Centrale Maths 1 PSI 2003

Thème de l'épreuve Un théorème de G. Pólya sur les séries entières.
Principaux outils utilisés calcul matriciel, séries entières, intégration de séries de fonctions
Mots clefs polynôms de Hilbert, principe du maximum, majoration asymptotique, théorème de Pólya

Corrigé

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 _oen_ %___... _ m...:QËËEË ...âä... .....ËN ooeäQ:OE - OEOEÈOEU oeÈQËQU Notations, définitions et rappels Si n & IN, soit Cn[X ] l'espace des polynômes complexes de degré inférieur ou égal à n. Pour P dans C[X ] , soit T(P) le polynôme P(X + 1). L'application T ainsi définie est clairement un endomorphisme de C[X ]. De plus, si n e ]N, EUR [X] est stable par T et on note Tn l'endomorphisme de Cn[X ] induit par T . n Soit (Hi). L E ... la suite des polynômes de Hilbert, définie par : i--1 . * _l HO=1etVLEIN >Hi --Lf-!H (X--k). k=() Si Re ]Rî,soientz DR : {ze C,lzl E(--l)hJ Ci uj : O. j=0 Partie II - Quelques propriétés des séries entières Dans toute cette partie, on fixe : R dans ]Rî U {+oo} , f dans E R, 00 dans D R et r dans ]loel, RI . Pour 2 dans D R on écrit donc : +c>o +<>o f(z) : 2 anz" , où la série entière 2 anzn n = () n = 0 a un rayon de convergence supérieur ou égal à R . Pour le EUR IN * on note f(k) la fonction définie pour 2 EUR D R par : +c>o f(k)(z) = 2 n(n--l)...(n --k + l)anzn_k n = k (on sait que cette série entière a même rayon de convergence que la série entière initiale). II.A - Représentation intégrale de f (ou) à partir des valeurs de f sur C,. II.A.1) Si p EUR lN,prouver: Tt . _. ]- f(re")e Lptdt : 2naprp. --7t II.A.2) Montrer : it Ï' f=j" ; f+OO, bj : O(--%). r +°° . II.C.3) Montrer que le rayon de convergence de la série entière 2 b sz est supérieur ou égal à R . Pour 2 e D R , on pose : j = () +oo g(z) : 2 !)sz j = 0 Vérifier: VZ EUR DR , (z -- oe)g(z) : f(z) --f(oe) . II.D - Minoration de M f(r) à l'aide des zéros de ;" On suppose que pe IN*, que f s'annule en p points distincts 21,...,2p de 1Î,\{0}. II.D.1) Montrer qu'il existe F dans E R telle que : p p Vze DR, F(z)>< H(z--zj) = f(z)>< H(r2--ij). j=1 j=1 II.D.2) Si je {I, ...,p} et ze Cr\{zj} que vaut 2 r_. ZJZ 2--2]-- '? II.D.3) En appliquant H.B.8 à F au point (» = 0 , montrer : p Mf(r)>< sz Zlf(0)lrp. j=l II.D.4) On suppose f(0) : : f(k--l)(0) : 0 où le 5 IN* . Prouver: p (le) Mf(r)>< sz Z'f k!(0)' rp+k. j=l ILE - Étude asymptotique d'une fonction entière nulle sur IN On suppose que R : +oo, (: e |O,el, f est nulle sur IN et que lorsque reco, Mf(r) = O(cr). Montrer que f = O. Indication: on supposera par l'absurde in, on appliquera II.D.4 avec k : Min{ie ]N,f"RO)#O}, r : p,21= ], ...,zp : p,et on feratendrep vers +oo. Partie III - Théorème de Pôlya Soit f dans Eco. III.A - Majoration de n 2 <--l>k Cî f(k) k=0 Soient n dans lN* et r un réel tel que r> n. III.A.1) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle : F _ n! " _ X(X-l)...(X--n)° III.A.2) À l'aide de II.A.2, prouver : J" n! f (reit) dt "" (felt--l)...(reit--n) 275 k III.A.8) Montrer : 2 <--l>"'k Cîf+oo, Mf(r) : o(2--]. J; On va démontrer que f est polynomiale (théorème de Pôlya). N.B. L'exemple de f (2) = 22 montre que la condition asymptotique (b) n'est pas loin d'être optimale. III.B.1) En appliquant lll.A.3 à r : 2n + 1 , prouver qu'il existe N dans ]N tel que VnZN, 2 (-1)""" ci f(k) : 0. k=O III.B.2) À l'aide de 1D) et ILE), prouver le résultat désiré. ooo FIN ooo

