Centrale Maths 1 PSI 2004

Thème de l'épreuve Analyse fonctionnelle
Principaux outils utilisés développements limités, formules de Taylor, convergence normale

Corrigé

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 _OEn_ Ë... _ m...:QËËEË ëä... ËQN om>oe&=OE .. OE$Èoeü mËoocoü Notations, définitions Si I est un intervalle, F une application de I dans I , n un élément de ]N* , on pose F" : Fo oF (composé de n fois F) ;on convient que F0 = Id]. Si I et J sont deux intervalles de IR et F une application de I dans J , on dit que F est un C1 -difféomorphisme de I sur J si et seulement si F est une bijection de classe C1 de I sur J dont la réciproque est elle aussi de classe C1 . On rappelle que, pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que F soit de classe C1 , que la déri- vée F' de F ne s'annule pas sur I, et que F(I) : J. On désignera par 8 l'ensemble des couples (I, f) où 1 est un intervalle de ]R de la forme [O, r] avec r > O et f une application de classe C°° de I dans lui-même vérifiant : i) f (0) = 0, ii) Vx EUR I\{O} , f(x) 0. Si (1, f) et (J, g) sont dans 8 , on dit que (I, f) et (J, g) sont conjugués si, et seu- lement si, existent deux réels r et r' dans IR+* tels que [O, r] CI , [O, r' ] CJ et un C1 -difféomorphisme croissant h de [O, r] sur [O, r '] tel que : VyEUR[0,r'], g(y) = hofoh"'... Objectif du problème Le but du problème est de prouver que si ?» est dans ]0, l] , alors deux éléments quelconques de 8;, sont conjugués puis d'étudier le problème de la conjugaison dans 81 . Dépendance des parties Le résultat du I.D est utilisé dans les parties II et III. Les parties II et III sont formellement indépendantes, mais certaines questions de la partie III se trai-- tent sur le modèle de questions de la partie Il ; elles sont explicitement signalées dans l'énoncé. Partie I - Préliminaires I.A- Soit (I, f ) et (Lg) deux éléments conjugués de 8. Montrer que f'(0) = g'(0). I.B - Soit f une application de [O, 1] dans lui-même telle que ([0, 1], f) appar-- tienne à EUR . I.B.1) Montrer que f'(0) est dans ]0, 1]. I.B.2) Montrer que la suite de fonctions ( f ")n 21 converge simplement vers 0 sur [O, 1]. I.B.3) Montrer que cette convergence est uniforme. I.C - Soit (un)" 2 0-- une suite de réels strictement positifs. On suppose que la série de terme général an : un -- 1 converge absolument et on pose, si n EUR IN : n Pn : Huk. k=0 En considérant la série de terme général (lnPn +1 --lnPn) , montrer que la suite (Pn) converge vers un réel strictement positif. LD - Soit I un intervalle de IR et ('l'n)n z 0 une suite de fonctions de I dans IR+* . On suppose que la série de fonctions de terme général 'Pn : q>n -- 1 converge nor-- malement sur I . On pose, si n E ]N : Qn= ...... k=0 Montrer que la suite de fonctions (Qn) une fonction à valeurs dans IR+* . n 2 0 converge uniformément sur 1 vers Partie II - Conjugaison d'éléments de 8 localement contractants Soient )» dans ]0, 1] et f une application de [O, 1] dans lui-même telle que ([0, 1], f) appartienne à 8;,. Soit, pour n EUR IN : n u,, = î_. Soit enfin hx l'application de [O, 1] dans [O, 1] définie par : VxE[O,1],hÀ(x) = Àx. II.A-Si nEll\Ï,calculer unof--hkoun+l. II.B - II.B.1) Montrer qu'il existe a > 0 tel que >» + a < 1 et (>» + a)2 < )... II.B.2) Montrer qu'il existe a dans ]0, 1] tel que : VxE[0,a], f(x) s(X+s)x. II.C - ' . II.C.1) Montrer qu'il existe C 2 0 tel que : Vx e[o,1], lf(x)--Àxls Cx2. II.C.2) Montrer qu'il existe no EUR IN tel que : Vnzn0, VxE[O, 1], fn(x)E[0,a]. II.C.3) Pour nano et xE[O,1], majorer |un+l(x)--un(x)l et prouver que la suite de fonctions (un)n20 converge uniformément sur [0,1]. Sa limite sera notée u. II.D - II.D.1) Montrer que la série de fonctions de terme général u ! ; +,1 -- 1 converge normalement sur [O, 1]. n II.B.2) En déduire que u est un C1 -difféomorphisme de [O, 1] sur son image. ILE - Conclure que ([0, 1], f) et ([O, 1], hx) sont conjugués. Partie III - Conjugaison des éléments de 8 tangents à l'identité On note 8Î l'ensemble des éléments (I, f) de 81 tels que l'ensemble {kEN*,f(k+l)(0)=æ0} soit non vide. Pour (I,f) dans 8Î, on note v( f ) : min{k E N *, f (k +1)(O) : O} . La formule de Taylor--Young donne alors : (V(f)+ 1) quand x---->O, f(x) : x--axv(f)+l+o(xv(f)+l) avec a : Î{Tf)__+l)(?)