| Thème de l'épreuve | Solutions maximales de l'équation différentielle x'' + f'(x) = 0 |
| Principaux outils utilisés | équations différentielles (linéaires et non linéaires), théorème de Cauchy-Lipschitz, séries entières |
| Mots clefs | équation du pendule non linéaire, portrait de phase, stabilité |
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Centrale Maths 1 PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) ; il a été relu par
Philippe Bouafia (ENS Ulm) et Vincent Perrier (ENS Cachan).
Ce sujet traite des solutions de l'équation différentielle autonome du second
ordre
x + f (x) = 0
où f est une fonction « potentiel » paire de classe C 2 définie sur R. Un point
de vue
physique est vite adopté, favorisant la considération du système différentiel
d'ordre 2
canoniquement associé :
x =y
(S)
y = -f (x)
et la résolution dans le « plan de phase » R2 .
L'étude est menée en quatre parties :
· La première partie est consacrée à l'étude de deux exemples de familles de
solutions obtenues pour deux fonctions « potentiel » distinctes. On obtient
notamment des familles de trajectoires dans le plan de phase composées dans un
cas
d'ellipses concentriques (oscillateur harmonique) et dans l'autre, de branches
d'hyperboles. Cette partie permet de se familiariser avec les objets qui seront
manipulés de manière plus abstraite dans les parties suivantes.
· La deuxième partie consiste en l'étude de quelques propriétés générales des
trajectoires pour une fonction f « quelconque ». On résout notamment localement
le système (S) dans le demi-plan supérieur et l'on distingue trois comportements
qualitatifs significatifs des solutions, que l'on utilisera par la suite.
· La troisième partie est consacrée à l'étude du système (S) linéarisé au
voisinage
d'un point d'équilibre. On y introduit notamment une notion de stabilité des
points d'équilibre. Enfin, on démontre un résultat qualitatif pour les solutions
au voisinage d'un point d'équilibre stable.
· La dernière partie étudie deux exemples non linéaires (où la fonction f n'est
pas quadratique) : d'une part le pendule non linéaire classique, d'autre part
une
forme de pendule non linéaire perturbé. On s'intéresse notamment aux points
d'équilibre de ces systèmes.
Cette épreuve, plutôt longue pour quatre heures de composition, présente
l'intérêt d'être motivée par des problèmes physiques et de faire ainsi appel à
l'intuition.
En revanche, elle présente l'inconvénient de comporter plusieurs erreurs
d'énoncé que
nous pointerons dans ce corrigé. En outre, un certain nombre de notions sont
définies
de manière imprécise et peuvent conduire à des confusions ; par exemple, la
définition du mot « trajectoire » utilise des solutions de l'équation, alors
qu'elle devrait
uniquement faire intervenir des solutions maximales de l'équation.
En conclusion, cette épreuve est une excellente occasion de se frotter à la
réalité
des épreuves de concours, qui ne sauraient être toujours parfaites.
Indications
2 Introduire la fonction E(t) = (y(t))2 /2 + f (x(t)). Montrer qu'elle est
dérivable sur l'intervalle sur lequel est définie la solution. Calculer sa
dérivée sur
cet intervalle.
I.A.1 Déterminer les solutions sur R de l'équation x + 2 x = 0 d'énergie h > 0.
I.A.2 Déterminer la trajectoire associée à une solution de (S) d'énergie h > 0
définie sur R.
I.A.3 Utiliser le résultat de la question préliminaire 2.
I.B.1 Écrire et résoudre l'équation différentielle linéaire homogène à
coefficients
constants vérifiée par la fonction x.
I.B.3 Utiliser la question I.B.1.
II.A.3 Exprimer ( -1 ) en fonction de -1 sur l'intervalle J(x0 ). Utiliser
ensuite le
théorème de Cauchy-Lipschitz rappelé dans l'énoncé.
II.B Justifier que est de classe C 2 sur J(x0 ) et y calculer sa dérivée.
II.C.1 Si < u ou v < , montrer que J1 n'est pas maximal. II.E.1.a Utiliser la continuité de f en a et b, puis le fait qu'elle admet un développement limité d'ordre 1 en a et b. Enfin, chercher un équivalent de la fonction sous le signe intégral définissant . II.E.1.b Que vaut F((t)) sur ] ; [ ? Utiliser ensuite le théorème « de prolongement d'une dérivée ». II.E.1.c Utiliser la question II.E.1.b. II.E.2 Donner un équivalent de la fonction u 7 (h - f (u))-1/2 pour u proche de a. III.B Se ramener à la résolution d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants. III.C Utiliser le résultat de la question précédente. III.D.1 Utiliser le fait que f est de classe C 2 sur R avec f (e) = f (e) = 0 et f (e) > 0.
III.D.2 Attention à l'erreur d'énoncé : la limite commune de x+ (h) et x- (h)
quand
h tend vers 0+ est e et non 0. Montrer que H = min f (c), f (d) convient.
III.D.3 Montrer que pour R > 0 suffisamment petit, toute solution de donnée
initiale
X0 B(E, R) P+ est de type II.E.1.
III.E.1 L'énoncé comporte une erreur : ne pas tenir compte du v.
III.E.2 Utiliser à la fois l'expression de hn montrée à la question précédente
et le
développement limité de f en e.
