Centrale Maths 1 PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude des solutions d'équations différentielles construites sur l'équation y'-xy=0
Principaux outils utilisés équations différentielles, variation de la constante, intégrales, récurrence, méthode de Newton, séries entières

Corrigé

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 _OEn_ e.........___... _ _ OEMDÛF<ÊwIF (l + x2) ex . I.B - On considère l'équation différentielle : (E) y'--xy : (1+x2) ex2/2. I.B.1) Donner la solution générale de l'équation (E). On désigne par f la solution de (E) vérifiant la condition initiale f (0) = 1 . I.B.2) Donner l'expression de f. Montrer que f(x) s'annule pour une seule valeur réelle de x, notée (1. LES) On se propose de calculer une valeur approchée de a par la méthode de Newton. '" a) Déterminer préalablement un intervalle [a], a2] de longueur 0,1 contenant on . Rappeler le principe de la méthode de Newton et expliquer comment on peut l'appliquer à partir de l'intervalle [al, a2] . b) Écrire un algorithme, mettant en oeuvre la méthode de Newton, permettant de déterminer une valeur approchée de a à 10"6 près. On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé. 0) Déterminer par l'algorithme mis en place une valeur approchée de a à 10"6 près. -- Partie II - II.A - II.A.1) Calculer I1 . II.A.2) Trouver une relation entre I p et I ILB - II.B.1) Montrer que pour tout entier naturel le, il existe une constante kk et un polynôme A k tels que : p_2,pourpz2. 2 Vx & IR, 12k +1(x) : kk + e'x /2Ak(x) . II.B.2) Déterminer kk et Ak. II.C - ' II.C.1) Montrer que pour tout entier naturel k, il existe une constante Mk et un polynôme B k tels que : 2 Vx & IR, 12k(x) : ukIO(x) + e'x /sz(x) . II.C.2) Déterminer "le et le degré de Bk. ILD - II.D.1) Si le degré de P est égal à n, que peut-on dire du degré du polynôme : 1 + P'(X) _ xP(X) ? --x2/2 II.D.2) Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P tel que Ïo(x) + P(x) e soit une constante. Partie III - Soit 

o @ ? III.B.2) Résoudre l'équation différentielle : y" --2xy' + (x2-- 1)y : 0. 111.0 - On pose par convention " = 4>n_104> = 4>Od> III.C.1) Résoudre qf(f) : O. III.C.2) Résoudre $"(f) : O. n--l Partie IV - Soit % l'application linéaire de IR[X ] dans lui--même définie par : VPE ÏR[X], %(P) = 4>(P)- IV.A -' % est-elle injective ? surjective ? IV.B - _ IV.B.1) Montrer que pour tout n entier naturel, X 2" H E %(IR[X ]) . IV.B.2) En déduire que tout polynôme impair appartient à q>O(IR[X ]) . IV.C - Pour tout q, entier strictement positif, on définit le polynôme Q q : Qq(X) = X2q--(2q-- 1)X2q_2. IV.C.1) Déterminer un polynôme P tel que QQ : q>O(P). On désigne par @ le sous-espace vectoriel de IR[X ] engendré par la famille {Qq | q E 1N*} -- IV.C.2) °Montrer que pour tout entier naturel non nul q, le polynôme X 2q -- u q est élément de @ . Qk(X) _ X2k X2k_2 "k Mk ."k--1 . On pourra remarquer que : IV.C.3) Montrer que les sous-espaces vectoriels Vect(X , X 3 , ..., X 2"+ 1, ...) et 95 sont en somme directe. IV.C.4) Montrer que Im(%) : Vect(X,X3, ...,in+ 1, ...) ®ÿ. Partie V - On considère l'équation différentielle : 2 (1)y'--xy = (1+x2)ex et on définit la fonction H : IR --> IR par : 2 H(x) : fx(l+t2)et "dt. 0 . V.A - Donner la solution générale de l'équation (l) (l'expression de cette solu- tion utilise la fonction H ). V.B - Déterminer une fonction g, impaire, développable en série entière et solu-- tion de l'équation (1). Quel est le rayon de convergence de son développement en série entière ? ' V.C - À l'aide des questions précédentes calculer : 2 fx(1 + t2)et / 2dt . 0 oo. FIN ooo