° HLA - III.A.1) Pour q dans IN* , soit Oq la fonction définie sur [O, 1] par : x VxEUR[0,l],9q(x)= q 1/q' (1 +x ) Montrer que ([0, 1],Oq) est dans 8Î , préciser v(Oq). Dans la suite de HLA, on considère une fonction f de [O, 1] dans [O, 1] telle que ([0, 1], f) appartienne à 81* et on pose q : v(f) puis : III.A.2) a) Vérifier que a est strictement positif. b) Si (Lg) appartient à 8 et est conjugué à ([O, 1], f), vérifier que (Lg) est aussi dans 8Î avec v(g) : q. III.A.3) Dans ce III.A.3, on suppose qu'il existe k dans {2, 3, q} et b dans IR* tels que q+ q+k q+k) quandx-->O,f(x)=x--ax 1+bx +o(x Soit [5 un nombre réel et h la fonction définie sur IR+ par : VxEIR+, h(x) : x+[3xk. a) Montrer qu'il existe r et r' dans IR+* tels que h induise un C1 -difféomor-- phisme de [O, r] sur [O, r']. Dans la suite de III.A.3, les réels r et r' sont ainsi choisis et on note h"1 le dif- féomorphisme réciproque dela restriction de h à [O, r]. b) Établir :quand y-->O, h_l(y) : y--Byk+o(yk). 0) Déterminer les développements limités à l'ordre q + k en 0 de x |--> h o f(x) puis de yr--> h ofoh"(y) . III.A.4) De ce qui précède déduire l'existence d'un réel E et d'un couple (I, g) de 8Î conjugué à ([0, 1], f) et tels que : q+l y q 2q+1 2q+l) +Ey quandy-->O,g(y) = y-- +O(y III.B - Dans cette section III.B, q est un entier strictement positif, E est un nombre réel et g une application de [O, 1] dans lui-même telle que ([0, 1], g) appartienne à 8Î et que : q+l y EUR] sur ]0, 1] par: 2q+1 2q+1) +Ey quand y -*0, EUR... = y-- +O(y On définit une application 1:q VyEUR]o, 1] , rq(y) = l. yq Donc 1:q est un C1 -difféomorphisme de ]O, 1] sur [1, + oo [ ; on ne demande pas _1 de le vérifier. Soit enfin G : 'cq o g 017q . III.B.1) . _1 a) Identifier Tq : 17q oeq 01: q . b) Quelles propriétés de G déduit--on des propriétés ii) et iii) du début de l'énoncé ? c) Déterminer un nombre réel R tel que : _ R 1 quandx-->+cc,G(x) _ x+l+î+O 0 tel que : Vnzn... VxE[l,+oe [, |un+l(x)--un(x)|s%. En déduire que pour tout X z 1 il existe un réel strictement positif K tel que : Vn 2 no, Vx E[l, X] , |un(x)| s Klnn . c) Pour tous n entier naturel strictement positif et x réel supérieur ou égal à 1 , on pose : un(x) : un(x)--Rlnn , où R est la constante définie au III.B.l-c). Démontrer, en procédant comme au II.C.3), que la suite de fonctions (vn)nzû converge vers une fonction v et que cette convergence est uniforme sur tout seg-- ment inclus dans [1,+ oo [. d) Si x z 1 , vérifier que v oG(x) : v(x) + 1. III.B.3) a) Montrer que : quand x-->+ oo, G'(x) : 1+O(%) . x b) Montrer que lim v(x) : +00 et, en procédant comme en II.D.1), prouver que x--->+oo v est un C1 -difféomorphisme de [1,+ oo [ sur son image. III.BA) a) Montrer que v'(x) --> 1 quand x --> + oo. b) Conclure, si f est une fonction de [O, 1] dans lui-même telle que ([0, 1], f) soit dans 81* et v(f) : q , que ([0, 1], f) est conjugué à ([0,1],6q). III.C - Soit (wn)n 2 0 la suite définie par : wo : % et VnElN, wn+1 : sh(sin(wn)). III.C.1) a) Utiliser ce qui précède pour montrer que wn admet un équivalent du type 3-- a avec a et a réels. Déterminer oc. n b) Montrer qu'il existe des nombres réels b et c tels que : w -- a + b +clnn+O 1 n'" a 3a Sa Sa ' n n n n III.C.Z) Établir un programme permettant de calculer a, b,c (on utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel). ooo FIN ooo

