque itération la valeur sn dans la liste. I.A.2 La courbe représente Sn en fonction de n. On constate qu'elle se rapproche de la droite y = x. I.B Procéder par récurrence sur n > 1 et distinguer les cas où Sn > x et Sn 6 x. I.C.1 Revenir à la définition « avec des » d'une suite convergente. I.C.2.a Il existe un rang n0 à partir duquel (pn )nN est constante ; en déduire la valeur des suites (qn )nN et (sn )nN . Exprimer ensuite Sn en fonction de Sn0 . I.C.4 Utiliser l'égalité d'ensembles de la question I.B . I.D.1 Distinguer les cas Sn > x et Sn 6 x. I.D.2 Raisonner par l'absurde et utiliser le raisonnement de la question I.C.2.a . I.E.1 Remarquer que ! n-1 n 1 X 1 Z k+1 1 P 1 - ln n = - dt + k k t n k=1 k k=1 I.E.3.c La limite de (Sn )nN est x. I.E.3.d Effectuer un développement limité de l'expression donnée en utilisant les résultats des questions I.E.1 et I.E.2 . Partie II II.B.2 Développer la somme et effectuer un changement d'indice. II.D.1 Effectuer une boucle for sur i. À chaque étape, tester la valeur de Ai en fonction de pi et en déduire pi+1 , i+1 et Ai+1 . II.D.2.a Raisonner par l'absurde et montrer l'existence d'un entier N tel que l'on ait l'égalité An = AN + N (aN+1 + · · · + an ). II.D.2.b Raisonner par récurrence. II.D.3.a La procédure est presque la même que la fonction exemple. On maintient également un compteur et, quand on se trouve dans le premier cas, on stocke ce compteur ainsi que la valeur de l'itérateur de la boucle. II.D.3.b Partir de l'égalité Ank -1 = Ank -2 + ank -1 nk -1 . Calculer ensuite Ank et Ank +1 en traduisant la condition nk+1 - 2 > nk avec pnk +2 = pnk +1 puis l'inégalité Ank +1 < pnk +1 . II.D.3.c Utiliser la définition donnée dans la question II.D, puis une comparaison série-intégrale. II.D.3.d On peut appliquer l'inégalité de la question II.D.3.b au rang suivant. II.D.3.e Étudier la convergence de la série de terme général ln nk+1 -2k+1 -ln nk +2k et encadrer n entre nk et nk + 1. II.E.b Raisonner par l'absurde et appliquer la question II.D . II.F.1 Revenir à la définition « avec des » : la limite de (xn )nN et de (an xn )nN est 0. II.F.2 Séparer la somme et effectuer un changement d'indice ; appliquer ensuite la question II.E . I. Réorganisation des termes d'une série semi-convergente I.A.1 Pour écrire la fonction suite, on commence par initialiser les différentes variables. La liste est construite à l'aide d'une boucle for dans laquelle, à chaque étape, on applique la définition de la construction des suites (pn ), (qn ), (sn ) et (Sn ). suite := proc(x,n) local p,q, s, i, L, S; p[0] :=0; q[0] := 0; L := []; S[0] := 0; for i from 0 to n-1 do if (S[i] > x) then q[i+1] := 1 + q[i]; p[i+1] := p[i]; s[i+1] := 2 * q[i+1] - 1; else q[i+1] := q[i]; p[i+1] := 1 + p[i]; s[i+1] := 2 * p[i+1]; fi; L := [op(L),s[i+1]]; S[i+1] := S[i] + u(s[i+1]); od; L; end; u := proc(n) (-1)^n/n; end; Le programme consommerait moins de mémoire en utilisant toujours la même variable (par exemple seulement p pour à la fois p[0], p[i] et p[i+1]). On a toutefois fait ici le choix d'utiliser des tableaux par souci de lisibilité. En outre, ces derniers sont utiles pour représenter graphiquement les valeurs, comme cela est fait dans la question suivante de l'énoncé. I.A.2 On constate sur le dessin que les points de la suite se rapprochent de plus en plus de la valeur limite x : La suite (Sn ) tend vers x = -1. L'algorithme construit la suite (Sn ) en utilisant trois suites auxiliaires pour les indices k des uk . On réordonne les termes en sommant plutôt les usk que les uk . Ainsi, les indices sont les sk . Plus précisément, la suite (qn ) est un compteur pour les indices impairs 2k+1 et la suite (pn ) pour les indices pairs 2k. Suivant la valeur de Sn , sn est pair (et vaut 2pn ) ou impair (et vaut 2qn - 1). Lorsque Sn 6 x, l'algorithme ajoute un terme pair (qui est positif) et lorsque Sn > x, il ajoute un terme impair (qui est négatif). Dans les deux cas, on fait en sorte que Sn ne s'éloigne pas de x (en changeant le signe des termes à additionner dès que Sn dépasse x, dans un sens ou dans l'autre), et on montre dans la suite de la partie qu'elle s'en rapproche même. À titre indicatif, on pouvait écrire le code de l'affichage des points par exemple comme dans la fonction ci-après, en modifiant la liste L pour qu'elle contienne les couples (i, Si ), et en faisant afficher les points de la liste ainsi obtenue ainsi que la droite horizontale d'ordonnée x. suite := proc(x,n) local p,q, s, i, L, S; p[0] :=0; q[0] := 0; L := [[0,0]]; S[0] := 0; for i from 0 to n-1 do if (S[i] > x) then q[i+1] := 1 + q[i]; p[i+1] := p[i]; s[i+1] := 2 * q[i+1] - 1; else q[i+1] := q[i]; p[i+1] := 1 + p[i]; s[i+1] := 2 * p[i+1]; fi; S[i+1] := S[i] + u(s[i+1]); L := [op(L),[i+1,S[i+1]]]; od; L; plot([x,L],t=0..n,style=[line,point]); end; I.B On procède par récurrence sur n > 1 pour montrer que la propriété {s(1), . . . , s(n)} = {2, 4, . . . , 2pn } {1, 3, . . . , 2qn - 1} P(n) : pn + qn = n Sn = us(1) + · · · + us(n) est vraie pour tout n > 1. · P(1) : si x > S0 = 0, on a q1 = q0 = 0, p1 = 1 + p0 = 1 d'où p1 + q1 = 1. Comme s(1) = s1 = 2p1 = 2, {s(1)} = {2, 2p1 } car, comme 2q1 - 1 = -1, le deuxième ensemble proposé est vide. En outre, S1 = S0 + us1 = us(1) . Si x < S0 = 0, on a q1 = 1 + q0 = 1, p1 = p0 = 0 d'où p1 + q1 = 1. Comme s(1) = s1 = 2q1 - 1 = 1, on a {s(1)} = {1, 2q1 - 1} car, comme 2p1 = 0, le premier ensemble proposé est vide. En outre, S1 = S0 + us1 = us(1) . Dans les deux cas, P(1) est vraie. · P(n) = P(n + 1) : si x > Sn , on a qn+1 = qn , pn+1 = 1 + pn d'où l'égalité pn+1 + qn+1 = 1 + pn + qn = 1 + n d'après l'hypothèse de récurrence. Comme s(n + 1) = sn+1 = 2pn+1 , =2qn -1 z }| { {s(1), . . . , s(n + 1)} = {2, 2p1, . . . , 2pn+1 } {1, . . . , 2qn - 1, 2qn+1 - 1} puisque les deux derniers éléments du second ensemble sont égaux. En outre, Sn+1 = Sn + usn+1 = us(1) + · · · + us(n) + us(n+1) par hypothèse de récurrence.