Centrale Maths 1 PSI 2006

Thème de l'épreuve Étude et résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 2
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires à coefficients constants, prolongement par continuité, fonctions à valeurs complexes, trigonométrie, équivalents de fonctions en +∞

Corrigé

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' _oe n_ %___... ... OEËN uoeäQ:OE - &OEÈoeO mÈoocoü Notations et définitions R2 est muni de la norme H(oe,y)ll : \/æ2 + y2. On note C (R+, R) l'ensemble des fonctions continues de R+ dans R et L1 l'ensemble +oo des fonctions f E C(R+,R) intégrables sur R+. Si f E L', on pose ||fH1 : / |f|. () On note 8 l'ensemble des fonctions f E C(R+,R) bornées sur R+. Si f E B, on 9086 ||fHoo = sup |fl-- R+ Si 07 EUR [1,+oo[, on convient que 0" = 0; ainsi 1% EUR R+ l--> ta est continue. 1 1+t°' +oo On pose, lorsque cela a un sens, I(oz) : / dt. 0 Soit (EO) une équation différentielle linéaire homogène du second ordre de la forme zfl+aÿ+by=0 , où a et b sont dans C (RÏR) ; a toute fonction h EUR C_(R+, R.), on associe l'équation différentielle (Eh) dont h est le second membre : y" + ay' --I-- by : h. Par définition, une solution de (Eh) (resp. (E0)) est une fonction de R+ dans R de la variable t de classe 62 vérifiant l'équation (Eh) (resp. EO). On définit les propriétés de stabilité suivantes : . on dira que (EO) est stable par rapport aux conditions initiales si et seulement si pour tout 8 EUR lR* , il existe 77 EUR Ri tel que si f est une solution de (E0) vérifiant H(f(0),f'(0))|l < 77, alors f E B et llf||OO < 5. . on dira que (EO) est stable par rapport au second membre au sens 1 si et seulement si pour tout 8 EUR Rï, il existe 77 EUR Rï tel que si h E L1 est tel que ||hl|1 < 77 et f est une solution de (Eh) vérifiant (f(0), f'(0)) = (0,0), alors fEURBet Hf||OO <5. 0 on dira que (EO) est stable par rapport au second membre au sens 00 si et seulement si pour tout 8 E là:... il existe 77 EUR Ri tel que si h E B est tel que ||hHOO < 77 et f est solution de (Eh) vérifiant (f(0), f'(0)) = (0,0), alors f E B et llf|loe < 6- Soit oz EUR [1,+oo[ et h EUR C(lR+, R). On note EG,}, l'équation différentielle linéaire : 1 Bd : " -- ( "" y 1 + ta Par définition, une solution de (Euh) est une fonction de R+ dans R de la variable t de classe C2 vérifiant (Ea,h). ÿ+y=h Pour l'équation homogène associée, notée (E...), . on dira que (Emo) est stable par rapport au paramètre si et seulement si pour tout (a, b) E R2 et pour tout 5 E R* , il existe 77 EUR R*+ tel que : si fi EUR [1,+oo[ vérifie la -- fi| < 77, f est solution de (Emo) et g est solu-- tion de (Egg) avec (f(0),f'(0)) = (g(0),g'(0)) = (a,b), alors f ---.g E B et "f _ glloo < 5- Objectifs et dépendance des parties L'objectif du problème est d'étudier le comportement des solutions de (Ea,0) vers +00, ainsi que les différentes notions de stabilité. La partie I étudie le cas de l'équation << limité à l'infini >> y" + y = h. La partie II, indépendante de I, étudie le comportement à l'infini des solutions de (EC...) pour a > 1. La partie III, qui étudie les problèmes de stabilité pour a > 1, utilise des résultats de II.A, II.C et L5. La partie IV, qui étudie le comportement à l'infini des solutions de (E...), utilise II.B. La partie V, qui étudie les problèmes de stabilité pour a = 1, utilise les parties IV et II. Partie I -- Étude de l'équation y" + y = h Si h EUR C(R+,R), on note (Fh) l'équation différentielle y" + y = h. Par définition, une solution de (F h) est une fonction de classe C2 