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 Centrale Maths 1 PSI 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (ENS Cachan) ; il a été relu par Julien Lévy (ENS Ulm) et Sébastien Gadat (ENS Cachan). Ce problème propose, schématiquement, de s'intéresser aux fonctions de classe C sur [ 0 ; r ] vérifiant f (0) = 0 puis f (x) < x. Plus précisément, on considère les classes d'équivalence de la relation « il existe un C 1 -difféomorphisme h tel que g = h f h-1 » selon les valeurs de la dérivée en 0 de f et de g. Le sujet est composé de trois parties qui sont liées : la partie II utilise la partie I et dans la partie III, on utilise les mêmes types de raisonnements que dans les deux premières. · Dans la première partie, qui se traite de manière directe, sans astuce particulière, on établit quelques résultats de convergence (simple, normale, uniforme) de suites et séries de fonctions. · La partie II se consacre au cas où la dérivée en 0 des fonctions considérées est dans ] 0 ; 1 [. On montre qu'il existe alors une unique classe de conjugaison, celle de l'homothétie x 7 x, en considérant une suite d'itérés d'une fonction afin de construire un difféomorphisme de conjugaison. On fait usage de formules de Taylor ­ un petit avant-goût de ce que nous réserve la suite. · C'est dans la dernière partie, consacrée au cas f (0) = 1, que les choses se compliquent. On y conjugue des éléments par des difféomorphismes bien choisis pour avoir des développements limités particuliers, on y établit des développements asymptotiques d'autres conjugués, et les calculs deviennent rapidement complexes. Il faut, dans cette partie, prêter une attention particulière à la rigueur des réponses : l'énoncé a tendance à focaliser le lecteur sur les aspects calculatoires alors qu'il y a souvent de nombreuses vérifications à effectuer (problème de définition de fonctions, régularité en certains points, etc.) pour pouvoir raisonner proprement. À noter que la partie III.C peut se traiter totalement indépendamment du reste, via les méthodes classiques d'étude des suites récurrentes. Le problème s'achève par l'étude d'une suite récurrente et l'établissement d'un développement asymptotique à trois termes, pour lequel il est demandé d'écrire un programme en Maple. Globalement, ce sujet très technique est une belle illustration de l'usage des développements limités et asymptotiques en analyse. Les connaissances théoriques requises sont assez modestes : convergence de suites et séries de fonctions et formules de Taylor principalement. Noter également que la difficulté est progressive tout au long du problème et que les parties et sections s'enchaînent logiquement : ainsi, il n'est pas rentable de tenter de « papillonner » au gré des questions (mis à part le cas de la partie III.C). Indications Partie I I.A Dériver la relation de conjugaison entre f et g, et calculer h(0), où h est le difféomorphisme de conjugaison. I.B.1 Utiliser la définition de la dérivée de f en 0. I.B.2 Se servir des propriétés de E pour montrer la convergence. I.B.3 Étudier la monotonie de f sur [ 0 ; 1 ] pour en déduire sa borne supérieure. I.C Prendre le logarithme de Pn et étudier la série obtenue. I.D On procèdera de la même manière qu'à la question I.C, en cherchant un encadrement du terme général de la série de fonctions associée à ln Qn . Partie II Attention : dans cette partie, l'énoncé comporte une erreur. Il faut prendre dans toute la suite ]0, 1[ et non ] 0 ; 1 ]. II.B.1 Résoudre le système d'inéquations proposé. II.B.2 Utiliser la