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 Centrale Maths 1 PSI -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (ENS Ulm) ; il a été relu par Alexis Devulder (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Cette épreuve est composée de trois parties, les deux premières étant indépendantes l'une de l'autre. La troisième partie utilise, elle, les résultats des deux premières. Dans l'ensemble, cette épreuve est d'un niveau assez homogène, bien construite, et permet de réviser un grand nombre de sujets. L'objectif final du problème est de démontrer un résultat dû à Georg Pólya (1915) : toute fonction développable en série entière sur C, prenant des valeurs entières sur N, et vérifiant une certaine majoration asymptotique est en réalité un polynôme. · Dans la première partie, on étudie les polynômes de Hilbert (Hi )iN , suite définie par : i-1 H0 = 1 et i N Hi = 1 (X - k) i! k=0 L'intérêt de ces polynômes est qu'ils prennent des valeurs entières sur Z, et permettent même de caractériser les polynômes vérifiant P (Z) Z : ce sont ceux qui s'écrivent comme des combinaisons linéaires à coefficients entiers de polynômes de Hilbert. On étudie également les suites qui peuvent s'écrire comme les valeurs sur N d'un polynôme, leur caractérisation étant très utile pour démontrer le théorème de Pólya. · La deuxième partie est consacrée à l'étude des séries entières. On y démontre plusieurs propriétés assez classiques : principe du maximum, factorisation d'une série entière f (z) par z - lorsque est un zéro de f . Tout ceci permet de conclure sur la nullité des séries entières nulles sur N, sous une hypothèse de majoration asymptotique. · Enfin, dans la dernière partie, on combine les résultats des deux premières pour obtenir le théorème de Pólya. Il s'agit tout d'abord de trouver un polynôme P qui coïncide sur N avec la série entière f grâce aux résultats de la première partie. La seconde partie nous permet ainsi de conclure, puisque la différence f - P est alors nulle sur N. Indications Partie I I.A.1 Chercher les vecteurs colonnes de la matrice Mn , images des vecteurs de base. I.A.2 Chercher l'inverse de l'endomorphisme Tn . I.B.1 La famille (Hi )i6n est échelonnée en degré. I.C.1 Exprimer les nombres P(j) comme des coordonnées du produit matriciel : a0 .. t Mn · . an I.C.2 Pour i > n + 1, raisonner dans Ci [X]. I.D Utiliser les polynômes de Lagrange pour interpoler les premières valeurs de la suite. Utiliser ensuite la question I.C.2 pour montrer par récurrence que le polynôme obtenu convient. Partie II II.A.1 Intégrer le développement en série entière de f . II.B.2 Majorer l'expression intégrale de f trouvée à la question II.A.2. est majorée par une constante. jN II.C.2 Montrer que la suite rj+1 bj II.D.1 Appliquer le résultat de la question précédente à la fonction : p z 7- f (z) · j=1 r2 - z j z II.D.2 Remarquer que r2 = zz pour tout z Cr . f (z) II.D.4 Appliquer le résultat précédent à la fonction g : z 7- k . z f (k) (0) Montrer que g(0) = . k! Partie III III.A.3 Majorer « brutalement » l'expression intégrale précédente. n P III.B.1 Montrer que la suite