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 Centrale Maths 1 PSI 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Tailleur (ENS Cachan) ; il a été relu par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Ce sujet propose d'étudier des solutions de certaines équations différentielles linéaires dont on ne connaît qu'une forme intégrale, en faisant appel à des notions d'algèbre et d'analyse plutôt basiques. Il comporte quatre parties qui dépendent les unes des autres. · La première partie propose de calculer un développement en série entière et d'étudier une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Une fois prouvé qu'une solution particulière ne s'annule qu'une fois, on approche son unique zéro à l'aide de la méthode de Newton. · La deuxième partie fait étudier plusieurs relations de récurrence sur la famille d'intégrales Z x 2 Ip (x) = e -t /2 tp dt 0 Il s'agit de la partie la plus calculatoire du sujet. · La troisième partie introduit un opérateur différentiel , dont on étudie quelques propriétés (injectivité, surjectivité). On calcule entre autres les antécédents d'une fonction de classe C par . · La quatrième partie, qui fait appel à plusieurs résultats de la deuxième partie, vise à étudier la restriction de aux polynômes réels. On y trouve un peu plus d'algèbre mais elle reste tout de même assez calculatoire. · La dernière partie vise à calculer Z x 2 H(x) = (1 + t2 ) e t /2 dt 0 et fait notamment appel à des résultats de la première partie. Ce sujet est d'une difficulté modérée, mais les références permanentes aux questions précédentes demandent de prendre un peu de recul. Les méthodes de calcul utilisées étant assez classiques, il s'agit d'un excellent sujet de préparation aux concours. Indications Partie I I.A Chercher à utiliser le produit de Cauchy pour calculer le terme général et justifier la convergence de la série. I.B.2 Pour prouver que f ne s'annule qu'une fois, on peut montrer qu'elle est bijective. Pour cela, on remarque qu'elle est monotone et surjective. Partie II II.A.1 Ne pas oublier de justifier que les objets utilisés sont bien définis ! Noter de plus que t exp(-t2 /2) est la primitive de exp(-t2 /2). II.A.2 Dériver par parties pour obtenir une relation entre Ip et Ip-2 . II.B.2 Chercher Ak sous la forme Ak = k P n=0 kn X2n II.D.2 Penser à dériver la relation proposée pour retrouver le polynôme introduit à la question précédente. Partie III III.A.1 Ne pas oublier de montrer que est bien définie sur E, à valeur dans E. III.A.4 Penser à la méthode de la variation de la constante pour trouver une solution particulière de l'équation différentielle. III.C.2 Procéder par récurrence en utilisant le fait que k (f ) = 0 implique que (f ) est dans le noyau de k-1 . Partie IV IV.A Changer les espaces de définition change l'injectivité et la surjectivité ! IV.B/C.1 Utiliser la formule trouvée à la question III.A.4 , dans le but de calculer des antécédents de 0 . k Q P i . IV.C.2 Considérer la somme i=0 µi IV.C.3 Pour montrer que deux espaces sont en somme directe, on montre que leur intersection est réduite à {0}. IV.C.4 Par définition Im (0 ) = 0 (R[X]), or R[X] = Vect({X2q }q>0 ) Vect({X2q+1 }q>0 ) Partie V V.B Développer le deuxième terme en série et identifier membre à membre. Partie I 2 I.A La fonction f : x R 7- e x est développable en série entière, de rayon de convergence infini. En effet, la fonction exponentielle étant par définition développable en série entière, de rayon de convergence infini, on a n Ak P ---- e A k=0 k! n A > 0 et la convergence est absolue. En particulier, pour A = x2 , n (x2 )k P 2 ---- e x n k! k=0 x > 0 et la convergence est à nouveau absolue. On note u cette série entière et un xn son terme général. On a donc q N u2q = 1 q! et u2q+1 = 0 Par ailleurs, la fonction g: ( R - R x 7- 1 + x2 est évidemment développable en série entière, de rayon de convergence infini. Notons vn xn son terme général, on a alors v0 = v2 = 1 et n N r {0, 2} vn = 0 Le produit de Cauchy de ces deux séries est par conséquent bien défini, son rayon de convergence est infini, et son terme général ak xk est donné par k N ak = k P vn uk-n n=0 On a donc a0 = v0 u0 , a1 = v1 u0 + v0 u1 . Or comme v1 = u1 = 0, a1 = 0. Sinon, puisque seuls v0 et v2 sont non nuls parmi les vn , k > 2 ak = v0 uk + v2 uk-2 et par conséquent a0 = 1 ; Au final k > 0 a2k+1 = 0 ; k > 1 2 (1 + x2 ) e x = a2k = 1 1 k+1 + = k! (k - 1)! k! k+1 P x2k k=0 k! Une série entière P est définie par son terme général ak xk . CertainsP professeurs considèrent que ak x2k n'est pas une série entière, mais que bk xk avec b2q = aq et b2q+1 = 0 en est une. Il est dès lors plus sage de bien spécifier le terme général quand on introduit une série entière. I.B.1 L'équation (E) est une équation linéaire du premier ordre à coefficients continus sur R, et dont le coefficient de y ne s'annule pas sur R. L'ensemble de ses solutions est un espace affine dont la direction est l'espace vectoriel engendré par les solutions de l'équation homogène y - xy = 0 L'ensemble des solutions de cette équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients continus est l'espace vectoriel {y : x 7- e x 2 /2 | R} On applique alors la méthode de variation de la constante pour déterminer une solution particulière de l'équation (E). On cherche une telle solution sous la forme y0 (x) = (x) exp(x2 /2). y0 est solution de (E) si et seulement si la fonction est solution de l'équation différentielle = 1 + x2 On prend par exemple : x 7- x + x3 /3 ; d'où la solution particulière x3 2 y0 : x 7- x + e x /2 3 Finalement, la solution générale de l'équation (E) est x3 2 y : x 7- 0 + x + e x /2 3 0 R I.B.2 Si f est solution de (E), elle s'écrit d'après la question précédente x3 2 x R f (x) = + x + e x /2 3 Or f (0) = 1 si et seulement si = 1, ainsi R - R f: x3 2 e x /2 x 7- 1 + x + 3 L'équation (E) étant une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients continus sur R, et dont le coefficient de y ne s'annule pas sur R, il y a unicité au problème constitué de l'équation différentielle ordinaire et d'une condition initiale de type y(t0 ) = y0 . La fonction f solution de (E) telle que f (0) = 1 est donc bien définie, et est de plus unique. Montrons que f ne s'annule qu'une seule fois sur R. On a clairement lim f (x) = + x+ et lim f (x) = - x- f est de plus monotone. En effet, f est de classe C car solution d'une équation linéaire du premier ordre à coefficients continus, et on peut calculer sa dérivée x4 x 2 7 2 x4 2 2 2 x2 /2 f (x) = 1 + x + x + x + e = 1+ + x + e x /2 3 2 4 3