définition de la dérivée en 0. II.C.1 Penser à la formule de Taylor en 0. II.C.2 Employer le résultat de la question I.B.3. II.C.3 On appliquera successivement les formules établies en II.C.1 et II.B.2 pour montrer la convergence normale de la série de terme général un+1 - un . II.D.1 Exprimer en fonction de f le terme général de la série étudiée, et majorer sa norme infinie grâce à un emploi judicieux de la formule de Taylor. II.D.2 Appliquer la question I.D au résultat précédent. II.E Utiliser les résultats des questions II.A et II.D.2. Partie III III.A.1 Penser au développement limité pour trouver la seconde dérivée non nulle. III.A.2.a Exprimer a comme une limite. III.A.2.b Utiliser le résultat de la question I.A. Donner un développement limité de g en 0. III.A.3.b Partir de la relation h h-1 = Id . III.A.3.c Utiliser le développement limité de f , puis celui de h f . III.A.4 Employer les idées et résultats de la question III.A.3 pour construire la fonction g = h f h-1 , où h est un C 1 -difféomorphisme bien choisi. III.B.1.a Calculer d'abord q g. III.B.1.c Commencer par appliquer le développement limité de g en 0 à q -1 . III.B.2.a Étudier la série de terme général Gn+1 (x) - Gn (x), en utilisant les résultats des questions I.B.3 et III.B.1.c. III.B.2.b Utiliser les questions III.B.2.a et III.B.1.c. III.B.2.c Majorer le terme vn+1 (x) - vn (x) sur [ 1 ; X ], puis sommer. III.B.2.d Calculer vn G et passer à la limite. III.B.3.a On pourra montrer que H = G q - q est de classe C sur [ 0 ; 1 ], puis dériver son développement limité. III.B.3.b Étudier la monotonie de v. Reproduire le raisonnement de la question I.D, comme dans la partie II.D. III.B.4.a Appliquer le théorème d'interversion des limites à la suite (vn )nN . Employer les résultats de la section III.B.3. III.B.4.b Utiliser la fonction v et la question III.B.2.d pour montrer que ([ 0 ; 1 ] , g) est conjugué à ([ 0 ; 1 ] , q ). III.C.1.a Montrer que (wn )nN converge vers 0 et qu'il existe I tel que (I, sh sin) appartienne à E1 . Calculer alors les itérés de q pour q = (sh sin). III.C.1.b Sommer les développements asymptotiques de wn+1 1-q - wn 1-q , et itérer le procédé pour préciser les développements. III.C.2 Le plus simple est de déterminer successivement des valeurs approchées de a, b et c par un procédé itératif. I. Préliminaires I.A Soient (I, f ) et (I, g) deux éléments conjugués de E : il existe alors deux réels strictement positifs r et r tels que [ 0 ; r ] I et [ 0 ; r ] I, et un C 1 -difféomorphisme croissant h de [ 0 ; r ] sur [ 0 ; r ] tel que y [ 0 ; r ] g(y) = h f h-1 (y) (1) Comme h est un difféomorphisme croissant de [ 0 ; r ] sur [ 0 ; r ], il envoie le minimum de [ 0 ; r ] sur le minimum de [ 0 ; r ], soit h(0) = 0. En outre, h (0) 6= 0. La dérivée en 0 de sa réciproque h-1 est alors h-1 (0) = 1 1 = h [h-1 (0)] h (0) Notons que f E donc f (0) = 0. Il vient alors par dérivation de (1) g (0) = h-1 (0) × (h f ) (0) soit g (0) = h-1 (0) × h (0) ×f (0) | {z } =1 Ainsi, f (0) = g (0) Pour retrouver la formule de la dérivée de la réciproque, il suffit de partir de la relation h h-1 (y) = y : on obtient y [ 0 ; r ] h-1 (y) × h h-1 (y) = 1 On retrouve au passage la condition h 6= 0 pour un difféomorphisme. Il est d'ailleurs beaucoup plus sûr de procéder comme cela plutôt que d'apprendre « bêtement » une formule... avec tous les risques de confusion et d'oubli que cela peut comporter. I.B.1 Soit un couple ([ 0 ; 1 ] , f ) E ; alors la fonction f laisse stable [ 0 ; 1 ]. Par définition de l'ensemble E, on a f (0) > 0 et x ]0;1] donc x ]0;1] 0 6 f (x) 6 x 6 1 06 (2) f (x) 61 x Comme f est dérivable en 0, il vient 0 6 f (0) 6 1 par passage à la limite quand x tend vers 0. De ce fait, f (0) ] 0 ; 1 ]