III.E.3 A l'aide de la question précédente et de la question III.D.3, se
ramener à
appliquer le théorème de convergence dominée à une famille d'intégrales.
Pour cela, utiliser deux fois la formule de Taylor avec reste intégral afin de
-1/2
majorer sur ] 0 ; 1 [ la suite de fonctions v 7 (1 - v 2 )f (e) + n (v)
par
une fonction intégrable sur ] 0 ; 1 [ indépendamment de n. Cette question est
de loin la plus technique du sujet.
IV.B
IV.C
IV.D.1
IV.D.3
Montrer que toute trajectoire d'énergie h ] 0 ; 1 [ est du type II.E.1.
Montrer que a = - et b = + et que ces points sont de type II.E.3.
Montrer que a = - et b = alors que = - et = +.
On pourra montrer que F-1 ({1}) sépare le plan en deux parties : F-1 ([ 0 ; 1 [)
et F-1 (] 1 ; + [).
Questions préliminaires
1 Si t 7 (t) est une trajectoire du système (S) définie sur un intervalle I
contenant t0 , alors la fonction est dérivable sur I et l'on a
t I
(t) = ((t))
Puisque la fonction f est de classe C 2 sur R, le champ est de classe C 1 sur
R2 .
En particulier, le champ est continu sur R2 . Par conséquent, l'application
est
continue sur I. Par suite, est de classe C 1 sur I.
Soit t I tel que ((t)) 6= 0. Il vient que (t) 6= 0. On en déduit que la
trajectoire admet une tangente en (t) et que cette tangente est dirigée par le
vecteur (t). Finalement,
En tout point (t) tel que ((t)) 6= 0, la trajectoire
admet une tangente dirigée par le vecteur ((t)).
2 Considérons t 7 X(t) une solution de (S) définie sur un intervalle I
contenant t0 .
La fonction X est dérivable sur I et l'on a
x (t) = y(t)
t I
y (t) = -f (x(t))
En particulier, les fonctions x et y sont dérivables sur l'intervalle I.
Considérons la fonction définie sur I par
y 2 (t)
+ f (x(t))
2
et remarquons que la fonction E est elle aussi dérivable sur l'intervalle I. En
outre,
E(t) = F(X(t)) =
t I
E (t) = y (t)y(t) + x (t)f (x(t)) = y (t)x (t) + x (t)(-y (t)) = 0
car t 7 X(t) est une solution de (S) sur I. Par suite,
La fonction d'énergie F est constante le long des solutions de (S).
I. Premiers exemples
I.A.1 La fonction f est de classe C sur R. En outre, pour tout réel x, f (x)
= 2 x.
L'équation x + f (x) = 0 s'écrit donc
x + 2 x = 0
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients
constants. D'après
le cours, cette équation admet des solutions sur R. En outre, pour toute
solution sur R
de cette équation, il existe deux constantes réelles A et telles que
t R
x(t) = A cos(t + )
L'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants
x + 2 x = 0
admet, d'après le cours, des solutions sur tout intervalle de R. On ne considère
ici que les solutions définies sur R tout entier.
Il est important par ailleurs de bien connaître le cours (y compris les
formules du cours de première année) afin de se distinguer positivement
des autres candidats. Le rapport du jury relatif à cette épreuve indique par
exemple : « Dans un certain nombre de copies, les candidats proposent des
formules fausses pour la solution générale de l'équation x = kx. ».
Soit x une fonction définie sur R solution de cette équation différentielle et
d'énergie h > 0. On peut écrire, pour tout t R,
(x (t))2
2 2
1
2
2
+
x (t) =
(-A sin(t + )) + 2 (A cos(t + ))
2
2
2
1
= A2 2
2
2 2
(x (t))2
+
x (t) = h
2
2
2h
Ceci implique
|A|=
Par suite (quitte à changer en + ), la fonction x est de la forme
2h
t 7
cos(t + )
On vérifie, réciproquement, que pour h > 0, la fonction définie sur R par
2h
t R
x(t) =
cos(t + )
est une solution d'énergie h de l'équation x + 2 x = 0 sur l'intervalle R.
Ainsi,
Les solutions de l'équation x + 2 x = 0 d'énergie h > 0 définies sur R sont les
fonctions de la forme
2h
t 7
cos(t + )
2
Elles sont toutes périodiques de période
.
I.A.2.a Soit x une solution sur R de l'équation x + 2 x = 0 d'énergie h > 0.
La question précédente assure l'existence d'un réel tel que
2h
t R
x(t) =
cos(t + )
Par conséquent
t R
y(t) = x (t) = - 2h sin(t + )
On en déduit que cette solution d'énergie h > 0 décrit l'intégralité de
l'ellipse
de
centre l'origine Odu plan P, d'axes les axes de coordonnées, et de demi-axes 2h/
suivant (Ox) et 2h suivant (Oy). En conclusion,
Toute solution d'énergie h > 0 définie sur R décrit dans P l'ellipse h decentre
l'origine, d'axes les axes de coordonnées, et de demi axes respectifs 2h/
suivant (Ox) et 2h suivant (Oy). Une équation cartésienne de h est
x2
y2
2 + 2 = 1
( 2h)
2h/