de R+ dans R vérifiant (Fh). I.A - Exemples I.A.1) Donner l'ensemble des solutions de (F0). l.A.2) Dans cette question uniquement, on prend pour h : t r----> cos (t). Donner l'ensemble des solutions de (F h) dans ce cas. LAB) Dans cette question uniquement, on prend pour h la fonction 27r--périodique sur R+, définie par __ sin (75) si t E {O,7r] h (] h(u)sin(t --u)du) est 0 solution de (F h), et en déduire l'ensemble des solutions de (F h). I.D -- Stabilité par rapport au second membre au sens 1 On donne & EUR L1. ' Déterminer la solution f de (Fh) vérifiant (f(0), f'(0)) : (0,0), montrer que f E B, et ||f|loo < llhll1-- En déduire que (Fo) est stable par rapport au second membre au sens 1. LE - Instabilité par rapport au second membre au sens oo Soit 5 EUR Ri. Résoudre l'équation différentielle y" + y = 6 cos(t), et montrer que ses solutions sont non bornées, et plus précisement, ne sont pas en o(t)_quand t --++oo. En déduire la non stabilité de (F0) par rapport au second membre au sens oo. Partie II - Comportement & l'infini des solutions de (Ea,0) pour 04 > 1 II.A -- Démontrer l'existence de [(a), pour a > 1, et sa continuité par rapport a &. II.B - Relèvement angulaire On donne g : R+ --> C* de classe Ck, [EUR > 1. / II.B.1) Justifier l'existence d'une primitive A de ÿ_) et montrer que ge-- g . A est constante. II.B.2) En écrivant la fonction A sous la forme A = U + iV, où U et V sont des fonctions à valeurs réelles, justifier qu'existent 7" EUR Ck(R+, Ri) et 9 EUR C'" (R+, R) tels que g : rei9_ II.C -- Comportement à l'infini poura > 1 1 1 + ta° II.C.1) En appliquant II.B, montrer qu'existent fr EUR Cl(lR+, Ri) et 6 EUR C1(R+,R) tels que f : rcos(9) et f' : rsin(9). Exprimer ?" en fonction de f et f' . Soit & > 1 et f une solution_non nulle de» (Ea,0)- On note q : t EUR R+ i--> Les fonctions 7" et 9 sont fixées ainsi pour la suite de la partie. II.C.3 II.C.4) Démontrer que 7' a une limite strictement positive en +00 vérifiant ärg 7" < 7°(0) exp(I(a)). Démontrer que f et ]" sont bornées par ||(f(0), f'(0))|| exp(l(a)). II.C.5) Démontrer que 9(t) +t tend vers une limite réelle quand t --+ +00. II.C.6) Démontrer qu'existent & EUR Ri et b EUR R tels que f(t) -- acos(t + Z)) ------> O. t---->+oo II.C.2) Démontrer que 6' = --1 + qsin(c9) cos(9). . (1) ) Démontrer que T' : qr sin2(9). (2) II.C.7) Tracer l'allure du graphe de f vers +00. Partie III -- Étude de la stabilité pour a > 1 Dans toute la partie, oz > 1, et (f1,f2) est un système fondamental de solutions de - __ f1 f2- (Ea=°'e'w-- fi fé On pensera & utiliser les résultats de II. est le wronskien associé. III.A - Stabilité par rapport aux conditions initiales Démontrer que (Emo) est stable par rapport aux conditions initiales. III.B - Stabilité par rapport au second membre au sens 1 III.B.1) Déterminer une équation différentielle linaire vérifiée par 21) et montrer qu'existent @, b réels tels que pour tout t E R+, 0 < a { |w(t)l < b. III.B.2) Si h E C (RÏR), montrer que les solutions de (EO...) sont les fonctions du h la type f = --C1 f1 + C2f2, où C1 est une primitive de % et C2 une primitive de --£1 III.B.3) Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes portant sur 01 et C2 dans la question précédente pour avoir ( f (0), f'(0)) = (O, O) ? III.B.4) Démontrer l'existence de C EUR R+ telle que : pour tout h EUR L1, la solution f de (EGM) vérifiant (f(0),f'(0)) : (0,0) est dans B, et ||fHOO < C||h||1. En déduire que (Ea,o) est stable par rapport au second membre au sens 1. III.C - Instabilité par rapport au second membre au sens oo On fixe 5 EUR Rj_. Soit g une solution de l'équation différentielle y" + y = 6 cos(t). 