d'entiers (-1)n-k Ckn f (k) tend vers 0. k=0 nN I. Polynômes de Hilbert I.A.1 Le j-ième vecteur colonne de la matrice Mn correspond au vecteur colonne des coordonnées de Tn (Xj ) dans la base (1, X, . . . , Xn ). Grâce à la formule du binôme de Newton, on trouve : j P Tn (Xj ) = (X + 1)j = i=0 Cij Xi Dans toute cette partie, lorsque l'on travaille sur des endomorphismes de Cn [X], espace vectoriel de dimension n + 1, on indice de 0 à n (et non de 1 à n + 1) les lignes et les colonnes des matrices. Ainsi, ces indices correspondent aux puissances de l'indéterminée X lorsqu'on travaille dans la base canonique (1, X, . . . , Xn ). Le coefficient sur la i-ième ligne et la j-ième colonne de la matrice Mn est donc le coefficient de Xi dans l'expression de Tn (Xj ), soit Cij . En particulier, Mn est triangulaire supérieure. 1 1 ··· ··· 1 0 . . . C12 · · · C1n .. Mn = ... . . . . . . . . . . . . . . . . n-1 . . . C n 0 ··· ··· 0 1 Autrement dit, puisque par convention Cij = 0 pour i > j, on obtient : Mn = Cij 06i,j6n I.A.2 L'endomorphisme Tn de Cn [X] est inversible, d'inverse Tn -1 : P 7- P(X - 1) Par conséquent, sa matrice Mn dans la base (1, X, . . . , Xn ) est également inversible, et Mn -1 est la matrice dans la base (1, X, . . . , Xn ) de Tn -1 . On explicite donc Mn -1 de la même façon, en calculant les images des vecteurs de base. Ici j Tn -1 (Xj ) = (X - 1) = j P (-1)j-i Cij Xi i=0 soit Mn -1 = (-1)j-i Cij 06i,j6n I.B.1 Pour tout indice i, le polynôme Hi est de degré i : la famille (Hi )06i6n est échelonnée en degré, et c'est donc une famille libre. En outre, la famille (Hi )06i6n possède n+1 éléments, c'est donc une base de Cn [X] puisque l'espace vectoriel Cn [X] est de dimension n + 1. La famille (Hi )06i6n forme une base de Cn [X]. Toute famille (P0 , . . . , Pn ) de polynômes échelonnée en degré est libre. En n P effet, si (0 , . . . , n ) sont des scalaires tels que k Pk = 0, alors en consik=0 dérant le terme de plus haut degré, on obtient la nullité de n . Il suffit alors d'itérer le procédé pour obtenir successivement n-1 = 0, etc., 0 = 0. I.B.2 Soit i un entier naturel non nul. · Par construction, les entiers 0, 1, . . . , i-1 sont racines du polynôme Hi . Par suite Hi (j) est nul pour tout entier j [[ 0 ; i - 1 ]]. Pour 0 6 j 6 i - 1, Hi (j) = 0 est un entier. · Si j est un entier strictement négatif, j i-1 Hi (j) = 1 (j - k) = i!1 k=j-i+1 k i! k=0 c'est-à-dire, en factorisant par -1 dans chacun des termes du produit : (-j)+i-1 (-1)i ((-j) + i - 1)! (-1)i Hi (j) = k= k=-j i! i!(-j - 1)! Pour j < 0, Hi (j) = (-1)i Ci(-j)+i-1 est un entier relatif. · Si j est un entier supérieur ou égal à i, j i-1 Hi (j) = 1 1 (j)! (j - k) = k= i! k=0 i! k=j-i+1 i!(j - i)! et l'on obtient cette fois-ci : Pour j > i, Hi (j) = Cij est encore un entier. I.C.1 Soit j [[ 0 ; n ]]. En évaluant en j la décomposition P = on obtient : n P P(j) = ai Hi (j) n P ai Hi , i=0 i=0 Or, d'après la question précédente, Hi (j) = Cij (qui est nul lorsque j < i), d'où n P P(j) = Cij ai i=0 Enfin, on a vu à la question I.A.1 que (Mn )i,j = Cij . On obtient par transposition t Mn = Cji , d'où i,j n P t P(j) = Mn ai j,i a0 i=0 .. t et P(j) est bien le coefficient de la j-ième ligne du produit Mn · . . Conclusion : P(0) a0 .. t .. . = Mn · . P(n) an an