1 Soit f la solution sur R+ de l'équation différentielle y" -- 1 + ta telle que (f(0), f'(0)) = (0,0). Onpose O. t------>+oo t IH.C.2) Démontrer que h(t)t--+--> O implique que] ]hlt Î o(t). III.C.3) En utilisant la résolution de (EO...) vue en III.B, montrer que ®(t) : 0(t). t--++oo III.C.4) Démontrer que (E...g) n'est pas stable par rapport au second membre au sens 00. III.D - Stabilité par rapport au paramètre On fixe pour la suite de la question (a, I)) E R2. Soit 5 e]1, +oo[. Soit f la solution de (Ea,0) vérifiant (f(0), f'(O)) : (a, b) et g la solution de (Egg) vérifiant (g(0),g'(0)) : (a, b). Onposel, on pose J(À)=/ 1 dt et K(À)=/ dt. 0 1 Comme pour I, les fonctions ] et-- K sont bien définies et continues sur ]1, +oo[ (on ne demande pas de le montrer). III.D.1) Démontrer que (I) est une solution de l'équation difi°érentielle (Ea,h) avec h:t1-->( 1 -- 1 )g'(t) . 1+tû 1+t5 III.D.2) Démontrer que il E L1 et llhlll < H (1J -- J(fl)l + |K -- Kw»). III.D.3) Démontrer que (Emo) est stable par rapport au paramètre. Partie IV - Étude du comportement vers +00 pour a = 1 ' f est une solution non nulle de (E...). f @) vt 1 3 IV.A - Établir que pour tout t > O, g"(t) + (1 --- W) g(t) : O. OnposegztEURR+l--+ IV.B - Démontrer qu'existent p EUR C1(R+,Rï) et fi EUR C1(R+,R) telles que 9 = pCOS(Û) et 9' = psin(fi>- IV.C - Déterminer une équation différentielle vérifiée par fi et montrer que 5 (t) +t tend vers une limite réelle lorsque t ----> +00. IV.B - Déterminer une équation différentielle vérifiée par p, et démontrer que p tend vers une limite réelle a > 0 en +oo. IV.E -- Démontrer qu'il existe un réel b tel que f(t) -- a tcos(t + 17) t î 0(\/Ï), où a est le réel défini ci--dessus. IV.F -- Tracer l'allure du graphe de f vers +oo. Partie V - Étude de la stabilité pour a = 1 V.A - Démontrer que (ELO) n'est stable ni par rapport aux conditions initiales ni par rapport au paramètre. 1 V.B - Si A E R, et f,\ : t r----> Àt sin(t), calculer "(t) -- ' Qu'en déduire concernant la stabilité de (E...) par rapport au second membre au sens oo ? oooFINooo

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 Centrale Maths 1 PSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Denis Ravaille (ENS Cachan) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Vincent Perrier (ENS Cachan). Ce sujet est composé de cinq parties de tailles très différentes. L'objectif est d'y étudier l'équation différentielle 1 y - y + y = h (E,h ) 1 + t où h est une fonction de R+ dans R et un réel supérieur à 1. On s'intéresse notamment au comportement à l'infini des solutions ainsi qu'à diverses notions de stabilité de (E,h ). · Plus précisément, dans la première partie, on étudie l'équation différentielle y + y = h et on fait appel aux techniques classiques de résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 2. Les résultats qui y sont établis ne sont pas réutilisés dans le reste du sujet, à l'exception de ceux de la question V.B. · Dans la deuxième partie, on étudie le comportement à l'infini des solutions de (E,0 ) pour > 1. La démarche qui est adoptée est au coeur du sujet : à l'aide d'un relèvement angulaire et de calculs d'intégrales, elle permet d'obtenir un équivalent en l'infini des solutions de (E,0 ). · La troisième partie s'appuie sur les résultats établis dans la deuxième pour déterminer la stabilité ou l'instabilité de cette équation différentielle selon différentes définitions données dans l'énoncé. De manière générale, une équation est dite stable quand on peut contrôler la norme (L 1 ou infinie) de ses solutions lorsque certains de ses paramètres (conditions initiales, second membre ou coefficients) varient. On s'appuie particulièrement sur la manipulation du wronskien d'un système fondamental de solutions d'une équation différentielle linéaire du second ordre. · Dans la quatrième partie, on étudie le comportement à l'infini des solutions de l'équation différentielle (E1,0 ). On y utilise les résultats sur le relèvement angulaire établis dans la deuxième partie et on suit une démarche relativement similaire. · Enfin, dans la dernière partie, très courte, on étudie les diverses notions de stabilité définies dans ce sujet dans le cas particulier de l'équation différentielle (E1,0 ). On s'appuie, pour ce faire, sur les résultats établis dans la deuxième et la quatrième partie concernant le comportement à l'infini des équations différentielles (E,0 ) et (E1,0 ). Ce sujet est relativement long et un peu calculatoire. Il peut cependant s'avérer un bon entraînement pour revoir tout ce qui concerne les équations différentielles linéaires. Par ailleurs, il est fréquent que les rédacteurs d'un sujet y utilisent des notations ou y définissent des notions qui sont spécifiques au thème abordé. C'est le cas de ce sujet et il peut donc permettre de s'entraîner à « entrer » dans les définitions et les notations propres à une thématique particulière. Indications Partie I I.A.1 Résoudre l'équation caractéristique associée à (F0 ). I.A.2 Chercher une solution particulière sous la forme y0 (t) = a(t) sin t avec a polynôme de degré 1. I.A.3 Commencer par montrer que les solutions de y + y = 0 et de y + y = sin t sont respectivement de la forme f : t 7 A cos t + B sin t et g : t 7 A cos t + B sin t - (t cos t)/2 Chercher ensuite des solutions sous la forme t t [ 2k ; (2k + 1) ] y(t) = a2k cos t + b2k sin t - cos t 2 t [ (2k + 1) ; (2k + 2) ] y(t) = a2k+1 cos t + b2k+1 sin t et trouver des relations sur les ak et les bk pour que la fonction y soit de classe C 1 en k, où k est un entier, en distinguant les cas où k est pair ou impair. I.B Écrire le complexe z = a + ib sous forme trigonométrique. I.C Décomposer le sinus de manière à obtenir une expression de f0 ne faisant plus intervenir d'intégrale à paramètre. I.D Utiliser la question précédente. I.E Se ramener à une équation du type y + y = cos t et utiliser le résultat de la question I.A.2. Étudier alors la quantité g(t)/t. Partie II II.B.1 Montrer que g /g est continue. Dériver ensuite ge-A . II.B.2 Écrire la constante complexe sous forme exponentielle. II.C.1 Considérer F = f + if . Montrer par l'absurde que F ne s'annule pas. Utiliser ensuite le résultat de la question II.B.2. II.C.2 En dérivant l'expression de f obtenue à la question II.C.1, déterminer deux expressions différentes pour f . Faire de même pour f . Les combiner ensuite de manière à éliminer r . II.C.3 Utiliser les mêmes expressions qu'à la question II.C.2. II.C.4 Montrer que r est croissante, puis majorée. II.C.5 Intégrer l'équation (1). Montrer que l'intégrale obtenue est convergente. II.C.6 Utiliser l'expression de f trouvée dans la question II.C.1, puis les résultats de convergence établis aux questions II.C.4 et II.C.5. Partie III III.A Utiliser la question II.C.4 pour majorer la norme infinie de f . III.B.1 Dériver w. Déduire de l'équation différentielle trouvée l'expression de w. Borner l'intégrale qui intervient dans cette expression. III.B.2 Utiliser la méthode de variation de la constante. III.B.4 Utiliser les deux questions précédentes pour obtenir une forme intégrale de la fonction f , puis utiliser la question II.C.4 pour justifier la majoration des fonctions f1 et f2 . III.C.1 Faire apparaître g dans l'expression de . Utiliser ensuite la question I.E pour obtenir l'expression de g . III.C.2 Couper l'intégrale en deux, sur des intervalles bien choisis. III.C.3 Utiliser le raisonnement de la question III.B.4 pour retrouver Z t |(t)| 6 C |h(u)| du 0 III.C.4 Raisonner par l'absurde en utilisant les questions I.E et III.C.3. III.D.2 Utiliser la question II.C.4 pour majorer g . Scinder l'intégrale sur [ 0 ; t ] en deux intégrales sur [ 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; t ]. III.D.3 Utiliser la question III.B.4 et la continuité des fonctions I, J et K. Partie IV IV.B Poser G = g + ig et utiliser le résultat de la question II.B.2. IV.C Procéder comme aux questions II.C.2 et II.C.4. IV.D Procéder comme aux questions II.C.3 et II.C.5. IV.E Procéder comme à la question II.C.6. Partie V V.A Utiliser la question IV.E pour trouver un contre-exemple. V.B Déterminer h telle que f soit la solution de (E1,h ) de conditions initiales (0, 0). Utiliser alors le fait que f n'est pas bornée sur R+ . I. Étude de l'équation y + y = h I.A.1 Cherchons les solutions de l'équation différentielle linéaire du second ordre homogène et à coefficients constants réels y + y = 0 (F0 ) Il est important de savoir résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre homogène et à coefficients constants réels. À toute équation du type ay + by + cy = 0, on associe l'équation caractéristique ar2 + br + c = 0. · Si cette équation possède deux racines réelles distinctes et , alors les solutions de l'équation différentielle sont les combinaisons linéaires réelles des fonctions t 7 et et t 7 et . · Si elle ne possède qu'une racine réelle double , les solutions de l'équation différentielle sont les combinaisons linéaires réelles de t 7 et et t 7 tet . · Enfin, si l'équation admet deux racines complexes conjuguées = a+ib et , de parties réelle a et imaginaire b, alors les solutions de l'équation différentielle sont les combinaisons linéaires réelles des parties réelles et imaginaires de la fonction t 7 et , à savoir des fonctions t 7 eat cos bt et t 7 eat sin bt. L'équation différentielle a ici pour équation caractéristique r2 +1 = 0, dont les racines sont i et -i. Une solution générale de (F0 ) est donc une combinaison linéaire réelle des fonctions t 7 cos t et t 7 sin t. Autrement dit, l'ensemble des solutions de (F0 ) est {t 7 a cos t + b sin t, a R, b R} I.A.2 Les solutions de l'équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants y + y = h (Fh ) sont la somme d'une solution particulière de cette équation et des solutions générales de l'équation différentielle homogène, qui n'est autre ici que (F0 ). Résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants non homogène revient toujours à trouver une solution particulière, puis à additionner celle-ci aux solutions générales de l'équation homogène associée. Tout l'enjeu revient donc à trouver une solution particulière. Pour ce faire, il existe plusieurs méthodes. La plus générale est la méthode dite de variation de la constante. Elle ne s'applique qu'aux systèmes linéaires d'ordre 1, du type Y = AY + H où Y, H sont des applications de R dans Rn et A une matrice (dont les coefficients peuvent éventuellement dépendre de t). Il est toujours possible de se ramener à un tel système.